Chap. III : Exemples de cryptosystèmes à

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Lucille Paquette
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1 Plan Chap. III : 25 septembre 2009

2 Plan Chap. III : Plan 1 décalage 2

3 Plan Chap. III : Plan 1 décalage 2

4 décalage Dans ce système de chiffrement, chaque lettre est représentée un entier compris entre 0 et 25. Cela revient travailler dans Z 26. Plus précisément, les clefs secrètes, les messages clairs et chiffrés sont dans Z 26. Pour chiffrer un message clair M := x 1 x 2... x N écrit avec les lettres de l alphabet latin (les x i sont donc des lettres quelconques), on commence transformer chaque lettre x i de M en un entier n i entre 0 et 25, le message devient donc la suite des entiers n 1 n 2... n N. Puis chaque entier n i est chiffré avec le chiffrement décalage E K avec une K. On obtient donc une suite d autres entiers C := m 1 m 2... m N où m i := E K (n i ). Lorsque Bob reçoit le chiffré C, il retrouve M (1) calculs de D k (m i ) = D K (E k (n i )) = n i puis (2) il récupère M en remplaçant chaque entier n i sa lettre correspondante.

5 décalage La correspondance lettre/entier généralement employée est donnée a b... z

6 Définition formelle du chiffrement décalage Chap. III : décalage Pour une clef K Z 26, c est--dire 0 K 25, M Z 26 un message secret et C Z 26 un message chiffré, on définit et E K (M) := M + K (mod 26), D K (C) := C K (mod 26). Il est facile de vérifier que D K (E K (M)) = M pour tout M Z 26. Pour la clef K = 3, ce système cryptographique est souvent appelé chiffrement de César, car il était utilisé Jules César. Le chiffrement d une lettre x est en fait réalisé un décalage cyclique de K lettres vers la droite (dans l alphabet latin). Cyclique signifiant qu une fois atteinte la lettre z, on recommence tir de a.

7 Exemple Chap. III : décalage Supposons que la clef soit K = 11. Supposons que le texte clair soit rendezvousaminuit. On commence convertir le message en une suite d entiers : r e n d e z v o u s a m i n u i t Ensuite on ajoute K = 11 chaque valeur

8 Exemple Chap. III : décalage On calcule le reste modulo 26 : Enfin on convertit cette suite d entiers en une suite de lettres : cpyopkgzfdlxtyfte est le message chiffré.

9 décalage Pour déchiffrer ce texte, Bob doit d abord convertir le texte en entiers, soustraire K = 11 chaque valeur, calculer les restes modulo 26 et enfin convertir les nombres en caractères alphabétiques. Remarquons que le chiffrement décalage est peu sûr : en effet, on peut le cryptanalyser la méthode de recherche exhaustive (ou force brute). Comme il n y que 26 clefs possibles, il suffit d essayer toutes les clefs jusqu ce que l on obtienne un message clair compréhensible. En moyenne cette méthode le texte clair est obtenu après 26/2=13 essais. Conclusion : Cela montre qu il est nécessaire, pour la sécurité d un système cryptographique, que l espace des clefs soit grand, mais comme on peut l imaginer, cette condition n est nullement suffisante.

10 décalage Ce procédé de chiffrement fut employé durant des siècles. Il repose sur la notion de vue au chapitre précédent. De façon générale, une d un alphabet A est une bijection de A dans lui-même. Ainsi une subsitution transforme chaque lettre de l alphabet A en une autre lettre du même alphabet. Si π est une de A, alors il existe une unique σ de A pour laquelle on a quel que soit a A, π(σ(a)) = a et σ(π(a)) = a. σ est l inverse de π, généralement notée π 1.

11 décalage Pour le chiffrement, les messages clairs et chiffrés sont des lettres d un alphabet A ( exemple, l alphabet latin). Les clefs secrètes sont choisies mi les s de A. Soient alors π une de A et M A une lettre. On a alors : E π (M) := π(m). Soit alors C A le chiffré correspondant, C = π(m). Alors on a également D π (C) := π 1 (C) = M.

12 décalage Pour chiffrer une suite de lettres M 1 M 2... M n prises dans l alphabet A, on calcule C = E π (M 1 )E π (M 2 )... E π (M n ). Posons C i := E π (M i ) pour i = 1,..., n. Pour déchiffrer C = C 1 C 2... C n, on calcule D π (C 1 )D π (C 2 )... D π (C n ) = M 1 M 2... M n = M.

13 Exemple Chap. III : décalage Soit π la fonction suivante : a b c d e f g h i j k l m x n y a h p o g z q w b t n o p q r s t u v w x y z s f l r c v m u e k j d i 1 π est-elle une? 2 Décrire sa inverse π 1 ; 3 Quel est le chiffré de bonjour?

14 décalage Combien a-t-on de clefs secrètes possibles? 26! > Pour la lettre a on a 26 choix possibles de transformation en une autre lettre de l alphabet ( a compris). Pour la lettre b on a 25 choix possibles de transformation en une autre lettre de l alphabet.... Pour la lettre z on a 1 choix possible de transformation en une autre lettre de l alphabet. Soit un total de = 26! Une recherche exhaustive de la clef devient très difficilement réalisable, y compris avec l assistance d un ordinateur. Cependant ce cryptosystème peut être cassé l aide d autres techniques.

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