Degré et chemin eulérien.

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1 Université d Orléans Licence STI, Semestre 4 aculté des Science Graphes et lgorithmes épartement Mathématiques nnée egré et chemin eulérien. 1. egré d un graphe Soit G = (S, ) un graphe, orienté ou non. Soit X S un noeud de G. Le degré de X, noté d(x) est le nombre d arcs adjacents à X. ans le cas des graphes orientés, on introduit également le demi-degré intérieur : le nombre d arcs dont le noeud X est le noeud final, d (X) = {a : a = (Y, X), Y S}, et le demi-degré extérieur : le nombre d arcs dont le noeud X est le noeud intial, insi d(x) = d (X) + d + (X). xemple : d (1) = 1, d + (1) = 2 donc d(1) = 3. d (2) = d + (2) = 1 donc d(2) = 2. d ( 3) = 3, d + (3) = 0 donc d(3) = 3. d (4) = 0, d + (4) = 2 donc d(4) = 2. d (5) = 1, d + (5) = 2 donc d(5) = 3. d () = 1, d + () = 1 donc d() = 2. d + (X) = {a : a = (X, Y ), Y S}. 2. egrés pairs et impairs Nous nous proposons de résoudre les questions du genre suivant : Montrer que dans une classe de 33 étudiants, au moins un étudiant connaît un nombre pair d autres étudiants dès la rentrée. N.. 0 est un nombre pair! On suppose aussi que connaître est mutuel, c est-à-dire que si connaît alors connaît. Il est sans aucun doute trop long de faire une liste des personnes de la classe et pour chaque personne une liste des personnes qu elle connaissait avant la rentrée. xpérimentons donc avec un nombre plus petit d étudiants. S il y a 1 étudiant, il ne connaît personne (=0 étudiant) et la propriété est vérifiée. S il y a 2 étudiants, ils peuvent se connaître, chacun connaît donc un autre étudiant et la propriété n est pas vérifiée. S il y a 3 étudiants,,, prenons l un des 3, disons : s il ne connaît personne ou les 2 autres, cet étudiant a la propriété cherchée. Supposons donc qu il ne connaît qu une seule personne, disons, mais pas. Il y a alors 2 possibilités : soit connaît, comme il connaît aussi, il connaît un nombre pair de personnes, soit il ne connaît pas et alors ne connaît personne. ans le premier cas a la propriété cherchée, dans le second cas c est. S il y a 4 étudiants : supposons que tout le monde connaît tout le monde, alors chacun connaît un nombre impair de personnes, ca ne marche pas. 1

2 2 Plus généralement, si le nombre d étudiants est pair, si chacun connaît tout les autres, il connaît un nombre impair d étudiants! xercice 2.1. Reformuler le problème à l aide d un graphe. ans le cas de 5 étudiants, combien y-a-t il de graphes possibles? st-il encore raisonable d énumérer tous les cas? ssayons donc de montrer le fait plus général suivant : Montrer que dans un graphe ayant un nombre impair de noeuds, l un au moins a un degré pair. Nous sommes maintenant en mesure d expérimenter d avantage en dessinant quelques graphes ayant un nombre impair de noeuds. G xercice 2.2. ans les graphes ci-dessus, quels sont les sommets de degré pair? constatez vous? ssayons donc de montrer le fait plus général suivant : Montrer que dans un graphe ayant un nombre impair de noeuds, le nombre de noeuds de degré pair est impair. omme 0 est pair, ceci implique bien le résultat précédent. Que peut-on dire sur le nombre de noeuds de degré impair? Que se passe-t-il quand le nombre de noeuds est pair? À nouveau, faisons quelques expériences. xercice 1. Quels sont les noeuds de degré pair? Que constatez vous? Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant : Théorème 2.1. ans tout graphe (non orienté), le nombre de noeuds de degré impair est pair. émonstration. Une façon de démontrer ce théorème est de construire le graphe arc par arc (voir figure ci-dessous). Que

3 3 Nous commençons par un graphe n ayant aucun arc, le nombre de noeuds de degré impair est donc 0 qui est pair. Maintenant, si on connecte deux noeuds par un nouvel arc, nous changeons la parité du degré des noeuds qui lui sont adjacents. n particulier: si les deux noeuds avaient des degrés pairs, nous augmentons le nombre de noeuds de degré impair de 2 (sauf si c est une boucle, au quel cas, ce nombre est inchangé); si les deux noeuds avaient des degrés impairs, nous diminuons le nombre de noeuds de degré impair de 2 (sauf si c est une boucle, au quel cas, ce nombre est inchangé); si un des noeuds est de degré impair et l autre de degré pair, nous ne changeons pas le nombre de noeuds de degré impair. ans les 3 cas la parité du nombre de noeuds de degré impair est inchangée! eci termine la démonstration du théorème. xercice 2. (1) xiste-t il un graphe à noeuds dont les degrés sont 2, 3, 3, 3, 3, 3? (2) xiste-t il un graphe à noeuds dont les degrés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5? (3) ombien y-a-t il de graphes à 4 neouds dont les degrés sont 1, 1, 2, 2? (4) ombien y-a-t il de graphes à 10 noeuds dont les degrés sont tous 1? xercice 3. ombien d arcs a le graphe associé au problème si tout le monde connaît tout le monde? xercice 4. (1) essiner le graphe dont les sommets sont les nombres de 1 à 10 et où un arc joint deux sommets si l un divise l autre. omment se graphe est-il modifié si un arc joint deux sommets i et j si i divise j? (2) essiner le graphe dont les sommets sont les nombres de 1 à 10 et où un arc joint deux sommets s ils n ont pas de diviseurs communs autres que 1 (attention aux boucles). (3) Vérifier le théorème 2.1 sur ces graphes. 3. hemins eulériens u dix-huitième siècle, les citoyens de Königsberg (aujourd hui Kaliningrad) ont lancé le défi suivant : leur ville est divisée en quatre districts par la rivière Pregel (voir igure 1), qui sont reliées par sept ponts. La principale distraction dominicale consistait à se promener en ville en traversant les divers ponts. La question a alors été posée de savoir si on pouvait traverser chaque pont une et une seule fois (sans utiliser d autres modes de traversée)?

4 4 igure 1. Les sept ponts de Königsberg et le graphe associé n 173, le mathématicien suisse Leonhard uler publia une étude montrant que ceci n est pas possible. elle-ci est considérée comme étant le premier résultat sur les graphes, même si le vocabulaire n était pas utilisé à l époque. Le raisonnement était très simple : considérons n importe lequel des quatre districts, disons l île Kneiphoff, et supposons qu on parte d un autre district. On arrivera donc l île par un des cinq ponts, on en repart par un autre, on y revient par un troisième, et on repart par un quatrième pont et on y revient par le cinquième pont. À ce moment, si on veut respecter les règles du jeu, on ne peut plus continuer. Jusque là, il n y a pas de problème : nous venons juste de montrer que si on ne débute pas le chemin sur l île, alors on termine le chemin sur l île. L ennui est que le même raisonnement tient pour chacun des trois autres districts : soit on débute dans un de ces districts soit on y termine. Mais on ne peut partir que d un des districts et arriver qu à un seul district, posant un problème pour les deux restant. uler ne s est pas arrêté là. Il a d abord remarqué qu on aurait pu résoudre le problème en faisant la liste de tous les chemins possibles et en voyant qu aucun ne répond à la question, mais que celà est impraticable vu le grand nombre de chemins. e plus il a proposé un critère permettant d examiner n importe quelle ville et n importe quelle configuration de chemins. efinition. Soit G = (S, ) un graphe connexe. Un chemin eulérien est un chemin qui comprend chaque arc de exactement une fois Voici un exemple: vec ce vocabulaire, nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant : Théorème 3.1 (uler). Soit G un graphe connexe non orienté avec un nombre fini de sommets et d arcs. (1) Si G a plus de deux sommets de degré impair, alors G n a pas de chemin eulérien.

5 (2) Si G a exactement deux sommets de degré impair, alors il a un chemin eulérien. e plus, tout chemin eulérien débute à l un des deux sommets et termine à l autre. (3) Si G n a pas de sommet de degré impair, alors il a un chemin eulérien. e plus tout chemin eulérien est un cycle. émonstration. Reprenons l argument d uler ci-dessus : ait 1. Si G a un noeud X de degré impair, alors tout chemin eulérien soit débute soit se termine à X. n effet, supposons qu il existe un chemin eulérien qui ne débute pas à X, et soit d = 2k+1 le degré de X. aisons une récurence sur k. Si k = 0, alors il n y a qu un seul arc a adjacent à X. insi si a fait parti du chemin, comme il n y a pas d autre arc adjacent à X, c est le dernier arc du chemin. Supposons donc qu on sache montrer que si un graphe a un sommet X de degré 2k 1 alors tout chemin eulérien (s il existe) ne partant pas de X arrive à X. onsidérons maintenant un graphe ayant un sommet X de degré 2k+1, k 1, et supposons que ce graphe ait un chemin eulérien (a 1,..., a n ) ne partant pas de X. Soit a m le premier arc de ce chemin adjacent à X. omme X est de degré au moins 3, le chemin repart de X. Trois cas de figure se présentent : Soit l arc suivant du graphe est a m+1 = (X, Y ) avec Y X. onsidérons alors le graphe G dans lequel on a enlevé tous les arcs déjà parcourus : a 1,..., a m+1 ainsi que tous les sommets pour lesquels on a parcouru tous les arcs adjacents. On obtient ainsi un nouveau graphe et a m+2,..., a n est un chemin eulérien dans ce graphe (donc ce graphe est encore connexe) qui ne part pas de X. omme X est de degré 2k 1, l hypothèse de récurrence montre que ce chemin se termin à X, i.e. a n est adjacent à X, comme annoncé. Soit l arc suivant est une boucle. On considère alors toutes les boucles successives a m+1,..., a m+p. haque boucle comptant pour 2 dans le degré de X, on a ainsi parcouru 2p + 1 arcs adjacent à X. Si p = k on ne quitte plus X (il n y a plus d arc) et notre chemin eulérien s arrête donc à X, sinon on recommence le raisonnement précédent avec a m+p+1 = (X, Y ), Y X... eci termine donc la démonstration du point (1) ainsi que de la seconde partie du point (2). ait 2. Si G a un noeud X de degré pair, alors tout chemin eulérien qui débute à X se termine à X. Éliminons le cas trivial où G = ({X}, ), où tous les arcs sont des boucles, dans lequel trouver un chemin eulérien est un jeu d enfant. Soit alors (a 1,..., a n ) un chemin eulérien qui débute à X. Soit a m le premier arc qui ne soit pas une boucle, i.e. a 1 =... = a m 1 = (X, X) et a m = (X, Y ) avec Y X et considérons le graphe G obtenu en restreignant G aux arcs a m+1,..., a n. Notons que a m+1,..., a n est un chemin eulérien dans G qui est donc encore connexe. omme X est de degré pair dans G et qu on a enlevé des boucles et un arc, X est de degré impair dans G. e plus a m+1 débute à Y X, d après le fait précédent, ce chemin se termine à X. eci termine donc la démonstration de la seconde partie du point (3). Il nous reste donc à montrer que si un graphe a 0 ou 2 noeuds de degré impair, alors il a un chemin eulérien. onsidérons le premier cas. Soit X un noeud et considérons un chemin de X à X qui contient chaque arc au plus qu une fois (il peut ne pas contenir certains arcs!). e tels chemins existent, par exemple, le 5

6 chemin vide de X à X. Évidemment nous ne voulons pas ce chemin, mais le chemin le plus long possible. Soit un chemin de X à X de longueur maximal, i.e. tel qu on ne peut pas ajouter d arcs de sorte à toujours avoir un chemin de X à X, qui ne repasse pas deux fois par un même arc. Supposons que ne soit pas eulérien. lors il existe au moins un arc (, ) qui ne soit pas utilisé par le chemin. Montrons qu on peut prendre cet arc tel que est adjacent à au moins un des arcs du chemin. n effet, comme G est connexe, il existe un chemin de à X. Soit le premier noeud de ce chemin qui soit adjacent à un noeud de. Par définition, est adjacent à un arc (, ) qui ne fait pas partie de. Il suffit donc de remplacer (, ) par (, ). ne peut s arrêter ici X 1 X impossible impossible Nous avons donc maintenant un chemin de X à X qui ne passe pas deux fois par le même arc et un arc (, ) dont l une des extrémité est adjacent à un des arcs de et l autre non. ommençons un nouveau chemin dont le premier arc est (, ) et tel que : i) on n utilise aucun arc de, ii) on n utilise aucun arc deux fois, iii) on ne s arrête que lorsqu il n y a plus d arc à suivre. omme G n a qu un nombre fini d arcs, s arrête nécessairement. isons que le dernier arc s arrête à. Rappelons que est de degré pair. Notons également que, comme est un circuit, chaque fois qu il arrive à un sommet il en repart et utilise donc un nombre pair d arcs adjacents à ce sommet. Il reste donc un nombre pair d arcs à par lesquels peut passer. Mais alors, si, chaque fois que est passé par avant ce dernier arc, il en est reparti, utilisant donc encore un nombre pair d arcs et serait donc de degré impair, ce qui contredirait notre hypothèse sur le graphe G. Il en va de même chaque fois que est passé par. insi est un circuit de à avec adjacent à un des arcs de. e plus ne passe jamais deux fois par le même arc ni par un arc de. On peut alors ajouter le chemin à de la façon suivante: = (a 1,..., a n ), = (b 1,..., b m ). On regarde la première fois que apparaît dans un des a i : si est le point de départ (et donc d arrivée) i.e. = X, on commence par puis on parcourt : + = (b 1,..., b m, a 1,..., a n ) sinon il existe k tel que est le point final de a k et donc le point initial de a k+1 et alors + = (a 1,..., a k, b 1,..., b m, a k+1,..., a n ). ans les deux cas + est un chemin de X à X de longueur plus grande que celle de, une contradiction.

7 7 xercice 5. émontrer l autre cas. orollaire 3.2. Un graphe non-orienté fini connexe a un cycle eulérien si et seulement si tous ses noeuds sont de degré pair. xercice. Parmis les graphes suivants, lesquels ont un chemin eulérien? xercice 7. Soit G = (S, ) un graphe simple non-orienté. On note G le graphe (S, ) où pour X Y S, (X, Y ) si et seulement si (X, Y ) /. (1) éterminer G pour les graphes suivants: (2) Montrer que l un au moins de G et G est connexe xercice 8. éduire de la démonstration du théorème d uler un algorithme de construction d un chemin eulérien. xercice 9. omment adapter Le théorème d uler aux graphes orientés. 4. ircuit hamiltonien Un problème similaire a été considéré en 185 par le mathématicien irlandais William R. Hamilton : efinition. Un chemin hamiltonien d un graphe connexe est un chemin qui passe par chaque sommet exactement une fois. Un circuit hamiltonien est un circuit qui passe par chaque sommet exactement une fois, (à part le départ et l arrivée qui coincident). Étrangement, il n y a aucune condition nécessaire et suffisante permettant de décider si un graphe a un circuit hamiltonien. Pour comprendre la difficulté, résoudre l exercice suivant: xercice 10. écider si les deux graphes suivants ont des circuits hamiltoniens :

8 8 Graphe dodécaédrique Graphe de Pedersen xercice 11. Soit G = (S, ) un graphe non-orienté connexe, a et G = (S, \ {a}). (1) Trouver un exemple montrant que G peut ne pas être connexe. (2) Montrer que si a fait parti d un cycle, alors G est encore connexe.