TRIGONOMETRIE 2. Comment modéliser une tension électrique? Comment déterminer le déphasage entre 2 tensions? Etude d un circuit RL

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1 TRIGONOMETRIE 2 Comment modéliser une tension électrique? Comment déterminer le déphasage entre 2 tensions? Etude d un circuit RL Qu est ce que des angles associés, complémentaires et opposés? Comment résoudre une équation trigonométrique? Capacités connaissances -Établir des liens entre le vecteur de Fresnel d une tension ou d une intensité sinusoïdale de la forme a sin( t + ) et la courbe représentative de la fonction qui à t associe a sin( t + ). - Placer sur le cercle trigonométrique les points "images" des réels -x, x, ;2 - x,et + x connaissant "l image" du réel x. -Utiliser le cercle trigonométrique pour écrire les cosinus et sinus des réels -x, x, ;2 - x, + x et + x en fonction des cosinus et sinus du réel x. -Mettre en oeuvre les formules exprimant cos (a + b) et sin (a + b) en fonction de cos a, cos b, sin a, sin b. -Mettre en oeuvre les formules exprimant cos (a + b) et sin (a + b) en fonction de cos a, cos b, sin a, sin b. -Résoudre les équations de la forme cos x = a, sin x = b et sin( t + ) = c. -Estimer d une calculatrice, la (les) solution(s), dans un intervalle donné, de l équation f (x) = avec réel donné et f (x) = cos x ou f (x) = sin x et de l'équation sin ( t + ) = c -Représentation de Fresnel d une grandeur sinusoïdale. - Angles associés : supplémentaires, complémentaires, opposés et angles dont les mesures sont différentes de. -Courbe représentative de la fonction cosinus. -Formules exprimant cos (a + b) et sin (a + b) en fonction de cos a, cos b, sin a, sin b. -Équations de la forme cos x = a et sin x = b et sin( t + ) = c.

2 I) Comment modéliser une tension électrique? 1) Quelques rappels de l an dernier Placer les mesures en radian sur le cercle trigonométrique Conversion entre le radian et le degré Comment définir le sinus et le cosinus d un angle? Définition M Dans un repère orthonormé associé au cercle trigonométrique, soit un point M sur le cercle trigonométrique défini par sa valeur d angle a Le cosinus de a est Le sinus de a est O A propriétés Valeurs particulières Valeur de l angle a Cos a Sin a

3 2) Comment modéliser une tension électrique? a) Représentation de la fonction sinus On représente la fonction sinus grâce au ( à gauche ). Ce vecteur s appelle Remarque Calculer sin( et sin( On a La fonction sinus est On peut utiliser la fonction sinus pour modéliser les tensions électriques.pour cela on définit la fonction U telle que U(t) = Axsin ( Bt+C).Reste à définir physiquement A, B et C b) Modélisation d une tension - Que représente A? Soient 2 fonctions f et U où U correspond à une tension électrique Trouver la relation entre f et U Donner le maximum de U A quoi correspond elle physiquement? Donc U(t) = -Que représente B? On représente les fonctions suivantes : f(t) = sin(t) g(t) = sin(2t) h(t) = sin(4t) Déterminer les périodes de chaque fonction Période Valeur de B en fonction de 1 2 4

4 En déduire une relation entre B, T et. B est appelé Donc U(t) = - Que représente C? On représente sur GéoGébra 2 fonctions : sin(t) et sin(t+ ;2) Qu observez vous? C est appelé - Conclusion Toute tension sinusoïdale peut être modélisée par la fonction U(t) = II) Comment déterminer le déphasage entre 2 tensions? On visualise 2 tensions à l écran d un oscilloscope Le décalage dans le temps des 2 tensions est du au Calculer le déphasage des 2 tensions Exercice U 1 Calculer le déphasage des tensions U 1 et U 2 U 2

5 III) Etude d un circuit RL On associe une résistance et une bobine et on visualise leurs tensions respectives sur un oscilloscope U 1 U 2 U U 1 On a les réglages suivants : Gain 1V/div Base de temps 1 ms/div U 2 Calculer U 1max = et U 2max = Calculer la période des 2 tensions T = En déduire la fréquence f = Calculer le déphasage = Les tensions étant sinusoïdales, calculer U 1eff = et U 2eff = On représente les 2 tensions avec les vecteurs de Fresnel Dans le triangle de Fresnel, calculer le déphasage Cette valeur est elle particulière? Calculer U Sur GéoGébra, on trace le fonction f telle que f(x) = cos x sur [0 ; 4 ]. Augmenter le déphasage. Qu observez-vous? On a la relation

6 IV) Comment résoudre une équation trigonométrique? 1) Résolution de l équation cos x = k On cherche à résoudre l équation cos x = -0,5. Déterminer graphiquement la solution de l équation en utilisant le cercle trigonométrique du I) On trouve x = A l aide de la calculatrice, résoudre l équation Pour retrouver la valeur d un angle à partir de son cosinus, 2) Résolution de l équation sin x = k On cherche à résoudre l équation sin x = 3 2. Déterminer graphiquement la solution de l équation en utilisant le cercle trigonométrique. On trouve x = A l aide de la calculatrice, résoudre l équation Pour retrouver la valeur d un angle à partir de son sinus, 3) Résolution de l équation sin( t + ) = c. Soit l équation à résoudre sin(2t+ ) = 1 2 On trouve 2t+ Les solutions de l'équation sont