Fiche(1) Graphes étiquetés et graphes pondérés. Recherche du plus court chemin Algorithme de Dijkstra

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1 Fiche(1) Recherche du plus court chemin Algorithme de Dijkstra Partons d un cas concret : un automobiliste doit se rendre de Troyes à Autun. Si vous observez la carte ci-dessous, vous remarquez qu un faisceau de trajectoires possibles s offre à lui : il peut passer par St Florentin, Tonnerre, Chatillon, Montbard, Auxerre, Sens, Saulieu, Dijon, Beaune. Selon qu il cherche à limiter son kilométrage ou son temps de parcours, sa consommation ou le coût total du trajet, il peut souhaiter ne rouler que sur des nationales, que sur l autoroute, ou alterner les deux. Qui plus est, alerté sur la densité du trafic, il peut être amené à effectuer des choix plus complexes. La première partie du travail va consister à construire un graphe, le plus précis et le plus large possible de la situation. Pour cela, commençons par nommer les villes par des lettres, et reportons ces lettres dans un tableau à deux entrées, comme cidessous. Ensuite, attaquons-nous à la partie peut-être la plus importante : la pondération du graphe. Il s agit de fixer les critères pertinents de l optimisation (la distance, le temps, le coût, une combinaison de ces paramètres...) et de calculer la «distance» entre les sommets au sens de ces critères. Faisons par exemple l hypothèse que nous connaissons parfaitement l état du trafic sur l ensemble de ce réseau, et créons arbitrairement un «coefficient de trafic» entre 1 et 100, la valeur 1 signifiant que le trafic est parfaitement fluide (et donc que nous pouvons rouler à la vitesse maximale autorisée). Par exemple : la distance Tonnerre - Chatillon est de 49 km. Il s agit d une nationale, ce qui signifie que nous pouvons rouler à 90 km:h, soit un temps de trajet de 0,54 h. Mais le trafic légèrement perturbé nous amène à pondérer ce trajet d un coefficient 7, soit une «distance», à notre sens, de 0,57 7 = 3,8 arrondi à 4. La distance Chatillon - Montbard est de 33 km. Il s agit également d une nationale, le temps de trajet est donc de 0,37 h. Malheureusement, le trafic est extrêmement difficile, et nous décidons de pondérer ce trajet d un coefficient 57, soit une «distance» de 0,37 x 57 = 21. Répétons ce calcul pour l ensemble des trajets pertinents, et imaginons que nous obtenons le tableau suivant : Tableau qui correspond au graphe suivant : A B C D E F G H I J A Tonnerre B St Florentin C Troyes D Chatillon E Avallon 4 F Auxerre 3 G Montbard 3 H Dijon 3 5 I Autun J Beaune 8 Nous allons maintenant appliquer l algorithme de Dijkstra à ce graphe. Plutôt que de longues explications théoriques, j ai décidé d enregistrer la résolution, à la main, sur la vidéo suivante. Je vous conseille vivement de vous munir d un crayon et d un papier pour effectuer le calcul en même temps que moi... Voir la vidéo : Page 1 sur 11

2 A B C D E F G H I J Le trajet le plus «court», au sens de notre pondération semble donc être le trajet CAFHJI, soit : Troyes - Tonnerre - Auxerre - Dijon - Beaune -Autun. L algorithme de Dijkstra a été publié en C est un algorithme de type «glouton», et il est l un des plus efficaces pour traiter les problèmes de plus court chemin : sa simplicité permet son enseignement dans la spécialité "Mathématiques" des classes de Terminale ES. Grâce à la puissance du traitement informatique, il est utilisé par les logiciels d optimisation de trajets réels (Navigateurs GPS, Site R.A.T.P...) ou virtuels (routage internet). Page 2 sur 11

3 Algorithme de Dijkstra un autre exemple Le graphe suivant représente un réseau routier (avec des sens interdits). Quel est l itinéraire le plus court qui relie E à S? Fiche(2) Algorithme de Dijkstra Sommet fixé E A B C D F G S E Algorithme de Dijkstra encore un autre exemple Déterminer la plus courte chaîne entre I et J Page 3 sur 11

4 Algorithme de Dijkstra un autre exemple CORRIGE Le graphe suivant représente un réseau routier (avec des sens interdits). Quel est l itinéraire le plus court qui relie E à S? Fiche(2) Voir animation : Algorithme de Dijkstra Sommet fixé E A B C D F G S E 0 E 5(E) 3(E) 2(E) C(2) 5(E) 3(E) 4(C) 5(C) B(3) 4(B) 4(C) 5(C) A(4) 6(A) 4(C) 5(C) F(4) 5(F) 5(C) 10(F) D(5) 5(C) 10(F) G(5) 10(F) S(10) Le plus court chemin est E-C-F-S, la distance parcourue est de 10 km. Algorithme de Dijkstra encore un autre exemple Déterminer la plus courte chaîne entre I et J Sommet fixé I A B C D E F G H J I 0 I 2(I) 14(I) 21(I) A(2) 14(I) 22(A) 21(I) B(14) 18(B) 22(A) 21(I) C(18) 22(A) 30(C) 21(I) 39(C) G(21) 22(A) 30(C) 39(C) D(22) 25(D) 30(C) 31(D) E(25) 30(C) 30(E) 37(E) F(30) 30(E) 37(E) H(30) 37(E) J(37) Le plus court chemin est I A D E J, la distance parcourue est de 37. Page 4 sur 11

5 Exercice n 1 Le graphe ci-dessous indique sans respecter l échelle, les parcours possibles entre les sept bâtiments d une entreprise importante. Un agent de sécurité effectue régulièrement des rondes de surveillance. Ses temps de parcours en minutes entre deux bâtiments sont les suivants : AB : 16 minutes AG : 12 minutes BC : 8 minutes BE : 12 minutes BG : 8 minutes CD : 7 minutes CE : 4 minutes CG : 10 minutes DE : 2 minutes EF : 8 minutes EG : 15 minutes FG : 8 minutes. Sur chaque arête, les temps de parcours sont indépendants du sens de parcours. 1) En justifiant la réponse, montrer qu il est possible que l agent de sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette usine. Donner un exemple de trajet. 2) L agent de sécurité peut-il revenir à son point de départ après avoir parcouru une fois et une seule tous les chemins? Justifier la réponse. 3) Tous les matins, l agent de sécurité part du bâtiment A et se rend au bâtiment D. En utilisant un algorithme que l on explicitera, déterminer le chemin qu il doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus petit possible, et donner ce temps de parcours. Exercice n 2 On considère le graphe suivant : Fiche(3) 1) Existe-t-il un cycle eulérien? une chaîne eulérienne? Si oui, indiquez-en un(e). 2) Donner une plus courte chaîne allant de A à I. Page 5 sur 11

6 Fiche(3) CORRIGE Exercice n 1 Le graphe ci-dessous indique sans respecter l échelle, les parcours possibles entre les sept bâtiments d une entreprise importante. Un agent de sécurité effectue régulièrement des rondes de surveillance. Ses temps de parcours en minutes entre deux bâtiments sont les suivants : AB : 16 minutes AG : 12 minutes BC : 8 minutes BE : 12 minutes BG : 8 minutes CD : 7 minutes CE : 4 minutes CG : 10 minutes DE : 2 minutes EF : 8 minutes EG : 15 minutes FG : 8 minutes. Sur chaque arête, les temps de parcours sont indépendants du sens de parcours. 1) En justifiant la réponse, montrer qu il est possible que l agent de sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette usine. Donner un exemple de trajet. Effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les chemins revient à chercher une chaîne eulérienne. Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.. La chaîne A-B-C-D-E-F-G-F contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe. Déterminons le degré de chacun des sommets. Le graphe est connexe et il existe deux sommets de degré impair, il admet donc une chaîne eulérienne commençant par un des deux sommets de degré impair (E ou G) et finissant par le deuxième sommet de degré impair. Il est donc possible d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les chemins de cette usine. Exemple de parcours : EFGECDEBCGABG 2) L agent de sécurité peut-il revenir à son point de départ après avoir parcouru une fois et une seule tous les chemins? Justifier la réponse. Il y a deux sommets de degré impair donc il n'existe pas de cycle eulérien Il n'existe pas de cycle eulérien donc il est impossible d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les chemins et revenir à son point de départ. 3) Tous les matins, l agent de sécurité part du bâtiment A et se rend au bâtiment D. En utilisant un algorithme que l on explicitera, déterminer le chemin qu il doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus petit possible, et donner ce temps de parcours. Pour déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à D, on utilise l'algorithme de Dijkstra. Le trajet le plus rapide pour aller de A à D est AGCED. Il faudra prévoir environ 24 minutes pour effectuer ce trajet. Exercice n 2 On considère le graphe suivant : 1) Existe-t-il un cycle eulérien? une chaîne eulérienne? Si oui, indiquez-en un(e). Pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe. Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Déterminons le degré de chacun des sommets. Le graphe est connexe et il existe deux sommets de degré impair. Donc il n'existe pas de cycle eulérien, mais le graphe admet donc une chaîne eulérienne commençant par un des deux sommets de degré impair (D ou G) et finissant par le deuxième sommet de degré impair. Exemple de chaîne eulérienne : DBACBFDEJIHG. 2) Donner une plus courte chaîne allant de A à I. Pour déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à I, on utilise l'algorithme de Dijkstra. Le trajet le plus rapide pour aller de A à I est ABFEJI. Sommets A B C D E F G Degré A B C D E F G A 0 A(0) 16(A) 12(A) G(12) 16(A) 18(G) 27(G) 20(G) B(16) 18(G) 27(G) 20(G) C(18) 25(C) 22(C) 20(G) F(20) 25(C) 22(C) E(22) 24(E) D(24) Sommets A B C D E F G H I J Degré A B C D E F G H I J A 0 A(0) 6(A) 4(A) C(4) 6(A) B(6) 9(B) 7(B) F(7) 9(B) 11(F) D(9) 11(F) E(11) 17(E) 16(E) J(16) 17(E) 19(J) G(17) 19(G) 19(J) I(19) Page 6 sur 11

7 Fiche(4) Exercice n 1 (Polynésie juin 2008) Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libreservice. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n importe quelle station de son choix. La ville comporte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G. Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-contre. 1. Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n empruntant que des pistes cyclables. a. A-t-il la possibilité d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. Justifier la réponse. b. À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ? Justifier la réponse. 2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. on donne deux matrices N et T : a. Une des deux matrices N ou T est la matrice M 3. Sans calcul, indiquer quelle est la matrice M 3. Justifier la réponse. b. Philippe a loué une bicyclette à la station F et l a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre? Expliquer. 3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l aide d un algorithme, déterminer un tel parcours et donner le temps nécessaire pour l effectuer. Exercice n 2 (Polynésie juin 2008) Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F. Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les arêtes représentent les routes pouvant être empruntées pour relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps de transport (en heures) entre chaque site. 1. Justifier que ce graphe est connexe. 2. Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport. a. En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet F. b. En déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F. 3. Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois. Si ce parcours existe, le décrire sans justifier ; dans le cas contraire justifier qu un tel parcours n existe pas. Page 7 sur 11

8 Exercice n 1 (Polynésie juin 2008) CORRIGE Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre-service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n importe quelle station de son choix. La ville comporte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G. Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-contre. 1. Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n empruntant que des pistes cyclables. a. A-t-il la possibilité d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. Justifier la réponse. Effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables revient à chercher une chaîne eulérienne Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.. La chaîne A-B-C-E-D-G-F contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe. Sommets A B C D E F G Déterminons le degré de chacun des sommets. Degré Le graphe est connexe et il existe deux sommets de degré impair, il admet donc une chaîne eulérienne commençant par un des deux sommets de degré impair (A ou D) et finissant par le deuxième sommet de degré impair. Il existe une chaîne eulérienne donc il est possible d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. b. À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ? Justifier la réponse. Il y a deux sommets de degré impair donc il n'existe pas de cycle eulérien Il n'existe pas de cycle eulérien donc il est impossible d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables et de rendre sa bicyclette dans la station de départ. 2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. on donne deux matrices N et T : a. Une des deux matrices N ou T est la matrice M 3. Sans calcul, indiquer quelle est la matrice M 3. Justifier la réponse. Les sommets étant classés dans l'ordre alphabétique, M est la matrice associée à ce graphe donc les termes de la matrice M3 donnent le nombre de chaînes de longueur 3 reliant deux sommets quelconques. Il existe deux chaînes de longueur 3 qui relient les sommets E et G ( E-C-F-G et E-B-D-G) or les termes de la matrice T situés à l'intersection de la cinquième ligne et septième colonne ou à l'intersection de la septième ligne et cinquième colonne sont nuls t 5,7 =0et t 7,5 =0 Donc la matrice T ne convient pas. La matrice N est égale à M 3 b. Philippe a loué une bicyclette à la station F et l a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre? Expliquer. Un trajet commençant par le sommet F et finissant par le sommet E en passant par deux sommets exactement (distincts ou non) est une chaîne de longueur 3 commençant par F et finissant E. Or le nombre de chaînes de longueur 3 reliant le sommet F au sommet E est le terme de la matrice M 3 situé à l'intersection de la cinquième ligne et sixième colonne. Dans N, le terme situé à l'intersection de la cinquième ligne et sixième colonne est 11. Philippe peut suivre 11 trajets différents. 3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l aide d un algorithme, déterminer un tel parcours et donner le temps nécessaire pour l effectuer. Pour déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à G, on utilise l'algorithme de Dijkstra. Le trajet le plus rapide pour aller de A à G est A-B-D-G. Il faudra prévoir environ 28 minutes pour effectuer ce trajet. Exercice n 2 (Pondichéry juin 2009) Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F. Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les arêtes représentent les routes pouvant être empruntées pour relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps de transport (en heures) entre chaque site. 1. Justifier que ce graphe est connexe. La chaîne ABCDEF contient tous les sommets de ce graphe ; donc deux sommets quelconques peuvent être reliés par une chaîne. Ce graphe est connexe. 2. Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport. a. En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet F. Pour déterminer le parcours du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport on utilise l'algorithme de Dijkstra. La plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet F est A-B-E-D-C-F. b. En déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F. Le poids de la plus courte chaîne A-B-E-D-C-F reliant le sommet A au sommet F est 21. Le temps de transport minimal pour aller du site A au site F est de 21 heures. 3. Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois. Si ce parcours existe, le décrire sans justifier ; dans le cas contraire justifier qu un tel parcours n existe pas. Déterminer un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois revient à chercher une chaîne eulérienne. Or ce graphe contient quatre sommets de degré 3 ( C, D, E et F ), il n'existe pas de chaîne eulérienne. Il n'existe pas de parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois. Page 8 sur 11 Fiche(4)

9 Fiche(5) Amérique du sud (Novembre 2006) 1. À l occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voyages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d une équipe nationale. Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les villes. Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmund, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart. H D B F N 120 S 210 K 230 M En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin en utilisant les cars de cette agence. 2. Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel. On donne ci-dessous le graphe d incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un supporter de l équipe A ne peut être logé avec un supporter de l équipe P. P C A Q G a. Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée. b. Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d hôtels. R E Page 9 sur 11

10 Fiche(5) Amérique du sud (Novembre 2006) CORRIGE 1. À l occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voyages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d une équipe nationale. Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les villes. Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmund, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart. En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin en utilisant les cars de cette agence. Pour déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin on utilise l'algorithme de Dijkstra. Le plus court chemin pour arriver en B arrive de S qui arrive de H en arrivant de F qui arrive de K. Le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin est : Kaiserslautern-Francfort-Hambourg-Stuttgart- Berlin avec une distance parcourue de 1890 km. 2. Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel. On donne ci-dessous le graphe d incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un supporter de l équipe A ne peut être logé avec un supporter de l équipe P. a. Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée. Notons γ le nombre chromatique du graphe. Le sommet A de degré 5 est le sommet de plus haut degré, alors γ 6. D'autre part, AEPQ est un sous graphe complet d'ordre 4, alors γ 4. Donc 4 γ 6. Effectuons un coloriage du graphe à l'aide de l'algorithme "glouton" : Classer les sommets dans l'ordre décroissant des sommets : A (5); E (4); P (3);Q (3); C (2); G (2); R (2). Commençons à colorier le sommet A de degré 5 avec la couleur (1). On parcourt le graphe dans l'ordre de la liste et on examine tous les sommets non colorés. Le sommet R n'est pas adjacent à A il reçoit la couleur (1). On choisit une autre couleur d'usage (2), pour le sommet E et on recommence le parcours. C puis G ne sont pas adjacents à un sommet coloré avec cette couleur. Ils reçoivent tour à tour, la couleur (2). On choisit une autre couleur d'usage (3), pour le sommet P et on recommence le parcours. Le dernier sommet Q nécessite une quatrième couleur. Avec l'algorithme "glouton", une coloration du graphe à l'aide du nombre minimal de 4 couleurs est possible : Le nombre chromatique du graphe est 4. b. Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d hôtels. Quatre hôtels sont nécessaires : un hôtel pour les supporters des équipes A, et R; un hôtel pour les supporters des équipes E, C et G, un troisième hôtel pour les supporters de l'équipe P et un quatrième hôtel pour les supporters de l'équipe Q. Page 10 sur 11

11 Fiche(6) Graphes étiquetés Le jeu du Labyrinthe Nous allons commencer par un jeu : on a représenté ci-contre le plan d un petit labyrinthe. Ce labyrinthe possède 5 salles, numérotées de 1 à 5 ; au départ, on est dans la salle 1, indiquée par une flèche. Les salles qui ouvrent sur l extérieur sont entourées par un double rond ; ici il n y en a qu une, c est la salle 4. De chaque salle partent des couloirs à sens unique, portant une lettre (a ou b), et allant à une autre salle (ou parfois revenant à la même salle, comme dans le cas de la salle 5). Au début du jeu, on vous remet une suite de lettre, par exemple abaab. En lisant ces lettres l une après l autre, on suit un chemin partant de la salle 1 dans le labyrinthe. Si, après avoir lu toute la suite, on est dans une salle qui ouvre sur l extérieur, on a gagné, sinon, on a perdu. Par exemple, à la suite abaab correspond le chemin qui part de la salle 1 et parcourt les salles 2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1. Comme la salle 1 n ouvre pas sur l extérieur, on a perdu. Par contre, au mot abaaa correspond le chemin 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 : ce mot est gagnant. On peut se poser deux types de questions au sujet de ce labyrinthe : tout d abord, un mot étant donné, est-il gagnant ou perdant? Ensuite, plus généralement, peut-on caractériser simplement les mots gagnants? On vient de voir comment vérifier si un mot est gagnant. Il n est en fait pas très difficile de les caractériser tous. On voit d abord que, si on est dans la salle 5, on ne peut plus en sortir, et donc on a perdu. Quand on est dans les autres salles, dès qu on lit un b, on revient en salle 1 ; ensuite, si on lit un a, on arrive en salle 2, si on lit aa, on arrive en salle 3, si on lit aaa, on arrive en salle 4, et si on lit aaaa, on arrive en salle 5. Un peu de réflexion montre que les mots gagnants sont exactement les mots qui ne contiennent pas aaaa et qui finissent par aaa. Pouvez-vous caractériser les mots gagnants pour le labyrinthe suivant, petite modification du premier, où toutes les salles, sauf la salle 5, ouvrent sur l extérieur? Cet exercice peut paraître élémentaire. On a pourtant réalisé quelque chose de non évident : une machine qui sait reconnaître certains mots (car il n est pas difficile de réaliser un équivalent électronique de ce labyrinthe), et on imagine facilement que cela a de nombreuses applications. Bien entendu, on va cesser de parler de salles et de labyrinthes. On reconnaît dans le plan de ce labyrinthe un graphe orienté, où chaque arête est munie d un nom appelé étiquette. Page 11 sur 11