Suites... Rappels de cours et exercices

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1 Lycée Edgar Quinet Année Première ES Suites... Rappels de cours et exercices Rappels de cours Suites arithmétiques Une suite (u n ) est arithmétique si on passe d un terme au suivant en ajoutant toujour un même nombre, appelé la raison de la suite. Exemple 1 : u 0 = 5 ; u 1 = 7 ; u 2 = 9 ; u 3 = 11 ;...(raison 2) Exemple 2 : v 0 = 10 ; v 1 = 7 ; v 2 = 4 ; v 3 = 1 ;...(raison 3) Formules : (u n ) est une suite arithmétique de raison r u n = u 0 + n r u n = u 1 + (n 1) r u n = u k + (n k) r Suites géométriques Une suite (u n ) est géométrique si on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre, appelé la raison de la suite. Exemple 1 : u 0 = 5 ; u 1 = 15 ; u 2 = 45 ; u 3 = 135 ;...(raison 3) Exemple 2 : v 0 = 100 ; v 1 = 20 ; v 2 = 4 ; v 3 = 0,8 ;...(raison 0,2) Formules : (u n ) est une suite géométrique de raison r u n = u 0 r n u n = u 1 + r n 1 u n = u k + r n k Exercice 1 : Antoine dispose de 3000 qu il place à intérêts simples 1 au taux annuel de 5%. On note A 0 le capital de départ et A n la somme constituée du capital de départ et de tous les intérêts perçus après n années de placement. Bertrand dispose de 3000 qu il place à intérêts composés 2 au taux annuel de 4%. On note B 0 le capital de départ et B n la somme dont disposera Bertrand au bout de n années de placement. 1. a. Calculer A 1 et A 2. b. Exprimer A n+1 en fonction de A n. c. Quelle est la nature de la suite (A n )? d. En déduire l expression de A n en fonction de n. e. De quelle somme (capital + intérêts perçus) disposera Antoine s il laisse son argent placé pendant 10 ans? 2. a. Calculer B 1 et B 2. b. Exprimer B n+1 en fonction de B n. c. Quelle est la nature de la suite (B n )? d. En déduire l expression de B n en fonction de n. e. De quelle somme disposera Bertrand s il laisse son argent placé pendant 10 ans? 3. À partir de combien d année pourra-t-on affirmer que Bertrand a fait le bon choix? 1. Les intérêts sont dits «simples»lorsqu ils sont perçus et ne produisent pas eux-mêmes des intérêts les années suivantes. 2. Les intérêts sont dits «composés»lorsqu à la fin de chaque année les intérêts produits sont ajoutés au capital. Ils produisent alors aux-mêmes des intérêts au cours des années suivantes.

2 Exercice 2 : 1. Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont arithmétiques (en justifiant votre réponse) ; le cas échéant, vous préciserez le premier terme u 0 et la raison r : u n = 25 6n pour n N u n = n 2 3 pour n N u n = 2+n 5 pour n N u n = n 2 (n+ 3) 2 pour n N u0 = 7 u n+1 = 9+u n pour n 0 u1 = 15 u n+1 = 3 u n pour n 1 2. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u 0 = 7. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculer u 1, u 2. Exprimer u n en fonction de n, puis calculer u 10 et u Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r = 2 5 et telle que u 8= 0. Calculer u 0. Exprimer u n en fonction de n, puis calculer u 12 et u Soit (u n ) une suite arithmétique telle que u 0 = 10 et u 5 = 0. Calculer la raison de cette suite. Exprimer u n en fonction de n, puis calculer u 25 et u Soit (u n ) une suite arithmétique telle que u 8 = 10 et u 14 = 6. Calculer la raison de cette suite. Calculer u 0. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer u n en fonction de n. Enfin calculer u 303 et u Exercice 3 : 1. Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont géométriques (en justifiant votre réponse) ; le cas échéant, vous préciserez le premier terme u 0 et la raison q : u n = 6n pour n N u n = 3 10 n pour n N u n = 3n pour n N 5n+1 u n = 4 (1,03) n pour n N u0 = 7 u n+1 = 0,9 u n pour n 0 u1 = 15 u n+1 = 3 u n pour n 1 2. Soit (u n ) une suite géométrique de raison q = 1,2 et de premier terme u 0 = 3. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculer u 1, u 2. Exprimer u n en fonction de n, puis calculer u 6 et u Soit (u n ) une suite géométrique de raison q = 2 et telle que u 4 = 48. Calculer u 0. Exprimer u n en fonction de n, puis calculer u 6 et u Soit (u n ) une suite géométrique telle que u 0 = 10 et u 3 = 1,25. Calculer la raison de cette suite. Exprimer u n en fonction de n, puis calculer u 1 et u Soit (u n ) une suite géométrique telle que u 20 = 45 et u 23 = Calculer la raison de cette suite. Calculer u 0. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer u n en fonction de n. Enfin calculer u 17 et u Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 2500 et de raison q = 1,04. Calculer u 1, u 2 et u 15 (arrondir au centième). Déterminer à l aide de la calculatrice le plus petit rang n pour lequel u n 5000.

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