Vers PROBLÈMES et ÉQUATIONS

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1 Vers PROBLÈMES et ÉQUATIONS Retrouve parmi les équations suivantes celle qui correspond à chacun des problèmes proposés cidessous, écris cette équation à côté de son énoncé et résous-la. Donne enfin la réponse. 4x+ 3x= 7 4x= 3x+7 3x+ 7x= 4 4x 3x= 7 4x 7= 3x Problème Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs à sable; l un est carré et l autre a la forme d un triangle équilatéral. Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure. La somme du périmètre du bac carré et de celui du bac triangulaire est égale à 7 mètres. Trouver la mesure du côté du bac carré. Soit x la mesure du bac carré.. Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète sept. A eux deux, ils ont dépensé quatre francs. Quel est le prix d un chewing-gum? Soit x le prix d un chewing-gum. Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs, l un est carré et l autre a la forme d un triangle équilatéral. Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure. Le périmètre du bac carré fait 7 mètres de plus que celui du bac triangulaire. Trouver la mesure du côté du bac carré. Soit x la mesure du bac carré. Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète quatre. A eux deux, ils ont dépensé sept francs Quel est le prix d un chewing-gum? Soit x le prix d un chewing-gum.. Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs à sable; l un est carré et l autre a la forme d un triangle équilatéral. Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure. Le périmètre du bac triangulaire fait sept mètres de moins que celui du bac carré. Trouver la mesure du côté du bac carré. Soit x la mesure du bac carré. Équation associée et résolution

2 PROBLÈME ET ÉQUATION - Mise en équation d un problème Le demi périmètre d une cour rectangulaire C 1 mesure 130 mètres. On transforme cette cour C 1 en allongeant sa longueur de mètres et en raccourcissant sa largeur de 3 mètres. On obtient ainsi une cour rectangulaire C dont l aire dépasse de 91 m² celle de C 1. On demande les dimensions de la cour C 1. a)choix des inconnues: *On appelle x la longueur de la cour C 1.(Les dimensions étant exprimées en m). Sa largeur est donc : x Son aire est :longueur largeur = x(130 - x) *La longueur de la cour C est : x + Sa largeur est : (130 - x) - 3 = 17 - x Son aire est : (x + )(17 - x) b)mise en équation: «L aire de la cour C dépasse de 91 m² celle de C 1» Cette phrase est traduite par l équation : x+ 137 x 130 x + 91 ( )( ) ( ) Il reste alors à résoudre cette équation et à donner, si elles existent, les dimensions de la cour C 1. Cette étude est interrompue pour permettre de revoir et approfondir les méthodes de résolution des équations. - Résolutions d équations Résoudre une équation, c est trouver toutes les valeurs de l inconnue x qui vérifient l égalité; ces valeurs s appellent les solutions de l équation. Rappels : a+ x= b x= b a * L équation : a une solution unique : Exemple : a x= b * L équation : a une solution unique (si a 0) : b a

3 Exemple : Exemple : Exemple : ( x ) 1 3x = 1 1 3x = x 1 3x + x = 3x + x = 1 1 x= 1 1. on développe. on ajoute x aux deux membres 3. on ajoute (-1) aux deux membres 4. on réduit. -1 est la solution (on peut la vérifier) Exemple : ( ) ( ) 4x + 3 x 1 = 1 x + 1 6x 4x + 3x 3 = x + 1 6x 4x + 3x + x + 6x = x = on développe. on «transpose» 3. on réduit 4. on divise par 18. on simplifie la solution ( x ) 3 x 1 = x 3 ( 1 x ) 4 = x 0( 1 x ) = x 0 0x = x = 0 0x 1x + 0x = 0 18 x = x = on réduit tout au même dénominateur qui est 1 on simplifie les deux membres par 1 on transpose

4 - Retour au problème mis en équation c) Résolution de l équation: d) Conclusion: ( x )( x) x( x) + 17 = x x² + 63 x= 130 x x² x x 130 x x² + x² = x = On développe On transpose La cour C 1 mesure donc 68 mètres de long et : = 6 mètres de large. e) Vérification: L aire de la cour C 1 est : 68 6 = 416 m² Les dimensions de la cour C sont : 68 + = 73 m et 6-3 = 9 m L aire de la cour C est : 73 9 = 4307 m² La différence entre les deux aires est : = 91 m² - Autre problème à mettre en équation Dans une basse-cour, il y a des poules et des lapins. On dénombre 30 têtes et 86 pattes. Quel est le nombre de lapins? a) Choix des inconnues x est le nombre de lapins 30 x est donc le nombre de poules Un lapin a quatre pattes, donc : 4 x est le nombre de pattes de lapins Une poule a deux pattes, donc : 30 ( x) est le nombre de pattes de poules. b) Mise en équation On transforme le dernier renseignement de l énoncé en équation : «le nombre total de pattes est 86» ( x) 4x+ 30 = 86 c) Résolution de l équation

5 ( x) 4x+ 30 = 86 4x+ 60 x= 86 4x x= x = d) Conclusion Il y a 13 lapins et, par conséquent :30 13 = 17 poul es e) Vérification (non obligatoire mais fortement conseillée) = + 34 = 86

6 ÉQUATIONS - Vérifie une équation Les solutions des équations ci-dessous sont : ; 1 ; ; ; ; 3 ; 3 7 Elles ont été mélangées. Il s agit donc de redonner à chaque équation sa solution. x x 3x 1= 8 a pour solution = + 3 a pour solution x 3x 1 = 8x+ 4 a pour solution ( x 3) = = a pour solution x ( ) x 1 4x 3x 1 ( x) = 7 a pour solution = a pour solution x 13 x 8 = 11 x 3 a pour solution ( ) ( ) ( ) Résous les équations suivantes x 1= 30 3x + 8= 3x = 4x x + = x + = x 4 = = + x x 3 ( x ) = x+ 7x = 4 x ( x ) ( x+ ) = x ( x ) ( x) = x x 7 + x = 3 x 16 =

7 On donne les équations suivantes : On donne les problèmes suivants : ÉQUATIONS ET PROBLÈMES (suite) + x= ( + x) ( x ) = x ( x ) x ( x+ ) = x = Des amis décident de se cotiser pour acheter un ballon. S ils donnent 10 F chacun, ils peuvent faire l acquisition d un ballon de cuir et il leur restera 3 F. Ils décident finalement de donner 1 F chacun pour acheter deux ballons. Combien sont-ils? - Marc a 10 ans et son père a 3 ans. Ils fêtent leur anniversaire le même jour. Dans combien d année le père soufflera-t-il, exactement, deux fois plus de bougies que son fils? - Je choisis un nombre. Je lui ajoute 1. Je double le résultat obtenu puis j enlève 3; je retrouve alors le nombre choisi. Quel est ce nombre? Recherche parmi les équations données celles qui permettent de résoudre ces problèmes Donne les réponses :

8 Devoir 1 - Je pense à un nombre, que j appelle x. J ajoute et je multiplie le résultat par. J ajoute ensuite 30 et je divise le résultat obtenu par 3. Je retranche enfin le double du nombre x. Je trouve 8. Quel est ce nombre x? - Une bonbonne à 48 et cinq bouteilles me coûtent autant qu un flacon à et quinze bouteilles. Quel est le prix d une bouteille? Appelle x le prix (en euros) d une bouteille - Un robinet A a un débit de 300 L/h et un robinet B a un débit de 400 L/h. Sachant que le robinet A met 3 h 48 min de plus que B pour remplir un bassin, trouve la contenance de ce bassin. Appelle x la contenance (en litres) du bassin. Rappel : quantité( L) débit( L / h) = durée( h)

9 Devoir - 18 personnes mangent ensemble au restaurant. Le menu est à 14 tout compris. Quatre personnes ont oublié leur chéquier. Combien chaque autre personne doit payer en plus? - 18 personnes mangent ensemble au restaurant. Quatre personnes ont oublié leur chéquier. Chacune des autres doit payer 6 de plus. Quel était le prix du menu? - Le menu est à 1. Quatre personnes ont oublié leur chéquier. Chacune des autres doit payer 4 en plus. Combien y avait-il de personnes? - 18 personnes mangent ensemble au restaurant. Le menu est à 19. Certaines ont oublié leur chéquier. Chacune des autres doit payer 3,80 en plus. Combien de personnes n'avaient pas de chéquier?

10 Vers PROBLÈMES et ÉQUATIONS Retrouve parmi les équations suivantes celle qui correspond à chacun des problèmes proposés cidessous, écris cette équation à côté de son énoncé et résous-la. Donne enfin la réponse. 4x+ 3x= 7 4x= 3x+7 3x+ 7x= 4 4x 3x= 7 4x 7= 3x Problème Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs à sable; l un est carré et l autre a la forme d un triangle équilatéral. Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure. La somme du périmètre du bac carré et de celui du bac triangulaire est égale à 7 mètres. Trouver la mesure du côté du bac carré. Soit x la mesure du bac carré.. Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète sept. A eux deux, ils ont dépensé quatre francs. Quel est le prix d un chewing-gum? Soit x le prix d un chewing-gum. Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs, l un est carré et l autre a la forme d un triangle équilatéral. Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure. Le périmètre du bac carré fait 7 mètres de plus que celui du bac triangulaire. Trouver la mesure du côté du bac carré. Équation associée et résolution. Le périmètre du carré est : 4x Le périmètre du triangle est 3x Leur somme est 7 m donc : 4x Soit : 7 7 ou : = 1 7 Le bac mesure 1 m de côté Les prix des chewing-gums sont : 3x et 7x Le prix total est : 4 (F) D où l équation :3x Un chewing-gum coûte 0,40 F = 0,4 10 Le périmètre du carré (4x) fait 7 m de plus que celui du triangle (3x) ; d où l équation : 4x Le bac carré mesure 7 m de côté Soit x la mesure du bac carré. Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète quatre. A eux deux, ils ont dépensé sept francs Quel est le prix d un chewing-gum? Soit x le prix d un chewing-gum.. Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs à sable; l un est carré et l autre a la forme d un triangle équilatéral. Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure. Le périmètre du bac triangulaire fait sept mètres de moins que celui du bac carré. Trouver la mesure du côté du bac carré. Soit x la mesure du bac carré. Les prix des chewing-gums sont 3x et 4x. Le prix total est 7 F d où l équation : 3x Un chewing-gum coûte 1 F Le périmètre du triangle (3x) augmenté de 7 m est égal au périmètre du carré (4x). D où l équation : 4 3x + 7 4x Le bac carré mesure 7 m de côté (même exercice que le troisième)

11 ÉQUATIONS - Vérifie une équation Les solutions des équations ci-dessous sont : ; 1 ; ; ; ; 3 ; 3 7 Elles ont été mélangées. Il s agit donc de redonner à chaque équation sa solution. x x 3x 1= 8 a pour solution 3 = + 3 a pour solution ( x 3) = a pour solution x ( 3x 1) = 8x+ 4 a pour solution 3 x 1 4x 1 3x 1 ( x) = 7 a pour solution = a pour solution x 13 x 8 = 11 x 3 a pour solution ( ) ( ) ( ) -Résous les équations suivantes x 1 = x + = = x 7 = x + 3 3x = ( ) ( ) x 1 x+ = 4 x x x = 4 x x x x + 8 = = x+ = = x = 4x 9 3x x 4= = x = 4 x 4 3x ( + ) = x+ 1 7x = 8 x 6x + 10 = x x 10 7x = = ( ) ( ) 3x 1 43 x 6x x 6x + 4x x 7 + x = 3 10 x 1+ 3x 1 = on simplifie par x attention à la soustraction!! x = x 16 0 = x 16 = ou il y a deux solutions! x = 4

12 On donne les équations suivantes : On donne les problèmes suivants : ÉQUATIONS ET PROBLÈMES (suite) + x= ( + x) ( x ) = x ( x ) x ( x+ ) = x = Des amis décident de se cotiser pour acheter un ballon. S ils donnent 10 F chacun, ils peuvent faire l acquisition d un ballon de cuir et il leur restera 3 F. Ils décident finalement de donner 1 F chacun pour acheter deux ballons. Combien sont-ils? - Marc a 10 ans et son père a 3 ans. Ils fêtent leur anniversaire le même jour. Dans combien d années le père soufflera-t-il, exactement, deux fois plus de bougies que son fils? - Je choisis un nombre. Je lui ajoute 1. Je double le résultat obtenu puis j enlève 3; je retrouve alors le nombre choisi. Quel est ce nombre? Recherche parmi les équations données celles qui permettent de résoudre ces problèmes. - Soit x le nombre d amis. Un ballon de cuir coûte : 10x 3 10x 3 ou 1x Deux ballons coûtent : ( ) ( ) = 10x 3 1x 0x 70 = 1x D où l équation : Dans x années l âge du père sera : 3 + x et celui du fils : 10 + x 3 + (10 + x) x Le père aura deux fois l âge du fils d où l équation : x Soit x le nombre choisi ; on ajoute 1 ; on obtient : x+ 1. On double le résultat obtenu, soit : (x + 1) ; on retranche 3 : (x + 1) 3 et on retrouve le (x + 1) 3 = x nombre x d où l équation : x = x Donne les réponses : - Ils sont quatorze pour acheter ballons en donnant 10 F chacun. - C est dans quinze ans que le père aura deux fois l âge du fils - Le nombre choisi est Remarque : chaque solution peut être vérifiée