DM n o 5 TS Physique 12 (RL), 13 (RLC) et 15 (ressort) Exercice 1 Un réveil en douceur

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1 DM n o 5 TS1 01 Physique 1 (RL), 13 (RLC) et 15 (ressort) Exercice 1 Un réveil en douceur On commercialise aujourd hui des réveils «éveil lumière / éveil douceur». Le concept utilisé est le suivant : lorsque l heure du réveil programmé est atteinte, la lampe diffuse une lumière dont l intensité lumineuse augmente progressivement jusqu à une valeur maximale. On évite de cette façon un réveil trop brutal. La durée nécessaire pour atteindre la luminosité maximale est modifiable. Lors d un atelier scientifique, deux élèves décident de construire un circuit électronique permettant de faire varier doucement la luminosité d une lampe, en utilisant les propriétés électriques d une bobine.? Dans une première partie, ces propriétés sont mises en évidence de façon qualitative. Dans une seconde partie, les élèves déterminent l inductance de la bobine utilisée. Le fonctionnement est ensuite étudié expérimentalement à l aide d une acquisition informatique. Certaines données ne sont pas utiles à la résolution de l exercice. 1. Influence d une bobine dans un circuit Les élèves réalisent le circuit représenté ci-dessous. Ce circuit est constitué d une source de tension idéale de force électromotrice (fém) E 1, d une bobine d inductance L et de résistance r, d un conducteur ohmique de re?sistance R 1 de même valeur que r et de deux lampes identiques (L 1 ) et(l ). Données : Valeur de la fém : E 1 = 4 V ; Valeurs données par le constructeur : L = 1 H; r = R 1 = 7 Ω. Dans cette partie seulement, pour simplifier l analyse qualitative, on suppose que chaque lampe a le même comportement électrique qu un conducteur ohmique de résistance R lampe. 1.. Dans la branche du circuit contenant la bobine, on peut observer successivement deux régimes différents pour le courant électrique. Nommer ces deux régimes Que peut-on dire de la luminosité des deux lampes en fin d expérience? Justifier On appelle τ la constante de temps caractérisant l évolution temporelle de l intensité du courant électrique lors de l association en série d un conducteur ohmique de résistance R et d une bobine d inductance L. Dans le cas étudié, R = R 1 R Lampe. La durée nécessaire pour atteindre la luminosité maximale est de l ordre de 5τ Exprimer la constante de temps τ en fonction de l inductance L et de la résistance R Vérifier par analyse dimensionnelle, que l expression obtenue est bien homogène à un temps Justifier par un calcul d ordre de grandeur le fait que ce phénomène est détectable par un observateur. On prendra R 10 Ω. On précise que l œil est capable de distinguer deux images consécutives séparées d au moins 0,1 s.. Vérification de la valeur de l inductance L de la bobine utilisée Dans cette partie, les élèves cherchent à déterminer précisément la valeur de l inductance L de la bobine qui est utilisée. Ils réalisent le montage, représenté sur la figure suivante, permettant d enregistrer la décharge d un condensateur de capacité C = µf à travers la bobine. Le condensateur est initialement chargé sous une tension E = 6,0 V (commutateur en position 1). i K 1 E 1 K (L 1 ) E u C C L,r R 1 L,r (L ) 1.1. Immédiatement après la fermeture de l interrupteur K, les deux lampes ne s allument pas simultanément : une lampe brille quasi-instantanément, l autre brille avec retard. Quelle lampe s allume la première? Pourquoi l autre lampe s allume-t-elle avec retard? Après avoir basculé le commutateur en position, on enregistre l évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps ; la courbe obtenue est représentée en annexe..1. Comment nomme-t-on le régime correspondant à cette évolution de la tension u C (t) aux bornes du condensateur?.. Quelle est la cause, en termes d énergie, de l amortissement des oscillations observé sur l enregistrement?

2 .3. Qualifier l évolution temporelle de l énergie totale emmagasinée dans le circuit en choisissant un ou plusieurs adjectifs parmi : périodique; croissante; décroissante; sinusoïdale..4. On rappelle que la période propre d un circuit LC est égale à : = π LC et que dans le cas où l amortissement est faible, la pseudo-période T des oscillations est proche de la période propre. Déterminer la valeur de la pseudo-période T des oscillations puis l inductance L de la bobine..5. La valeur de l inductance L calculée est-elle compatible avec les données du constructeur? 3. Étude expérimentale de la luminosité d une lampe dans un circuit électrique contenant une bobine La luminosité de la lampe est liée à la puissance électrique qu elle reçoit. On rappelle l expression, en convention récepteur, de la puissance électrique instantanée p(t) reçue par un dipôle soumis à la tension u(t) et traversé par un courant d intensité i(t) : p(t) = u(t) i(t) Pour étudier l évolution temporelle de la puissance électrique reçue par la lampe, les élèves réalisent maintenant le circuit représenté sur la figure ci-contre. Ils procèdent à une acquisition informatique des données à l aide d une interface possédant deux bornes d entrée notées (Y 1 ) et (Y ) et une masse notée (M). Ils utilisent la lampe (L 1 ), la bobine d inductance L, un conducteur ohmique dont la résistance a pour valeur R 0 = 1 Ω et une source de tension continue de fém E. D R 0 E i K u R0 (L 1 ) L,r C B u BD 3.1. De quelle(s) manière(s) l énergie électrique reçue par la lampe est-elle transférée à l environnement? 3.. À quels points du circuit (A, B, C ou D) peut-on brancher (Y 1 ), (Y ) et (M) pour enregistrer les tensions u R0 et u BD sur l interface d acquisition? 3.3. Les élèves souhaitent suivre l évolution temporelle de la puissance électrique reçue par la lampe (L 1 ). À partir des grandeurs mesurées u R0, u BD et de la résistance R 0, exprimer : la tension u(t) = u BC aux bornes de la lampe; l intensité i(t) du courant électrique; la puissance électrique p(t) reçue par la lampe Pourquoi les élèves ont-ils choisi un conducteur ohmique dont la valeur de résistance est très faible? 3.5. La figure précédente représente l évolution temporelle de la puissance électrique p(t) reçue par la lampe (L 1 ). On estime que pour réveiller un individu, la lumière est suffisante lorsque cette puissance atteint 90% de sa valeur maximale. À partir de cette courbe, déterminer la durée nécessaire pour permettre le réveil Cette durée est-elle compatible avec l utilisation d un tel montage pour une «lampe à diffusion douce»? Quels paramètres faudrait-il pouvoir modifier pour contrôler la durée du phénomène? A Exercice Oscillateur solide-ressort Le but de cet exercice est de vérifier l accord entre l expérience et la théorie dans le cas des oscillations libres d un système solide-ressort horizontal. Étude expérimentale Au laboratoire on filme, avec une caméra numérique, les oscillations libres d un solide de masse m = 54,0 g. Ce solide est attaché à deux ressorts identiques à spires non jointives, de constante de raideur 1 = 1,0 N m 1, et il est posé sur un banc à coussin d air horizontal (figure 1). La masse des ressorts est négligeable. Les deux ressorts restent tendus pendant toute l expérience. Une règle graduée horizontale est placée à la verticale au dessus du banc. Lorsque le système solide-ressorts est en équilibre, la soufflerie du banc étant en fonctionnement, le point A repéré sur le solide est à la verticale du zéro de la règle graduée (figure 1). On écarte alors le solide vers la gauche et on l abandonne sans vitesse initiale. Le point A oscille entre les positions B et C; on filme les oscillations (figure ). La fréquence d enregistrement des images est égale à 5 images par seconde. La caméra est placée dans le même plan horizontal que le banc, à une distance d de celuici, grande devant la distance BC. Son axe optique (ou axe de visée) en pointillés sur la figure est perpendiculaire au banc et passe par A lorsque le système est à l équilibre.

3 Un logiciel approprié permet de pointer les différentes positions du point A sur l écran vidéo entre ses deux positions extrêmes B et C. On commence le pointage un peu avant le premier passage du point A à la verticale du point O et on le poursuit un peu après son troisième passage à la verticale du point O. Le fichier de données est transféré vers un tableur qui permet de modéliser et d afficher la courbe x = f(t), x étant l abscisse du point A par rapport à l origine O. On obtient le graphe n o 1 de l ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. L origine des dates t = 0 s correspond au passage du point A à la première position enregistrée. 1. Étude théorique du mouvement du solide Dans cette étude tous les frottements sont négligés. On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide-ressort constitué d un solide de masse m, fixé à l extrémité d un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur. La position du centre d inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x Ox. L origine des abscisses correspond à l abscisse de G lorsque le solide est à l équilibre. Le solide est mis en oscillation. La période propre des oscillations est Forces exercées sur le solide en mouvement On note F la force exercée par le ressort sur le solide. Pour une position quelconque du solide, nommer les trois forces qui s exercent sur ce solide. Les représenter au centre d inertie G, sans souci d échelle, sur le schéma n o 1 de l ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE En rappelant l expression du vecteur force F en fonction de l allongement x, vérifier mathématiquement que cette force a bien le sens attendu lorsque le centre d inertie G se trouve à droite de la position d équilibre sur le schéma n o 1 de l ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. 1.. Équation différentielle du mouvement du solide En appliquant la deuxième loi de Newton au solide, établir l équation différentielle du mouvement de son centre d inertie G Sachant que la solution générale de l équation différentielle est de la forme : [( ] π x(t) = X m cos )tϕ 0 montrer que l expression de la période propre de l oscillateur est : m = π Vérifier l homogénéité de l expression de la période propre par une analyse dimensionnelle.. Retour à l expérience On rappelle qu il est équivalent dans cette étude de considérer le mouvement d un point A quelconque repéré sur le solide en translation ou celui du centre d inertie G du solide..1. Représenter les grandeurs expérimentales,exp et X m,exp par des segments en trait épais sur chacun des deux axes de la courbe x = f(t) (graphe n o 1 de l ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE)... Déterminer les valeurs expérimentales de l amplitude X m,exp et de la période propre,exp des oscillations du mouvement du solide à partir du résultat de la modélisation de la courbe donnée dans l AN- NEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Justifier..3. Les deux ressorts de constante de raideur 1 sont équivalents à un seul ressort de raideur = 1. L expression de la période propre trouvée dans l étude théorique reste valable dans le cas de deux ressorts initialement tendus. Calculer à partir des résultats de l étude théorique la période propre des oscillations..4. Comparer les deux valeurs de la période propre en calculant l écart relatif :,exp 3. Influence des frottements Le système solide-ressort est toujours supposé osciller, mais désormais on tient compte des frottements De quel régime s agit-il dans le cas où l on observe toujours des oscillations bien que l on ne puisse plus négliger les frottements? Comment nomme-t-on le temps caractéristique T correspondant? 3.. De quel régime s agit-il dans le cas où l on n observe plus aucune oscillation? Les frottements sontils plus élevés dans ce cas, que dans le cas précédent?

4 Nom :...Prénom : Annexe Exercice 1 Un réveil en douceur u C (V) t (ms) 4 6 p (W) t (s)

5 Nom :...Prénom : Annexe Exercice Ressort x (m) Graphe n o 1 t (s) Modélisation de cette courbe : x = a cos(b tc) avec a = 4,5 10 m, b = 1,18 rad s 1 et c = 4,71 rad. Schéma n o 1

6 Corrigé du DM n o 5 TS1 01 Physique 1 (RL), 13 (RLC) et 15 (ressort) Exercice 1 Un réveil en douceur Partie I Influence d une bobine 1. La lampe à s allumer la première est (L 1 ). La lampe (L ) s allume avec un retard car la bobine d inductance L s oppose aux variations brusques de l intensité la traversant, ici le passage d une intensité nulle (lampe éteinte) à une intensité maximale (lampe allumée).. Le premier régime est le régime transitoire, au cours duquel l intensité augmente progressivement de zéro jusqu à une valeur maximale, constante (lampe initialement éteinte, qui s allume progressivement); Le second régime est le régime permanent, quand l intensité maximale est atteinte, et qu elle ne varie plus (lampe allumée). 3. Lors du régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r ; puisque R 1 = r, et que les deux lampes (L 1 ) et (L 1 ) sont identiques, les deux branches du circuit sont identiques en régime permanent et par conséquent les deux lampes brillent avec la même intensité lumineuse, la même luminosité. 4. a. Constante de temps τ d un dipôle RL : τ = L R b. Analyse dimensionnelle : u R = Ri u L = L di dt [R] = V A [L] = V s A [ ] L = V s A R V A = s c. Effectuons le calcul de la constante de temps τ du dipôle RL : τ = 1 = 0,1 s 5τ = 0,5 s 10 La constante de temps vaut un dixième de seconde et il faut une demi-seconde pour que la luminosité de la lampe soit maximale : il s agit bien d un phénomène que l on peut visualiser à l œil nu. Partie II Valeur de l inductance 1. Le régime observé est un régime d oscillations amorties, pseudo-périodiques.. L amortissement des oscillations est dû à la dissipation de l énergie par effet Joule, principalement dans la résistance interne de la bobine. 3. L énergie totale emmagasinée dans le circuit va être décroissante. 4. Par lecture graphique de six pseudo-périodes sur la courbe u C = f(t) de la figure 3, on trouve : 6T = = 180 ms T = 30,0 ms Formule littérale pour l inductance L de la bobine : T = π LC L = T 4π C Application numérique : ( 30, ) L = 4 π = 1,0 H Oui, la valeur calculée est compatible avec les données du constructeur. Partie III Étude de la luminosité 1. L énergie électrique reçue par la lampe est transférée à l environnement principalement sous forme de rayonnement, dans l infrarouge et dans le visible. Une petite partie de l énergie est transférée par conduction thermique.. Il suffit de brancher la masse (M) au point D, la voie (Y 1 ) au point C de façon à observer u R0 sur cette voie n o 1, et la voie (Y ) au point B de façon à observer u BD sur cette voie n o. 3. a. Loi d additivité des tensions : u BD = u R0 u BC u(t) = u BC = u BD u R0 b. Loi d Ohm aux bornes de la résistance R 0 : u R0 = R 0 i i(t) = u R 0 R 0 c. Puissance électrique reçue par la lampe : p(t) = u BC i = u(t) i(t) = (u BD u R0 ) u R 0 R 0 4. Le choix d une valeur très faible pour R 0 permet de minimiser l influence de cette résistance supplémentaire sur le comportement du dipôle bobine-résistance étudié. 5. Lecture graphique de la valeur de la durée pour 90% du maximum p max 11, W : p (W) t 1,3 s t (s)

7 6. Le montage précédent à une constante de temps τ trop faible; il faudrait pouvoir augmenter l inductance L ou diminuer la résistance R. Exercice Oscillateur solide-ressort Bilan des trois forces qui s excerçent sur le solide : Force de rappel du ressort F = x i ; Poids du solide P = m g ; Réaction du support R. Sur le schéma, on peut représenter la réaction du support légèrement décalée pour mieux voir son point d application : R F F = x i ; Lorsque le centre d inertie G se trouve à droite de la position d équilibre, comme sur le schéma n o 1, le ressort est en extension et exerce une force qui tend à revenir à l état d équilibre x = 0. Cette force est donc dirigée de droite à gauche. Dans cette situation, x > 0, et comme la constante de raideur est positive, x < 0 et donc les vecteurs F et i sont de sens opposés Le système considéré est la masse, de centre d inertie G. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Deuxième loi de Newton : P Fext = m a G En utilisant le bilan des forces : F P R = m a G Projection sur l axe (Ox), en utilisant la notation pointée pour la dérivée seconde a G,x : x00 = mẍ ẍ m x = 0 On factorise par x : [ ( ) ] π m x(t) = 0 Ce produit est nul si l un des deux facteurs est nul. x(t) = 0 est d un intérêt limité, il s agit de la position d équilibre; il faut donc : ( ) π ( ) π m = 0 = m π = m m = π Unités nécessaires : Temps : [ ] = T ou s Masse : [m] = M ou g Accélération : [a] = M T ou m s Longueur : [x] = L ou m Angle : [π] = 1 ou rad Expression de la force de rappel du ressort : F = x = F x donc [] = [F] [x] Expression de la deuxième loi de Newton : F = ma donc [F] = [m] [a] Unité de la constante de raideur : 1... Dérivons deux fois la solution proposée : ( π π ẋ(t) = X m sin tϕ 0 ) cos ẍ(t) = X m ( π ) ( π tϕ 0 On reconnaît l expression de x(t) à droite : ( ) π ẍ(t) = x(t) On remplace dans l équation différentielle : ( ) π x m x = 0 ).1. [] = [m] [a] [x] Unité de l expression de la période propre : [ m π [ π ] = 1 ] ( m = ( )1 [m] [x] [m] [a] L M T = ( [x] [a] )1 )1 = T c.q.f.d. La période propre est homogène à une durée.

8 x (m) Application numérique : X m,exp t (s) X m,exp = 4,5 10 m,exp = π 1,18 = 0,967 s ϕ 0 = 4,71 rad.3. Période propre des oscillations : m = π = π 54, ,0 = 0,98 s,exp.4. Écart relatif :.. Comparons la forme de la modélisation proposée avec la solution de l équation différentielle : Par identification : x(t) = a cos(b tc) ( ) π x(t) = X m cos tϕ 0 X m,exp = a π = b,exp ϕ 0 = c X m,exp = a,exp = π b ϕ 0 = c,exp = 0,967 0,98 0,98 = 0,436% On constate un très bon accord entre les deux Il s agit du régime d oscillations amorties pseudopériodiques, et T est appelé pseudo-période. 3.. Il s agit du régime apériodique, avec un retour à l équilibre sans oscillation. Ce cas correspond à des frottements plus élevés que le cas pseudopériodique.

9 Grille DM5 01 Grille DM5 01 Exercice 1 Réveil en douceur.../0 (L 1 ) d abord, justifié Deux régimes Luminosités égales, justifié R 1 = r et L 1 =L τ = L/R Analyse dimensionnelle τ Calcul τ = 0,1 s visible à l œil nu Oscillations pseudo-périodiques amorties Effet Joule Énergie totale décroissante T = 30 ms sur plusieurs périodes L = T /4π C = 1,0 H Valeur compatible Rayonnement conduction Masse sur D, voie 1 sur C, voie sur B u(t) = u BD u R0 i(t) = u R0 /R 0 p(t) = (u BD u R0 )u R0 /R 0 Mesurer sans perturber le circuit Lecture graphique à 90% de p max : t 1,3 s τ trop faible, augmenter L ou diminuer R Exercice Oscillateur.../16 Poids, force de rappel, réaction du support Schéma n o 1 avec 3 forces Bonus points d application corrects F = x i Sens OK Démo équa diff osc harm Solution dans l équa diff, Solution dans l équa diff, Analyse dimensionnelle Graphe n o 1 montrant X m,exp et,exp X m,exp = a = 4,5 10 m,exp = π/b = 0,967 s = 0,98 s Écart 0,463%, donc bon accord Régime pseudo-périodique Temps caractéristique T = pseudo-période Régime apériodique, frottements plus élevés Total.../36 Note.../0 Exercice 1 Réveil en douceur.../0 (L 1 ) d abord, justifié Deux régimes Luminosités égales, justifié R 1 = r et L 1 =L τ = L/R Analyse dimensionnelle τ Calcul τ = 0,1 s visible à l œil nu Oscillations pseudo-périodiques amorties Effet Joule Énergie totale décroissante T = 30 ms sur plusieurs périodes L = T /4π C = 1,0 H Valeur compatible Rayonnement conduction Masse sur D, voie 1 sur C, voie sur B u(t) = u BD u R0 i(t) = u R0 /R 0 p(t) = (u BD u R0 )u R0 /R 0 Mesurer sans perturber le circuit Lecture graphique à 90% de p max : t 1,3 s τ trop faible, augmenter L ou diminuer R Exercice Oscillateur.../16 Poids, force de rappel, réaction du support Schéma n o 1 avec 3 forces Bonus points d application corrects F = x i Sens OK Démo équa diff osc harm Solution dans l équa diff, Solution dans l équa diff, Analyse dimensionnelle Graphe n o 1 montrant X m,exp et,exp X m,exp = a = 4,5 10 m,exp = π/b = 0,967 s = 0,98 s Écart 0,463%, donc bon accord Régime pseudo-périodique Temps caractéristique T = pseudo-période Régime apériodique, frottements plus élevés Total.../36 Note.../0