Rôle des femmes dans la société

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1 Rôle des femmes dans la société Matthieu Pache 14 octobre 2012 Résumé Ce rapport étudie le rôle des femmes dans la société en analysant des données recueillies dans un sondage. Ce-dernier consiste à demander à un certain nombre de personnes si elles sont d accord ou non avec l affirmation «Les femmes devraient s occuper d entretenir les maisons et laisser les hommes entretenir le pays». Après avoir exposé et justifié les méthodes utilisées dans notre analyse, nous allons tenter d établir un modèle adéquat pour expliquer ces données en fonction du sexe et du nombre d années d éducation des individus ayant participés. Nous ajusterons donc différents modèles, les comparerons et déterminerons un modèle approrié pour nos données. Nous déduirons ainsi comment le sexe et le niveau d éducation influencent la probabilité qu un individu soit d accord avec l affirmation. Introduction Le rôle des femmes dans la société est un sujet possédant une longue histoire et qui de nos jours encore fait parler de lui. En effet, depuis des siècles, le déséquilibre entre le statut des femmes et celui des hommes a été contesté. Certes, la condition des femmes s est largement améliorée depuis quelques décennies, notamment dans le monde du travail et dans le monde politique. Néanmoins, une si longue discrimination nous amène à nous poser des questions sur l opinion publique de cette inégalité. Pour avoir une réponse, nous allons étudier des données recueillies sur le sujet. Description des données Les données à disposition sont un sondage fait entre 1974 et 1975 qui consistait à demander à des personnes si elles étaient d accord ou non avec l affirmation «Les femmes devraient s occuper d entretenir les maisons et laisser les hommes entretenir le pays». Des femmes et des hommes ont été interrogé et pour chacun d entre eux le nombre d années d éducation a aussi été enregistré. Comme expliqué dans [1, p.10], sur les 2927 individus interrogés, trois n ont pas donné leur nombre d années d éducation et 53 n avaient pas matthieu.pache@epfl.ch 1

2 d opinion précise sur l affirmation. Le sondage comporte donc 2871 individus, dont 1305 hommes et 1566 femmes. Celui-ci est représenté sur la table 1. Hommes Femmes Nombres d années d éduaction D accord Pas d accord D accord Pas d accord Table 1: Table des données. Au vu de la table 1, il est naturel de se demander si le sexe et les années d éducation ont une relation avec la réponse donnée, et si telle est le cas, de quelle forme est-elle? C est à ces questions là que nous allons tenter de répondre en analysant les données. Analyse exploratoire Les deux variables que nous connaissons pour chaque individus sont le nombre d années d éducation et le sexe. Intéressons nous premièrement à la relation entre le niveau d éducation et la réponse. Pour cela, il est utile de regarder la proportion de gens d accord avec l affirmation pour un niveau d éducation fixe, les deux sexes confondus. Ces proportions sont illustrées sur la figure 1. La figure 1 montre, comme on pouvait raisonnablement le prévoir, que le niveau d éducation semble influencé la réponse des individus. En effet, l allure générale de la 2

3 Figure 1: Proportion de personnes d accord en fonction du nombres d années d éducation. figure 1 laisse croire que les personnes ayant un plus haut niveau d éducation vont généralement plus facilement désaprouver l assertion que ceux ayant un niveau plus bas. Secondement, approfondissons la relation entre le sexe de l individu et sa réponse. A cette fin, nous calculons en moyenne quel pourcentage d hommes et de femmes ont dit être d accord, tous niveaux d éducation confondus. De plus, afin de pouvoir comparer convenablement ces moyennes, nous calculons aussi la variance correspondante. Les résultats sont dans la table 2. Hommes Femmes Moyenne Variance Table 2: Table illustrant la moyenne des hommes et des femmes étant d accord. Ainsi, une proportion de 36% des hommes, respectivement 35% des femmes, ont été d accord avec l affirmation. Ces chiffres nous laisseraient croire que le sexe influence peu significativement. Néanmoins, bien que ces moyennes sont proches, les variances sont très grandes, soit dans les deux cas égales à Cette grande variance ne nous permet donc pas de tirer de conclusions car rend les valeurs des moyennes insignifiantes. En résumé, une brève analyse des données nous conduit à penser que plus les gens ont d années d éducation, plus ils seraient contre l inégalité entre hommes et femmes. Nous ne pouvons en revanche rien déduire du rôle du sexe. Une analyse statistique plus avancée va nous permettre de confirmer, réfuter et approfondir ces hypothèses. 3

4 Méthodologie Nous cherchons désormais un modèle statistique qui expliquerait nos données. La première chose à traiter pour trouver un tel modèle est le fait que la réponse soit une variable catégorielle. En effet, les individus disent seulement s ils sont d accord ou non avec le fait que «Les femmes devraient s occuper d entretenir les maisons et laisser les hommes entretenir le pays». La réponse y i d un individu i peut donc être écrite de la manière suivante : { 1 si l individu i est d accord, y i = 0 s il ne l est pas. De ce fait, si l on pose la convention qu être d accord est un "échec", alors y i suit donc une loi binomiale Bin(1, p i ), où p i est la probabilité que le ième individu soit d accord avec l affirmation. Il nous faut donc trouver une famille de modèles qui s occupe de données binaires. Une solution est d utiliser la régression logistique, qui permet de traiter ces cas. Nous aimerions calculer p i en fonction de certaines variables x 1i,..., x ki. L expression générale de la régression logistique est alors ( ) pi logit(p i ) log = β 0 + β 1 x 1i β k x ki, i = 1,..., n, (1) 1 p i avec β 0, β 1,..., β k des coefficients réels et n le nombre d individus. Une fois la régression logistique faite, nous pouvons trouver p i en écrivant l équation (1) sous la forme p i = exp(β 0 + β 1 x 1i β k x ki ), i = 1,..., n. (2) 1 + exp(β 0 + β 1 x 1i β k x ki ) Dans notre cas, les variables à disposition sont le nombre d années d éducation et le sexe de l individu. Nous pouvons donc étudier la relation entre le nombre d années d éducation contre le logit des probabilités empiriques qu un individu soit d accord afin de justifier la régression logistique. Les probabilités empiriques sont la proportion d individus étant d accord avec l affirmation dans notre échantillon pour un niveau d éducation et un sexe donné. Cette relation est présentée sur la figure 2. Sur cette figure, la tendance semble bien être linéaire. Ceci justifie ainsi l utilisation d un modèle logistique, car l expression générale de ces modèles donnée par (1) est linéaire pour les variables. La régression logistique se fait ensuite en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance. L ajustement du modèle se fait donc en maximisant la vraisemblance par rapport au paramètre β = (β 0,..., β k ) T. L expression de celle-ci est donnée par L(β) = n i=1 p y i i (1 p i) (1 y i), 4

5 Figure 2: Logits empiriques de la proportion des individus étant d accord avec l affirmation en fonction du nombre d années d éducation, pour les hommes et les femmes. avec p i = p i (β) selon l équation (2). La log-vraisemblance est alors n n l(β) = log(p i ) y i + log(1 p i ) (1 y i ) i=1 i=1 n n = log(p i ) 1 succès + log(1 p i ) 1 échec. i=1 i=1 Lors de nos régressions, il s agira donc de maximiser le log-vraisemblance afin de déterminer nos coefficients. Analyse statistique et inteprétation des résulats Maintenant que les méthodes statistiques ont été expliquées, ajustons des modèles. Premièrement, comme nous avons deux variables à disposition, nous ajustons un modèle contenant ces deux variables, sans interaction quelconque. Modèle prenant en compte le nombre d années d éducation et le sexe Le premier modèle exprime le logit en fonction du nombre d années d éducation et le sexe. Son expression est donc ( ) pi logit(p i ) log = β 0 + β 1 education + β 2 1 Femmes, i = 1,..., n, (3) 1 p i 5

6 avec β 0 l intercept, β 1 le coefficient du nombre d années d éducation et β 2 celui exprimant l influence du sexe. La variable eduaction représente le nombre d années d éducation que l individu a eut. Les valeurs des coefficients trouvés en utilisant la méthode de maximum de vraisemblance sont présentés sur la table 3, avec leurs erreurs standards et leurs p-valeurs. Estimation Erreur std p-valeur β < β < β Table 3: Résultat de la régression logistique avec le modèle (3). Commentons les résutlats obtenus. Tout d abord, observons que β 1 est négatif, et donc a une influence négative. Ceci confirme l hypthèse que plus l individu a eu d années d éducation, moins il y a de chance pour qu il soit d accord avec l affirmation. Ensuite, remarquons que les p-valeurs de l intercept et de β 1 sont très petites, ce qui veut dire que les variables correspondantes sont très significatives. En effet, ces valeurs sont trouvées en testant l hypothèse nulle que le coefficients en question soit égale à zéro. Ainsi, si la p-valeur est petite, on rejette l hypothèse nulle et le paramètre est significatif, et si celle-ci est plus grande que 0.05 alors on ne rejette pas l hypothèse nulle et donc le paramètre n est pas significatif. Ainsi l intercept et le nombre d années d éducation expliquent comme il faut la réponse. En revanche, on constate que la p-valeur pour le sexe est de 0.892>0.05. Cela signifie que ce paramètre n est pas significatif et donc nous amène au fait que le sexe ne semble pas avoir d influence sur la réponse. Les coefficients exprimés dans la table 3 représentent les coefficients des droites de régression pour le graphe de la figure 2. Comme le logit d une probabilité n a pas d interprétation, il nous faut retrouver les probabilités qu un individu soit d accord en utilisant l équation (2). La figure 3 donne ces probabilités pour chaque sexe en fonction de l éducation. Remarquons que la figure 3 nous indique que les probabilités d acquiescement sont les mêmes pour un homme et pour une femme. En effet, les points du graphe se superposent pour chaque années d éducation. Cette observation est de plus en totale cohérence avec les résultats de la table 3. Ainsi l opinion ne semble pas dépendre du sexe avec ce modèle. Ces conclusions nous amène donc à ajuster un modèle ne prenant pas en compte le sexe de l individu. Modèle prenant en compte que le nombre d années d éducation Le premier modèle nous laisse croire que l opinion sur le rôle des femmes ne dépend pas du sexe des individus. Si cela est vrai, la variable sexe est négligeable et nous pouvons ajuster un modèle qui ne dépend que du nombre d années d éducation. Son expression est 6

7 Figure 3: Probabilité trouvé avec le modèle (3) qu un individu soit d accord avec l affirmation en fonction de son éducation et son sexe. logit(p i ) = β 0 + β 1 education, i = 1,..., n. (4) A nouveau, la méthode de maximum de vraisemblance nous permet d estimer ces paramètres. Les résultats de la régression sont sur la table 4. Estimation Erreur std p-valeur β < β < Table 4: Résultat de la régression logistique avec le modèle (4). On observe tout d abord que les estimations des coefficients β 0 et β 1 sont très proches de ceux de β 0 et β 1. Ceci reflette bien le fait que ces coefficients expliquaient la majorité de l information dans le modèle (3). De plus les p-valeurs sont à nouveau très petites ce qui renforce une fois encore le fait que l éducation joue un rôle dans la réponse que va donner un individu quelconque. Les probabilités qu une personne soit d accord avec l affirmation en fonction de son nombre d années d éducation, calculées avec les résutats de la table 4, sont représentées sur la figure 4. 7

8 Figure 4: Probabilité que l individu soit d accord avec l affirmation en fonction de son éducation. Le graphe de la figure 4 est similaire à celui de la figure 3. Effectivement, les deux graphes sont pour ainsi dire les mêmes. Ceci signifie que nous avons trouvés un modèle plus simple, car avec un paramètre en moins, qui néanmoins donne les mêmes probabilités qu un individu soit d accord. Test de rapport de vraisemblance Les deux modèles étudiés jusqu à présent suggère fortement que le sexe n est pas une variable significative. Nous aimerions dès lors tester ceci via un test statistique. Comme les modèles (3) et (4) sont emboités, nous pouvons appliquer un test de rapport de vraisemblance. Un test de rapport de vraisemblance calcule la statistique de rapport de vraisemblance W = 2( l modèle1 l modèle2 ) 0, où l A représente l estimateur du maximum de la log-vraisemblance pour un modèle A. Ensuite, comme le modèle (4) a un paramètre de moins que le modèle (3), alors s il est le vrai modèle on a W χ 2 1. Le test de rapport de vraisemblance va donc tester l hypothèse nulle β 2 = 0 dans le modèle (3) et la p-valeur nous indiquera si on rejette ou pas l hypothèse nulle. Les valeurs du test de rapport de vraisemblance sont données dans la table 5. 8

9 Log Vraisemblance W p-valeur Modèle (3) Modèle (4) Table 5: Résultats du test de rapport de vraisemblance entre les modèles (3) et (4). Comme la p-valeur est bien supérieure à 0.05, on ne rejette pas l hypothèse nulle et donc on préférera le modèle (4) au modèle (3). Ce test n a été qu une confirmation des résultats précédents, à savoir que d ajouter une variable sexe dans le modèle (3) n aide pas à mieux modéliser les données. Modèle prenant en compte le nombre d années d éducation, le sexe et leur interaction Jusqu ici, notre analyse nous a conduit à croire que le sexe ne jouait pas de rôle dans l opinion des individus. Cela dit, il est indiscutable qu un homme ou une femme n ont pas le même point de vue sur la question du rôle des femmes dans la société. En effet, le problème avec les modèles (3) et (4) est que la variable sexe n est capable que d influencer l ordonnée à l origine des droites de régression (faites sur le logit des p i ). La pente de ces droites est pour les deux modèles uniquement déterminée par la variable education. En somme, les précédents modèles manquaient d une variable d intercation entre le sexe et le niveau d éducation, afin que le sexe puisse faire varier la pente de la régression. Un modèle prenant en compte cette interaction est le suivant, logit(p i ) = β 0 + β 1 education + β 2 1 Femmes + β 3 education 1 Femmes, i = 1,..., n. (5) Les résultats des cette régression logistique sont illustrés sur la table 6. Estimation Erreur std p-valeur β < β < β β Table 6: Résultat de la régression logistique pour le modèle (5). La première remarque au vu de la table 6 est que toutes les variables sont significatives désormais. Ainsi ce modèle nous montre que le sexe peut en effet jouer un rôle dans la probabilité qu un individu soit d accord, ce qui semble effectivement plus logique. Ces probabilités sont représentées sur la figure 5 pour chaque sexe en fonction du niveau d éducation, où les probabilités empiriques ont aussi été notées. On remarque alors que contrairement au modèle (3), les probabilités sont différentes pour les hommes et pour les femmes. 9

10 Figure 5: Probabilité pour chaque sexe que l individu soit d accord avec l affirmation en fonction de son éducation. Dès lors, il vient de se demander si le sexe doit apparaître dans notre modèle ou pas. Comme nos modèles sont emboités, nous pouvons à nouveau effectuer un test de rapport de vraisemblance afin de répondre à cette question. Le test va comparer les modèles (5) et (4), car on sait déjà que le modèle (4) est plus adéquat que le modèle (3), où l influence du sexe n était pas bien modélisée car il n y avait pas de terme d interaction. Le test de rapport de vraisemblance va donc nous permettre de tester l hypothèse que prendre en compte le sexe améliore significativement notre modèle ou pas. Les résultats du test sont donnés dans la table 7. Log Vraisemblance W p-valeur Modèle (4) Modèle (5) Table 7: Résultats du test de rapport de vraisemblance entre les modèles (3) et (5). La p-valeur trouvée est inférieure à 0.05, ainsi nous rejettons l hypothèse nulle, qui est ici que les coefficients β 2 = β 3 = 0. Ce résultat affirme que le modèle est significativement mieux lorsqu on ajoute la variable sexe et la variable d interaction. On préfèrera donc le modèle (5) aux autres modèles. 10

11 Ainsi, les modèles des logit(p i ) pour les hommes et les femmes sont Hommes : logit(p i ) = education, Femmes : logit(p i ) = education. En résumé, ce modèle s interprète de la manière suivante : la probabilité qu un homme avec peu d années d éducation soit d accord avec l affirmation est plus petite que la probabilité correspondante pour une femme, mais pour les femmes cette probabilité décroit plus rapidement lorsque le nombre d années d éducation augmente. Améliorer le modèle Le modèle (5) semble expliqué correctement nos données sur le rôle des femmes dans la société. Cependant, il pourrait certainement être amélioré et c est ce dont nous allons discuter à présent. Tout d abord, recueillir plus de données le perfectionnerait probablement. En effet, bien que certains niveaux d éducation sont bien représentés, on constate dans la table 1 que certains le sont très peu. Par exemple, que 4 individus ayant 2 ans d éducation ont participé au sondage. Ainsi ces 4 individus ont une grande influence dans la régression, bien plus grande que 4 individus ayant 12 ans d éducation par exemple, où près de 950 individus ont donnés leurs avis. Ainsi augmenter le nombre de données où il y a peu d observations rendrait l échantillon plus représentatif de la société et donc améliorerait le modèle. Ensuite, nous pouvons argumenter que la réponse d un individu dépend encore d autres variables que son niveau d éducation et son sexe. Nous pourrions donc rajouter des variables succeptibles d expliquer l opinion des individus, comme par exemple l âge ou la religion des individus interrogés. L ajout de variables va certainement améliorer le modèle, il faudra alors faire des tests statistiques pour comparer les modèles et déterminer quelles variables ont leur place dans le modèle. Conclusion Après avoir introduit la régression logistique, nous avons ajusté différents modèles à nos données afin de déterminer le modèle le plus adéquat. Premièrement, nous avons ajusté un modèle supposant que le logit des p i dépendait linéairement du nombre d années d éducation et du sexe de l individu. Cette régression nous a montré que le niveau d éducation influencait négativement les log(p i ). De plus, la variable sexe n était pas significative, ce qui nous a conduit a ajusté un modèle ne dépendant que du nombre d années d éducation. La seconde régression sur ce deuxième modèle étant faite, nous avons observé que les coefficients étaient proches de ceux du premier modèle. Ayant deux modèles emboités expliquant les données, nous avons effectuer un test de rapport de vraisemblance afin de les comparer. Nous avons alors trouvé que le deuxième modèle était favorable au premier. 11

12 Par la suite, comme intuitivement le sexe joue un rôle dans l opinion de l individu, nous avons revisité le premier modèle en rajoutant un terme d interaction entre l éducation et le sexe. En effet, de cette façon le sexe n influençait plus seulement l ordonnée à l origine des droites de régression (comme dans le premier modèle), mais ces-dernières pouvaient dès lors avoir des pentes différentes pour chaque sexe. En ajustant ce modèle, nous avons obtenus que toutes les variables étaient significatives. Nous avons donc terminer notre analyse par refaire un test de rapport de vraisemblance entre le second et le dernier modèle. Ce test nous amené à garder notre dernier modèle qui, bien qu il ait deux paramètres de plus, semble être celui qui explique le mieux les données. Son interprétation est que lorsque le niveau d éducation est bas, alors la proportion de femmes d accord avec la phrase «Les femmes devraient s occuper d entretenir les maisons et laisser les hommes entretenir le pays» est plus grande que celle des hommes, mais que cette proportion diminue plus rapidement chez les femmes que chez les hommes lorsque le niveau d éducation augmente. Enfin, bien que le modèle trouvé semble expliqué correctement les données, il pourrait certainement être amélioré. Nous avons donc terminé par donner deux démarches afin de perfectionner le modèle, qui sont de recueillir plus de données ou d ajouter de nouvelles variables explicatives. Références [1] D. Collett, Modelling Binary Data, Chapman and Hall/CRC, London, 2nd Edition,