2 CIRCUITS ÉLECTRIQUES

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1 Circuits électriques 1 2 CIRCUITS ÉLECTRIQUES 2.1 COMPOSANTES D UN CIRCUIT La série d expériences qui suit va vous permettre d étudier le comportement de plusieurs circuits électroniques dans lesquels le courant et la tension varient avec le temps. Puisque ces circuits contiennent des résistances, des condensateurs, des inductances, des piles et des générateurs de courant, il est donc utile de revoir les caractéristiques de ces éléments La résistance Une résistance idéale est telle que lorsqu une différence de potentiel V est appliquée à ses bornes, le courant I la parcourant est directemment proportionnel à V. La constante de proportionnalité, appelée R, est la résistance du dispositif. Pour une résistance idéale V = IR (1) qui est l énoncé de la loi d Ohm. Dans le système d unité MKS, V est exprimé en volts, I en ampères et R en ohms, dont l abbréviation est Ω. Les sous-unités kω(10 3 Ω) et MΩ(10 6 Ω) sont également utilisées. À toute résistance est associée un maximum de puissance, I 2 R, qui correspond à la puissance maximale que la résistance peut supporter. La plupart des puissances n excèdent pas 1 W ou 1 W. Les 2 résistances ordinaires sont faites d un mélange de glaise et de graphite que l on fait cuire pour obtenir une céramique. On peut varier la résistance en changeant la proportion des deux matériaux. Ces résistances ont un coefficient de température négatif, et ont donc tendance à laisser passer le courant plus facilement si on les utilise trop près de leurs limites. On peut avoir des résistances plus solides et plus chères. Ces résistances sont faites d une couche mince de métal évaporée sur un substrat. Pour trouver la valeur d une résistance, il suffit d utiliser le code des couleurs du tableau. Par exemple, une résistance de 56kΩ ± 10% est décrite par les bandes de couleurs verte, bleue, orange et argentée. La lecture se fait de l extrémité vers le milieu Le condensateur Ce dispositif permet d emmagasiner les charges. Lorsqu une des plaques a une charge Q et l autre Q, la différence de potentiel entre les plaques est

2 2 Circuits électriques proportionnelle à Q. La constante de proportionalité est appelée la capacité C. Q = CV (2) couleur valeur Code de couleur des résistances argent -2 or -1 noir 0 L anneau extérieur correspond au premier chiffre. rouge 1 Le second anneau correspond au second chiffre. brun 2 Le troisième anneau correspond à la puissance de 10 orange 3 du multiplicateur (par exemple orange = 10 3 ). jaune 4 Le quatrième anneau correspond à la tolérance. vert 5 bleu 6 or = ±5% violet 7 argent = ±10% gris 8 pas d anneau = ±20% blanc 9 Dans le système d unité MKS, l unité de charge est le coulomb, et l unité de capacité est le farad, ou F. Un farad correspond à l accumulation d une très grosse charge. Par conséquent, on utilise régulièrement les µf(10 6 F) et les pf(10 12 F). Il est à noter que l unité nf(10 9 )F n est jamais utilisée pour un condensateur. Si vous trouvez une valeur comprise entre 5 et 500, elle est probablement exprimée en pf. Si elle est comprise entre.001 et.1, les unités sont probablement des µf. En plus de leurs capacités, on donne aussi le voltage instantanné maximum que l on peut appliquer aux bornes du condensateur. Lorsque ce voltage est dépassé, il y a rupture. Il est d ailleurs d usage de prendre un facteur de sécurité de 2 ou 3. Souvenez-vous qu en régime continu, un condensateur idéal correspond à un circuit ouvert avec une résistance infinie L inductance Une inductance est en fait une bobine de fil qui peut contenir un noyau de fer. Si le courant change dans la bobine, le flux magnétique change également. Ce flux induit un voltage V proportionnel à la vitesse de variation du courant di/dt entre les bornes de la bobine. La constante de proportionnalité entre

3 Circuits électriques 3 V et di/dt est appelé l inductance L V = L di dt Dans le système MKS, l unité d inductance est le Henry, ou H. On utilise également les mh(10 3 H) et les µh(10 6 H) La pile La pile est un dispositif servant à produire une différence de voltage entre deux bornes. Dans le cas d une pile idéale, le voltage est constant et indépendant du courant utilisé. Dans le cas d une vraie pile, la résistance interne réduit le voltage entre les deux bornes lorsque l appel de courant est plus grand. Dans les diagrammes des circuits, l on sous-entend que les piles représentées sont idéales. Dans la plupart des cas on ne tient pas compte de la résistance interne de la pile, mais quelquefois celle-ci peut influencer grandement le fonctionnement du circuit. Dans ce cas, le diagramme contiendra une résistance en série supplémentaire correspondant à la résistance interne. de façon à ce que chaque symbole soit associé à un dispositif idéal. On utilise la même convention pour les autres composants. Par exemple, si la résistance d une inductance n est pas négligeable, on dessine alors une résistance en série sur le diagramme du circuit. On utilise les lois de Kirchhoff pour analyser un circuit. La première loi (loi des noeuds) dit que la somme des courants passant dans une jonction (un noeud) doit être nulle. La deuxième loi (loi des mailles) dit que la somme des différences de potentiel sur un circuit fermé (une maille) est nulle. À l aide de ces deux lois et de ses caractéristiques, on peut faire l analyse théorique d un circuit. Si les signaux utilisés sont faibles ou à haute fréquence, il se peut que les voltages ou les courants dans les conducteurs voisins induisent des signaux parasites importants; il est alors recommandé d utiliser des cables coaxiaux. Le signal voyage dans la partie centrale isolé du conducteur. Le conducteur extérieur, de forme cylindrique, qui est relié à la prise de terre et aux parties métalliques extérieures des instruments, enveloppe complètement le conducteur central et ainsi lui tient lieu d écran. Par convention le ROUGE correspond au positif ou au fil sous tension et le NOIR au négatif ou à la prise de terre. L adapteur du cable coaxial aux prises bananes suit cette convention. (3)

4 4 Circuits électriques 2.2 CIRCUITS RÉSISTANCE-CONDENSATEUR Étude théoriques des circuits RC en fonction du temps Cette expérience va nous permettre d étudier un circuit constitué d une résistance et d un condensateur montés en série. Nous allons d abord étudier ce circuit lorsque l on applique un voltage constant aux bornes. Puis nous étudierons son comportement lorsque soumis à un voltage sinusoïdal. S + - C R Figure 1 I +Q -Q C V R V Figure 2 Considérons le circuit décrit à la figure 1. Il est composé d une pile, d une résistance, d un condensateur, d un voltmètre et d un interrupteur. Lorsque l interrupteur est fermé, le condensateur accumule les charges jusqu à avoir le potentiel V o de la pile. D après l équation (2), la charge accumulée Q o est alors égale à Q o = CV o (4)

5 Circuits électriques 5 Lorsque l on ouvre l interrupteur, la situation est alors celle décrite par la figure 2. La différence de potentiel aux bornes du condensateur se retrouve aux bornes de la résistance et du voltmètre ce qui permet au courant de circuler dans cette branche. Ce courant, qui correspond à la vitesse à laquelle les charges quittent le condensateur, indique également la vitesse à laquelle le voltage varie entre ses bornes. Donc, on connait le taux de variation du voltage dans la branche voltmètre résistance. La charge Q diminue tout d abord rapidement, puis de plus en plus lentement. De même, le courant a une valeur initiale assez importante juste après l ouverture de l interrupteur, puis il diminue en amplitude et tend vers zéro losque le condensateur est presque complètement déchargé. La charge du condensateur varie selon la courbe de la figure Q/Q t/rc On peut toutefois analyser le circuit d une façon plus quantitative. Soient Q, I et V respectivement la charge, le courant et le potentiel instantannés. Toutes ces quantités varient avec le temps. Le courant présent dans le circuit est uniquement dû à la décharge du condensateur. On peut donc écrire I = dq dt (5)

6 6 Circuits électriques De plus, nous savons que le courant, le potentiel instantanné V et la résistance du circuit sont reliés. Si R est la résistance totale de la résistance et du voltmètre montés en parallèle, on a I = V R (6) La relation entre le potentiel V et la charge Q est exprimée par l équation suivante: V = Q C En utilisant les équations (5) et (6) et en y substituant (7), on trouve (7) dq dt = Q RC, (8) Donc, la vitesse de décharge d un condensateur à un moment donné est proportionnelle à la charge présente à ce moment. Seule la fonction exponentielle a un taux de variation (la dérivée) proportionnelle à la fonction elle-même. Elle satisfait donc l équation (8). De plus, si on utilise la fonction qui suit Q = Q o e t RC. (9) elle satisfait également la condition Q = Q o à t = 0. Vérifiez que les équations (8) et (9) sont en accord en dérivant (9). La figure 3 montre les variations de la fonction correspondant à (9). Les axes correspondent aux variations des quantités Q/Q o et t/rc. On utilise ces rapports plutôt que les quantités Q et t car ils n ont pas d unités. Ce sont des nombres purs. Le produit RC est appelé constante de temps ou temps de relaxation du circuit. D après (9), après un temps t = RC, la charge a diminué jusqu à Q/Q o = e 1 = = 36% de sa valeur initiale. La charge continue de diminuer du même rapport 36% à chaque intervalle de temps t. Une autre quantité importante et plus facile à mesurer est le temps nécessaire à la charge pour diminuer de moitié. Ce temps est appelé demi-vie et, T 1/2, est décrit par l équation suivante 1 2 = 12 e T /RC. (10)

7 Circuits électriques 7 Si l on prend le logarithme des deux cotés de l équation, on obtient T1 2 = RC ln(2) = RC. (11) Le terme demi-vie vient de la fission radioactive, qui est décrit par des équations similaires Analogue mécanique On peut trouver des analogies très intéressantes entre les circuits électriques et les systèmes mécaniques. L une de ces analogies est la relation entre le circuit RC et le système décrit à la figure 4. Ce système est la version simplifiée d un amortisseur d automobile. Le piston est perforé et l huile doit passer dans les trous lorsque le piston se déplace. Comme résultat, à cause de la viscosité de l huile il y a une force résistance qui dépend de la vitesse du piston. Pour des vitesses assez basses, cette force est proportionnelle à la vitesse. On peut donc écrire F = bv, b étant la constante de proportionnalité. Le signe négatif indique que la force s oppose toujours au mouvement. oil F x x 0 0 x0 Figure 4 Le ressort de l automobile exerce aussi une force sur le piston. Lorsqu il est déplacé d une distance x par rapport à sa position d équilibre, cette force est égale à F = kx, où k est la constante de raideur du ressort. D après la deuxième loi de Newton, la somme de ces deux forces doit être égale à la masse du piston fois son accélération. Si cette masse est négligeable, la somme doit être nulle kx bv = 0 ou dx dt = k b x (12) Cette équation différentielle a exactement la même forme que celle décrivant le régime de décharge du condensateur, soit (8). Le déplacement x correspond à la charge Q et la vitesse v au courant I. De plus, on trouve

8 8 Circuits électriques également des relations similaires entre les paramètres décrivant les deux systèmes. La constante d amortissement b correspond à la résistance R, et la constante de raideur k à l inverse de la capacité C. Cette similitude nous permet de dire que lorsque l on déplace un amortisseur de x o de sa position à l équilibre, il retourne à cette position de façon exponentielle selon l équation x = x o e (k/b)t (13) avec une constante de temps égale à b/k. Si, de plus l amortisseur est soumis à une force motrice dépendante du temps F(t), la situation est analogue à celle du circuit RC soumis à un voltage V (t) fonction du temps. Si la masse du piston n est pas négligeable, on doit alors l inclure dans les équations. La présence d une masse rend possible au piston de dépasser sa position d équilibre et ainsi de subir des oscillations amorties. De fait, comme nous le verrons, ceci aussi a une analogie électrique dans les circuits LRC. Le comportement d un circuit RC tel que décrit ci-dessus est appelé régime de charge et de décharge et peut être observé à l aide d un voltmètre si la constante de temps est suffisamment grande, soit de l ordre de quelques secondes. Par contre il est facile d avoir des valeurs RC beaucoup plus petite qu une seconde, peut-être de l ordre des ms ou des µs. Ce qui veut dire qu on peut avoir des oscillations électriques ou des temps de relaxation dont la fréquence est très au dela des systèmes mécaniques. Toutefois les équations mathématiques s appliquent toujours, même si les oscillations sont trop rapides pour être vues directement.

9 Circuits électriques Circuits RC en régime sinusoïdal forcé Q C V = Vo cos(ωt) R I Figure 5 Considérons le circuit de la figure 5 auquel on applique un voltage sinusoïdal, ou alternatif. Dans ce cas, V = V o cosωt, où V o est l amplitude, et ω = 2πf est la fréquence angulaire, ou pulsation. Après quelques périodes, on s attend à ce que tous les voltages et les courants du circuit varient sinusoïdalement à la fréquence ω. Effectuons tout d abord une analyse grossière du comportement de chaque composant. Si ω est très petite le voltage varie lentement et le condensateur correspond alors à un circuit ouvert, et on s attend à retrouver la majorité du voltage d entrée aux bornes du condensateur, et presque pas aux bornes de la résistance. Dans le cas inverse, lorsque la fréquence est élevée, le courant qui est le taux de variation de la charge passera beaucoup plus facilement dans le condensateur que dans la résistance, et l on s attend à retrouver un voltage sinusoïdal beaucoup plus important aux bornes de la résistance qu à celles du condensateur. On peut également s attendre à ce que la différence de potentiel présente dans le condensateur soit maximale lorsque le courant arrête de passer et que la charge est maximale. On peut donc dire qu il y aura un déphasage entre les maxima du voltage et du courant. Faisons maintenant une analyse plus détaillée. Si l on applique la loi des mailles au circuit, on trouve V o cosωt = IR + Q C = dq dt R + Q C, (14)

10 10 Circuits électriques où nous avons utilisé la relation I = dq/dt. Nous supposons que Q varie sinusoïdalement avec la même fréquence que V, mais est déphasée. Donc, Q = Q o cos(ωt + φ) (15) où Q o et φ sont des constantes inconnues. Q o est bien sur associée à la charge maximale durant une période, et φ est appelé la phase. Un cycle complet correspond à une augmentation pour ωt de 2π. Par exemple, si Q est en avance d un quart de cycle sur V, φ = π/2. S il est en retard, φ = π/2. Nous devons maintenant trouver les valeurs de Q o et φ de façon à ce que l équation (15) satisfasse l équation (14). En utilisant (15), on calcule dq/dt et on le susbstitue dans (14). V o cosωt = ωq o R sin(ωt + φ) + Q o C cos(ωt + φ). (16) D après les identités trigonomètriques, sin(a ± B) = sin A cosb ± cosasin B cos(a ± B) = cosacosb sin A sin B Si l on regroupe les termes contenant les sin et les cos, on trouve ( cos ωt ωq o R sin φ + Q ) ( o C cosφ V o sin ωt ωq o R cosφ + Q ) o C sin φ = 0 (17) Si l on veut que (15) décrive correctement le régime de charge du condensateur, (17) doit être obéie à tout instant t. En particulier, considérons des temps qui simplifient (17). Lorsque ωt = π/2, sin ωt = 1 et cosωt = 0. Le terme compris dans la deuxième parenthèse doit être nul et on trouve tgφ = ωrc (18) De plus, lorsque ωt = 0, sin ωt = 0 et cosωt = 1. Le premier terme entre parenthèse est alors égal à zéro et l on obtient Q o = V o ωr sin φ + (1/C) cosφ. (19) Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par C et que l on utilise l équation (18), on trouve Q o = CV o (tg 2 φ + 1) cosφ = CV o [ (ωrc) ] 1/2 = CV o cosφ, (20)

11 Circuits électriques 11 puisque cosφ = (sec φ) 1 = (tg 2 φ + 1) 1/2. Ainsi, la charge est en retard par rapport au voltage appliqué (car φ est toujours négatif) et le déphasage tend vers zéro lorsque ω est petit(e) mais il approche π/2 lorsque ω est grand(e). Quelque soit la fréquence, les voltages entre les bornes de C et R sont déphasés de 90 o. Lorsque ω est petit(e), Q o est presque égale à CV o, la valeur qu elle aurait s il n y avait pas de résistance présente dans le circuit et V c est pratiquement égal à V o. D un autre coté, si ω est grande, Q o est très petite et le voltage alternatif aux bornes de C est presque inexistant. Il est intéressant d étudier les variations du courant I en fonction de la fréquence. Si l on dérive (15) par rapport au temps et que l on utilise l identité suivante cos(a + π/2) = sin A, on trouve I = dq dt = ωq o sin(ωt + φ) = ωq o cos(ωt + φ + π ). (21) 2 La valeur maximale que prend I o est donnée par ωq o. En utilisant les équations (18) et (19), on peut réécrire cela de la façon suivante I o = ωq o = ωcv o cosφ = ωcv o [(ωrc) 2 + 1] 1/2 = V o [R 2 + (1/ωC) 2 ] = V o sin φ. 1/2 R (22) On voit que dans la limite des basses fréquences, I o tend vers zéro, et que la phase de I tend vers π/2. Dans la limite des hautes fréquences, φ = π/2, le courant est en phase avec le voltage et son amplitude est égale à V o /R. Pour résumer, lorsque ω 1/RC, le condensateur domine le circuit et la résistance n apparait pas. Dans le cas contraire, c est la résistance qui domine, et le condensateur qui disparait. La règle dont il faut se souvenir est la suivante: le condensateur correspond à un court-circuit dans le cas des hautes fréquences et à un circuit ouvert dans le cas des basses fréquences. 2.3 EXPÉRIENCE Régime de décharge dans un circuit RC On utilise l oscilloscope pour observer les décharges trop rapides pour être observées avec un voltmètre. Si on utilisait un interrupteur manuel, on n obtiendrait qu une trace momentanée à l écran à chaque fois qu on le changerait de position. Pour obtenir une image stationnaire du phénomène, il faudrait changer régulièrement et très rapidement l interrupteur de position.

12 12 Circuits électriques Par conséquent, on utilise un générateur de signaux rectangulaires comme substitut (figure 6). À chaque fois que le voltage change brusquement, cela correspond à changer la position de l interrupteur. De plus, on peut faire varier l amplitude (ce qui serait l équivalent du voltage de la batterie) et la fréquence (rapidité du changement de position de l interrupteur) du signal. +V 1/f time -V Figure 6 Montez le circuit exposé à la figure 7. Remarquez que le circuit est différent du circuit de la figure 1. C Vo R I Figure 7 Cette fois, le condensateur doit se charger et se décharger dans la résistance. En utilisant des valeurs initiales de R = 10kΩ et C = 0.1µF, observez une période de la charge et de la décharge du condensateur en réglant la fréquence de l oscilloscope sur la valeur de celle du générateur de signaux ou la moitié

13 Circuits électriques 13 de cette valeur de façon à observer deux périodes à l écran. Obtenez ainsi directement la demi-vie grace à la base de temps calibrée de l oscilloscope et comparez avec l équation (11). Remarque:Le générateur de signaux a une résistance interne montée en série avec R. Par conséquent, la constante de temps RC mesurée peut être différente de celle calculée en utilisant la valeur de la résistance Régime sinusoïdal dans un circuit RC On utilise le même circuit que précédemment pour étudier le comportement d un circuit RC soumis à un voltage sinusoïdal. Il suffit de changer la forme d onde du générateur de signaux de rectangulairee à sinusoïdale. Il faut utiliser un oscilloscope à canon à électrons double de façon à pouvoir comparer les phases des différents voltages. Ainsi,on peut observer deux traces à l écran. Il ne faut toutefois pas oublier que si les entrées en Y sont indépendantes, celles en X, qui proviennent de la même base de temps, sont identiques. Donc les deux traces sont à la même échelle de temps. DÉCLENCHEUR EXTÉRIEUR En général, la base de temps est déclenchée par une variation rapide du signal d entrée. Il est plus pratique lorsque l on compare deux traces, d avoir un déclencheur de temps qui ne change pas avec la forme du signal. La plupart des générateurs de signaux ont un signal à amplitude fixe pouvant servir de déclencheur. Sur le générateur WAVETEK, ce signal sort par la prise PULSE OUT(TTL). Reliez cette prise à la prise EXTERNAL TRIGGER (déclencheur extérieur) et réglez l oscilloscope de façon à ce que la base de temps soit déclenchée quelque soit la forme du signal. Y2 Oscilloscope G Y1 C R Figure 8

14 14 Circuits électriques Montez le circuit montré à la figure 8. Mesurez le rapport du voltage entre les bornes de C sur le voltage d entrée. Vous obtiendrez précisément ces deux quantités en mesurant la distance entre deux maxima. Tracez la courbe de V o C /V o en fonction de la fréquence, en vous attachant plus particulièrement à la région dans laquelle ce rapport change beaucoup. Souvenez-vous que l oscilloscope mesure la différence de potentiel entre les bornes du condensateur et non pas sa charge. Toutefois, on sait que ces quantités sont en relation: Q = V C. crête à crête φ Mesurez également le déphasage φ en fonction de la fréquence, en mesurant le déplacement selon X pour les deux traces. Ceci s effectue facilement si l on compare les deux temps pour lesquels les signaux passent par zéro. Une période correspond à un déphasage de 360 o ou 2π radians. Vous pouvez calculer la fréquence f et la fréquence angulaire ω = 2πf d après le générateur de signaux ou l oscilloscope. Vérifiez les prédictions des équations (18) et (20).

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