Ecoulements Compressibles et Supersoniques

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1 Ecoulements Compressibles et Supersoniques Feuille d exercices IV Compléments sur les ondes de choc obliques 1 Réflection d une onde de choc oblique On considère la réflection d un choc oblique permanent pour un gaz idéal polytropique de constante γ = 1.4 initialement généré par la déflection d un angle ϕ A = 16 d un écoulement à Mach M 1 = 2.8. Voir Figure 1. trajectoire 1 2 Choc Incident Choc Réflechi 3 Figure 1 Réflection d un choc oblique. 1. À l aide de l abaque de choc fournie, calculer l angle de choc oblique : σ A. 2. Calculer les propriétés de l écoulement dans la zone 2, zone aval du choc incident. On calculera en particulier le nombre de Mach M 2, les rapports de pressions et de températures. 3. On suppose que le choc initié en A atteint la paroi supérieure au point B et se réflechit au sens où l écoulement dans la partie aval, la zone 3, est redevenu parallèle à la paroi. Déterminer σ B et en déduire Φ, l angle que forme le choc réflechi avec la paroi. 4. De la même manière que pour 2), calculer les propriétés de l écoulement dans la zone Représenter graphiquement la réflection à l aide de la polaire de choc dans le plan (ϕ, log(p/p 1 )). 1

2 2 Étude qualitative de l interaction de deux ondes de choc obliques Trajectoire 1 Trajectoire ' Choc Choc' Discontinuité Figure 2 Intersection de deux chocs obliques. Sur la figure 2, on considère maintenant l interaction de deux chocs obliques issus de la déflection d un écoulement à Mach M 1 > 1 d un angle ϕ 2 pour la partie inférieure et d un angle ϕ 3 pour la partie supérieure. On suppose que ces deux chocs collisionnent en E et que leur interaction donne naissance à deux chocs réflechi et une discontinuité de contact de type ligne de glissement faisant un angle Φ avec l horizontale. On a également représenté deux trajectoires issues de deux points de l écoulement amount qui passent de chaque côté du point E. On note ϕ 4 la déflection de l écoulement de la zone 3 vers la zone 4 et ϕ 4 la déflection de la zone 2 à la zone 4. On rappelle que par définition, le long de la ligne de glissement on a continuité de l angle de l écoulement et continuité des pressions. Question : En vous aidant du dernier résultat de l exercice précédent, faire l analyse qualitative de la situation dans un diagramme (ϕ, log(p/p 1 )). 3 Problème : Plaque infiniment fine dans un écoulement supersonique On considère un écoulement plan permanent autour d une plaque plane de longueur finie L, dans la limite d une épaisseur infiniment faible. Cet écoulement est représenté sur la Figure 3. Au bord d attaque, la plaque engendre deux écoulements classiques, une détente de Prandtl-Meyer et 2

3 une onde de choc oblique, que nous avons étudiées en cours. La structure de l écoulement engendre alors une force sur la plaque, induisant portance et trainée ; c est l objet de la première sous-partie. Le but de la seconde sous-partie est le raccord des écoulements au bord de fuite. Tout au long de cette étude, on se considerera suffisamment près de la plaque pour négliger les possibles interactions entre les différentes ondes provenant des bords d attaque et de fuite. 1 V 1 O V V 3 O 5 Figure 3 Ondes de choc obliques et détentes de Prandtl-Meyer sur une plaque de longueur finie et d épaisseur nulle faisant un angle de 20 degrés avec l écoulement amont. 3.1 Forces s exerçant sur la plaque A l amont du dispositif, l écoulement est supersonique, de nombre de Mach M 1, de vitesse V 1 = U 1 e x. Dans cette question, l écoulement est supposé partout supersonique, et pour les applications numériques, on prendra γ = 1.4 et M 1 = 3. On va analyser les principales lignes caractéristiques de l écoulement autour de la plaque Détente de Prandtl-Meyer 1. Rappeler brièvement comment s effectue la résolution de la détente centrée de Prandtl-Meyer à l aide de la fonction du même nom. 2. L angle ϕ vaut 20. En utilisant la tabulation de la fonction de Prandtl-Meyer donnée en annexe et issue du livre de Anderson, calculer le nombre de Mach aval M 2. 3

4 3. En déduire le rapport de pression p 2 /p 1 en utilisant le caractère homoentropique de l écoulement et la pression génératrice (pression d arrêt). 4. Evaluer les angles que font les deux C + caractéristiques, qui délimitent la structure d onde simple de détente, avec la direction de l écoulement amont Onde choc oblique 5. En utlisant les abaques de choc oblique (courbes correspondant à un nombre de Mach amont donné dans le diagramme ϕ α) donnés en annexe, évaluer l angle de l onde de choc oblique α correspondant à l angle de déflection ϕ. 6. Exprimer le nombre de Mach normal amont et en déduire le Mach aval M 3 ainsi que le rapport de pression p 3 /p Représenter qualitativement les points correspondant aux zones 2 et 3 sur un diagramme (ϕ, log(p/p 1 )) en traçant la polaire de choc oblique et la courbe correspondant à la détente de Prandtl-Meyer Trainée et portance d onde ( wave drag and lift ) 8. Donner la force de trainée T et de portance P par unité d envergure de la plaque (c est-à-dire par unité de longueur dans la direction orthogonale au plan de la Figure 3) issue du différentiel de pression entre p 2 et p 3 sur la plaque de longueur L. 9. Calculer les coefficients de trainée c T et de portance c P définis par c T = où la pression dynamique q 1 vaut γ 2 p 1M Raccords des écoulements en O T L q 1, c P = P L q 1, (1) On fait l hypothèse qu en O, la structure de l écoulement retrouve sa symétrie, c est à dire que Φ vaut 0 et les vitesses V 4 et V 5 sont colinéaires à e x. 10. Expliquez pourquoi, dans la mesure où l écoulement en centré, il est nécessaire d avoir la présence d une onde de choc oblique et d une onde de détente de Prandtl-Meyer qui relient les états 2 et 3 aux états 4 et 5 respectivement. 11. Quelle doit être la structure de l écoulement dans les zones 4 et 5 ainsi que les conditions de saut à l interface entre ces deux zones? Quelle est la nature de cette interface? 12. Dans la mesure où l on se donne la direction de l écoulement aval via l angle Φ, donnez la valeur du champ de pression dans les zones 4 et 5. Faites l application numérique pour Φ = 0. Qu en déduisez-vous? 13. L angle Φ est-il un degré de liberté du problème ou bien est-il déterminé par l écoulement amont? Dans le second cas, expliquez comment il doit être obtenu. 14. Calculer une approximation de Φ. On procèdera par approximation successives en partant de Φ = 0, on expliquera si l on doit augmenter ou diminuer Φ pour converger vers la bonne solution. On calculera en particulier la solution pour laquelle la valeur absolue de Φ vaut 1 4

5 degré et on en déduira par interpolations successives une valeur raisonnablement précise de Φ. Commentez le résultat obtenu. 15. Calculer les rapports de pressions p 4 /p 1 et p 5 /p 1 dans les zones 4 et 5, puis donner l angle µ que fait la seconde onde de choc oblique issue de O avec l écoulement amont, ainsi que les nombres de Mach dans ces zones. 16. Tracer la structure des différentes ondes obtenues dans un diagramme (ϕ, log(p/p 1 )) de polaire de choc et situer en particulier les zones 4 et 5 sur ce diagramme. 5

6 M ν(m) M ν(m) M ν(m) M ν(m) M ν(m) M ν(m) Table 1 Tabulation de la fonction de Prandtl-Meyer, notée ici ν(m). Le résultat est donné en degré et non en radian. 6