Quantification de l énergie pour les systèmes simples

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1 Les buts de cet amphi Quantification de l énergie pour les systèmes simples Chapitre 4 Utiliser le formalisme de la physique ondulatoire pour aborder des problèmes de physique d une grande importance pratique Propagation de particules microscope à effet tunnel, radioactivité α Particules confinées énergies quantifiées, liaison chimique. IBM surface d un cristal de cuivre, 48 atomes de fer forment une enceinte d un rayon de 7 nm Les deu types de mouvement classique On considère un potentiel qui tend vers 0 quand r tend vers l infini 1. tats liés et états de diffusion O nergie = 0 O < 0 tats liés électrons dans un atome > 0 tats de diffusion collisions entre particules

2 Les états stationnaires de l équation de Schrödinger Hamiltonien On s intéresse au états propres de l hamiltonien «équation de Schrödinger indépendante du temps» Rappel : une fois les connus, on peut en déduire l évolution de tout état La forme des états stationnaires On considère un potentiel qui tend vers V 1 quand r tend vers l infini Les solutions physiquement intéressantes sont telles que : V 1 tend vers 0 quand r tend vers l infini V() Si, état directement éligible comme fonction d onde tat lié se comporte comme une onde plane à l infini : On peut l utiliser pour former des paquets d ondes tat de diffusion tats liés et états de diffusion L eemple du puit semi-infini V() V 1 V min énergies:? Aucun état physiquement intéressant avec < V min ntre V min et V 1, états liés en nombre fini ou dénombrable 1D: on peut classer les états par le nombre de nœuds de fondamental : pas de nœuds, 1 er état ecité : 1 nœud, etc. Au dessus de V 1, continuum d énergies : états de diffusion

3 Recherche des états libres Recherche des états libres > V 0 (II) état d énergie supérieure à V 0 région 1 : 1 2 n = L, la fonction d onde ψ et sa dérivée ψ sont continues : Système linéaire de 2 équations à 3 inconnues : on trouve toujours une solution différente de la solution nulle A=B=C=0 région 2 : Pour toute énergie supérieure à la valeur asymptotique du potentiel, on trouve un état propre ψ () de l hamiltonien. Il se comporte comme une onde plane à l infini, en B sin(k ) + C cos(k ). Comment raccorder ces fonctions en? Recherche des états liés état d énergie inférieure à V 0 région 1 : Recherche des états liés < V 0 (II) n = L, la fonction d onde ψ et sa dérivée ψ sont continues : 1 2 région 2 : Système linéaire de 2 équations à 2 inconnues : on ne trouve pas toujours une solution différente de la solution nulle A=B=0 Il faut pour cela avec Comment raccorder ces fonctions en? Pour m et U 0 donnés, ceci n est possible que pour des valeurs particulières de l énergie.

4 Recherche graphique des états liés dans le plan ( k, K ) Résultats pour le puit semi-infini 4π4 : cercle 3π 2π2 figure tracée pour π 0 0 Pour un puits infini, on trouvait les états liés en π 2π 3π 4π Ici on les trouve en kl légèrement inférieur à π, kl légèrement inférieur à 2π, etc., et il y en a un nombre fini (4 sur la figure) Continuum d états libres pour Nombre fini d états liés pour L énergie des états liés est légèrement inférieure au cas du puits infini Comme V 0 n est pas infini, la fonction d onde peut s étaler un peu dans la région classiquement interdite. augmentation de «l espace vital» diminution de l énergie cinétique Modélisation de la force nucléaire entre un proton et un neutron 2. nergie d interaction On ne trouve qu un seul état lié, et cette liaison est faible: L effet tunnel distance p-n V() 1 deutéron (noyau de deutérium) particule d énergie moyenne < V 0 0 a V 0?

5 Les états stationnaires pour ce problème Les états stationnaires pour ce problème (II) On veut résoudre On considère la solution particulière suivante : région 1 pour 0 < < V 0 région 2 V 0 région 1 région 2 région 3 0 a région 3 qui correspond bien à la situation physique recherchée : Région 1 Région 2 Région 3 régions 1 et 3 : région 2 : flu incident flu réfléchi flu transmis solutions : espace vectoriel de dimension 2 coefficient de transmission : Le coefficient de transmission par effet tunnel Le microscope à effet tunnel Binnig et Rohrer, 1985 Le coefficient de transmission est non nul, contrairement au cas classique! Le coefficient de transmission varie eponentiellement avec la hauteur V 0 et la largeur a de la barrière pointe passage tunnel cristal nombre ridiculement faible pour des objets macroscopiques retournement «spontané» d une pièce de monnaie : lectron: V 0 - = 1 ev, a = 5 Angströms : a = 6 Angströms : Le courant varie etrêmement vite avec la distance! énon sur du nickel

6 La radioactivité alpha Caractéristiques de l émission α Röntgen 1895 : les rayons X (photons) émis lors de la fluorescence de tubes à rayons cathodiques impressionnent des plaques photos Becquerel, février 1896 : qu en est-il de la fluorescence de sels d uranium eposés à la lumière du soleil? et quand il n y a pas de soleil??? Pierre et Marie Curie, 1898 : séparations chimiques successives sur les sels, puis sur des résidus de minerais d uranium. Ils isolent le polonium et le radium. énergie de la particule α : entre 4 et 9 Mev temps moyen d émission : T entre 10-6 s et s Gamow 1929 : V(r) puits de potentiel lié au forces nucléaires r répulsion coulombienne particule α = noyau d hélium (Rutherford et Soddy, 1909) T (s) 238 uranium 218 radium (MeV) L inversion de la molécule d ammoniac NH 3 Structure pyramidale qui peut s inverser comme un parapluie 3. Le modèle du puits double ou «comment combiner effet tunnel et puits de potentiel» Y a-t-il une signature epérimentale de ce degré de liberté? réponse : oui, apparition d une raie d absorption à partir de l état fondamental à la fréquence ν = 24 GHz Quelle est la structure de cet état fondamental?

7 Modélisation du phénomène d inversion V() : position du plan des hydrogènes On s intéresse au niveau d énergie < V 0 : G M D quel est le rôle de l effet tunnel à travers la barrière? Le puits de potentiel V() est pair : on peut chercher les états propres de l hamiltonien sous forme de fonctions s ou de fonctions antis Δ V 0 a Les niveau d énergie les plus bas du double puits On fie la largeur a et on choisit comme unité d énergie. On choisit 2a puits infini de largeur 2a dans cette unité et on fait varier la largeur Δ anti anti anti 0 0, , ,4 a 1, 2, 3 : niveau d un puits semi-infini de largeur a Les niveau d énergie si la séparation Δ est très grande Les premiers niveau d énergie si Δ grand, mais non On peut négliger complètement l effet tunnel entre les deu puits Les états «particule à gauche» et «particule à droite» doivent alors être états propres de l hamiltonien premier niveau ecité du puits semi-infini anti niveau fondamental du puits semi-infini anti G D 0 G D Comment combiner ce résultat avec le fait que les fonctions propres peuvent être choisies s ou antis? Clivage 2A entre les deu états les plus bas : fonction : même énergie avec fonction anti : si

8 Les configurations «classiques» L oscillation tunnel dans le double puits Particule localisée à gauche ou à droite : On prépare la particule dans l état «droite» à l instant t=0 : = - L évolution ultérieure s obtient par : = + où on a introduit la «pulsation de Bohr» : Au temps, la particule est dans l état «gauche», puis se retrouve dans l état droit au temps, etc. Lois d échelle pour l effet tunnel La fréquence de l oscillation tunnel est essentiellement déterminée par la valeur de l eponentielle NH 3 : facilement détectable et utilisable : fabrication de masers + 1 photon L effet tunnel à l origine de la chimie Deu noyau et un électron (par eemple l ion H 2+ ) : électron noyau 1 noyau 2 noyau 1 noyau 2 As H 3 : indétectable! Le «saut tunnel» de l électron de l orbite 1 vers l orbite 2 crée un abaissement d énergie pour l état, d autant plus grand que les noyau sont proches. V 0 est multiplié par 6, les tailles a et b par 5 18 ordres de grandeur pour la fréquence tunnel attraction entre atomes liaison chimique