Introduction à la programmation en variables entières Cours 5

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Lucille Beaupré
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1 Introduction à la programmation en variables entières Cours 5 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265

2 Sommaire 1 Relaxation Lagrangienne 2

3 Relaxation Pour un problème entier (PLE) du type Z PLE = min{cx : Ax b,x 0,x Z}, tout problème de minimisation tel que 1 X X R, 2 f R (x) cx pour tout x X Z R = min{f R (x) : x X R } définit une relaxation du problème initial. Relaxer : relâcher des contraintes sans dégrader les solutions réalisables.

4 Relaxation Théorème La solution optimale d un relaxation donne une borne inférieure (pour un problème de minimisation) sur la solution du problème initial. Preuve : Si x X est optimale pour le problème initial, alors Z R f R (x ) cx = Z PLE.

5 Relaxation linéaire Problème entier : Relaxation : Z PLE = min{cx : A 1 x b 1,A 2 x b 2,x 0,x Z}, min{cx : x X} z R = min{f R (x) : x X R X} avec f R (x) cx, x X Relaxation linéaire relaxer (supprimer) x Z : X R = X LP, garder le même objectif : f R (x) = cx.

6 Exemple relaxation linéaire Problème du sac-à-dos : Solution de la relaxation linéaire : On suppose max i u ix i s.c. i w ix i W x i {0,1} i u 1 w 1 u 2 w 2 u n w n. Soit k tel que k i=1 w i W et k+1 i=1 w i > W. La relaxation linéaire est donnée par : x i = 1 x k+1 = (W k i=1 w i) w k+1 x i = 0 pour i = 1,...,k pour i = k +2,...,n

7 Exemple relaxation linéaire Application numérique : n = 5 W = 6 i u i w i u i /w i

8 Exemple relaxation linéaire Application numérique : n = 5 W = 6 i u i w i u i /w i Solution du PL : x PL = (1,1,2/3,0,0), UB = 76

9 Relaxation combinatoire Problème entier : Relaxation : Z PLE = min{cx : A 1 x b 1,A 2 x b 2,x 0,x Z}, min{cx : x X} z R = min{f R (x) : x X R X} avec f R (x) cx, x X Relaxation combinatoire relaxer les contraintes difficiles A 1 x b 1 pour se retrouver avec un problème combinatoire plus facile : X R = {x Z : A 2 x b 2,x 0} X garder le même objectif : f R (x) = cx.

10 Exemple relaxation combinatoire Voyageur de commerce asymétrique : x ij = 1 si on va directement de la ville i à la ville j, 0 sinon. u i = position du de la ville i dans le circuit. min (i,j) A c ijx ij s.c. j:(i,j) Ax ij = 1 i i:(i,j) A x ij = 1 j u 1 = 1 u i +1 u j +n(1 x ij ) i,j 2 u i n i x ij {0,1} (i,j) A

11 Exemple relaxation combinatoire On relâche les contraintes d élimination des sous-tours : min (i,j) A c ijx ij s.c. j:(i,j) Ax ij = 1 i i:(i,j) A x ij = 1 j x ij {0,1} (i,j) A Problème d affectation de coût minimum (cas particulier d un problème de transport) dans un graphe biparti.

12 Relaxation Lagrangienne Problème entier : Relaxation : Z PLE = min{cx : A 1 x b 1,A 2 x b 2,x 0,x Z}, min{cx : x X} z R = min{f R (x) : x X R X} avec f R (x) cx, x X Relaxation Lagrangienne relaxer les contraintes difficiles A 1 x b 1, pénaliser leur violation dans l objectif : f R (x) = cx +u(b 1 A 1 x) avec u 0.

13 Exemple relaxation Lagrangienne Plus court chemin avec contrainte de temps : x ij = 1 si on prend l arc (i,j), 0 sinon. min (i,j) A c ijx ij s.c. (i,j) At ijx ij T j:(s,j) Ax sj = 1 j:(j,t) Ax jt = 1 j:(j,i) A x ji j:(i,j) A x ij = 0 i s,t x ij {0,1} (i,j) A

14 Exemple relaxation Lagrangienne On relâche la contrainte de temps et on pénalise sa violation dans l objectif : θ(u) = min (i,j) A c ijx ij +u( (i,j) A t ijx ij T) = min (i,j) A (c ij +ut ij )x ij ut s.c. j:(s,j) Ax sj = 1 j:(j,t) Ax jt = 1 j:(j,i) A x ji j:(i,j) A x ij = 0 x ij {0,1} i s,t (i,j) A Pout u fixé, problème de plus court chemin. Question : quelle est la meilleure valeur pour u?

15 Relaxation / problème initial Si la solution x de la relaxation linéaire est telle que x Z alors elle est optimale pour le PLE. Si la solution x de la relaxation combinatoire est telle que A 1 x b 1 alors elle est optimale pour le PLE. Si la solution x (u) de la relaxation Lagrangienne est telle que A 1 x (u) b 1 et u(b 1 A 1 x (u)) = 0 (c-à-d cx (u) = f R (x (u))) alors elle est optimale pour le PLE.

16 Lagrangien La fonction objectif modifiée L(x,u) = cx +u(b 1 A 1 x) s appelle le Lagrangien. Pour tout u 0 la solution du sous-problème Lagrangien définit par θ(u) = min{cx +u(b 1 A 1 x) : A 2 x b 2,x N n } définit une borne duale sur z PLE. La fonction θ : u θ(u) s appelle la fonction duale Lagrangienne. La meilleure borne duale qu on puisse obtenir de la sorte est celle définie par la solution du problème dual Lagrangien : LD = max u 0 θ(u) = max u 0 min x X 2(cx +u(b 1 A 1 x))

17 Problème dual Lagrangien LD = max u 0 θ(u) = max u 0 min x X 2(cx +u(b 1 A 1 x)) Soit X 2 = {x t } t=1,...,t. On a LD = max u 0 min t=1,...,t (cxt +u(b 1 A 1 x t )). Résolution par programmation linéaire : LD = max u 0 min{(cx1 +u(b 1 A 1 x 1 )),(cx 2 +u(b 1 A 1 x 2 )),...,(cx T +u(b 1 A 1 x T ))} LD = maxη η u(b 1 A 1 x t ) cx t u 0 η R pour t = 1,...,T

18 Problème dual Lagrangien LD = max u 0 min t=1,...,t (cxt +u(b 1 A 1 x t )). Résolution par l algorithme du sous-gradient : (programmation non-linéaire) Pour un u fixé, la solution de θ(u) est une solution de X 2. Quand on modifie légerement u, la solution de θ(u) reste la même solution de X 2, mais sa valeur varie de manière linéaire. Pour certains u, deux solutions de X 2 sont optimales pour θ(u). Ils vont définir des cassures dans la fonction θ(u). La fonction θ(u) est convexe et linéaire par morceaux (mais non-différentiable). (b 1 A 1 x t ) est un sous-gradient de θ(u) en u tel que x t = argmax θ(u). Ce vecteur donne une direction d amélioration.

19 Problème dual Lagrangien Algorithme des sous-gradients : 1 u 0 = 0, t = 0 2 trouver x t = argmin x X 2L(x,u t ) 3 Si x t est optimale pour le PLE, STOP. Si θ(u) ne s améliore plus depuis K itérations, STOP. Sinon u t+1 = {u t +s t (b 1 A 1 x t )} + avec s t = α UB L(ut ) b 1 A 1 x t 2 où 0 < α < 2. t = t +1, et retourner en 2.

20 Algorithme des sous-gradients Application au voyageur de commerce symétrique : z PLE = min e E c ex e e δ(i) x e = 2 i V e E(S) x e S 1 S V x e {0,1} e E z PLE = min e E c ex e e δ(1) x e = 2 e δ(i)x e = 2 i V \{1} e E x e = n e E(S) x e S 1 S V, 1 S x e {0,1} e E

21 Algorithme des sous-gradients z PLE = min e E c ex e e δ(1) x e = 2 e δ(i)x e = 2 i V \{1} e E x e = n e E(S) x e S 1 S V, 1 S x e {0,1} e E Relaxation Lagrangienne des contraintes de degrés pour les sommets 1 : θ(u) = min e E c ex e + i V\{1} u i(2 e δ(i) x e) e δ(1)x e = 2 e E x e = n e E(S) x e S 1 x e {0,1} S V, 1 S e E

22 Algorithme des sous-gradients θ(u) = min e E (c e u i u j )x e +2 i V\{1} u i e δ(1)x e = 2 e E(S) x e S 1 x e {0,1} S V, 1 S e E Pour un u donné, la solution du problème consiste en un arbre couvrant de poids minimum sur les sommets {2,...,n} auquel on ajoute les deux arêtes de plus petit coût incidente au sommet 1.

23 Sommaire 1 Relaxation Lagrangienne 2

24 Arrondir successivement les variables min{cx : Ax b,x N} 1 Résoudre la relaxation linaire x. 2 Parmi les variables fractionnaires, choisir la variable la moins fractionnaire. Si toutes les variables sont entières, STOP. 3 Fixer la variable choisie à l entier le plus proche. 4 retourner en 1.

25 Approche hiérarchique Résoudre d abord le problème pour les variables importantes : min{c(x,y) : A(x,y) b,x N,y N} où les variables x concernent des décisions importantes. 1 Résoudre min{c(x,y) : A(x,y) b,x N,y R} Soit x la solution en x. 2 On fixe les variables en x et on résoud min{c(x,y) : A(x,y) b,x = x,y N}

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