ECON 213 CH Données Unidimensionnelles: Mesures Quantitatives

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1 ECON 213 CH Données Unidimensionnelles: Mesures Quantitatives R.Dayangaç Université Galatasaray Economie October 26, 2016

2 Introduction Le mode de l échantillon La moyenne de l échantillon Différents types de moyenne La médiane Remarques générales Indicateurs de dispersion La variance et l écart-type Le coefficient de variation L étendue, l écart inter-quartiles et la boite à moustache Indicateurs de forme Les moments Les coefficients d aplatissement Les coefficients d asymétrie Références pour la Chapitres I et II

3 Introduction Introduction I Les graphiques et les tableaux de fréquences permettent d avoir une première aperçue sur la distribution de la série. Pourtant, on a besoins des indicateurs plus précise pour, > résumer les caractéristiques de la variable statistique > faire des comparaisons entre plusieurs série statistiques. Une telle indicateur quantitative est dite une statistique et sa valeur est calculée à partir par des donnés de l échantillon. Trois types d indicateurs: i) les indicateurs de la tendance centrale ii) les indicateurs de la dispersion iii) les indicateurs de la forme

4 Introduction Introduction II Il faut noter que dans le cadre de la statistique descriptive (ou de la statistique appliquée), on travail plutôt avec les données de l échantillon. Ceci-dit, toutes les définitions et les mesures données par la suite concerneront une échantillon de la population étudié. Au cas où on va introduire une statistique de la population, on le fera explicitement.

5 Le mode de l échantillon Definition Pour une variable statistique X le mode M o est la valeur de x i dont la fréquence f i est la plus élevée. Pour les données discrètes non-groupées la détermination de la mode est directement faite par l observation des fréquences. Pour les données continues (ou bien groupés), on procède en deux étapes: En premier lieu, on détermine la classe modale i et ensuite on fait une interpolation linéaire dans i: où d 1 M o = x i 1 + a i ( ) d 1 + d 2 d 1 = f i f i 1 et d 2 = f i+1 f i et a i = amplitude de i et x i 1 = borne supér

6 La moyenne de l échantillon Moyenne arithmétique I Definition Soient x i i = 1, 2, 3..., n les valeurs des n observations d une variable statistique X. La moyenne arithmétique simple de X est définie par X = 1 n x i n. La définition de la moyenne arithmétique donne le résultat suivant. Corollary Soit une autre variable statistique Y telle que y i = ax i + b pour i, i = 1, 2, 3..., n et a et b constants. On peut écrire Y = ax + b i=1

7 La moyenne de l échantillon Moyenne arithmétique II Example Pour un produit, le contrôle de qualité horaire consiste de choisir 5 paquets d une maniéré aléatoire de la chaine de production et on note la moyenne. Table: Poids des paquets en kg 15,8 16,1 15,5 16,2 15,9 La moyenne arithmétique simple est à appliquer. X = (15, , , , , 9)/5 = 16, 26kg.

8 La moyenne de l échantillon Moyenne arithmétique III L emploie de la moyenne arithmétique simple est directe quand on a une base de données de variables non-groupés. Si par contre, on travaille avec des données groupées, la moyenne arithmétique pondérée est à préférer. Definition Soient x i i = 1, 2, 3..., k les k valeurs distinctes d un variable statistique X et f i = n i n les fréquences correspondants. La moyenne arithmétique pondérée de X est. X p = k f i x i Notez que x i correspondra aux milieux des classes pour les données continues groupés i=1

9 La moyenne de l échantillon Moyenne arithmétique IV Example Le nombre de télévision moyenne par ménage est calculée par pondération. X p = (0, 55 1)+(0, 374 2)+(0, 0, )+(0, 008 4) = 1, 531

10 La moyenne de l échantillon Moyenne arithmétique V Table: Nombre de télévision par ménage en 2012 Nombre de télévisions Nombre de ménages (en millions) Fréquences , , , ,008 n i f i

11 La moyenne de l échantillon Moyenne arithmétique VI Quelques propriétés importantes de la moyenne: - La somme des écarts à la moyenne est nulle n i=1 (x i X ) = 0 - La somme des carrés des écarts à la moyenne est minimum telle que pour x X on aura n i=1 (x i X ) 2 < n i=1 (x i x ) 2

12 La moyenne de l échantillon Même si que la moyenne arithmétique soit d usage très courante, dans certains cas les autres formules du calcul de la moyenne peut être plus adapté. Pour la moyenne des taux (ex: taux d intérêts, taux de croissance etc.), la moyenne géométrique offre une meilleure précision. Dans les cas où les observations sont exprimées en relation par rapport à une unité (ex: la récolte par hectare, le nombre de produit défectueux par paquet etc.), la moyenne harmonique sera préférée.

13 La moyenne de l échantillon Moyenne géometrique Definition Soient x i i = 1, 2, 3..., n les valeurs des n observations d une variable statistique X. La moyenne géométrique simple de X est X g = ( n i=1 x i ) 1 n. Soient v i i = 1, 2, 3..., k les k valeurs distinctes d une variable statistique X et f i = n i n les fréquences correspondantes. La moyenne géométrique pondérée sera. X p g = ( k i=1 x f i i ) 1 k

14 La moyenne de l échantillon Moyenne harmonique Definition Soient x i i = 1, 2, 3..., k les k des n observations d une variable statistique X. La moyenne harmonique simple de X est X h = n n i=1 x 1 i Soient v i i = 1, 2, 3..., k les k valeurs distinctes d une variable statistique X et f i = n i n les fréquences correspondants. La moyenne harmonique pondérée est f i ) 1. X p h = ( k i=1 x i

15 La moyenne de l échantillon Remarques Dans certains cas, quand la série statistique inclut des valeurs aberrantes, on peut calculer une moyenne ajustée qui exclut les valeurs extrêmes. La moyenne harmonique pondérée peut aussi être utilisée quand la distribution inclut une pique remarquable. Ainsi, son impact sur la moyenne calculée peut être réduit. Les différents moyennes calculées d une même variable X respecte l ordre de grandeur suivante: X h < X g < X

16 La médiane Le médiane I Definition Pour une variable statistique X, le médiane M e est la valeur qui divise la série statistique en deux parties égales, une fois qu ordonnée en ordre croissant ou décroissant. La valeur de la médiane est telle que la courbe cumulative des fréquences retourne F (M e ) = 0, 5

17 La médiane Le médiane II Pour les variables discrètes, si n est paire (impaire) la médiane est la valeur n/2 ((n + 1)/2). Pour une détermination graphique, nous utilisons la courbe des fréquences cumulées. Pour les variables continue (ou bien groupés), après avoir déterminer la classe médiane i, on fait une interpolation linéaire. Si la classe médiane est i, la valeur médiane sera X Me = x i 1 + a i ( 0, 5 F i 1 f i ) ou F i 1 (.) est la fréquence cumulée en classe i 1.

18 Remarques générales Remarques I Les Conditions de Yule nous offrent un ensemble de critère pour juger les avantages et les inconvénients des différents mesures de la tendance centrale. Elles citent les propriétés importantes qu une bonne mesure de la tendance centrale doit avoir. - Etre définie d une manière objective - Dépendre de toutes les observations - Avoir une signifiance concrète - Etre simple à calculer - Etre peut sensible aux fluctuations de l échantillonnage. - Se prêter facilement aux calculs algébriques ultérieures

19 Remarques générales Remarques II Les positions relatives des mesures de la tendance centrale donnent une première idée sur la forme de la distribution d une variable statistique. Pour une distribution symétrique le mode, la médiane et la moyenne sont confondues. Pour une distribution asymétrique la médiane se situera entre le mode et la moyenne. Elle sera relativement plus proche de la moyenne.

20 Indicateurs de dispersion Pour avoir un jugement objective et comparable de la distribution obtenu autour des valeurs centrales on préférera des statistiques spécifiquement conçues pour la mesure de la dispersion. Les mesures fréquemment utilisés sont, La variance et l écart-type Le coefficient de variation L étendue, l écart inter-quartiles et la boite à moustache

21 Indicateurs de dispersion La variance et l écart-type La variance et l écart-type Pour une échantillon de taille n avec les valeurs observées x i, la variance est, n S 2 (x i X ) 2 = n 1 i=1 et l l écart-type est S 2. La variance est une moyenne quadratique des écarts à la moyenne X.

22 Indicateurs de dispersion Le coefficient de variation Le coefficient de variation Le coefficient de variation d une série statistique est CV = S 2 X 100 Elle exprime la dispersion en termes de la moyenne. Il existe une relation positive entre CV et la dispersion d une série. Elle élimine à la fois l impact de l unité de mesure et de la différence de l ordre de grandeur quand on compare la dispersion de plusieurs séries.

23 Indicateurs de dispersion L étendue, l écart inter-quartiles et la boite à moustache L étendue, l écart inter-quartiles et la boite à moustache I L étendue est la longueur de l intervalle entre les valeurs maximum et minimum d une série statistique. I e = X max X min La boite à moustache (box plot) a l avantage de résumer à la fois la dispersion, l entendue et la tendance centrale de la distribution d une variable statistique. Elle indique les valeurs extrêmes, l écart inter-quartile correspondant à la 50% de la distribution et la valeur médiane. Elle est une représentation graphique particulièrement pratique pour la comparaison de la distribution de différents séries sur un même figure.

24 Indicateurs de forme Les moments Les moments centré et non-centré Definition Moments Centrés d Ordre p Soit une variable statistique X avec les valeurs distincts observés x i et f i leurs fréquences respectives pour i = 1, 2.., r. On note µ p moment centré d ordre p de X telle que r µ p = f i (x i X ) p. i=1

25 Indicateurs de forme Les coefficients d aplatissement Pearson(kurtosis) et Fisher (excess kurtosis) I Pearson(kurtosis) Fisher (excess kurtosis) AP P = µ 4 µ 2 2 AP F = µ 4 µ L aplatissement est évalué par rapport à la forme de la distribution Normal: AP P = 3(AP F = 0) pour la distribution Normale et elle est dite mésocurtique. Elle mesure le poids des queues d une distribution.

26 Indicateurs de forme Les coefficients d aplatissement Pearson(kurtosis) et Fisher (excess kurtosis) II Si AP P > 3 (AP F > 0) alors nous disons que la distribution est moins aplatie que la loi normale et leptocurtique. Elle est relativement plus pointu que la courbe de loi normale. Le queue Si AP P < 3 (AP F < 0) alors nous disons que la distribution est plus aplatie que la loi normale, la distribution est platycurtique. Elle est relativement plus plat que la courbe de loi normale.

27 Indicateurs de forme Les coefficients d aplatissement Pearson(kurtosis) et Fisher (excess kurtosis) III Figure: Applatissement (kurtosis)

28 Indicateurs de forme Les coefficients d asymétrie Coefficient de Pearson-Fisher (skewness) Coefficient d asymétrie de Pearson-Fisher (skewness) A P = µ 3 µ 3/2 2 Pour une distribution parfaitement symétrique A PF = 0. Si A PF < 0, la distribution est étalée à gauche (le queue de gauche est plus long que celui de la droite)(negative skewness) Si A PF > 0, la distribution est étalée à droite (Positive skewness). Bulmer (1979) suggère la règle suivante: As a rough guide we may consider a distribution with a skewness greater than 1 in absolute value as highly skew,..., between 1 2 and 1 as moderatly skew, and,..., between 0 and 1 2 as fairly symmetrical."

29 Indicateurs de forme Les coefficients d asymétrie Figure: Asymetrie s (skewness)

30 Indicateurs de forme Les coefficients d asymétrie Figure: Asymetrie: Coefficients(skewness 2)

31 Références pour la Chapitres I et II Levine,D., Berenson,M. et Krehbiel, T. (2008)., Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Fifth Edition, Prentice Hall. Bulmer,M.G. (1979), Principles of Statistics, Dover Publications, New York. Voir aussi la liste des références dans le plan du cours.