OPM Techniques quantitatives de gestion - Cahier du cours 2014

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1 OPM Techniques quantitatives de gestion - Cahier du cours 2014 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY TELECOM ÉCOLE DE MANAGEMENT - 1 re ANNÉE Année Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 1

2 1 Présentation du module OPM3001 (TGQ) 1.1 Les objectifs d OPM3001, Techniques quantitatives de gestion L objectif de ce cours est de vous présenter un éventail de techniques qui permettent d optimiser des problèmes classiques de gestion (durée d un projet, gestion de stock, optimisation d un profit, etc... ). Il existe de nombreux outils qui implémentent ces techniques et qui sauront faire tous les calculs à votre place. Mais pour réussir à utiliser ces outils il vous faudra déjà savoir modéliser le problème pour le rendre conforme aux attentes de la technique utilisée. Donc le véritable enjeu de cours n est pas de connaître les algorithmes des techniques, mais de savoir modéliser les problèmes pour pouvoir les utiliser. Mais il vous sera impossible de faire cette modélisation si vous ne connaissez pas déjà parfaitement la technique visée. Donc en résumé : Ne perdez pas de vue que le véritable objectif de ce cours est de savoir modéliser les problèmes pour utiliser une technique d optimisation. Sachez que vous ne pourrez faire cette modélisation que si vous maîtrisez les techniques utilisées. 1.2 Le programme Ce module se compose de 21h de cours intégrés, d un contrôle continu et d un contrôle final. Éventuellement, pour ceux qui s attachent vraiment à ce sujet, un second contrôle final est prévu fin août. Les cours sont divisés en deux grandes parties : La première repose sur les techniques utilisant les graphes. Elle durera 15h de cours intégrés. Le seconde concerne la programmation linéaire. Elle durera 6h de cours intégrés. Voici le programme plus détaillé : CI1-2 : les problèmes d ordonnancement. CI3-4 : les arbres de recouvrement minimal. CI5-6 : les recherches de plus court chemin. CI7-8 : les calculs de flot maximal. CI9-10 : les calculs de flot maximal à coût minimal. Contrôle continu : le mardi 25 février 1 de 11h30 à 12h30. Il porte sur tous les sujets précédents. CI11-12 : programmation linéaire (méthode géométrique, et simplexe). CI13-14 : programmation linéaire (fin) et révision générale. Contrôle final 1 : le vendredi 14 mars entre 9h30 et 11h30. Il porte sur tout le programme. Contrôle final 2 : rattrapage du module, le vendredi 29 août entre 10h et 12h. Il porte sur tout le programme. 1.3 Trois secrets pour échouer à ce module Pour échouer à ce module, il faudra y mettre un peu du votre, mais il y a trois secrets qui permettent d y arriver : 1. Le moyen le plus simple d échouer est de ne pas venir en cours. Rien qu avec ce premier secret on explique 80% des échecs de ce module. Bien sûr beaucoup d entre vous réussiraient ce module avec ou sans les cours. Mais il se trouve que cette partie assiste généralement aux cours. Par contre ceux qui n y viennent pas en ont souvent besoin. Voici une petite anecdote pour illustrer mon propos : en 2010, 50 étudiants ont échoué (ou ont été absents) au CF1. Lors du rattrapage, on a failli faire demitour en entrant dans la salle d examen. Au début on pensait s être trompé de salle, car alors qu on était censé connaître tous les étudiants, on ne reconnaissait aucune tête dans la salle. En s y penchant de plus près, sur les 50 présents, on en a reconnu une petite dizaine. Tous les autres étaient parmi les absents récurrents des cours... 1 les dates données dans ce cahier sont à titre indicatif. Il faut vérifier sur l agenda du SI étdudiant les dates définitives 2 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

3 2. Si vous tenez vraiment à venir aux cours, il vous suffit de ne pas l écouter soit en dormant, ou en lisant votre journal, ou encore mieux en discutant avec votre voisin. En fait c est une version subtile du premier secret : être absent, tout en étant dans la salle de cours. En tant qu enseignant, on a tendance à préférer la première version, car là avec la seconde vous trichez. Vous aidez vos voisins à échouer, alors qu eux n y ont pas mis du leur pour cela. 3. Si vraiment vous venez en cours et que vous l écoutez, votre échec devient plus qu improbable. Mais je vois encore un moyen d y parvenir : ne poser aucune question quand vous ne comprenez pas quelque chose, et ne faites aucun des nombreux exercices qui vous seront proposés durant les cours intégrés. Tout cela pour vous dire que vous avez le droit de ne pas comprendre du premier coup, qu aussi géniaux soient vos enseignants (si si!) ils n ont peut-être pas trouvé d entrée la bonne façon de vous expliquer. Alors n hésitez pas à poser une question, soit durant le cours à chaud, soit lorsque vous tentez de faire un exercice et que vous voyez que ça bloque. Ils seront là pour trouver ce qui est mal passé, et vous le ré-expliquer. Enfin, faites aussi attention : le mieux est l ennemi du bien. Ce cours demande de dessiner beaucoup de graphes et tableaux. Il n est pas toujours possible de prévoir à l avance une belle mise en page de tout cela. Et chaque année je vois plein d étudiants en train de fignoler au propre le dessin du dernier graphe ou tableau alors que le cours est déjà passé à l étape suivante. Même si on fera un maximum pour vous attendre, il faut faire tenir le cours dans les horaires. Alors n hésitez pas à tracer vos tableaux à main levée pour pouvoir suivre le cours, plutôt que d avoir un tableau réglé au millimètre près en ayant loupé la moitié des explications du cours. 1.4 Les exercices Lors des cours de nombreux exercices vous seront proposés (et corrigés). Un cahier d exercices corrigés vous est fourni avec leur correction complète. Il y a une section pour chaque technique vue en cours, mais aussi une section «Non classifiés» où vous trouverez une série d exercices sans indication de la technique à utiliser pour les résoudre (ce qui correspond aux conditions d examen). Dans le cahier de cours vous trouverez aussi deux sections d exercices (sans correction) : La première (page 4) est classée par thème et servira lors des cours à illustrer le sujet traité. La seconde («Usine à gérer», page 11) contient 6 exercices qui n indiquent pas le type la technique à utiliser. Entre deux cours, vous aurez à trouver parmi les 6, le ou lesquels se rapportent au sujet du cours réalisé et vous devrez le modéliser pour la séance suivante. Cette recherche de modélisation est très importante : vous ne pourrez appliquer une technique que si vous savez modéliser. 1.5 Les contrôles Comme il est déjà dit précédemment dans le programme, deux contrôles, plus éventuellement un troisième pour ceux qui ont échoué, sont programmés. Le premier est un contrôle continu d une heure (le mardi 25 février mars de 11h30 à 12h30). Il ne porte que sur les techniques reposant sur la théorie des graphes (CI 1 à 10, et chapitre 1 à 6 de la documentation du cours). Durant ce contrôle on ne vous demandera pas de construire le moindre modèle, mais juste savoir appliquer les techniques vues en cours. Il se fera sans document ni calculatrice. Il comportera environ 6 questions. Ce qui vous laisse 10 minutes pour savoir mettre en œuvre la technique de bout en bout. Il vous faudra bien la connaître. Un exemple de contrôle continu (page 16) ainsi que sa correction vous sont fournis en annexe de ce cahier. De plus vous trouverez les annales des dernières années (depuis 2011), avec sujets, corrections, barèmes détaillés et analyses des principales erreurs à cette URL : http ://www-lor.intevry.fr/~epsi/tqg/. Arrive ensuite le contrôle final 1 (le vendredi 14 mars entre 9h30 et 11h30). Il concerne tout le programme vu en cours. Pour ce contrôle vous aurez 2 problèmes à résoudre en 2 heures. Les problèmes vous seront donnés de façon informelle (un texte en français), et vous devrez trouver le modèle avant d appliquer la technique (et enfin d interpréter vos résultats). La barème mettra l accent sur la modélisation (même s il y a toujours quelques points sur la technique). Vos documents de cours et calculatrices seront autorisés, mais le moyen de trouver le bon modèle commence par la maîtrise de la technique. Donc si vous ne la connaissez pas avant le contrôle, vous ne réussirez jamais à modéliser le problème. Un exemple de contrôle final (page Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 3

4 22) ainsi que sa correction vous sont fournis en annexe de ce cahier. De plus vous trouverez les annales des dernières années (depuis 2008), avec sujets, corrections, barèmes détaillés et analyses des principales erreurs à cette URL : http ://www-lor.int-evry.fr/~epsi/tqg/ Arrive enfin le contrôle de rattrapage, ou contrôle final 2 (le vendredi 29 août aux aurores : 10h-12h). Oui, il a lieu fin août et non pas en juin. Si vous avez envisagé d être ailleurs à cette date, arrangez vous pour ne pas avoir besoin du rattrapage, car il ne sera pas déplacé. Pour éviter de venir au rattrapage il faut faire en sorte que (CC + 2 CF1)/3 10 (CC = votre note de contrôle continu, CF1 = votre note du contrôle final). Le CF2 est un problème semblable au CF1, mais jamais plus facile. Pour valider le module en cas de rattrapage, il faut obtenir au moins 10 au CF2. Notez aussi, que conformément au réglement de TEM, même si vous obtenez un très bonne note au CF2, la note comptée pour le module sera au maximum de 12 (en de 10 en cas de CF3). 2 Exercices 2.1 Ordonnancement Exercice En trois dimensions. Une toute petite agence de publicité a été chargée d organiser un mini show pour la présentation d un nouveau jeu utilisant la 3D. Elle doit prendre en charge la logistique, mais aussi la publicité de cet événement auprès du grand public et de la presse. La boite de développement à l origine du jeu demande un droit de regard sur cette organisation. Un communiquant (C) et un graphiste (G) de la boite de publicité ont pris en charge ce projet. Le graphiste va créer des flyers avec des images 3D pour sensibiliser le grand public. Le communiquant va d une part trouver le lieu où le show se passera et d autre part utiliser son carnet d adresses pour prévenir la presse. Voici, après analyse, comment ils comptent s organiser (le communiquant mènera certaines de ses tâches en parallèle) : Code de qui Description Durée Contraintes la tâche (jours) A C et G Réunion de lancement avec la boite de développement 1 B G Dessin des maquettes des flyers 10 après A C C Sélection d une liste de lieux et de traiteurs 16 après A D C et G Réunion de validation avec la boite de développement 1 après B et C Sélection d une maquette et choix du lieu et du traiteur E G Finalisation des flyers 5 après D F G Impression des flyers 1 après E G C Sélection des lieux de distributions des flyers 11 après D H C Campagne d information auprès de la presse 20 après D I C Distribution des flyers au grand public. 21 après F et G J C et G Le show 1 après H et I Combien de temps au minimum il faut prévoir pour mener tout le projet à terme? Quelles sont les tâches pour lesquelles aucun retard n est permis sous peine d allonger le projet? Exercice Ça tourne. Un producteur de cinéma est confronté au problème du planning de son film, «Le chemin le plus long». Il vous soumet les tâches qui doivent être exécutées afin que vous l aidiez à s organiser. Donnez la durée du projet, ainsi que les tâches et le chemin critique. 4 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

5 Code Définition Durée (jours) Antériorités de la tâche A Écriture du scénario 30 B Choix et recrutement des comédiens 12 ne peut commencer que 15 jours après le début de A C Choix du lieu du tournage 8 ne peut commencer que 20 jours après le début de A D Découpage technique 4 A et C doivent être terminées E Préparation des décors 7 C et D doivent être terminées F Tournage des extérieurs 10 A, B, C et D doivent être terminées G Tournage des intérieurs 12 D,E et F doivent être terminées H Synchronisation 3 F et G doivent être terminées I Montage 14 H doit être terminée J Accompagnement sonore 7 Ne peut commencer que 3 jours après le début de I et après la fin de H K Mixage 6 I et J doivent être terminées L Tirage de la copie zéro 1 Ne peut commencer que 3 jours après la fin de K 2.2 Arbre de recouvrement minimum Exercice Conception d un réseau de transmission de données Une banque désire installer au moindre coût un réseau de transmission de données entre son agence centrale située dans le quartier de la Bourse et sept de ses succursales. Le coût de construction d une ligne entre 2 agences est donné dans le tableau suivant (en unités monétaires). B O E R SL L N C Bourse Opéra 5 Étoile République St-Lazare Louvre Neuilly Chatelet Plus court chemin Exercice Sécurisation d un réseau Le trafic issu de La Rochelle à destination de Chambéry est actuellement acheminé par la route suivante : La Rochelle, Limoges, Clermont-Ferrant, Lyon, Chambéry. Cependant pour répondre à des règles de sécurité et de qualité, ce trafic doit être birouté. Un état des possibilités sur les différents arcs du réseau a été réalisé, et les arcs pouvant accueillir un surcroît de trafic sont ceux appartenant au graphe ci-joint. Pour réaliser ce biroutage, les règles suivantes doivent être respectées : La route existante est maintenue telle qu actuellement Les deux routes ne devront avoir aucun noeud en commun, à part les noeuds extrémités La route devra être réalisée au meilleur coût (les coûts de liaison sont indiqués sur les arcs. Quelle sera cette deuxième route, et quel sera son coût? Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 5

6 7 2 Le Mans Paris Troyes Nantes Poitiers Orléans Nevers Dijon Lons La Rochelle Limoges Clermont-Ferrant Lyon Chambéry Exercice Gestion de production Une unité de production de téléphones portables doit satisfaire durant 4 périodes consécutives aux demandes D i (i=1..4). Elle peut produire de manière habituelle une quantité M i durant la période i, au coût unitaire P i. Elle peut aussi pendant cette même période, produire en supplément une quantité S i au coût unitaire Q i > P i. Enfin le stockage est possible avec un coût de stockage par article et par période égal a K. Sachant que les articles fabriqués durant la période i peuvent être utilisés pour satisfaire les demandes D j (j >= i), on cherche à établir un plan de production minimisant les coûts et permettant de satisfaire toutes les demandes. Les données qui suivent sont en milliers de téléphones et les coûts associés en milliers d euros. K=20 quelque soit la période (coût par millier). Période D i M i S i P i Q i Remarque : On commence et on termine avec un stock nul. Exercice Logistique : Trafic du Beurre. L histoire se passe dans 7 pays : La France, les Pays-Bas, la Belgique, l Allemagne, la Suisse, l Italie et l Espagne. Dans chacun de ces pays le beurre a un prix différent. Certains surproduisent quand d autres doivent importer. Les gouvernements de ces pays décident de créer un organisme de régulation afin d aider les producteurs. Pour cela chaque pays passe un accord commercial avec chacun de ces voisins sous forme d aide aux producteurs ou de taxes aux importations. Ceci peut se résumer en 2 tableaux (voir les tableaux 1 et 2, les coûts sont donnés en milliers d euros pour 20 tonnes transportées). Une société des Pays-Bas doit transporter son beurre jusqu en Espagne. Elle décide de tirer parti des accords passés et contacte dans chaque pays ses transitaires. Ses coût de transport sont donnés en milliers d euros par 20 tonnes de beurre dans le tableau 3. 6 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

7 TAB. 1: Taxes PB B A S I F E PB B A S 5 I 15 8 F E 5 TAB. 2: Aides PB B A S I F E PB 15 5 B A 10 S 5 15 I F E TAB. 3: Coûts de transport et de manutention PB B A S I F E PB 2 4 B A S I 2 6 F E 6 Le transport s effectue par camion de 20 tonnes. Quel chemin devra parcourir le beurre et à quel coût la société pourra t-elle le transporter jusqu en Espagne? 2.4 Flot max Exercice Logistique Trois dépôts A, B et C disposent respectivement de 30, 20 et 45 tonnes de marchandises. Cinq destinations D, E, F, G, H en demandent des quantités respectives de 10, 25, 20, 25 et 15 tonnes. Des camions faisant route entre les points désignés offrent les disponibilités suivantes : Donnez le meilleur plan d approvisionnement. Exercice Gestion de production et logistique D E F G H A B C Chaque semaine la succursale S i (i=1..5) d une société laitière peut acheminer jusqu à A ij litres de lait à l établissement E j (j=1..6). Voir le tableau ci-dessous. Sachant que durant la semaine les succursales disposent respectivement de 2000, 3000, 2500, 3000, 1500 litres et qu un établissement n arrive jamais à consommer plus de 2500 litres, trouver la quantité Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 7

8 maximale de lait pouvant être utilisée hebdomadairement dans l ensemble des établissements (détaillez les approvisionnement pour chaque établissement). E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 S S S S S Exercice Optimisation et logistique : Voyage organisé. Lors de la mise en place d un voyage organisé, un vol charter est prévu au départ d une ville F, un samedi soir. Les participants à ce voyage viennent de 3 villes, A, B et C. Les possibilités d acheminement sont limitées. Les départs sont prévus de A, B et C, les jeudi, vendredi et samedi matin. Les destinations possibles et le nombre de places disponibles sont indiquées dans le tableau suivant : Départs de A vers C A vers F B vers C B vers F C vers F Jeudi matin Vendredi matin Samedi matin Pour chacun de ces départs, l arrivée a lieu le soir même. Il est possible de prévoir des transits et de passer une ou plusieurs nuits dans chacune des villes en fonction des capacités d hébergement suivantes. Villes A B C F nuit jeudi-vendredi nuit vendredi-samedi Le nombre de personnes pouvant rester dans une ville durant la journée n est pas limité. Cependant tous les participants au voyage doivent être pris en charge à partir du jeudi matin (transport et hébergement). Il y a, a priori, une limitation sur le nombre d inscriptions : 100 au plus au départ de chaque ville. Déterminer le nombre maximal de participants pouvant être acheminer vers F pour prendre le vol charter du samedi soir. Indiquer la façon de les acheminer. Exercice Logistique : Transport de sable. Du sable importé par cargo au port A, situé à l embouchure d un fleuve doit être acheminé vers une usine de fabrication de verre. Son transport peut être effectué : soit par train du port A à l usine C. soit par péniche du port A à l usine C. soit par bateau de petit tonnage du port A à un port B, puis par train ou péniche du port B vers l usine C. Au début de chaque heure, il est possible de faire partir de A vers C au plus 300 tonnes de sable par le train et 500 par péniche, de B vers C au plus 150 tonnes par train et 400 tonnes par péniche et enfin au plus 1500 tonnes par bateau de petit tonnage de A vers B. Les capacités de stockage sur les quais de chargement sont limités à 500 tonnes en A et à 400 tonnes en B (initialement le stock en B est nul). Les temps de transport, en heures, compte tenu des temps de chargement et de déchargement sont les suivants : 8 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

9 de A vers C : 6 heures par train, 7 heures par péniche. de B vers C : 3 heures par train, 5 heures par péniche. de A vers B : 4 heures par bateau de petit tonnage. Le tonnage qui arrive par cargo au port A sera considéré comme illimité. On ne procède qu à un seul déchargement du cargo. Donner une modélisation du problème. Quelle quantité maximale de sable peut-on acheminer de A vers C en 8 heures et quels moyens de transport doivent alors être utilisés? 2.5 Flot max à coût min Exercice Optimisation et gestion des coûts Un négociant en pommes fait ses achats à Carpentras le lundi et le mardi matin et à Cavaillon le lundi matin. Ses fruits seront livrés à Rungis pour y être vendus le mercredi matin. A Carpentras, le prix d achat est de 1e/kg le lundi et de 1,2e/kg le mardi. Les quantités pouvant être achetées sont respectivement, 1500 kg et 900 kg. Ces pommes peuvent être acheminées vers Rungis par train le lundi, arrivée le mardi soir ou par train le mardi avec une arrivée le mercredi matin. Les coûts de transport et les quantités transportées sont respectivement pour les trains du lundi et du mardi 1e/kg pour 1200 kg et 0,9e/kg pour 1000 kg. Une possibilité de stockage est prévue à Carpentras le lundi soir et à Rungis pour les fruits arrivant le mardi soir. Les capacités de stockage et les coûts associés sont respectivement de 600 kg au coût unitaire de 0,1e/kg (à Carpentras) et de 2000 kg au coût unitaire de 0,1e/kg à Rungis. À Cavaillon, le prix d achat est de 0,80e/kg. Le négociant peut y acheter jusqu à 1500 kg. Il n existe pas de possibilité de stockage à Cavaillon. Les fruits devront donc partir le lundi, soit par camion jusqu à Rungis, où ils arriveront le mardi soir (et il faudra les stocker) soit par camionnette au train du lundi à Carpentras (mais on ne pourra pas utiliser les capacités de stockage de Carpentras). Les coûts et les quantités sont respectivement pour le transport par camion et par camionnette de 0,9e/kg pour une capacité de 1200 kg et 0,3e/kg pour une capacité de 200 kg. Ce négociant fait appel à vous pour savoir combien de pommes il pourra mettre en vente à Rungis le mercredi matin et quel sera le coût global de l opération afin qu il puisse déterminer au plus juste son prix de vente. 2.6 Programmation linéaire Exercice Gestion de production et optimisation Une raffinerie peut traiter 2 pétroles bruts différents. Elle tire du brut 1 : 20% d essence, 40% de gas-oil et 40% de fuel lourd et du brut 2 : 40% d essence, 20% de gas-oil et 40% de fuel lourd. Pour des raisons de capacité de stockage et de débouchés sur le marché, la production annuelle de cette raffinerie est limitée à 1,2Mt d essence, 1,2 Mt de gas-oil et 1,4 Mt de fuel lourd. Quelle quantité de chacun des 2 bruts la raffinerie devra traiter pour réaliser un bénéfice maximal sachant qu elle a une marge de 4e/t de brut 1 et de 5e/t de brut 2? Exercice Optimisation : Élagage des manguiers L élagage des manguiers présente de nombreux avantages. Il permet surtout de produire plus de mangues sur une même superficie. De plus, les arrosages et les traitements des arbres sont plus faciles d exécution et la récolte des mangues se fait plus rapidement. L élagage présente aussi des désavantages : il requiert une main-d oeuvre expérimentée et nombreuse car il faut prévoir en saison un élagage tous les 15 jours. Le risque des infections Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 9

10 cryptogamiques au niveau des blessures est élevé et les fruits produits bien que plus nombreux sont plus petits. Un producteur de mangue sénégalais dispose d un verger de 5 hectares. Il obtient un rendement de 0,6 m3 de fruits par are en consacrant 5h/are de main-d oeuvre pour l élagage durant la saison. Le même are de manguiers fournit 0,4 m3 de fruits, plus gros cependant, lorsqu il se contente d un bref émondage, ce qui exige 1h/are de main-d oeuvre pour la saison. La main-d oeuvre familiale peut consacrer 600 heures de travail à la récolte et 1800 heures en saison à l émondage et à l élagage des manguiers. La récolte d un are élagué prend 1 heure, tandis qu un are simplement émondé exige 1,5 h. Enfin, le producteur et sa famille dispose de suffisamment de temps pour arroser et traiter les arbres du verger. Le producteur écoule toute sa production auprès d intermédiaires qui assurent le transport des mangues vers les marchés ou les usines de transformation. Il obtient 900 F CFA par m3 de petits fruits provenant des arbres élagués et F CFA par m3 de grosses mangues. Certains intermédiaires lui offrent également F CFA pour un lot comprenant 2 m3 de petites mangues et 1 m3 de grosses mangues. De quelle manière le producteur doit-il procéder pour maximiser les revenus qu il tire de son verger? Exercice Optimisation : Les piles. Une entreprise fabrique trois types de piles : sèches de type 1 (PS1), sèches de type 2 (PS2) et à combustible. Le processus de fabrication comporte trois étapes : 1. l assemblage 2. un test de qualité 3. un traitement d isolation Seules les piles satisfaisant au test de qualité sont soumises au traitement d isolation. Les piles qui ratent le test sont mises au rebut. Au cours du prochain mois, l entreprise disposera en temps-machine de heures pour l assemblage, de 1300 heures pour les tests de qualité et de 7500 heures pour le traitement d isolation. Le tableau suivant résume les informations pertinentes du procédé de fabrication. Type Assemblage (sec/unité) Test (sec/unité) Isolation (sec/unité) Profit (e/unité) Taux d échec Perte (e/unité) PS ,25 3% 0,5 PS2 25 4, % 0,65 PC ,1 2% 0,75 Quel doit être le plan de production pour maximiser le bénéfice, et quel est celui-ci? Exercice Optimisation : Alimentation du bétail. On désire déterminer la composition, à coût minimal, d un aliment pour bétail qui est obtenu en mélangeant au plus trois produits bruts : orge, arachide et sésame. L aliment devra comporter au moins 22% de protéines, et 3,6% de graisse. Le tableau ci-dessous indique les pourcentages de protéines et de graisse de chacun des aliments de base ainsi que leur coût. Produit brut Orge Arachide Sésame % requis Protéines 12% 52% 42% 22% Graisse 2% 2% 10% 3,6% Coût par tonne Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

11 3 Usine à gérer 3.1 Introduction Le véritable problème de ce cours n est pas d appliquer une technique, mais de trouver quelle technique il faut utiliser, et savoir modéliser le problème pour la mettre en œuvre. Le but des petits problèmes suivants est de vous exercer sur ce point. Cette section contient 6 questions différentes. Chaque technique vue en cours peut s appliquer au moins à l une d entre elles. Il vous faudra entre chaque séance de cours : trouver la ou les questions qui peuvent être résolues par les techniques vues lors de la dernière séance, modéliser le problème pour que cette technique puisse s appliquer, mettre en œuvre cette technique pour répondre à la question. Même si les 6 exercices concernent le même univers (une usine à gérer), chaque question est indépendante. Les données d une question peuvent être contradictoires avec les données d une autre question. Donc ne traitez pas une question avec les données d une autre. 3.2 Les exercices Une usine a organisé sa production en quatre ateliers : D, I, F et P. Lors de la modernisation du réseau, elle décide de relier par des fibres ces quatre ateliers au centre informatique (C). Il faut que le réseau atteigne tous les ateliers, mais au moindre coût possible. Voici les différents coûts (en k euros) des travaux pour poser une fibre entre deux sites : C D I F P C D 5 I 7 2 F P Question Quelles liaisons faut-il choisir pour que le réseau couvre tous les sites au moindre coût? L usine sait produire trois types de pièces : P 1, P 2 et P 3. Le processus de fabrication se fait sur une chaîne de quatre étapes faites dans quatre ateliers différents (D, I, F et P). La vente de chaque pièce dégage une marge de euros pour les pièces P 1, euros pour les pièces P 2, et euros pour les pièces P 3. La fabrication de la pièce P 1 utilise 4 heures de l atelier D, 4 heures de l atelier F, et 4 heures de l atelier P. La fabrication de la pièce P 2 utilise 1 heure de l atelier D, 3 heures de l atelier I, 3 heures de l atelier F, et 3 heures de l atelier P. La fabrication de la pièce P 3 utilise 1 heure de l atelier D, 2 heures de l atelier I, 5 heures de l atelier F, et 1 heure de l atelier P. L atelier D est utilisable 160 heures par mois, l atelier I est utilisable 180 heures par mois, l atelier F est utilisable 200 heures par mois, et l atelier P est utilisable 120 heures par mois. Question Quelles pièces et en quelle quantité faut-il produire pour gagner un maximum d argent? Quelle sera la marge obtenue? L usine peut sous-louer du temps d atelier à des partenaires. Quels ateliers (et combien de temps) peutelle sous-louer sans baisser sa production? L usine doit produire chaque jour trois types de pièces détachées : P 1, P 2 et P 3. Le processus de fabrication se fait sur une chaîne de quatre étapes gérée par trois ouvriers (O 1, O 2 et O 3 ). La première étape sert à produire les pièces D 1, D 2 et D 3. Le seconde étape sert à produire les pièces I 1 et I 3. La troisième étape sert à construire les pièces F 1 et F 3. La dernière étape produit les pièces P 1, P 2, et P 3. Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 11

12 Voici une résumé du processus : Ouvrier pièce produite pièces nécessaires durée pour la production O 1 D 1 aucune 4h00 O 2 D 2 aucune 3h30 O 3 D 3 aucune 4h00 O 1 I 1 D 1 et D 2 0h30 O 3 I 3 D 3 et D 2 0h15 O 1 F 1 I 1 0h30 O 3 F 3 I 3 0h30 O 1 P 1 F 1 2h00 O 2 P 2 F 1 et F 3 3h00 O 3 P 3 F 3 2h30 Question Une journée de travail dure 8h. Est-il possible de programmer la fabrication des trois pièces dans ces conditions? Chaque ouvrier a le droit à une pause de 45 minutes consécutives dans sa journée de travail. L ouvrier O 2 qui n a rien à faire durant les fabrications des pièces I et F dispose clairement de ce temps de pause, mais est-ce le cas des ouvriers O 1 et O 3? L usine sait produire trois types de pièces détachées : P 1, P 2 et P 3. Le processus de fabrication se fait sur une chaîne de quatre étapes gérée par un seul ouvrier. La première étape sert à produire soit la pièce D 1, soit la pièce D 2, soit la pièce D 3. Le seconde étape sert à produire soit la pièce I 1, soit la I 3. La troisième étape sert à construire soit la pièce F 1, soit la pièce F 3. Enfin, la dernière étape produit soit la pièce P 1, soit la pièce P 2, soit la pièce P 3. Voici une résumé du processus : pièce produite pièces nécessaires durée coût pour la production (euro) D 1 aucune 4h D 2 aucune 3h D 3 aucune 4h I 1 D 1 ou D 2 0h I 3 D 3 ou D 2 0h F 1 I 1 0h F 3 I 3 0h P 1 F 1 2h P 2 F 1 ou F 3 3h P 3 F 3 2h Question Laquelle des trois pièces (P 1, P 2 ou P 3 ) est la plus rapide à produire? en suivant quel processus? Laquelle des trois pièces (P 1, P 2 ou P 3 ) est la moins chère à produire? en suivant quel processus? L usine reçoit une commande pour des pièces détachées. Trois pièces de son catalogue répondent au cahier des charges : P 1, P 2 et P 3. Le processus de fabrication se fait sur une chaîne en trois ou quatre étapes. La première étape sert à produire les pièces D 1, D 2, ou D 3. La seconde étape sert à transformer la pièce D 2 pour l étape suivante, soit en pièce I 1, soit en pièce I 3. La troisième étape sert à construire la pièce F 1, ou la pièce F 3. Enfin, la dernière étape produit la pièce P 1, la pièce P 2, ou la pièce P 3. Voici une résumé du processus : 12 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

13 pièce produite pièces nécessaires capacité de production coût pour la production par jour (nombre de pièces) (euro) D 1 aucune D 2 aucune D 3 aucune I 1 D I 3 D F 1 D 1 ou I F 3 D 3 ou I P 1 F P 2 F 1 ou F P 3 F Lorsqu une pièce a besoin d une autre pour être construire, chaque pièce produite utilise une et une seule autre pièce dans son processus de production. Par exemple pour produire 1 pièce F 1, il faut soit 1 pièce D 1, soit 1 pièce I 1. Question Combien de pièces P 1, P 2 et P 3 peut produire cette usine chaque jour? Question Comment organiser cette production pour qu elle coûte le moins cher possible? Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 13

14 14 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

15 Annexes. Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 15

16 A Exemple de sujet de contrôle continu durée 1h, sans document ni calculatrice. Question 0 (1pt) Nom : Prénom : Groupe : K1 : K2 : K3 : K4 : Question 1 (3pt) Calculez la durée du projet, les dates au plus tôt, les dates au plus tard et les marges des tâches du projet modélisé par le graphe suivant (répondez soit directement sur le graphe, soit dans le tableau en dessous). Surlignez le chemin critique sur le graphe. FIG. 1: Graphe modélisant les tâches du projet (unité : jour) Si vous choisissez la version avec tableau : 16 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

17 Question 2 (2pt) Appliquez l algorithme de Kruskal en dessinant le graphe des diverses étapes pour le graphe suivant : (a) Graphe (unité : k euros) (b) Itération 1 (c) Itération 2 (a) Itération 3 (b) Itération 4 (c) Itération 5 (a) Itération 6 (b) Itération 7 (c) Itération 8 Quel est le poids de l arbre de recouvrement minimal? Réponse : Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 17

18 Question 3 (2pt) Appliquez l algorithme de Prim en utilisant directement la matrice (faites bien ressortir l arête choisie à chaque étape). Vous choisirez le sommet S 1 comme sommet de départ de l algorithme. Unité : semaine. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 S 1 S 1 S 2 5 S 2 S 2 S S 3 S 3 S S 4 S 4 S S 5 S 5 Matrice du graphe Itération 1 Itération 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 S 1 S 1 S 2 S 2 S 2 S 3 S 3 S 3 S 4 S 4 S 4 S 5 S 5 S 5 Itération 3 Itération 4 Itération 5 Quelles sont les arêtes de l arbre de recouvrement minimal que vous avez trouvé? Réponse : Quel est le poids de cet arbre? Réponse : 18 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

19 Question 4 (4pt) Trouvez le plus court chemin allant de A à F. Appliquez l algorithme de Ford-Moore dans le tableau. FIG. 2: Graphe des chemins (unité : k euros) Tableau pour l algorithme : Quel est le chemin le plus court : Quelle est sa longueur : Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 19

20 Question 5 (4pt) Prouvez grâce au marquage de l algorithme de Ford-Fulkerson que le flot du graphe suivant n est pas maximal (faites le marquage sur le graphe ci-dessous) : Quelle est la chaîne améliorante que vous avez trouvée : Quel gain permet-elle : Reportez ce gain sur le graphe, et prouvez avec le marquage de l algorithme de Ford-Fulkerson que maintenant le flot est maximal. Quel est ce flot maximal? Question 5 (4pt) Utilisez l algorithme de Busacker et Gowen pour trouver le flot max à coût min du graphe suivant (vous avez le droit de voir les plus courts chemins sans les prouver, et le flot maximal du graphe est de 3 tonnes). 20 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

21 Première itération : Reportez le flot trouvé par cette première itération et calculez le nouveau graphe associé : Si le flot max n est pas atteint : Deuxième itération : Reportez le flot trouvé par cette deuxième itération et calculez le nouveau graphe associé : Si le flot max n est pas atteint : Troisième itération : Reportez le flot trouvé par cette troisième itération et calculez le nouveau graphe associé : Quel est le coût minimal du flot maximal? Réponse : Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 21

22 B Exemple de contrôle final Durée : 2 heures. Avertissement : Les chiffres ont été très simplifiés pour rendre les calculs simples. Les solutions peuvent se trouver de façon triviale. Ce n est pas le «bon» résultat qui compte, mais la démarche que vous avez suivie pour le trouver : modélisation, suivie de l utilisation d une technique vue en cours, et terminée par son interprétation. B.1 Les vignes de l abbaye (10pt) Une abbaye de Bourgogne possède 2 hectares de vignes pour sa propre consommation. Mais comme elle produit plus de vin qu elle n en a besoin, elle commercialise le surplus. Son vignoble contient deux cépages différents : 1 hectare de pinot noir, et 1 hectare de gamay. Cette année les vendanges ont permis la récolte de 2400 litres de pinot noir et de 6000 litres de gamay. Pour son usage propre, l abbaye met d entrée de coté 400 bouteilles (1 bouteille = 0,75 litre) de pinot noir et 4000 bouteilles de gamay. Elle compte commercialiser le vin restant sous la forme de deux vins : Des bouteilles de pinot noir : ce vin est composé uniquement de pinot noir. Chaque bouteille (0,75 litre) se vendra à 30 euros. Des bouteilles de passe-tout-grain : ce vin est composé d un tiers de pinot noir et deux tiers de gamay. Chaque bouteille (0,75 litre) se vendra à 12 euros. Question 1 Comment cette abbaye doit repartir le vin restant pour gagner le plus d argent possible? Question 2 Cette répartition laisse-t-elle encore du vin sans usage? Si oui lequel? B.2 Barcelone ou Dublin? (10pt) Une agence de voyage fidélise sa clientèle en délivrant des «Hermès» à chaque voyage acheté. Elle propose ensuite d échanger ces Hermès contre des voyages. Chaque semaine elle offre ainsi une liste de trajets possibles avec leur coût en Hermès. Un client bordelais qui a accumulé une belle somme d Hermès compte en utiliser une partie pour se payer un voyage. Deux destinations le tente : soit Dublin, soit Barcelone. Il consulte les propositions de voyages de la semaine, et voici la liste des trajets qu il a retenus pour aller à destination en partant de Bordeaux (dans chaque ville les correspondances sont réalisables) : En avion il peut faire : Bordeaux->Madrid : pour 45 Hermès. Paris->Londres : pour 25 Hermès. Paris->Barcelone : pour 50 Hermès. Madrid->Barcelone : pour 25 Hermès. Toulouse->Barcelone : pour 15 Hermès. Toulouse->Dublin : pour 30 Hermès. Londres->Dublin : pour 25 Hermès. Bruxelles->Dublin : pour 30 Hermès. Bruxelles->Barcelone : pour 25 Hermès. En train il peut faire : Bordeaux->Paris : pour 20 Hermès. Paris->Londres : pour 30 Hermès. Paris->Bruxelles : pour 20 Hermès. Question 1 Quelle destination doit-il choisir pour minimiser sa dépense d Hermès. Combien va-t-il devoir en dépenser et en prenant quels trajets? 22 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

23 C Correction de l exemple du sujet de contrôle continu durée 1h, sans document ni calculatrice. Question 0 (1pt) Nom : Parfait Prénom : Modeste Groupe : K1 : K2 : K3 : K4 : Question 1 (3pt) Calculez la durée du projet, les dates au plus tôt, les dates au plus tard et les marges des tâches du projet modélisé par le graphe suivant (répondez soit directement sur le graphe, soit dans le tableau en dessous). Surlignez le chemin critique sur le graphe. FIG. 3: Graphe modélisant les tâches du projet (unité : jour) Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 23

24 Question 2 (2pt) Appliquez l algorithme de Kruskal en dessinant le graphe des diverses étapes pour le graphe suivant : (a) Graphe (unité : k euros) (b) Itération 1 (c) Itération 2 (a) Itération 3 (b) Itération 4 (c) Itération 5 (a) Itération 6 (b) Itération 7 (c) Itération 8 Quel est le poids de l arbre de recouvrement minimal? Réponse : L arbre pèse 21 unités. 24 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

25 Question 3 (2pt) Appliquez l algorithme de Prim en utilisant directement la matrice (faites bien ressortir l arête choisie à chaque étape). Vous choisirez le sommet S 1 comme sommet de départ de l algorithme. Unité : semaine. Quelles sont les arêtes de l arbre de recouvrement minimal que vous avez trouvé? Réponse : les arêtes de l arbre trouvé sont : S 1 S 4, S 3 S 4, S 4 S 5 et S 2 S 3 Quel est le poids de cet arbre? Réponse : Son poids est de 9 semaines. Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 25

26 Question 4 (4pt) Trouvez le plus court chemin allant de A à F. Appliquez l algorithme de Ford-Moore dans le tableau. FIG. 4: Graphe des chemins (unité : k euros) Tableau pour l algorithme : m λ(a) λ(b) λ(c) λ(d) λ(e) λ(f) Sommets Γ + changés 0 0 A B, C, D 1 5/A 4/A 3/A B E, C C E, F 2 3/B D C, F 9/B 11/D C E, F 8/C 12/C E F F 3 7/C 11/C E F 8/E F 4 7/E F Quel est le chemin le plus court : Il passe par A, B, C, E, F. Quelle est sa longueur : Il fait 7 unités. 26 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

27 Question 5 (4pt) Prouvez grâce au marquage de l algorithme de Ford-Fulkerson que le flot du graphe suivant n est pas maximal (faites le marquage sur le graphe ci-dessous) : Quelle est la chaîne améliorante que vous avez trouvée : 2 0 = = 1 A C B E Quel gain permet-elle : elle permet un gain de 1 tonne. Reportez ce gain sur le graphe, et prouvez avec le marquage de l algorithme de Ford-Fulkerson que maintenant le flot est maximal. Quel est ce flot maximal? 6 tonnes peuvent circuler de A vers E. Question 5 (4pt) Utilisez l algorithme de Busacker et Gowen pour trouver le flot max à coût min du graphe suivant (vous avez le droit de voir les plus courts chemins sans les prouver, et le flot maximal du graphe est de 3 tonnes). Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 27

28 Première itération : Le plus court chemin (au sens du coût) sur le graphe passe par A C B D et coûte = 3 kela tonne. On peut faire circuler 2 tonnes par ce chemin (le minimum des 3 capacités qui de toute façon valent 2 toutes les 3). On peut donc faire passer un premier flot de 2 tonnes pour un coût global de 2 3 = 6 ke. Reportez le flot trouvé par cette première itération et calculez le nouveau graphe associé : Si le flot max n est pas atteint : Deuxième itération : Le flot max n est pas atteint. Sur le nouveau graphe, le plus court chemin (au sens du coût) passe par A B C D. Il coûte = 9 kela tonne. On peut faire circuler 1 tonne (le minimum des 3 capacités qui est celle de l arc A B). On peut donc faire circuler un second flot de 1 tonne pour un coût global de 1 9 = 9 ke. Le flot total passe donc à 3. Le flot maximal est atteint. L algorithme s arrête ici (il n est pas utile de calculer le graphe associé). Reportez le flot trouvé par cette deuxième itération et calculez le nouveau graphe associé : Si le flot max n est pas atteint : il est atteint. Troisième itération : Reportez le flot trouvé par cette troisième itération et calculez le nouveau graphe associé : Quel est le coût minimal du flot maximal? Réponse : la somme des deux flots vaut = 15 ke. 28 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

29 D Correction de l exemple du contrôle final D.1 Les vignes de l abbaye (10pt) Question 1 Trouver un gain maximal avec des ressources que l on doit repartir sur divers produits... c est typiquement un problème de programmation linéaire. Comme toujours, le meilleurs point d attaque pour modéliser ce type de problème consiste à trouver la fonction économique. Le gain est obtenu grâce à la vente des bouteilles de pinot noir (B pn ) et de passetout-grain (B ptg ). Les premières rapportent 30 euros et les secondes 12 euros. Donc la fonction économique s exprime ainsi (Z exprimé en euro) : Z = 30 B pn + 12 B ptg Il faut ensuite exprimer les contraintes. Le nombres de bouteilles que l on peut produire est limité par les ressources (la quantité de vin obtenu pour chaque cépage). Mais pour ce problème un petit traitement est nécessaire pour retrouver les bonnes données. En effet on nous donne le total des récoltes, mais seul ce qui reste après le retrait des quantités utilisées directement par l abbaye nous intéresse. Les vendanges ont permis de récolter 2400 litres de pinot noir, mais 400 bouteilles, donc = 300 litres sont d office mis de coté. Il reste donc 2100 litres de pinot noir pour la vente. Les vendanges ont permis de récolter 6000 litres de gamay, mais 4000 bouteilles, donc = 3000 litres sont d office mis de coté. Il reste donc 3000 litres de gamay pour la vente. Maintenant que l on connaît les véritables ressources utilisables, on peut exprimer les contraintes : Chaque bouteille de pinot noir utilise 0.75 litre de pinot noir, et chaque bouteille de passe-tout-grain utilise /3 = 0.25 litre de pinot noir. Donc 0.75 B pn B ptg Les bouteilles de pinot noir n utilise pas de gamay, mais chaque bouteille de passe-tout-grain utilise /3 = 0.5 litre de gamay. Donc 0.5 B ptg La forme canonique du problème est donc : Trouver le maximum de Z (exprimé en euro) avec Z = 30 B pn + 12 B ptg en respectant les contraintes : (1) 0.75 B pn B ptg 2100 (2) 0.5 B ptg 3000 B pn 0 B ptg 0 Pour éviter d avoir des fractions dans nos calculs on va multiplier par 4 l inégalité (1) et par 2 l inégalité (2). Mais attention, si à terme on doit interpréter les variables d écarts qui seront associées à ces contraintes, il faudra se rappeler que leurs unités ont été changées! On obtient donc : Trouver le maximum de Z (exprimé en euro) avec en respectant les contraintes : Z = 30 B pn + 12 B ptg (1) 3 B pn + B ptg 8400 (2) B ptg 6000 B pn 0 B ptg 0 Avec 2 variables, il est envisageable d utiliser la méthode géométrique. Mais attention, la seconde question du problème s intéresse à l utilisation totale des ressources, autrement dit elle va demander d interpréter la valeurs des variables d écart. Même si dans le cas présent (on va voir que ces variables sont nulles) la Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 29

30 méthode géométrique permettrait aussi de connaître simplement le résultat, il vaut mieux passer par un simplexe lorsque vous voyez qu il va falloir interpréter ces variables. Voici donc le premier tableau du simplexe (après l ajout des 2 variables d écarts nécessaires à notre problème -une par contrainte-). B pn B ptg E 1 E 2 Somme E E Le premier pivot est sur la colonne de B pn (le plus grand ) sur la ligne de E 1 (le plus petit rapport Somme/Colonne du pivot). On obtient donc ce second tableau : B pn B ptg E 1 E 2 Somme B pn 1 1/3 1/ E Le second pivot est sur la colonne de B ptg sur la ligne de E 2. On obtient donc ce troisième tableau. B pn B ptg E 1 E 2 Somme B pn B ptg Comme tous les sont négatifs ou nuls, l algorithme va s arrêter à cette itération. Voila pourquoi il n est même pas nécessaire de calculer les coefficients à l intérieur du tableau. On ne calcule que la ligne (pour vérifier qu ils sont tous négatifs ou nuls) et la colonne Somme (pour avoir les résultats). Donc pour la solution optimale, on a : B pn = 800 et B ptg = Toutes les autres variables (E 1, E 2 ) sont nulles (puisqu elles sont hors base). De plus Z vaut L abbaye doit donc embouteiller et vendre 800 bouteilles de pinot noir et bouteilles de passe-toutgrain. Elle en obtiendra un gain de euros. Question 2 La seconde question pose le problème des ressources inutilisés. Il faut donc interpréter les variables d écart. Ces deux variables sont nulles. Donc toutes les ressources sont utilisées. Il ne reste aucun vin sans usage. Si on avait utilisé la méthode géométrique, on aurait constaté que la solution se trouve à l intersection des deux droites «0.75 B pn B ptg = 2100» et «0.5 B ptg = 3000». Les solutions sur la première droite sont celles qui consomment tout le pinot noir, et sur la seconde droite celles qui consomment tout le gamay. Donc à leur intersection on trouve la solution qui consomme la totalité des deux cépages. Il est donc aussi possible de déduire du modèle géométrique que tout le vin est utilisé. Par contre si la solution avait laissé un vin sans usage, il aurait été plus difficile de mesurer les quantités restantes (mais pas impossible, avec un dessin et une règle précis). 30 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

31 D.2 Barcelone ou Dublin? (10pt) Ici, il faut trouver le chemin le moins cher entre Bordeaux et soit Barcelone soit Dublin. On nous indique toutes les étapes intermédiaires possibles, avec pour chacune un coût fixe. Aucun doute possible, il s agit de la recherche d un plus court chemin (les longueurs étant exprimées en «Hermès»). La première étape consiste à dessiner le graphe pour modéliser tous les chemins possibles. Pas de difficulté majeure ici, sauf deux petits pièges qui se cachent dans les données : On trouve des possibilités de voyage à partir de Toulouse, mais le client bordelais n a aucun moyen de joindre cette ville. Il faut donc retirer ces données parasites de notre problème. Entre Paris et Londres, il y a deux moyens de transport possible. Notre but étant de trouver le plus court chemin, c est à dire le moins cher, on peut d office oublier le plus cher des deux. Donc on retire des données le voyage en train entre Paris et Londres. On obtient le graphe suivant : Ce graphe a un seul point d entrée (Bordeaux), mais plusieurs points de sortie (Dublin et Barcelone). Cela ne pose aucun problème puisque les recherches de plus court chemin permettent de trouver la valeur de tous les plus courts chemins depuis 1 point d origine vers tous les autres points du graphe. Une fois cette modélisation terminée, mais avant de mettre en œuvre la technique de recherche du plus court chemin on peut simplifier le graphe : on supprime les états sur lesquels il n y a qu un seul arc entrant et un seul arc sortant. On remplace les 2 arcs par un nouvel arc valué par la somme des deux valeurs. On obtient ce nouveau graphe : Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY 31

32 Il ne reste plus qu à mettre en œuvre l algorithme de Ford-Moore m Bor Par Bru Dub Bar changés Γ Bor Par, Bar 1 20/Bor 70/Bor Par Bru, Dub, Bar Bar 2 40/Par 70/Par 70/Par Bru Dub, Bar Bar Dub 3 70/Bru 65/Bru Bar Dub Le plus court chemin vers Barcelone mesure 65 Hermès, et vers Dublin 70 Hermès. Le client bordelais devrait donc choisir d aller à Barcelone en prenant le train pour Paris, puis le train jusqu à Bruxelles pour finir en avion jusqu à Barcelone. 32 Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY