Logique Combinatoire. Note de Cours

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1 Logique Combinatoire Note de Cours Cahier étudiant Électromécanique Robert Choquette Septembre 2015 page 1

2 Logique Combinatoire Introduction : Les circuits logiques ou circuits digitaux sont de plus en plus employés dans toutes les sphères d activités. (Domestiques, industrielles etc.) Signal : Il existe 2 types de signaux électriques. Les signaux digitaux et analogiques. Digital : Contient 2 valeurs seulement. Il change de valeur brusquement après un certain temps. nalogique : Le signal possède une valeur à chaque instant. Les changements se fait dans le temps. Ex. La voix, la musique, niveau de l eau, de T o Définition : Variable : Qui peut accepter plusieurs valeurs, ex : x,y,z Variable de boole ou variable logique : 0 ou 1, 2 possibilités seulement Constante : 0 ou 1. C est 0 ou 1, on le sait. Divers : Logique positive : Par définition on accorde la valeur «1» à une tension la plus positive. Logique Négative : Par définition on accorde la valeur «1» à une tension la moins positive. Entrées : Composants qui prennent l état 0 ou 1, selon une force quelconque qui lui est appliquée. Ce sont normalement des détecteurs : débit, pression, interrupteur de fin de course, etc. Sorties : Composants ou système qui peuvent prendre l état 0 ou 1 et qui produit une action. page 2

3 Table de vérité : C est un tableau qui indique les états d une ou plusieurs sorties selon toutes les possibilités de variable d entrée. C B S IC : Circuit intégré. TTL : Transistor Transition Logic CMOS : Complematary métal-oxyde semi-conductor 74 : Série commercial 54 : Série militaire 54H00 74H00 54 Ou 74 = TTL H = High Speed 00 = Fonction Voltage de fonctionnement pour TTL : Zone d immunité : Région à éviter. La valeur est indéterminée. page 3

4 Signification des lettres : LS = dvenced low power schott X = Peu importe Les circuits CMOS offrent 2 alimentations possibles. Elle se divise en sous-groupes : la série, qui peut fonctionner de 3 à 15 Volts, et la série B de 3 à 20 Volts. La série CMOS est très sensible à l électricité statique. page 4

5 Logique Combinatoire 1. Distinguer les systèmes de numérotation. Le poids : C est la valeur d un symbole selon la base et son emplacement dans un nombre. Ex : Le 5 = 10 0 Le 4 = 10 1 Le 3 = 10 2 Somme : 3 x x x 10 0 = = Convertir les nombres d une base à une autre : Binaire à Décimal : Solution : chiffre x base poids ( base en cours ) Ex : = 1 x 2 0 = 1 0 x 2 1 = 0 0 x 2 2 = 0 1 x 2 3 = 8 Total = = 102 = Octal à Décimal : 428 = 5578 = 4018 = page 5

6 Hexa à Décimal : F16 = 12C16= Décimal à Binaire : 610 = On divise par la base voulue, le reste est la réponse. On prend les entiers et on redivise par la base voulue Et ainsi de suite On arrête lorsque le reste est plus petit que la base 6 / 2 = 3 reste 0 3 / 2 = 1 reste 1 1 /2 = 0 reste 1 On arrête lorsqu on arrive à 0. Réponse = Décimal à Octal : / 8 = 19 reste 6 19 / 8 = 2 reste 3 2 / 8 = 0 reste 2 On arrête lorsqu on arrive à 0. Réponse = = = Décimal à Hexa : / 16 = 750 reste / 16 = 46 reste E 46 / 16 = 2 reste E 2 / 16 = 0 reste 2 Réponse : 2EE = = page 6

7 Résumé : Lorsqu on veut passer de décimal à une autre base quelconque, on divise le chiffre décimal successivement par la base désirée. Les restes des divisions donnent le résultat. Le dernier reste est le symbole du poids fort. Conversion entre les bases 2,8,16 Supposons qu on a un code binaire pour lequel on a que 3 positions disponibles pour l écriture. Chaque case ou chaque chiffre binaire est égale à 1 BIT, donc si on a 3 cases = 3 BITS. Si cela est en binaire, c est soit 0 soit 1 donc, 2x2x2 = 8 possibilités = base 8 Si on a 4 bits, 2 4 = 16 possibilités = base 16 exposant = nombre de case Pour savoir le nombre de possibilité : base Exemple : 6 cases à la base 10 = 10 6 = Binaire à Octal : On prend l équivalent de 3 bits binaire à octal. On tranche les chiffres par groupe de 3 à partir du poids faible. On fait l équivalence Réponse : = Binaire à Hexa : On coupe par tranche de B 9 Réponse : 2B = page 7

8 Octal en Binaire : On remplace chaque symbole par son équivalent binaire de 3 bits =111 2 = = 001 Réponse : = Hexa en Binaire : On remplace chaque symbole par son équivalent binaire de 4 bits = 94F16 = 24D16 = Hexa à Octal ou Octal à Hexa Il faut passer par la base binaire et par la suite de le transformer à la base désirée. Tableau des bases : Binaire Octal Décimal Hexa B C D E F Parler de Hexa Word = 16 bits Bytes = 8 bits = 2428 = B2B2C16 = page 8

9 Les dditions : B116 D Les soustractions : F CD16 page 9

10 3. Système de codage : BCD : Binaire codé décimal. Système permettant de représenter les nombres décimaux par une numérotation binaire pondérée. Il est utilisé pour faciliter la tâche et la compréhension de l humain, qui travaille en système décimal. Ce type de code est employé dans un automate programmable. Tableau d équivalence : Décimal BCD Conversion : =?bcd 7 = = = = = bcd =? Réponse : page 10

11 dditionner en BCD : Code Gray : Le code Gray est une autre forme de la base binaire. Un seul bit à la fois change d état lorsqu on passe d un nombre au suivant. Cela permet d éviter des erreurs de détection. Par exemple, le passage du chiffre 3 au chiffre 4 nécessite un changement d état de trois bits à la fois dans le système binaire ordinaire (0011 à 0100) au lieu de (0010 à 0110) dans le code Gray. Ce code est aussi appelé «code binaire réfléchi». On s en sert pour simplifier dans les tables de Karnaugh et autres applications. Tableau comparatif : Décimal Binaire Code Gray Code SCII : merican Standard Code for Information Interchange 7 bits : 2 7 = 128 possibilités 8 bits : 2 8 = 256 possibilités, code scii étendue. Ex : Utilisé pour les claviers d ordinateurs. page 11

12 4.0 Identification des portes logiques : On associe une condition présente à 1 logique. (5 volts, ou H-High, ou Vcc=1) On associe une condition absente à 0 logique. (0 Volts, L=Low, Gnd=Ground) Les différentes portes logiques SYMBOLE NOM ET ÉQUTION INVERSEUR ET s = a.b OU s = a+b NON-ET NON-OU OU EXCLUSIF NON-OU EXCLUSIF BUFFER S = page 12

13 . Inverseur : Symbole : / : Entrée X : Sortie X = / ou Se prononce barre ou non = Contact N.O Non = Contact N.F. Fonctionnement : Inverse la condition présente à l entrée. Pour voir son fonctionnement on utilise la table de vérité. Entrées 0 1 Sorties X B. Porte ET (ND) Symbole : 2 entrées et 1 sortie X = B ou X = B Table de vérité : B B Entrée Sortie B X Toujours placé la lettre au début comme le poids faible. Fonctionnement : La condition «1» est présente à la sortie si la condition «1» est présente à et à B. page 13

14 C. Porte OU (OR) Symbole : 2 entrées et 1 sortie X = +B Table de vérité : B +B Entrée Sortie B X Fonctionnement : Si la condition «1» est présente à ou B, la sortie = 1. D. Porte NON-ET (NND) Symbole : B B C est une porte ET avec un Inverseur. 2 entrées et 1 sortie X = B Table de vérité : Entrée Sortie B B X page 14

15 E. Porte NON-OU (NOR) Symbole : B +B C est une porte NON-OU avec un Inverseur. 2 entrées et 1 sortie X = +B Table de vérité : Entrée Sortie B +B X F. Porte OU EXCLUSIF (EX-OR) Symbole : 2 entrées et 1 sortie B + B La condition «1» est présente à la sortie si une condition est présente à ou à B, mais pas au 2 à la fois. Quand les entrées sont identiques, la sortie = 0. Si les entrées sont différentes, la sortie = 1. Table de vérité : Entrée Sortie B S page 15

16 G. Porte NON-OU EXCLUSIF (EX-NOR) Symbole : 2 entrées et 1 sortie B + B Quand les entrées sont identiques, la sortie = 1. Quand les entrées sont différentes, la sortie = 0. Table de vérité : Entrée Sortie B S H. Tampon (Buffer) Symbole : 1 entrée et 1 sortie Répète la condition de l entrée. Le tampon sert à fournir d autres portes lorsqu il y a plusieurs portes à fournir. Une porte peut fournir l alimentation à maximum 2 portes. Le buffer augmente la tension de 3 à 5 Volts. Note : Ne jamais reliées 2 sorties à 1 entrée. Mais on peut reliée 1 sortie à 2 entrées. Faire la preuve avec la table de vérité. B B et +B +B page 16

17 4.1. Écrire la fonction booléenne à partir d un circuit : 1. C B 2. C B 3. D C B page 17

18 4.1.B. À partir d une fonction booléenne, réaliser le circuit : 1. F = BC + + B +C 2. page 18

19 4.1.C. La valeur des portes : Voir plus loin 4.1.D. À partir d une table de vérité : On prend les 1 à la sortie pour écrire l équation. -Écrire l équation -Dessiner le circuit Faire exemple avec table de vérité : Produit de somme, (avec les 0) Somme de produit, (avec les 1). Entrées Sorties C B S /B/C + /B/C + //BC + /BC /+/B+/C (par les 0) ( Entre chaque c est un ET) 4.1.E. Les chronogrammes : page 19

20 5. lgèbre de Boole :. Nomenclature : Le Point signifie : ET Le Plus signifie : OU B C OU BC +B+C Le Plus dans un cercle signifie : OU Exclusif Se fait avec seulement 2 variables d entrées..1 Contrôle des Portes : Porte ET Porte NON-ET Porte OU Porte OU Exclusif C C C C Si C = 0, Porte bloquer, S = 0 Si C = 1, Porte débloquer, S = Si C = 0, Porte toujours à 1, S = 1 Si C = 1, Porte, S = / Si C = 0, Porte débloquer, S = Si C = 1, Porte toujours à 1, S = 1 Si C = 0, S = Si C = 1, S = / Faire des exemples.. Si j ai des IC à 2 entrées et j ai besoin des 3 entrées : C B page 20

21 B. Les lois de l algèbre de Boole : Postulats Les postulats et les théorèmes sont des éléments de bases utiles à la compréhension de l'algèbre de Boole. Les postulats proviennent des tables de vérité des portes logiques. P1 0 0 = 0 P2 0 1 = 1 0 = 0 P3 1 1 = 1 P4 0+0 = 0 P5 1+0 = 0+1 = 1 P6 1+1 = 1 P7 P8 _ 0 = 1 _ 1 = 0 Théorèmes Les théorèmes sont énoncés à partir d'une seule variable booléenne qu'on place en présence des divers opérateurs (ET, OU et NON). C est une proposition scientifique qui peut être démontrée. T1 0 = 0 T2 T3 T4 T5 1 = = _ = 0 +0 = T6 +1 = 1 T7 T8 T9 + = _ + = 1 = = page 21

22 Lois Les lois s'appliquent à plusieurs variables à la fois et permettent la simplification des circuits. Commutativité ssociativité Distributivité bsorption Expansion De Morgan Pour briser une barre, On change le signe qui Relie les variables. Similitude L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 B = B +B = B+ (BC) = (B) C (+B)+C = +(B+C) (B+C) = B + C (+B).(+C) = + BC + (B) = (+B) = _ (B) + (.B) = _ (+B). (+B) = _ B = +B _ +B = B _ +B = B _.B = + B _ +.B = +B _.(+B) = B De plus, l'algèbre de Boole vérifie les théorèmes suivants : Idempotence + =. = Élément neutre +1 = 1.0 = 0 page 22

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