MATHEMATIQUES. Semestre 1. Statistiques descriptives à une variable. TD et exercices

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1 Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION MATHEMATIQUES Semestre 1 Statistiques descriptives à une variable TD et exercices Cours en ligne : sur section DUT Maths S1. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 1 sur 7

2 Exercice 1. Éléments d un tableau (variable continue) TD cours page 6 Compléter le tableau suivant classes de caractère [50 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 110[ [110 ; 150[ modalités amplitudes x i a i effectifs n i N = ECC (effectifs cumulés croissants) concentrations d'effectifs c i fréquences f i FCC (fréquences cumulées croissantes) Exercice 2. Diagramme en barres des effectifs (variable discrète) TD cours page 8 D après le tableau ci-dessous, réaliser un diagramme en barres des effectifs. prix d'un téléphone portable nombre de magasins Exercice 3. Histogramme (variable continue) TD cours page 9 Compléter le tableau ci-dessous, puis réaliser un histogramme. classes de caractère (nb d employés) [50 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 110[ [110 ; 150[ amplitudes a i effectifs n i N = concentrations c i Exercice 4. Diagramme des FCC (variable continue) TD cours page 9 On donne le tableau ci-dessous. classes de caractère [50 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 110[ [110 ; 150[ effectifs n i N = ECC (effectifs cumulés croissants) fréquences f i 0,19 0,24 0,21 0,36 FCC (fréquences cumulées croissantes) 0 0,19 0,43 0,64 1 1) Compléter ce tableau. 2) Déterminer : a. ECC(80) b. FCC(110) c. ECC(90) d. x tel que FCC(x) = 73% e. FCC(130), FCC(140) 3) Réaliser un diagramme des fréquences cumulées croissantes de ces données. 4) Par lecture graphique, donner a. FCC(65) b. x tel que FCC(x) = 85% IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 2 sur 7

3 Exercice 5. Lectures graphiques 1) L histogramme suivant a été établi d après une étude menée sur 70 individus. a. Combien d individus ont une modalité comprise entre 6 et 8? b. A quelle fréquence a-t-on rencontré des individus de modalité supérieure à 9? c. Retrouver le tableau de départ mentionnant les intervalles et les effectifs correspondants. 2) Le diagramme des FCC suivant a été établi d après une étude menée sur 250 individus. a. Combien d individus ont une modalité comprise entre 30 et 40? b. Combien d individus ont une modalité comprise entre 37,5 et 47,5? c. Retrouver le tableau de départ mentionnant les intervalles et les effectifs correspondants. Exercice 6. Mode TD cours page 10 1) Déterminer le mode de la série donnée ci-dessous. prix d'un téléphone portable nombre de magasins ) Déterminer la classe modale de la série donnée en exercice 1. Exercice 7. Médiane (caractère continu) TD cours page 11 1) A partir du diagramme des FCC établi dans l exercice 4, faire une lecture graphique du nombre d employés médian de ces 300 entreprises. 2) Par interpolation linéaire, calculer cette médiane. Exercice 8. Moyenne TD cours page 12 1) Calculer la moyenne de la série présentée ci-dessous : note en maths nombre d'étudiants IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 3 sur 7

4 2) Dans le monde, 30% des gens ont accès à 3000 calories par jour et 70% des gens à 1200 calories par jour. Si l on pouvait distribuer les ressources alimentaires disponibles de manière équitable à tous les êtres humains, à combien de calories chaque personne aurait-elle accès chaque jour? Exercice 9. 1) Une liste contient 10 valeurs, dont une inconnue (x) : 2, 7, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, x. La moyenne vaut 9,9. Saurez-vous retrouver la valeur de x? 2) Dans la série suivante, de moyenne 30, il manque également une valeur à retrouver. valeurs x i x effectifs n i Comparer directement pour chaque série : la moyenne, le mode, la médiane. [15;25[ [25;35[ [35;45[ [45;55[ [55;65[ [15;25[ [25;35[ [35;45[ [45;55[ [55;65[ x i total x i total n i n i Soit le tableau suivant : prix ( ) x i X : variable "prix d'un téléphone" nombre de magasins n i N = 20 1) Calculer le prix moyen d un téléphone. 2) Si tous les magasins pratiquaient une remise de 5, quelle serait l incidence sur le prix moyen? 3) Si tous les magasins pratiquaient une remise de 10 %, quelle serait l incidence sur le prix moyen? 4) Quel est le prix moyen de deux téléphones? et si on ne les achète pas forcément dans le même magasin? On s intéresse aux personnes susceptibles d acheter un téléphone, plus une housse. Voici ce qui est proposé sur le marché : téléphone : prix ( ) x i X : variable "prix d'un téléphone" nombre de magasins n i N 1 = 20 housse : Moyenne Exercice 10. Comparaison des paramètres de position TD cours page 12 Exercice 11. Propriétés de la moyenne TD cours page 12 Exercice 12. Distribution somme TD cours page 12 prix d'une housse ( ) y j 8 12 Y : variable "prix d une housse" nombre de magasins n j 5 2 N 2 = 7 L'étude du prix total à payer pour un téléphone plus une housse est celle de la distribution somme X+Y. Elle impose d'envisager chaque prix total possible, associé au nombre de cas où on peut le rencontrer. 1) Compléter le tableau suivant : prix total x (X+Y, en ) i + y j nombre de n cas i n j N = 2) Calculer E(X+Y) à partir du tableau ci-dessus. 3) Comparer le résultat précédent à E(X) + E(Y). IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 4 sur 7

5 Exercice 13. Étendue TD cours page 13 1) Soit les nombres horaires de pièces fabriquées par deux ouvriers pendant cinq heures : ouvrier ouvrier Déterminer les étendues de ces deux séries. 2) Quelles sont les étendues des séries présentées dans les exercices 1 et 2? Exercice 14. Quantiles TD cours page 14 Déterminer les quartiles de l exemple présenté en exercice 2 ; réaliser la boîte à pattes. Exercice 15. Quantiles TD cours page 14 Soit la série suivante : (notes obtenues et nombre d'étudiants) x i n i ECC 1) Donner l étendue de la série. 2) Donner les trois quartiles de la série. 3) Donner les premier et dernier déciles de cette série. 4) Réaliser une boîte à pattes basée sur les valeurs extrêmes et les quartiles. Exercice 16. Quantiles TD cours page 14 A partir du diagramme des FCC réalisé en exercice 4, faites une lecture graphique des quartiles. Exercice 17. Moyenne et écart type TD cours page 15 On considère la série donnée en exercice 1. 1) A l aide de la calculatrice, donner sa moyenne et son écart type. 2) A partir du diagramme des FCC dressé en exercice 4 pour cette même série, dire par lecture graphique quel est le pourcentage d'individus dont les modalités se trouvent dans l'intervalle [ x σ ; x σ ] Exercice 18. On considère les impôts locaux payés dans une commune par les 2000 contribuables : montant de l'impôt ( ) x i effectifs f i FCC a i c i [0 ; 400[ 220 [400 ; 600[ 515 [600 ; 700[ 420 [700 ; 1000[ 490 [1000 ; 1500[ ) a. Donner la classe modale de cette série. b. Construire l'histogramme et donner une valeur modale ponctuelle. 2) a. Dresser un diagramme des fréquences cumulées croissantes. b. Faire une lecture graphique des trois quartiles puis calculer la médiane de la série. c. Donner la signification concrète de ces trois valeurs. 3) a. Donner, à l'aide de la calculatrice, la moyenne de la distribution et son écart type. b. Par lecture graphique, déterminer le pourcentage de contribuables dont l'impôt appartient à l'intervalle [ x σ ; x σ ] +. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 5 sur 7

6 Exercice 19. On a mené des études sur deux parcelles de vergers, quant à la masse des pommes d'un échantillon recueilli. On a obtenu les résultats suivants : classes (g) [75 ; 85[ [85 ; 95[ [95 ; 105[ [105 ; 115[ [115 ; 125[ effectifs parcelle effectifs parcelle ) Comparez les moyennes et écarts types de ces deux séries. 2) Dans quelle parcelle trouve-t-on le pourcentage le plus important de pommes pesant moins de 100g? Exercice 20. Un rapport d'activité a été partiellement effacé. Saurez-vous le compléter? nombre de contacts clients [45 ; 50[ [50 ; 55[ nombre de commerciaux moyenne : 45,875 contacts par commercial ; intervalle interquartile : [42,5 ; 50] 1) Compléter ce tableau. 2) Si on prenait pour moyenne la valeur de la médiane, quel pourcentage d'erreur commettrait-on? 3) On souhaite ici choisir deux commerciaux au hasard et s'intéresser au nombre total de contacts clients de ce duo. On appelle X la variable "nombre de contacts clients d'un commercial" et on lui donnera pour valeurs les minimums des classes du tableau de l'énoncé. a. Faites un tableau donnant la série statistique de la distribution somme X+X. b. Quelles sont les chances que le duo que l'on va choisir au hasard totalise au moins 90 contacts? Exercice 21. Pour vérifier la régularité de la grosseur d'un fil textile on peut utiliser la méthode du titrage. Le titre d'un fil (exprimé en Tex) est la masse en grammes d'un kilomètre de fil. Une filature conditionne un fil de laine sous forme de bobines. La mesure du titre du fil de 200 bobines d'un échantillon fournit les résultats suivants : Titre x en Tex [76 ; 77,5[ [77,5 ; 78[ [78 ; 78,5[ [78,5 ; 80[ Effectifs ) Quelle est la classe modale de cette série statistique? Justifier. 2) a. Représenter le diagramme des fréquences cumulées croissantes de cette série. b. Faire une lecture graphique visible des trois quartiles et consigner les résultats. c. Dresser la boîte à pattes de la série, en utilisant les quartiles. 3) a. Calculer la médiane de la série puis vérifier avec les résultats obtenus précédemment. b. Donner la signification de cette valeur. Exercice 22. A l'issue d'un devoir, 27 étudiants ont été notés sur 20 points et classés suivant leur résultat : notes x i effectifs n i écarts 1) a. Donner la note moyenne des étudiants, ainsi que l'écart type de cette série. b. Compléter dans le tableau la ligne des écarts de chaque note à cette moyenne. c. Que vaut l'écart moyen? IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 6 sur 7

7 d. Que vaut l'écart absolu moyen? 2) Quel est le pourcentage des individus dont la note se trouve dans l'intervalle [ x σ ; x σ ] 3) Quelle est la note médiane de la série? Exercice 23. +? Le responsable d un magasin de gros outillage a relevé, pendant une semaine, le montant en euros des achats de 200 clients. Les résultats figurent dans le tableau suivant : Montant des achats, x i Nombre de clients, n i [0 ; 150[ 15 [150 ; 250[ 42 [250 ; 300[ 34 [300 ; 400[ 40 [400 ; 600[ 69 Concentrations d effectifs, c i Fréquences, f i 1) Compléter le tableau ci-dessus, donner la classe modale. 2) Tracer l histogramme des effectifs de cette série et déterminer graphiquement le mode. Echelle : 1 cm pour 50 euros en abscisses, 1 cm pour 0,1 unité en ordonnée. 3) Tracer le diagramme des FCC (fréquences cumulées croissantes). Echelle : 1 cm pour 50 euros en abscisses, 1 cm pour 10% en ordonnées. 4) a) Déterminer graphiquement les valeurs approchées de la médiane et des quartiles. b) Donner une interprétation concrète de cette valeur médiane. c) Vérifier par un calcul d interpolation linéaire la valeur donnée de la médiane. 5) Donner la moyenne et l écart type de cette série ; interpréter la moyenne. FCC IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S1 Stat1var TDEx Rev2017 page 7 sur 7

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