Séminaire de l observation urbaine

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1 Séminaire de l observation urbaine Représentations par lissage : méthodes, conditions d utilisation et limites Présentation préparée par le CERTU et l INSEE Version présentée au séminaire et complétée 03/11/03

2 Représentations par lissage : méthodes, conditions d utilisation et limites Sommaire Qu appelle-t-on lissage? Partie 1 : les méthodes a. La moyenne mobile b. L estimation de densité c. La régression locale Partie 2 : les exemples a. À partir des îlots Estimation de la densité de population 1999 Estimation de l évolution de la densité entre 1990 et 1999 b. Avec le RIL Estimation de la densité de population c. Un exemple de régression locale Partie 3 : les outils Conclusion

3 Qu est-ce que «lisser»? 2 approches : Éliminer le bruit issu d une multitude d évènements aléatoires Estimer la répartition spatiale d un phénomène mesuré seulement en certains points Quelques outils : La moyenne mobile L estimation de densité par la méthode du noyau La régression locale

4 Représentations par lissage : méthodes, conditions d utilisation et limites 1.a. Élimination du bruit la moyenne mobile Classiquement on calcule la moyenne mobile pondérée des valeurs Val i en chaque point Pi f ( P) n i= 1 = n w( P, P ) Val i= 1 i w( P, P ) i i f(p) : fonction estimée au point Pi W(P,Pi) est un poids imposé donné à Pi =>dans un voisinage de Pi Ce qui donne en 1 dimension (élimination des «marches d escalier») 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,

5 1.b. Modélisation d un phénomène - estimation de densité En 1D Fréquence En 2D ou plus... Classes Histogrammes reliés entre eux Fonction de distribution On estime la densité d un dénombrement (population, nombre de logements ) porté par un point en calculant la fonction de distribution f

6 Représentations par lissage : méthodes, conditions d utilisation et limites 1.b. Modélisation d un phénomène - estimation de densité Estimer la densité par la méthode du noyau (KDE) c est faire une Moyenne Mobile pondérée par une fonction de distance appelée noyau dist( P, Pi ) K( ) w( P, P = λ i ) n λ K(x) est la fonction noyau λ est la taille (largeur) de la fenêtre de lissage K(x) λ λ étroit λ large

7 1.b. Modélisation d un phénomène fonction noyau gaussienne La fonction la plus souvent utilisée est la fonction gaussienne K( x) = e x 2 2Π = x = dist ( i P, P ) λ D autres fonctions noyaux possibles : le choix influe peu sur le résultat C est le choix de λ qui est important

8 1.b. Modélisation d un phénomène autres fonction noyau Les fonctions s appliquent dans un cercle appelé«rayon de lissage» K( x) = n i= 1 cte La fonction uniforme pondère chaque point dans le cercle de manière égale. C'est une moyenne mobile non pondérée par la distance K( x) = 2 [ 1 x ] 3 Πr cte K ( x) = ( cte ) x r 2 2 La fonction quartique biweight donne un poids plus grand aux points proches qu'aux points éloignés, mais la décroissance est graduelle La fonction triangulaire donne un poids plus grand aux points proches qu'aux points éloignés, mais la décroissance est plus rapide que pour la quartique

9 1.b. Modélisation d un phénomène - Méthodes de calcul d un λ fixe Silverman : pour un λ uniforme dans toutes les directions (cercle) 1/ 5 { eqtyp( D), Q( D) /1.34} λ = 1.06 min N Eqtyp(D) est l écart-type ded Q(D) est l intervalle inter-quartile N est la taille de l échantillon Bowman et Foster (SAS) : pour un λ sur x et y (ellipse) λ x λ y = eqtyp( x) N = eqtyp( y) N 1/6 1/ 6 1 x y w( x, y) = K(, ) λ λ λ λ x y x y

10 1.b. Modélisation d un phénomène - Méthode de calcul d un λ variable On peut faire varier λ : Selon Abramson λ i est un facteur multiplicatif de λ : Faire une première estimation de densité on obtient f l estimation de la distribution λ = λ( x ) = i i f G» G est la moyenne géométrique de tous les f(x) (racine nième du produit de tous les nombres) ( x i )

11 1.b. Modélisation d un phénomène influence du choix de λ λ = 100 m λ = 250 m λ = 500 m Source : RIL de La Rochelle

12 1.b. Modélisation d un phénomène influence du choix de λ Fixe ou variable, étroit ou large Etroit = bosses et creux Large = plus lisse La taille de la fenêtre de lissage va dépendre de la taille et de la répartition spatiale de l'échantillon Des méthodes de calcul existent (Silverman, Bowman et Foster, Abramson )

13 1.b. Modélisation d un phénomène λ de Silvermann λ = 180 m

14 1.c. Modélisation d un phénomène : Régression locale Extension de la notion de régression linéaire En 1D 2,5 2 En sortie on prédit les valeurs absentes En 2D 1,5 1 0, Série1 Permet de travailler sur un taux, un ratio On estime la répartition spatiale d un phénomène mesuré seulement en certains points (LOESS)

15 1.c. Modélisation d un phénomène : Régression locale 2,5 2, ,5 1 Série1 1,5 1 Série1 0,5 0, Lissage=Élimination du bruit Interpolation (krigeage) = Passage par tous les points La différence entre le point et la courbe donne une idée de la précision de l estimation (résidu) La taille de la fenêtre de lissage correspond à un nombre de points utilisés dans la régression

16 2. Les exemples Appliqués aux îlots INSEE : on considère que la valeur est portée par le centroïde de l îlot => c est une mauvaise approximation si la taille de la fenêtre de lissage (λ) est plus petite que le rayon de l îlot Semis de points = Semis de centroïdes On ne tient donc pas compte de la «forme» de l îlot On fait porter le résultat par l îlot lui même ou par une maille d une grille

17 2.a. L estimation de la densité de population en 1999 à partir de BaseÎlot Lissage par la méthode KDE de la variable population sur la ville d Angers : on obtient une densité Le résultat est porté par l îlot

18 2.a. L évolution moyenne annuelle de la densité de population entre 1990 et 1999 à partir de BaseÎlot Lissage par la méthode KDE de la variable évolution de population sur la ville de Toulouse : on obtient une densité Le résultat est porté par l îlot

19 Phénomènes inverses contigûs. 2.a. Explications Des ilots en bleu disparaissent car ils sont entourés d'ilots ayant connu un fort gain. De même, des ilots rouges disparaissent car ils sont entourés d'ilot ayant connu une forte perte. Enclaves Des ilots apparaissent bleu lors de lissage car le petit ilot au centre a subit une très forte perte (+ de 200 personnes) qui affecte ses voisins. Epiphénomènes des phénomènes isolés disparaissent (gain et perte isolés et se compensant)

20 2.b. L estimation de la densité de population en 1999 sur La Rochelle à partir du RIL On part d un semis de points (les adresses) portant un chiffre de population Le résultat est calculé sur une grille hexagonale

21 2.c. Régression locale sur le taux de croissance de population de la ville de Bordeaux Taux de croissance au centroïde de l îlot Taux de croissance lissé avec un LOESS sur une grille hexagonale Rappel = on part d un semis de points et on estime les valeurs manquantes!

22 3. Les outils utilisés Estimation de densité par la méthode du noyau (KDE) Avec calcul automatique de λ : SAS 8 Avec paramétrage manuel de λ : macro mapbasic, visual basic ou CrimeStat Pas très compliqué Régression locale (LOESS) SAS 8 approche statistique plus complexe

23 Conclusion Le lissage facilite la lecture de phénomènes diffus et permet leur hiérarchisation visuelle Ne pas superposer avec des données géographiques localisées précisément Ne signifie rien pour ce bâtiment précis Le lissage peut aider à pointer les zones à étudier de façon plus approfondie