Sciences de l Ingénieur. Laveuse autoportée

Transcription

1 Présentation de la laveuse Laveuse autoportée La société Nilfisk propose une large gamme d engins de nettoyage des sols. Celle des laveuses autoportées répond aux besoins de lavage pour des surfaces de plusieurs milliers de km carrés. C est par exemple le cas des sols de super et hypermarché. Les qualités de ces machines résident dans leur sécurité d usage, leur faible nuisance sur l environnement, leur autonomie et leur maniabilité. Cette maniabilité impose des encombrements minimisés en largeur et des rayons de giration très faibles. Figure 1 : Laveuse BR 752 Le modèle étudié dans ce sujet est la laveuse BR 752 dont la structure du châssis à trois roues est privilégiée pour autoriser des rayons de giration très petits. Ce sujet a pour but d analyser la transmission de puissance du moteur aux roues lors d un virage de la laveuse pour justifier les solutions technologiques utilisées. Les critères du cahier des charges relatifs à l exigence de déplacement sont donnés dans le tableau Figure 2. Expression Critères Valeurs Permettre à Vitesse en ligne droite -2 km/h V 6 km/h l utilisateur de laver Vitesse en mode lavage 0 km/h V 3 km/h le sol en se déplaçant Freinage sur la roue avant Rayon de courbure e/2 r Stabilité 45 marge de phase 10 db marge de gain Précision erreur en régime permanent pour une vitesse de consigne Vcons en ± 10 % ligne droite Dépassement sur la vitesse Rapidité : temps de réponse à 5 % de la commande en vitesse de la laveuse Figure 2 : Extrait du cahier des charges Aucun 0,5 s 1

2 Partie 1 : étude de la laveuse en fonctionnement Le fonctionnement de la laveuse est le suivant : le conducteur commande le système via les pédales (accélération et frein) et le volant pour orienter le système. La carte de commande génère alors un ordre au variateur de vitesse qui distribue une énergie électrique adaptée au moteur électrique. Ce moteur électrique entraîne via un réducteur et un différentiel les deux roues arrières. Pour assurer l asservissement en vitesse des roues (et donc de la laveuse), des capteurs permettent de mesurer la vitesse de rotation des roues. Volant Pédales Figure 3 : Modèle simplifié de la laveuse La vitesse du véhicule sera caractérisée par la grandeur (, / ) = ( ) et l orientation de la laveuse sera caractérisée par le rayon de courbure ( ) = de la laveuse en virage avec centre du virage (voir Figure 4). Ce rayon de courbure est directement lié à la rotation ( ) du volant ou de la roue avant. Les vitesses angulaires des roues seront donc reliées aux deux grandeurs ( ) et ( ). Les hypothèses de déplacement sont les suivantes (Figure 4) : - la cinématique du mouvement de la laveuse par rapport au référentiel peut être considérée comme plane dans le plan (,, ). - le point est le centre du virage de la laveuse ; la laveuse est en mouvement de rotation de centre. - la roue arrière gauche est en liaison pivot d axe (, ) par rapport au châssis du véhicule. - la roue avant est en liaison pivot d axe (, ) par rapport à la direction du véhicule. - la roue arrière droite est en liaison pivot d axe (, ) par rapport au châssis du véhicule. - les deux roues arrière roulent sans glisser sur le sol. 2

3 Figure 4 : Lavage en vue de dessus dans un virage. Figure 5 : vue de côté de la roue arrière gauche 3

4 Notations : - les référentiels : = (,,, ) est fixe et lié au sol ; = (,,, ) avec = lié au véhicule; = (,,, ) avec = lié à la roue gauche; = (,,, ) avec = lié à la roue droite; = (,,, ) avec = lié à la roue avant; - les vecteurs taux de rotation : de la laveuse par rapport au sol : Ω ( / ) =. de la roue gauche par rapport au châssis Ω (R /R ) =. x avec = de la roue droite par rapport au châssis Ω ( / ) =. x avec = de la roue avant par rapport au châssis Ω ( / ) =. x +. z avec = - OO =. ; - O O = O O = avec = 0,6 m la largeur de la laveuse ; - O O = d. y avec d=0,84 m - les points de contact entre la roue avant la roue gauche - la roue droite - et le sol sont notés respectivement, et avec I O = I O = I O =., avec = 0,15 m, le rayon des roues ; - le torseur cinématique du solide par rapport au solide au point A sera noté : / = Ω /, / = Donner le torseur cinématique du véhicule par rapport au sol, / au point O. Calculer, / en fonction de r et. En déduire l expression de V en fonction de r et. 2. En déduire, / en fonction de V, d et. 3. Donner le torseur cinématique de la roue avant par rapport à la laveuse / au point O. En déduire, / en fonction du rayon de la roue R et de. 4. Déterminer la vitesse de glissement de la roue avant par rapport au sol (, /0) 5. Déduire de la relation de roulement sans glissement en l expression de en fonction de,, puis en fonction de r et d. 6. Caractériser la nature du triangle ( ) et en déduire la condition à avoir sur x pour respecter le roulement sans glissement. 4

5 7. Dessiner sur le Document réponse 1 la position du centre du virage compte-tenu de l inclinaison de la roue avant. 8. Dans les deux cas ci-dessous, donner sans calcul la valeur de r et la relation entre ω et ω : - si la laveuse tourne sur elle-même, cela signifie qu elle tourne autour de l axe (O, z ) ; - si la laveuse va en ligne droite ; Donner la valeur de r et de si la laveuse tourne autour de la roue gauche. 9. Expliquer en quelques lignes, comment peut-on obtenir les relations donnant les vitesses angulaires = et = en fonction de V, r, R et e : = et = + Pour un angle de 30, on trace sur la Figure 6 l'évolution des vitesses angulaires des roues. Figure 6 : Evolution des vitesses angulaires des roues 10. Déterminer analytiquement le rapport pour un angle de 30 à l aide des relations issues des questions 5 et 9. Vérifier le rapport à partir des courbes de la figure 6. Les roues sont commandées directement par un seul moteur à courant continu. Il faut donc ajouter un mécanisme permettant d autoriser des vitesses différentes lors des virages. 5

6 On utilise un différentiel dont le schéma cinématique est donné ci-après. Les nombres de dents des roues dentées sont notés Z. La roue gauche est reliée à la pièce 41, la roue droite à la pièce 42 et le moteur est relié à la pièce 1. Le différentiel est un train épicycloïdal particulier. Figure 7 : Schéma cinématique du différentiel 11. Le train épicycloïdal est composé des pièces 2, 3, 41 et 42 : nommer ces pièces parmi les propositions suivantes : planétaires, satellites, portes satellite (Figure 7). Que dire de l engrenage 1-2? 12. En se plaçant dans le référentiel du porte-satellite, montrer la raison basique du différentiel est égale à -1. On a Z 41 =Z En déduire la relation entre les rotations des roues 41/0 et 42/0 avec la rotation du moteur 1/0. On constate donc qu il suffit de contrôler la vitesse du moteur pour effectuer un virage. Il est nécessaire de connaître la vitesse du moteur pour pouvoir afficher la vitesse du véhicule sur le pupitre de la laveuse. En utilisant les coefficients déterminés précédemment, il est possible de calculer cette vitesse. La vitesse du moteur est captée par une génératrice tachymétrique placée sur l axe moteur (elle fonctionne comme un moteur à courant continu mais à l envers, une vitesse entraîne l apparition d une tension). La vitesse de la laveuse peut varier de -2 km/h à 6 km/h d après le cahier des charges. La mesure faite par la génératrice tachymétrique est ensuite convertie en un mot de 5 bits. La vitesse doit s afficher avec une précision de 0,3 km/h. 14. Calculer la plus petite variation de vitesse de la laveuse qui pourra être mesurée (attention les vitesses peuvent être négatives!). Conclure quant au respect du cahier des charges au regard de la précision de cette mesure. 6

7 La tension issue de la génératrice tachymétrique est perturbée par des parasites générés par le passage des balais d'une lame de cuivre à l'autre sur le collecteur de la génératrice. Un filtre pouvant atténuer ces perturbations est donc installé en aval du capteur de vitesse. Le collecteur de la génératrice possède 14 lames (ce qui crée 14 perturbations par tour de génératrice). Son arbre tourne à une vitesse maximale de 5836 tr/min, ce qui correspondrait à une vitesse de roues de 6 km/h. On note f la fréquence de coupure du filtre en amont du CAN et f la fréquence fondamentale des parasites générés par le collecteur. 15. Déterminer la fréquence fondamentale des parasites f. Le filtre utilisé ne doit pas avoir une fréquence trop petite car il risque de filtrer le comportement mécanique du système. C est pourquoi on se fixe deux conditions à respecter : - L atténuation pour les fréquences inférieures à 0.1f doit être inférieure à 3dB. - On veut de plus que l atténuation pour les fréquences supérieures à f soit supérieure à 30dB. On choisit dans un premier temps un filtre RC de la forme H(p) = Déterminer la valeur de RC permettant de respecter la première condition et déterminer l atténuation obtenue pour f. Conclure sur la pertinence de ce filtre. On utilise un deuxième filtre dont les diagrammes de Bode sont donnés sur la Figure 8. Figure 8 : Diagramme de Bode du filtre étudié 7

8 17. Proposer une fonction de transfert pour ce filtre en donnant ses paramètres caractéristiques. 18. Justifier qu il convient pour respecter les deux conditions. Afin de commander le déplacement de la laveuse, le conducteur utilise la pédale pour gérer la vitesse de consigne imposée au moteur qui est asservi en vitesse comme indiqué sur la Figure 9. Figure 9 : Schéma bloc d'asservissement de vitesse des roues - Avec un réducteur de rapport de réduction : = = ; - Un capteur de vitesse, sous la forme d une génératrice tachymétrique (GT) modélisée par un gain pur = 1 V. rad. s ; - Le moteur tournant à la vitesse ω modélisé par sa fonction de transfert H (p) H m (p) du premier ordre de gain B = 16,7 rad/(s. V) et τ = 2,3 s ; - Un hacheur de fonction de transfert H (p) ; - C (p) la fonction de transfert du correcteur à choisir ; - K un gain d adaptation. On soumet le hacheur à un échelon de V, on obtient la réponse indicielle U présentée à la Figure 10. V U Figure 10 : Réponse indicielle de U m à un échelon de V α Nous supposerons que ( ) est une fonction de transfert de type passe-bas du premier ordre et peut donc se mettre sous la forme ( ) =.. 8

9 19. Déduire de la Figure 10 les valeurs des coefficients et. On prendra pour la suite du problème (sans correcteur) : ( ) =..... Le tracé réel du diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte ( ( )) est donné sur le Document réponse 2. On définit la Marge de phase ( ) comme la différence entre -180 et la phase réelle pour la pulsation telle que le gain en décibel soit égal de 0 db pour cette pulsation i.e. ( = ) = 0. = ( = ) On définit la Marge de gain comme la différence entre 0dB et le gain réel pour la pulsation telle que la phase soit de -180 pour cette pulsation, i.e. ( = ) = 180. = ( = ) 20. Déterminer sur le Document réponse 2 la marge de phase et la marge de gain du système. 21. Calculer l erreur statique commise sur la vitesse de rotation des roues suite à une consigne en échelon d amplitude de 5 km/h. 9

10 Document réponse 1 Document réponse 2 10