Problèmes autour des graphes

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1 Université de Provence Année Master I MASS Cours interdisciplinaire Problèmes autour des graphes Modélisation par un graphe Exercice 1 Une ligue de ootball contient 15 clubs. Pour des raisons de temps, on décide que chaque club ne jouera que la moitié des matchs possibles. Comment organiser le tournoi? (on pourra commencer par étudier le cas de 7 clubs) Exercice 2 Comment tracer 5 segments sur une euille, de tel le manière que chaque segment en coupe exactement 3 autres? Exercice 3 Problème des ponts de Königsberg : Au XVIIIe siècle, la ville de Koenisberg comprenait 2 îles et 7 ponts suivant le plan ci-dessous : Les habitants souhaitaient aire une promenade passant une et une seule ois sur chaque pont. Est ce qu ils y sont arrivés? Traduisez ce problème à l aide d un graphe. Exercice 4 Décider si les dessins suivants représentent les mêmes graphes. Exercice 5 Dessiner les graphes suivants : 1. Les sommets sont les aces d un cube, deux sommets sont reliés si les aces correspondantes ont une arête du cube en commun. 2. Les sommets du graphe sont tous les sous ensembles à deux éléments de {1, 2, 3, 4} deux sommets sont reliés si leur intersection est non vide. 3. Graphe associé à la situation suivante : Trois pays envoient chacun à une conérence deux espions qui ne se connaissent pas, chaque espion doit entrer en contact avec tous les espions des autres pays. 1

2 Exercice 6 1. Dessiner les graphes complets K n, pour n = 2, 3, 4, 5. Combien ont t ils d arêtes? 2. Dessiner les graphes simples d ordre 3, 4, 5, 6 dont tous les sommets sont de degré 2. Exercice 7 Dans le graphe biparti ci-contre, les sommets T1,..., T6 représentent des travailleurs et les sommets E1,..., E6 des emplois. Une arête relie un travailleur à un emploi si le travailleur a les qualiications nécessaires pour occuper cet emploi. Comment aecter les emplois aux travailleurs ain de minimiser le nombre de sans-emploi? Exercice 8 Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d un leuve ; un passeur souhaite les transporter sur l autre rive mais, sa barque étant trop petite, il ne peut transporter qu un seul d entre eux à la ois. Comment doit-il procéder ain de ne jamais laisser ensemble et sans surveillance le loup et la chèvre, ainsi que la chèvre et le chou? Exercice 9 Trois maris jaloux et leurs épouses souhaitent traverser une rivière. Ils disposent d une barque qui ne peut transporter plus de deux personnes à la ois. Comment doivent-ils procéder, sachant qu aucune emme ne doit rester en compagnie d un ou deux hommes sans que son mari soit présent? Montrez que ce problème n a pas de solution si les couples sont au nombre de 4. Exercice 10 Essayez d exprimer (et non nécessairement de résoudre... ) en termes de graphes les problèmes suivants : 1. Peut-on placer huit dames sur un échiquier sans qu aucune d elles ne puisse en prendre une autre? 2. Un cavalier peut-il se déplacer sur un échiquier en passant sur chacune des cases une ois et une seule? 3. Combien doit-on placer de dames sur un échiquier 5x5 ain de contrôler toutes les cases? La igure ci-dessus donne une solution pour chacun de ces trois problèmes. Le parcours du cavalier présenté est en ait un cycle hamiltonien (le cavalier retourne à son point de départ). Exercice 11 Le graphe ci-dessous représente le plan des couloirs d un musée. Un gardien placé dans un couloir peut surveiller les deux carreours placés à ses extrémités. Combien de gardiens sont nécessaires (et comment les placer) ain que tous les carreours soient surveillés? 2

3 Si l on place maintenant les gardiens aux carreours, en supposant qu un tel gardien peur surveiller tous les couloirs amenant à ce carreour, combien de gardiens sont nécessaires? Exercice 12 Chaque jour, un groupe de 12 enants ait une promenade, par rang de deux. Combien de jours peuvent-ils se promener si l on souhaite qu un enant n ait jamais deux ois le même voisin? Et si maintenant la promenade se ait par rang de trois? Exercice 13 Dans un groupe de quatre personnes, on a : André et Elise s entendent bien. Elise et Caroline s entendent bien. Caroline et André ne s entendent pas. André et Pierre ne s entendent pas. Pierre et Caroline s entendent bien. 1. Dessiner un graphe ayant pour sommets les prénoms et pour arêtes : + si les personnes s entendent si les personnes ne s entendent pas pas d arête sinon. 2. Dans le premier graphe les trois personnes s entendent bien et il n y a pas de tension dans le groupe. Le groupe est équilibré. Dans le deuxième graphe Françoise et Elise s entendent bien et travaillent ensemble, André tout seul ; il n y a pas de tension dans le groupe. Dans le troisième graphe il y aura des tensions dans le groupe. Le groupe est déséquilibré. S il n y a que des signes négatis sur les arêtes il n y a pas de groupe. En reprenant la question 1, est-il possible que le groupe de 4 personnes soit équilibré? 3. Montrer que dans un graphe de signes équilibré chaque cycle a un nombre pair d arêtes négatives. 4. Quels sont les graphes de signes équilibrés? Dans chaque cas, donner les groupes correspondants. 3

4 Modélisation par un graphe orienté Exercice 14 Construire un graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 et dont les arcs représentent la relation être diviseur de. Exercice 15 Construire le graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 24 et dont les arcs relient x à y lorsque x divise y. De plus, les arcs sont valués par le quotient y/x (ainsi, l arc allant de 3 vers 15 a la valeur 5). 1. Comment reconnaît-on dans ce graphe un nombre premier? 2. Comment retrouver dans ce graphe la décomposition d un nombre en acteurs premiers? Exercice 16 Soit X = {1; 2;... ; n} où n est un entier donné. On considère l algorithme suivant : Tant que x 1 aire: 1. Si x X est pair, alors x est remplacé par x/2; 2. sinon, (a) si x + 2 est multiple de 3, alors x est remplacé par (x + 2)/3. (b) sinon, x est remplacé par x 1. Fin de Tant que Représenter l algorithme par une graphe étiqueté. Représenter le déroulement de l algorithme par un graphe lorsque n = 17. Exercice 17 On souhaite prélever 4 litres de liquide dans un tonneau. Pour cela, nous avons à notre disposition deux récipients (non gradués!), l un de 5 litres, l autre de 3 litres. Comment doit-on aire? Exercice 18 (Jeu de Fan Tan) Deux joueurs disposent de 2 ou plusieurs tas d allumettes. A tour de rôle, chaque joueur peut enlever un certain nombre d allumettes de l un des tas (selon la règle choisie). Le joueur qui retire la dernière allumette perd la partie. 1. Modéliser ce jeu à l aide d un graphe dans le cas où l on dispose au départ de deux tas contenant chacun trois allumettes, et où un joueur peut enlever une ou deux allumettes à chaque ois. 2. Que doit jouer le premier joueur pour gagner la partie à coup sûr? 3. Mêmes questions avec 3 tas de 3 allumettes. Exercice 19 Soit X un ensemble de lapins, et G un graphe orienté ayant X pour ensemble de sommets. On dit que G est un graphe de parenté si les arcs de G codent la relation être l enant de... Quelles conditions doit nécessairement vériier G pour pouvoir être un graphe de parenté? 4

5 Exercice 20 Un code d entrée d un immeuble est composé de trois chires valant 0 ou 1. Trouver un mot, de longueur aussi petite que possible, qui contienne toutes les suites de trois chires 0 ou 1 ; un tel mot contiendra alors toujours le code d entrée. Étendre le résultat à un alphabet à d lettres. Degré des sommets Exercice 21 Le conseil municipal d une ville comprend 7 commissions, qui obéissent aux règles suivantes : Règle 1 : tout conseiller municipal ait partie de 2 commissions exactement. Règle 2 : deux commissions quelconques ont exactement un conseil ler en commun ; Combien y a-t-il de membres dans le conseil municipal? Exercice 22 Un groupe de personnes est tel que : 1. chaque personne est membre d exactement deux associations, 2. chaque association comprend exactement trois membres, 3. deux associations quelconques ont toujours exactement un membre en commun. Combien y a-t-il de personnes? d associations? Exercice 23 On s intéresse aux graphes dont tous les sommets sont de degré trois. 1. Construisez de tels graphes ayant 4 sommets, 5, 6, 7. Qu en déduisez-vous? 2. Prouvez-la conjecture précédente. 3. La situation est-elle identique pour les graphes dont tous les sommets sont de degré 4? Exercice 24 Dans un groupe de vingt enants, est-il possible que sept d entre eux aient chacun exactement trois amis, neu d entre eux en aient exactement quatre, et quatre d entre eux exactement cinq? Exercice 25 Un graphe simple d ordre 2p est tel que chacun de ses sommets est de degré au moins p. Montrer que ce graphe est connexe. A-t-on le même résultat pour un graphe simple d ordre n tel que chacun de ses sommets soit de degré supérieur ou égal à (n 1)/2? Exercice 26 Essayez de construire un graphe non orienté ayant au moins deux sommets et tel que tous les sommets ont des degrés distincts. Qu en déduisez-vous? Exercice 27 Montrez que dans un groupe de personnes, il y a toujours deux personnes ayant le même nombre d amis présents. Exercice 28 Montrez que dans un groupe de six personnes, il y en a nécessairement trois qui se connaissent mutuellement ou trois qui ne se connaissent pas (on suppose que si A connaît B, B connaît également A). Montrez que cela n est plus nécessairement vrai dans un groupe de cinq personnes. Exercice 29 Montrez que dans un groupe de 9 personnes, 4 se connaissent mutuellement ou 3 ne se connaissent pas. Cela est-il toujours vrai dans un groupe de 8 personnes? Exercice 30 Dans un tout petit pays, il n y a que 15 villes. On peut aller de chaque ville à au moins 7 autres villes du pays par une autoroute. Peut-on se rendre, par autoroute, de la capitale du pays à chacune des autres villes? 5

6 Exercice Prouver qu un graphe à n sommets, chacun de degré au moins 2, possède un cycle. 2. Prouver que si un graphe possède n sommets et au moins n arêtes, alors il possède un cycle. Exercice 32 Une ête regroupe n personnes, chacune ayant un ami présent (l amitié étant réciproque...). Dans tout groupe d au moins trois personnes, il n y a jamais exactement deux paires d amis. Prouver que chaque personne est amie avec toutes les autres. Exercice 33 (Tournoi des villes 1982) Dans un pays, il y a au moins 101 villes, et des liaisons aériennes directes (aller-retour) existent entre certaines d entre elles. La capitale du pays est ainsi reliée à 100 villes, et chaque autre ville possède 10 liaisons aériennes diérentes. Il est possible de voyager de n importe quelle ville à n importe quelle autre par les liaisons aériennes, en transitant éventuellement par d autres villes. Prouver qu il est possible de ermer la moitié des liaisons aériennes de la capitale tout en préservant la capacité de voyager d une ville à l autre. Exercice 34 (Tournoi des villes 1995) Prouver que, dans tout groupe de 50 personnes, il en existe toujours au moins deux qui ont un nombre pair (éventuellement nul) de connaissances communes dans le groupe (la relation se connaître est considérée comme réciproque, et hélàs!, on ne se connaît jamais soi-même). Exercice 35 (Tournoi des villes 1985) Les nombres 0, 1, 2,..., 9 sont écrits 10 ois chacun dans un tableau Prouver qu il existe une ligne ou une colonne qui contient plus de trois nombres diérents. Exercice 36 (Tournoi des villes 1991) Au goûter, n enants désirent se partager équitablement m barres chocolatées identiques, aucune de ces barres { ne devant être coupée plus d une ois. Prouver m < n que, cela est réalisable si et seulement si : m > n ou m = n pgcd(m, n) Exercice 37 (Tournoi des villes 1980) Dans chaque case d un tableau de n n cases-unités, on a inscrit un nombre. Deux lignes quelconques sont toujours diérentes (c.à.d. il existe au moins une colonne qui rencontre ces lignes selon des nombres diérents). Prouver qu il existe une colonne que l on peut eacer de sorte que, dans le tableau n (n 1) restant, les lignes soient encore deux à deux diérentes. Exercice 38 (Olympiade Union-Soviétique 1986) Un roi décide de construire n villes et n-1 routes les reliant an de pouvoir se déplacer d une ville quelconque à une autre. Chaque route relie deux villes sans en traverser d autre, et deux routes n ont pas d intersection. Le roi veut aussi que les plus petites distances entre les villes (le long des routes) soient 1, 2, 3,..., n(n 1) 2 kilomètres. Est-ce possible pour : 1. n = 6? 2. n = 1986? Exercice 39 Des jetons sont placés sur un tableau carré de n n cases-unités de açon à satisaire les règles suivantes : 1. Toute case qui ne contient pas un jeton possède un côté commun avec une case qui en contient un. 2. Pour toute paire de cases {c, c 0 } qui contiennent chacune un jeton, il existe une suite de cases contenant chacune un jeton, qui commence par c et se termine par c 0, et telles que deux cases consécutives de la suite ont toujours un côté en commun. Prouver qu il y a au moins n2 3 2 jetons. 6

7 Graphe planaire Exercice 40 Trois maisons doivent être reliées à 3 usines qui leur ournissent l eau, le gaz et l électricité ; on demande de tracer le plan du réseau de tel le manière que les tuyaux ne se croisent pas. Exercice 41 Prouvez que K 5 et K 3,3 ne sont pas planaire. Exercice 42 Prouver que, pour un graphe planaire de s sommets et a arêtes et dont aucune ace n est un triangle, on a 2s 4. Exercice 43 (Olympiade de St-Petersbourg) Dans un pays, 11 villes sont reliées deux à deux directement soit par une autoroute soit par une ligne de chemin de er (qui onctionnent dans les deux sens). Prouver qu il existe orcément un pont sur lequel soit une autoroute passe au-dessus d une autre, soit une voie de chemin de er passe au-dessus d une autre. Exercice 44 Soit n > 1 un entier. On considère le graphe simple G n dont les sommets sont les entiers de 1 à n, les sommets a et b étant reliés par une arête si et seulement si a + b est un nombre premier (et donc 1 n est pas relié à lui-même). Déterminer les entiers n pour lesquels G n est planaire. Exercice Prouver que si G est un graphe simple connexe et planaire, ayant un nombre ini de sommets, alors G possède au moins un sommet de degré ne dépassant pas Cela reste-t-il vrai si G n est plus supposé connexe? Exercice 46 Soient P 1,..., P n des points distincts du plan. On note d la plus petite distance non nulle entre deux de ces points. Prouver qu il n y a pas plus de 3n 6 paires {P i, P j } pour lesquelles P i P j = d. Exercice 47 On considère un ensemble E ini de points du plan, trois jamais alignés et quatre jamais cocycliques. Si A et B sont deux points distincts appartenant à E, on dira que la paire {A, B} est bonne s il existe un disque ermé qui contienne uniquement A et B. On note (E) le nombre de bonnes paires ormées par les éléments de E. Prouver que, si Card(E) = 1003 alors 2003 (E) Coloriage Exercice 48 Un groupe de 8 personnes doit participer à deux réunions. A la première réunion, ils sont tous assis autour d une table ronde. Comme l entente est totale, pour la seconde réunion, chacun des participants, non seulement ne veut pas se retrouver à côté de l un ou l autre de ses voisins, mais ne veut pas non plus qu ils soient assis à la même table. 1. Combien de tables au minimum seront alors nécessaires? Combien de personnes au maxi- mum pourront s asseoir à une même table? 2. On suppose maintenant qu il y a 9 participants et que l entente est tout aussi cordiale. Que se passera-t-il alors? Exercice 49 Pendant un estival, on veut organiser des tournois de scrable (S), échecs (E), go (G), dames (D), tarot (T) et master-mind (M). Plusieurs personnes se sont inscrites à la ois pour les tournois E, S, G, d autres personnes pour les tournois G, D, M, et enin d autres personnes pour les tournois M, T, S. Il est entendu qu une participation simultanée à plusieurs tournois est impossible et que les organisateurs veulent satisaire tout le monde. 7

8 1. Quel est le nombre maximum de tournois qui pourraient se dérouler en même temps? 2. En sachant que chaque tournoi doit durer au maximum 3 heures, proposer un horaire des tournois nécessitant une durée minimale et respectant bien sûr les choix des participants. Exercice 50 On se donne n points dans l espace. Certains sont reliés par des segments, d autres non, et chacun des points est relié au maximum à 3 autres points. Prouver qu il existe au moins n quatre points tels que deux d entre eux ne soient pas reliés. Exercice 51 On désire implanter 7 stations radio dans 7 endroits dont les distances mutuel les (en Km) sont données ci-dessous. En sachant que deux stations interérent si el les se trouvent à moins de 100 km l une de l autre, quel est alors le nombre minimum de longueurs d onde qu il aut prévoir pour éviter toute interérence? A B C D E F G A B C D E F Exercice 52 Le schéma ci-contre représente un carreour. Le tableau suivant précise les ranchissements possibles de ce carreour. En arrivant par... A B C D E Il est possible d aller en... C,E A,E,D A,D C,A C,D Par contre, certains ranchissement ne sont pas réalisable simultanément. Par exemple, les ranchissements A-C et B-E ne peuvent naturellement pas être autorisés simultanément Modélisez ces incompatibilités à l aide d un graphe dont les sommets représentent les ranchissements possibles et les arêtes les incompatibilités entre ranchissements. 2. Proposez une coloration du graphe ainsi obtenu. 3. Que peut-on dire d un ensemble de sommets ayant même couleur? 4. À quoi peut correspondre le nombre chromatique de ce graphe? Exercice 53 Sept élèves, désignés par A,B,C,D,E,F et G se sont rendus à la bibliothèque aujourd hui. Le tableau suivant précise qui à rencontré qui (la bibliothèque étant petite, deux élèves présents au même moment se rencontrent nécessairement... ). 8

9 Élève A B C D E F G A rencontré D,E D,E,F,G E,G A,B,E A,B,C,D,F,G B,E,G B,C,E,F De combien de places assises doit disposer la bibliothèque pour que chacun ait pu travailler correctement au cours de cette journée? Exercice 54 On considère un groupe d élèves de 7 élèves appelés A, B, C, D, E, F et G. Pour un exposé, les élèves se mettent en équipes mais il aut respecter les incompatibilités entre les élèves. Dans le tableau ci-dessous, chaque croix indique une incompatibilité entre les élèves correspondants. Combien d équipes audra-t-il créer au minimum? A B C D E F G A X X X B X X C X X X X D X X X X E X X X X X F X X X X G X X Exercice 55 Soit G N le graphe simple dont les sommets sont tous les entiers strictement positis, les sommets a et b étant reliés si et seulement si a + b est un nombre premier. Déterminer le nombre chromatique de G N. Exercice 56 (Théorème des 6 couleurs) Prouver que tout graphe simple planaire G ayant un nombre ini de sommets, on a χ(g) 6. Exercice 57 (Théorème de Túran) Une k-clique est un sous-graphe complet à k sommets (par exemple, pour k = 3 : un triangle). Soit G un graphe simple non orienté de n sommets et a arêtes qui ne contient pas de k-clique (où k 3 ixé). Prouver que a k 2 k 1 n2 2. Exercice 58 (Japon 1998) Un pays possède 1998 aéroports. Dans tout groupe de trois aéroports, au moins deux ne sont pas reliés par un vol direct (aller-retour). Quel le nombre maximum de vols directs dans ce pays? Exercice 59 (Tournoi des villes 1986) On dispose 21 points sur un cercle. Prouver que, parmi les cordes qui relient deux quelconques de ces points, au moins 100 déinissent un angle au centre du cercle ne dépassant pas 120. Exercice 60 (Pologne 1997) On donne n > 2 points sur un cercle de rayon 1. Prouver qu il n y a pas plus de n2 3 paires de points situés à une distance strictement supérieure à 2. Exercice 61 (OIM 2003) Soit A un sous-ensemble de l ensemble S = {1, 2,..., } ayant exactement 101 éléments. Montrer qu il existe des nombres t 1, t 2,..., t 1 00 dans S, tels que les ensembles Aj = {x + t j : x A} pour j = 1, 2,..., 100 soient deux à deux disjoints. Exercice Dans un groupe de 17 personnes, deux quelconques sont toujours amies, ou ennemies, ou indiérentes l une à l autre (chacun de ces sentiments étant partagés par les deux personnes en question). Prouver qu il existe un groupe de trois personnes qui ont deux à deux les mêmes sentiments les unes envers les autres. 9

10 2. Dans un groupe de 18 personnes, deux quelconques sont toujours amies ou ennemies. Prouver qu il existe quatre de ces personnes qui ont toutes les mêmes sentiments les unes envers les autres. Exercice 63 (Théorème de König) Soit G un graphe de n sommets. Prouver que G admet une bicoloration si et seulement s il ne possède pas de cycle de longueur impaire. Exercice 64 (Proposé OIM 1983) Dix compagnies aériennes desservent un total de 1983 villes. Entre deux villes quelconques, il existe toujours au moins une compagnie pour orir un vol direct entre ces deux villes (dans les deux sens). Prouver qu au moins une des compagnies aériennes propose un voyage qui consiste en un circuit ermé ayant un nombre impair d étapes. Exercice 65 (Hong-Kong 1998). Des étudiants ont passé une série d examens portant sur n 3 matières. Pour chacune des matières, exactement trois des étudiants ont eu la meilleure note dans cette matière, et pour deux matières diérentes quelconques, un et un seul étudiant a eu la meilleure note dans ces deux matières. Déterminer le plus petit n pour lequel ces conditions impliquent qu un même étudiant ait eu la meilleure note dans chacune des matières. Exercice 66 Prouver que, pour tout graphe simple planaire G de n sommets, on a χ(g) 5. (Indication : Utiliser exercice 13) Graphes eulériens et hamiltoniens Exercice 67 Peut-on dessiner sans lever le crayon et en ne passant qu une seule ois sur chaque arête les graphes ci dessous? Exercice 68 Cinq pays sont représentés avec leurs rontières. Est il possible de partir d un pays et d y revenir en ranchissant chaque rontière une ois et une seule? Exercice 69 On considère la carte de France suivante. Est il possible de trouver un trajet reliant toute les régions en ne traversant les rontières de chaque région une seule ois? Est-il possible de revenir à la région de départ? 10

11 Exercice 70 Pour chaqu un des graphes orientés suivants, dîtes s il est eulérien. Si il est eectivement, donner un chemin eulérien. Exercice 71 On dispose d un il de er de 120cm. Est-il possible de préparer une carcasse de cube de 10 cm d arête sans couper le il? Sinon, combien de ois au minimun aut-il couper le il de er pour abriquer cette carcasse? Exercice 72 Prouver que sur un échiquier de dimensions 4 n (où n 1), il n existe pas de parcours ermé d un cavalier qui passe par chaque case une ois et une seule (sau la première puisqu on veut y revenir). Exercice 73 (Tournoi des villes 1985) Vingt équipes de ootball participent à un tournoi. Le premier jour, chacune dispute un match. Le second jour, chaque équipe joue un autre match, contre une équipe diérente de celle de la veille. Prouver qu après ce second jour, il est possible de trouver un groupe de 10 équipes dont deux quelconques ne se sont pas encore rencontrées. Exercice 74 Dans un pays, se trouvent n (n 2) villes, deux quelconques distinctes étant reliées par une route directe. Un parcours qui va de la ville A à la ville B (non nécessairement distinctes) consiste à partir de A pour arriver en B en utilisant les routes et en transitant éventuellement par certaines villes, mais sans jamais utiliser deux ois la même route (y compris dans des sens opposés). La longueur du parcours est alors le nombre de routes utilisées. Prouver qu un organisateur de courses cyclistes peut utiliser toutes les routes pour construire n? 1 parcours qui sont de longueurs respectives 1, 2,..., n 1? et qui n ont deux à deux aucune route en commun. Exercice 75 (St Petersbourg) Le roi Arthur ait s asseoir ses 2n chevaliers autour de la Table Ronde. Chacun des chevaliers possède au plus n 1 ennemis parmi les autres chevaliers. Prouver que Merlin l Enchanteur peut trouver un arrangement des 2n chevaliers de sorte qu aucun ne soit assis à côté d un de ses ennemis (bien sûr, l animosité est réciproque, et seuls les chevaliers s assoient autour de la table). 11

12 Exercice 76 (URSS 1990) Soit k 1 un entier ixé. À chaque côté et chaque diagonale d un n-gone convexe, on attribue une couleur choisie parmi k possibles de sorte qu aucune ligne brisée ermée dont les sommets sont des sommets du n-gone ne soit coloriée d une seule couleur. Quel est la plus grande valeur de n pour laquelle cela soit possible? Exercice 77 (Chine 1990) Il existe plusieurs açons de partitionner un n-gone convexe en n 2 triangles à l aide de n 3 de ses diagonales, deux quelconques sans point commun (à part, éventuellement, les sommets du polygone). Prouver qu il existe une de ces partitions pour laquelle on puisse construire une ligne polygonale continue ermée en utilisant une et une seule ois chacun des côtés et chacune des diagonales qui orment la partition, si et seulement si n est un multiple de 3. Parcours dans un graphe Exercice 78 Reconstituer les graphes à partir des matrices d adjacences suivantes : A = ; B = ; C = Exercice 79 On considère le graphe ci-dessous. Donnez sa matrice d adjacence A. Calculer A 2, A 3 et A 4. Donner une interprétation des coeicients de ces matrices puis montrer cette relation par récurence. Exercice 80 Sébastien se rend régulièrement en train de la ville U à la ville V, dans un réseau donné par le graphe ci-dessous. Il ait toujours le trajet en 5 étapes, et veut aire à chaque ois un chemin diérent. Combien de trajets pourra-t-il aire? 12

13 Exercice 81 Quel le est la distance entre les sommets A et S dans le graphe suivant : Exercice 82 Quel est le diamètre du graphe suivant : Exercice 83 Le graphe suivant représente une partie d une ville où toutes les rues sont à sens unique. Quel est le nombre de manières d aller en voiture, en 5 étapes, de A à B? Quel est le nombre de manières de aire le même itinéraire à pied (on n est donc plus obligé de respecter les sens interdits)? Exercice 84 Chercher le plus court chemin de A à S dans le graphe suivant : 13

14 Exercice 85 Un tournoi est un graphe orienté tel que toute paire de sommets est reliée par un arc, dans un sens ou dans l autre (mais pas dans les deux sens). 1. Pourquoi, selon vous, appelle-t-on de tels graphes des tournois? 2. Montrez que si un tournoi contient un circuit de longueur k, alors il contient également des circuits de longueur k, pour tout k < k. 3. Dessinez un tournoi à 6 sommets ne possédant pas de circuit de longueur 4. Exercice 86 Un robot se promène sur le graphe ci-contre. Partant d un sommet quelconque s, appelé sommet de stockage, il doit déposer un cube sur chacun des autres sommets. Il possède suisamment de cubes sur le sommet de stockage, mais ne peut transporter qu un cube à la ois (il doit donc repasser par le sommet de stockage avant de livrer un autre cube). Calculer, pour chacun des sommets du graphe, le trajet minimum que doit parcourir le robot si ce sommet est sommet de stockage. Quel est le meilleur sommet de stockage? Exercice 87 Considérons le graphe ci-contre. 1. Combien de cycles simples (sans répétition d arêtes) de longueur 5 ce graphe contient-il? 2. De longueur 6? 3. De longueur 8? 4. De longueur 9? Exercice Remplir le tableau ci-dessous qui, pour le graphe valué ci-dessous : A B C D E F G A B C D E F G 14

15 2. Donnez la valeur du plus court chemin d un sommet à un autre. 3. Exécutez l algorithme de Dijkstra sur le graphe précédent, à partir du sommet C, puis à partir du sommet F. Exercice 89 La compagnie Europ Air dessert diérentes villes européennes. Le tableau ci-contre donne les durées de vol entre ces diérentes villes. 1. Comment déterminer le trajet le plus rapide entre deux villes? 2. Comment modiier la méthode précédente ain de prendre en compte la durée des escales dans les diérentes villes? A B C D E A 1h30 2h00 2h15 B 1h40 3h C 2h20 2h55 D 3h20 1h05 E 2h25 3h10 1h10 Problèmes d ordonnancement Exercice 90 La mise en exploitation d un nouveau gisement minier demande la réalisation d un certain nombre de tâches. Le tableau suivant représente ces diérentes tâches avec leurs relations d antériorité. Tâche Description Durées en jour Tâche antérieure A obtention d un permis d exploitation B établissement d une piste de 6 km 180 A C transport et installation à pied d œuvre de 3 B 2 sondeuses D création de bâtiments provisoires pour le 30 B bureau des plans et le logement des ouvriers sondeurs E goudronnage de la piste 60 B F adduction d eau 90 D G campagne de sondage 240 C,D H orage et équipement de trois puits 180 E,F,D I transport et installation au ond du 30 J,H matériel d exploitation J construction de bureaux et logements, ouvriers 240 E, F G et ingénieurs K traçage et aménagement du ond 360 J,H L construction d une laverie 240 J,H 1. Déterminez les dates au plus tôt et les dates au plus tard de chaque tâche. 2. Déterminez le temps minimum de réalisation de l ensemble. (On pourra utiliser ici la méthode des potentiels métra (MPM), puis la méthode PERT). Exercice 91 Lors de la constrution d une maison, on distingue dix travaux distincts. 15

16 Tâche Libellé de la tâche Durée Tâches à terminer avant T1 gros oeuvre 8 T2 charpentes 2 T1 T3 Toiture 1 T2,T1 T4 Plomberie 3 T1 T5 Instalation électrique 2 T1 T6 Ravalement 1 T1,T2,T3,T4 T7 Fenêtre 1 T1,T2 T8 Aménagements extérieurs 1 T3,T4,T5 T9 Plâtres 2 T1,T3,T4,T5,T7 T10 Sols 2 T4,T5,T7,T9 T11 Peintures 2 T9 T12 Emménagement 1 Toutes les tâches Modélisez la situation proposée à l aide d un graphe, et déterminer la durée minimale du projet. Indiquez les dates au plus tôt et au plus tard de chaque tâche permettant de garantir cette durée optimale. Exercice 92 Le prince est parti à la recherche du trésor ; il peut accomplir les actions suivantes : Du point de départ, aller à la ville du marché, en contournant la rivière par un gué : 4 jours. Du point de départ, traverser la orêt : 1 jour. Depuis la orêt, abattre des arbres pour traverser la rivière, et se rendre à la ville du marché : 2 jours. Depuis la orêt, se rendre à la capitale provinciale en traversant les marais : 7 jours. S equiper chaudement au marché, et partir pour le col du nord : 5 jours. Trouver un bon cheval au marché, et se rendre à la capitale provinciale par la grand-route : 3 jours. Depuis le col du nord, se rendre au reuge du devin : 3 jours. Depuis la capitale provinciale, se rendre au reuge du devin : 4 jours. Se rendre de la capitale provinciale au palais du roi, en étant retardé par des contrôles : 10 jours. Au sortir du devin, partir directement chercher l épée, et la trouver après s être perdu par manque de carte : 20 jours. Au sortir de chez le devin, au mépris de ses avis, se rendre directement à la grotte et tuer le dragon avec un cani : 32 jours (il aut du temps pour le tuer avec un cani ). Bien conseillé par le devin, prendre un raccourci pour le palais du roi : 5 jours. Un ois arrivé au palais du roi, s eduire la bibliothécaire, puis trouver les cartes qui expliquent l emplacement de l épée et du trésor : 6 jours. En utilisant les cartes trouvées dans la bibliothèque, aire tout le tour de la montagne, et traverser un labyrinthe qui mène directement au trésor : 30 jours. En utilisant les cartes, al ler chercher l épée pour combattre le dragon : 7 jours. S entraîner à l épée, puis tuer le dragon : 8 jours. Une ois l épée trouvée, au lieu d aronter le dragon, utiliser l épée pour creuser un tunnel par dessous, et déboucher directement dans la cachette du trésor : 18 jours. Une ois le dragon tué, résoudre l énigme qui ouvre la cachette du trésor : 9 jours. Comment doit-il aire pour récupérer le trésor le plus vite possible? Quel temps lui audra-t-il? 16

17 ss Exercice 93 Exercice 94 17

18 Université de Provence Année Master I MASS Cours interdisciplinaire Problèmes autour des graphes (Solutions) Correction 1 Avec 15 clubs, il est assez diicile de démarrer le travail sur ce problème, à cause de la taille des données. Avec 7 clubs, on est rapidement amené à un dessin où chaque club est représenté par un point, et où on relie par un trait deux clubs qui disputent un match. Une bonne idée est alors de compter le nombre de traits, c est-à-dire le nombre de matchs qui seront joués ; comme chaque trait a deux extrémités, c est aussi la moitié du nombre de participations : si chacun des 7 clubs joue 3 matchs, il y a 21 participations, dont 21 2 matchs, ce qui est absurde! De même, dans le cas de 15 clubs, si chaque club joue la moitié des matchs possibles, soit 7, il doit y avoir matchs : l organisation d un tel tournoi n est pas possible, pour de pures raisons arithmétiques. On voit que, plus généralement, pour la même raison, s il y a un nombre impair d équipes, il n est pas possible qu elles jouent toutes un nombre impair de matchs. Correction 2 Si l on pense à représenter chaque segment par un point, et à relier 2 points si les segments correspondants se coupent, on voit, exactement comme pour l exercice précédent, que l exercice proposé est impossible. Remarquons que nous avons obtenu un résultat qui n était nullement évident : pour montrer qu un problème est possible, il suit d en exhiber une solution ; il est en général bien plus diicile de démontrer qu un problème est impossible, et cela ne peut se aire sans un raisonnement. Correction 3 Ce problème, qui est un classique, ut proposé en 1736 par Leonhart Euler, c est le premier problème de la théorie des graphes. Il est aujourd hui paraitement résolu, mais les habitants de Koenigsberg (aujourd hui Kaliningrad, ville russe enclavée entre la Pologne et la Lituanie) ne voyaient pas comment aire. Correction 7 Correction 8 Cette situation peut être modélisée à l aide d un graphe. Désignons par P le passeur, par C la chèvre, par X le chou et par L le loup. Les sommets du graphe sont des couples précisant qui est sur la rive initiale, qui est sur l autre rive. Ainsi, le couple (PCX,L) signiie que le passeur est sur la rive initiale avec la chèvre et le chou (qui sont donc sous surveillance), alors que le loup est sur l autre rive. Une arête relie deux sommets lorsque le passeur peut passer (sic) d une situation à l autre. En transportant la chèvre, le passeur passe par exemple du sommet (PCX,L) au sommet (X,PCL). Le graphe ainsi obtenu est biparti : les sommets pour lesquels le passeur est sur la rive initiale ne sont reliés qu aux sommets pour lesquels le passeur est sur l autre rive... Naturellement, on ne considèrera pas les sommets dont l une des composantes est CX ou LC car ces situations sont interdites. Il suit ensuite de trouver un chemin (le plus court par exemple) entre la situation initiale (PCXL,-) et la situation inale souhaitée (-,PCXL). La igure suivante donne un tel chemin : 1

19 Correction 9 La solution est donnée dans les vers suivants : It duplex mulier, nedit una, vehit que manentem ; Itque una, utuntur tunc duo puppe viri. Par vadit, redeunt bini ; mulierque so rorem Ad vehit ; ad propriam sive maritus abit. Pour les non latinistes, il est possible d utiliser le même principe que dans l exercice précédent, en notant A, B et C les emmes, a, b et c les maris. On obtient encore un graphe biparti, selon que la barque est sur une rive ou sur l autre. Le schéma suivant propose une solution parmi d autres (le graphe n est pas représenté en totalité)... Dans le cas où quatre couples sont sur la berge, les sommets (aabbccdd,-) et (-,aabbccdd) sont dans des composantes connexes distinctes. Il n existe donc pas de chemin de l un à l autre et le problème n a pas de solution (on peut vériier que dans la composante connexe du sommet d arrivée, seuls igurent des sommets correspondant à un seul mari sur la rive initiale)... À titre d exercice supplémentaire, on peut voir que le problème des 4 maris jaloux a une solution s il existe une île au milieu de la rivière permettant de déposer certaines personnes ou si la barque peut transporter trois personnes. Correction 10 Pour chacune de ces questions, on construit un graphe dont les sommets représentent les cases de l échiquier. Les arêtes sont alors déinies ainsi : 1 et 3 : une arête relie deux cases si une dame placée sur l une contrôle l autre, 2 : une arête relie deux cases si un cavalier placée sur l une peut se rendre sur l autre. Les 3 problèmes s expriment alors ainsi en terme de graphes : 1 : Trouver un ensemble maximal de sommets tels qu il n existe aucune arête entre ces sommets (un tel ensemble est dit indépendant). 2 : Trouver un chemin hamiltonien (c est-à-dire un chemin passant une et une seule ois par chacun des sommets). 3 : Trouver un ensemble minimal de sommets tel que tout sommet appartient à cet ensemble ou est relié par une arête à au moins l un des sommets de cet ensemble (un tel ensemble est dit dominant). 2

20 Correction Chaque gardien va être placé sur une arête et pourra surveiller deux carreours (sommets). Le graphe ayant 11 sommets, il audra au minimum 6 gardiens. Il aut donc trouver un ensemble (minimal) d au moins six arêtes, tel que tout sommet est incident à au moins l une de ces arêtes. Le schéma ci-dessous donne une solution (arêtes épaisses). 2. Cette ois, les gardiens sont sur les sommets et surveillent les arêtes. Il aut trouver un ensemble minimal de sommets tel que toute arête est incidente à au moins l un de ces sommets. On constate rapidement que tout cycle de longueur 5 doit avoir 3 sommets dans cet ensemble... Le schéma cidessous donne une solution utilisant 6 sommets (sommets blancs). Correction 12 Considérons le graphe complet K12 à 12 sommets, chaque sommet représentant un enant. Le nombre d arêtes de ce graphe est 12 x 11 / 2 = 66. Une promenade correspond à un ensemble de 6 arêtes non incidentes : chaque arête représente un rang (deux enants) et chaque enant ne peut appartenir qu à un seul rang lors d une promenade. Ainsi, le nombre maximum de promenades est 11. Une solution possible pour ces 11 promenades est la suivante (les enants, ou sommets, sont désignés par 1,2,...,12) : 1-2, 3-12, 4-11, 5-10, 6-9, , 12-4, 11-5, 10-6, 9-7, , 4-2, 5-12, 6-11, 7-10, , 2-5, 12-6, 11-7, 10-8, , 5-3, 6-2, 7-12, 8-11, , 3-6, 2-7, 12-8, 11-9, , 6-4, 7-3, 8-2, 9-12, , 4-7, 3-8, 2-9, 12-10, , 7-5, 8-4, 9-3, 10-2, , 5-8, 4-9, 3-10, 2-11, , 2-12, 3-11, 4-10, 5-9, 6-8 Les cinq premières paires de promenades sont obtenues en découpant de deux açons complémentaires un cycle à 12 sommets (pour la première ligne, il s agit du cycle 1,2,3,12,4,11,5,10,6,9,7,8,1). La dernière ligne est composée des 6 arêtes restantes. Considérons maintenant le cas des rangs de trois. Chaque rang correspond alors à un triangle dans K12 et chaque promenade à un ensemble de 4 triangles disjoints. Cette ois, une promenade utilise 4 x 3 = 12 arêtes et le nombre maximum de promenades est 5... Correction 14 On obtient le graphe suivant : 3

21 Correction 15 Un nombre premier correspond à un sommet de degré entrant 2 puisqu il doit être divisible par 1 et lui-même (n oublions pas la boucle présente en chaque sommet), ou de degré entrant 1 (car 1 est premier et n est divisible que par lui même). Si l on considère un chemin allant de 1 à n, le produit des valeurs des arcs qui le composent vaut nécessairement n On peut alors, dans le graphe précédent, ne conserver que les arcs dont la valeur est un nombre premier et qui ne sont pas des boucles. Tout sommet n est alors tel qu il existe un unique chemin de 1 à n, dont les valeurs d arcs donnent la décomposition en acteurs premiers. Correction 16 Cela donne : Correction 17 Toujours le même principe. Les sommets sont cette ois des couples donnant le contenu du récipient de 5 litres et celui du récipient de 3 litres. On place un arc entre deux sommets lorsqu on peut passer d une coniguration à l autre. On cherche alors un chemin du sommet 0,0 au sommet 4,0... La igure suivante montre un tel chemin (le graphe n est pas représenté en entier... ) 4

22 Correction 18 Le jeu avec 2 tas de trois allumettes est décrit par le graphe suivant (tous les arcs sont orientés de gauche à droite) : Le joueur qui atteint la coniguration 0,0 perd la partie. Pour gagner, on doit donc atteindre la coniguration 0,1 ou 0,2. On peut vériier qu en jouant 1,3 au premier coup, quelle que soit la réponse de l adversaire, on peut atteindre ensuite 0,1 ou 0,2. Le coup gagnant au départ est donc enlever 2 allumettes dans un tas. Pour trois tas de trois allumettes, c est simplement un peu plus long... Correction 19 Voici une liste de conditions nécessaires : Chaque sommet doit avoir un degré entrant égal à 2 (chaque lapin a deux parents) à l exception de deux sommets pour lesquels le degré entrant est nul (ces sommets correspondent aux Adam et Ève de notre groupe de lapins... ). Le graphe doit être sans circuit (on dit également acyclique). En eet, un lapin ne peut avoir pour parent l un de ses descendants... On doit pouvoir colorier les sommets de ce graphe en deux couleurs (male et emelle), de açon telle que tout sommet de degré entrant égale à 2 possède un prédécesseur male et un prédécesseur emelle. Il est possible que d autres conditions soient nécessaires mais ma connaissance du mécanisme de reproduction chez les lapins ne me permet pas d aller plus loin... (nombre de portées possibles, nombre de petits lapins par portée, etc.) Correction 20 On utilise un graphe orienté construit de la manière suivante : Il y a quatre mots de longueur deux écrits avec les chires 0 et 1, à savoir : 00, 01, 11, 10 ; ils seront les sommets du graphe orienté. Relions par une arête orientée tout sommet ab aux deux sommets b0 et b1 ; du sommet ab partent donc exactement deux arêtes, et arrivent aussi exactement deux arêtes, celles venant des sommets 0a et 1a (si a et b sont identiques on aura une boucle), voir la igure. Le graphe ainsi construit possède donc par la version orientée du théorème d Euler un cycle orienté eulérien. On peut coder chaque arête orientée par un mot de longueur 3, plus précisement, l arête orientée partant de ab vers bc est codée par abc. Pour obtenir une solution, on part d un sommet quelconque, par exemple 10, et on parcourt un circuit eulérien : chaque arête parcourue indique quel chire on a joute à la droite du mot commencé. On obtient ainsi une suite de 10 chires, par exemple 5

23 ici , ( la liste des sommets est : ), ou encore partant du même sommet ( écrire la liste des sommets). Il n est pas diicile de vériier que l on peut étendre ce résultat à un alphabet ini quelconque et à des mots de longueur quelconque. On montre ainsi que, étant donné un alphabet de d lettres, il existe toujours un mot de longueur dn + (n 1) qui contient tous les mots de longueur n sur cet alphabet une ois et une seule (ici nous avons d = 2, n = 3, donc un mot de longueur = 10). Correction 21 La régle 1 nous permet d obtenir la représentation graphique suivante : les commissions sont les sommets et un conseiller aisant partie d exactement 2 commissions est représenté par une arête reliant les 2 sommets qui les représentent (remarquons que sans cette régle la représentation obtenue ne serait pas un graphe, mais un objet plus compliqué, un hyper graphe ). La régle 1 nous dit aussi que le graphe obtenu est sans boucle. La régle 2 implique qu il n y a pas d arête multiple, et que deux sommets quelconques sont adjacents ; c est à dire que le graphe est complet, c est K 7, il a C7 2 arêtes, soit 21 conseillers municipaux. On peut même en déduire le nombre de membres de chaque commission, c est-à-dire 6. Correction 23 Les graphes dont tous les sommets sont de degré trois sont appelés graphes 3-reguliers ou graphes cubiques. La igure ci-dessous montre deux graphes cubiques, ayant respectivement 4 et 6 sommets. En eet, on constate aisément qu il n existe pas de graphes cubiques ayant un nombre impair de sommets : le nombre d arêtes d un graphe cubique à n sommets est 3n/2 qui n est entier que lorsque n est pair. Correction 24 Non car est impai et que la somme des degrés des sommets est paires. Correction 26 Correction 27 Construisons un graphe dont les sommets représentent les personnes et plaçons une arête entre deux sommets lorsque les personnes correspondantes sont amies. Dire que deux personnes ont le même nombre d amis revient à dire que deux sommets dans le graphe ont même degré... Nous allons montrer qu il n existe aucun graphe dont tous les sommets ont des degrés distincts. Supposons qu un tel graphe existe et qu il possède n sommets. Le degré maximal d un sommet est donc n 1. Si tous les degrés des sommets sont distincts, on a donc nécessairement un sommet de degré 0, un sommet de degré 1,..., un sommet de degré n 1. Du ait de la présence d un sommet de degré 0, disons x 0, il est impossible d avoir un sommet de degré n 1 (en eet, celui-ci devrait être relié à tous les autres, y compris x 0 ). On obtient ainsi une contradiction. Correction 28 Supposons tout d abord qu il existe une personne, disons A, en connaissant trois autres, disons B, C et D, et considérons les relations entre B, C et D... Si deux d entre elles se connaissent (par exemple B et C) alors elles orment avec A un trio de personnes se connaissant mutuellement. Dans le cas contraire, B, C et D orment un trio ne se connaissant pas. Si aucune personne n en connaît trois autres, on raisonne de açon symétrique en considérant la personne A et trois personnes qu elle ne connaît pas : si ces trois personnes se connaissent mutuellement, c est gagné. Sinon, deux personnes parmi ces trois ne se connaissant pas orment avec A un trio de personnes ne se connaissant pas... Le graphe C 5 montre que la situation est diérente pour un groupe de cinq personnes (tout triplet de personnes contient 1 ou 2 arêtes)... Correction 29 Un tel groupe sera représenté sous orme d un graphe dont les sommets sont les personnes ; une arête reliera deux sommets correspondant à des personnes se connaissant. Supposons qu il existe un groupe (graphe) de 9 personnes (sommets) n ayant pas la propriété annoncée. Nous allons montrer que nous aboutissons nécessairement à une contradiction. Prenons tout d abord deux personnes se connaissant, disons A et B (si personne ne se connaît, nous avons un trio ne se connaissant pas). Les sept autres personnes peuvent alors être réparties en quatres 6

24 groupes : G, le groupe des personnes ne connaissant ni A ni B ; GA, le groupe des personnes connaissant A mais ne connaissant pas B ; GB, le groupe des personnes connaissant B mais ne connaissant pas A ; GAB, le groupe des personnes connaissant A et B. Que pouvons-nous dire de ces groupes de personnes? G : ce groupe est nécessairement composé de personnes se connaissant mutuellement (sinon, deux personnes de ce groupe ne se connaissant pas ormeraient avec A ou B un trio ne se connaissant pas). Ainsi, ce groupe contient au maximum 3 personnes (sinon nous avons un quatuor se connaissant mutuellement). GA : ce groupe est nécessairement composé de personnes se connaissant mutuellement (sinon, deux personnes de ce groupe ne se connaissant pas ormeraient avec B un trio ne se connaissant pas). Ainsi, ce groupe contient au maximum 2 personnes (sinon nous avons avec A un quatuor se connaissant mutuellement). GB : de açon symétrique, ce groupe est nécessairement composé de personnes se connaissant mutuellement (sinon, deux personnes de ce groupe ne se connaissant pas ormeraient avec A un trio ne se connaissant pas). Ainsi, ce groupe contient au maximum 2 personnes (sinon nous avons avec B un quatuor se connaissant mutuellement). GAB : ce groupe est nécessairement composé de personnes ne se connaissant pas (sinon, deux personnes de ce groupe se connaissant ormeraient avec A et B un quatuor se connaissant mutuellement). Ce groupe contient donc au maximum deux personnes (sinon nous avons un trio ne se connaissant pas). Examinons maintenant les relations entre ces quatre groupes : toutes les personnes de GB connaissent toutes les personnes de G (sinon une personne de GB et une personne de G ne se connaissant pas ormeraient avec A un trio ne se connaissant pas). L union de G et GB est donc un ensemble de personnes se connaissant mutuellement et sa taille est d au plus 3 (sinon nous avons un quatuor se connaissant mutuellement). de açon symétrique, les personnes de G et GA se connaissent mutuellement et la taille de l union de G et GA est d au plus 3. Fort de ces observations, on peut vériier sans peine que la seule possibilité concernant les cardinalités de ces 3 groupes est la suivante : card(g) = 1, card(ga) = 2, card(gb) = 2 et card(gab) = 2 (avec A et B, nous retrouvons bien nos 9 personnes... ). Posons alors G = U, GA = T1, T2, GB = Z1, Z2 et GAB = X, Y. Le schéma correspondant est donné ci-dessous, igure (a). Considérons maintenant les relations entre GAB et GA, GB... Tout sommet de GA ou GB doit être relié à au moins un sommet de GAB (sinon nous avons un trio ne se connaissant pas). Par contre, les deux sommets de GA (ou de GB) ne peuvent être reliés au même sommet de GAB, sinon, ils ormeraient avec A (ou B) un quatuor se connaissant mutuellement. Nous obtenons ainsi la igure (b) ci-dessous (du ait des symétries, une seule solution est possible). Qu en est-il des relations entre GA et GB? Z1 est nécessairement voisin de T2, sinon Z1, T2 et X orment un trio ne se connaissant pas. De la même açon, Z2 est nécessairement voisin de T1 (voir igure (c)). Pour conclure sur une contradiction, il nous reste à regarder les relations entre G et GAB... U est nécessairement relié à X ou Y, sinon U,X,Y serait un trio ne se connaissant pas. Si U est relié à X, alors X,U,T1 et Z2 orment un quatuor se connaissant mutuellement et si U est relié à Y, alors U,Y,T2 et Z1 orment un quatuor se connaissant mutuellement. Dans les deux cas, nous obtenons la contradiction recherchée... 7

25 Le graphe suivant montre que la propriété n est plus vériiée pour un groupe de 8 personnes : Correction 30 Soit A une ville quelconque. L autoroute nous conduit de la capitale vers au moins 7 villes diérentes ; on a donc un réseau de 8 villes reliées par autoroute. De la ville A on peut également relier par autoroute au moins 7 autres villes diérentes ; on a donc un nouveau réseau de 8 villes reliées par autoroute. Il doit y avoir une ville commune à ces deux réseaux, car sinon le pays aurait au moins 16 villes. La capitale est donc reliée à A en au plus deux coups, en passant par cette ville commune ; elle est donc reliée à toutes les autres villes du pays. Le graphe qui représente la situation précédente sera dit connexe. Correction 31 Correction 32 Correction 33 Correction 34 Correction 35 Correction 36 Correction 37 Correction 38 Correction 39 8

26 Correction 42 Correction 43 Correction 44 Correction 45 Correction 46 Correction 47 Correction 48 La première réunion avec 8 personnes peut être modélisée par le graphe cyclique noté C 8. Correction 49 Correction 50 Correction 51 On commence par représenter le graphe d interérence, dont les sommets sont les stations, deux stations étant reliées par une arête si elles interèrent, c est-à-dire si elles sont distantes de moins de 100Km. C est une bonne occasion de tester l algorithme de Welch et Powell. La liste des sommets dans l ordre des degrés décroissants (on a écrit le degré entre parenthèses après chaque sommet) est C (5), E(4), G(4), A(3), B(3), D(3), F (2). On colorie d abord C en rouge, puis le premier sommet qui ne lui est pas adjacent, soit A, et on ne peut plus colorier en rouge. Ensuite on colorie E en bleu, et le premier sommet qui ne lui est pas adjacent, soit B. On colorie ensuite G et F en vert, et il ne reste plus que D à colorier en jaune. L algorithme nous donne un coloriage en 4 couleurs, donc γ(g) 4 (c était prévisible, puisque le dessin montre que le graphe est planaire). D autre part, on voit immédiatement que le graphe contient le graphe complet K 4 (sur les sommets C, D, E, G), donc son nombre chromatique est au moins 4. Il est donc égal à 4. Il audra au minimum 4 longueurs d ondes, par exemple une pour A et C, une pour B et E, une pour F et G, et une pour D. Correction 52 Le graphe modélisant le carreour est représenté ci-dessous. Son nombre chromatique est égal à 4 (il est 4-coloriable et contient un K4 regroupant les sommets AC, BD, CD et DA). Un ensemble de sommets de même couleur, par exemple ED, AC, AE et CA regroupe un ensemble de trajets pouvant s eectuer en même temps (aucune incompatibilité). Le nombre chromatique correspond alors au nombre minimum de cycles que doivent respecter les eux de signalisation de ce carreour. Pour notre exemple, nous aurons : 1.ED, AC, AE et CA 2.BA, BE, BD et EC 3.DC et DA 4.CD 9

27 D autres solutions (4-colorations) sont naturellement possibles... Correction 53 On reprend le graphe des rencontres proposé dans l exercice 8. Il reste alors à proposer une coloration du graphe utilisant un nombre minimum de couleurs. Chaque couleur correspondra à une place assise. La coloration suivante montre que 4 places sont nécessaires... et suisantes car le graphe contient une clique (sous-graphe complet) à 4 sommets (B-E-F-G). Correction 55 Correction 56 Correction 57 Correction 58 Correction 59 Correction 60 Correction 61 Correction 62 Correction 63 Correction 64 Correction 65 Correction 66 Correction 72 Correction 73 10

28 Correction 74 Correction 75 Correction 76 Correction 77 Correction 80 Correction 81 Correction 82 Correction 83 Correction 85 Dans un tournoi, un ensemble de n individus (ou équipes) se rencontrent deux à deux, chaque rencontre se soldant par la victoire de l un et la déaite de l autre... Ceci peut être représenté à l aide d un graphe dont les sommets correspondent aux individus et tel qu un arc va du sommet A vers le sommet B si la rencontre correspondante a vu la victoire de A sur B... Supposons qu un tournoi T possède un circuit C = x1x2... xkx1 de longueur k 3 (en eet, pour k=3, il n y a rien à prouver). Nous allons d abord montrer que T possède un circuit de longueur 3. Considérons n importe quel sommet du circuit C, x1 par exemple. Nous airmons qu il existe nécessairement un arc xixi+1 dans T, avec 1 i k, tel que x1xi et xj+1x1 sont des arcs (en d autres termes, x1xixi+1x1 orme un circuit). On peut exhiber un tel arc en tournant autour de C de la açon suivante : 1. posons i=2 ; si x3x1 est un arc, nous avons gagné (x1x2x3x1 est un circuit) ; dans le cas contraire, x1x3 est un arc et nous pouvons poser i= en continuant de la sorte, nous allons nécessairement trouver un arc xixi+1 ayant la propriété cherchée car xkx1 est un arc de T (au pire, la solution sera donc l arc xk-1xk). Nous allons terminer la preuve en montrant que dès que nous avons un circuit de taille k composé de sommets de C, avec 3 k k-1, nous avons nécessairement un circuit de taille k +1, toujours composé de sommets de C (nous montrons ainsi une propriété plus orte que celle annoncée dans l exercice). Soit donc C = y1y2... yk y1 un circuit composé de sommets de C et notons X l ensemble des sommets de C non utilisés dans C. Supposons qu il existe un sommet x de X qui soit successeur de certains sommets de C et prédécesseur d autres sommets de C. Dans ce cas, il y a nécessairement un arc yjyj+1 dans C tel que yj est prédécesseur de x et yj+1 est successeur de x. Nous avons alors un circuit de longueur k +1 : y1y2... yjxyj+1... xk x1 (nous avons pris ici un raccourci dans l écriture car l arc yjyj+1 peut être l arc yky1... ). Si on ne peut trouver un tel sommet x, cela signiie que l ensemble X peut être partitionné en deux sous-ensembles S et P respectivement composés des sommets successeurs de tous les sommets de C et des sommets prédécesseurs de tous les sommets de C. Aucun de ces deux sous-ensembles ne peut être vide car nous savons qu un circuit unit les sommets x1,...,xk. Pour la même raison, il existe nécessairement un sommet s dans S et un sommet p dans P tel que sp est un arc dans T. (Dans le cas contraire, l ensemble S (ou P) n aurait que des prédécesseurs (ou des successeurs) parmi les autres sommets et le circuit initial C ne pourrait exister). Nous avons alors un circuit de longueur k +1, donné par y1spy3... yk y1 (voir igure ci-dessous). 11

29 Finalement, la igure suivante montre un tournoi à 6 sommets ne possédant aucun circuit de longueur supérieure à 3 (ce tournoi est composé de 2 circuits de longueur 3 réunis par des arcs ayant tous la même direction) : Correction 86 Pour un sommet donné, il est nécessaire de calculer la somme des longueurs des plus courts chemins de ce sommet aux autres sommets. La igure suivante donne cette valeur pour le sommet A, puis pour tous les sommets du graphe. Le meilleur sommet de stockage est donc le sommet X... Correction 87 On peut essayer d énumérer les cycles de longueur 5 par rapport au nombre d arêtes extérieures qu ils contiennent. La igure suivante montre les schémas de cycles correspondants et le nombre de tels cycles obtenus par rotation... Le nombre total de cycles de longueur 5 est donc Même principe pour les cycles de longueur 6, au nombre de 10 : 12

30 Les cycles de longueur 8, au nombre de 15 : Et enin les cycles de longueur 9, au nombre de 20 : Correction 88 A B C D E F G A B C D E F G Correction 89 Il suit de dessiner le graphe dont les sommets sont les villes et les arcs les dessertes de la compagnie, en valuant chaque arc par la durée du vol correspondant. Un algorithme de plus court chemin permet alors de résoudre le problème. Pour prendre en compte les durées d escale, deux méthodes sont possibles : 1. Modiier l algorithme précédent, en incluant dans le calcul du coût d un chemin les durées d escale Transormer le graphe selon le principe décrit ci-dessous. L algorithme reste alors le même, en choisissant correctement les sommets de départ et d arrivée (sans escale) : on part donc de Départ2 et on arrive en Arrivée1... Correction 90 En utilisant la méthode MPM, nous obtenons le graphe ci-dessous. Les dates au plus tôt et au plus tard sont calculées par niveaux... Les tâches critiques, et le chemin critique sont indiqués en gras. Le temps minimum de réalisation de l ensemble est lisible sur le sommet FIN : 1170 jours. 13

31 Correction 92 14

32 Correction 93 Correction 94 15

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