CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L APPROXIMATION DE GAUSS

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1 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 1/16 HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU I. INTRODUTION l aide des lois décrivant le comportement de la lumière dans l approximation de l optique géométrique, nous allons maintenant nous intéresser au comportement d ensemble des rayons lumineux. Notre but est d étudier la convergence des rayons lumineux issus d une source lumineuse 1, i.e. la formation des images. Nous étudierons les images formées par des miroirs et des lentilles minces avec pour objectif de traiter dans le chapitre suivant leurs nombreuses applications aux instruments d optiques. II. IMGE EN OPTIQUE GEOMETRIQUE 1) tigmatisme d un système optique Un instrument d optique est composé d un système optique provoquant la convergence des rayons lumineux (miroir, lentille ou ensemble de miroirs et de lentilles) et d un détecteur qui peut être un écran, un œil, une plaque photographique, une caméra D Lorsque l ensemble des rayons lumineux émis par un point objet converge en un point du détecteur, est appelé image de, on dit aussi que l instrument est stigmatique 2 pour le couple de points (figure 8.1.a.). En vertu du principe de retour inverse, le système optique donnera d un point objet placé en une image en. Pour cette raison, les deux points sont dits conjugués l un de l autre. Une relation de conjugaison permet de trouver l un en connaissant l autre. Le stigmatisme d un système optique est dit rigoureux si l image d un objet ponctuel est un point. En pratique, l image est toujours dégradée par rapport à l objet, le stigmatisme d un système optique n est donc pas rigoureux. Mais le caractère granulaire du récepteur nous permettra tout de même de considérer le système optique comme stigmatique : si l image d un objet ponctuel a une dimension inférieure au «grain» du récepteur (cônes et bâtonnets de la rétine, cristal photosensible de la pellicule photographique, pixel de la caméra D ), tout se passera comme si l image était ponctuelle. Remarque : D après le principe de moindre temps, tous les rayons issus du point objet doivent voyager de à en une même durée minimale. 2) Image réelle, image virtuelle Les définitions données dans le paragraphe précédents sont valables pour un système optique à la sortie duquel les rayons issus d un objet ponctuel convergent : une telle image est dite réelle. Nous pouvons les généraliser au cas où les rayons sortants divergent : l image virtuelle est alors le point de convergence du prolongement arrière des rayons (figure 8.1.b.). ontrairement au cas d une image réelle, une telle image, en amont du système optique (ou dans le système optique), ne peut pas être recueillie sur un écran. 1 cette source peut être primaire, i.e. émettre de la lumière (soleil, ampoule), ou secondaire, i.e. diffuser de la lumière reçue d une source primaire (objet éclairé). 2 du grec stigma : «pointe»

2 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 2/16 système optique système optique Figure 8.1.a. : Image réelle Figure 8.1.b. : Image virtuelle 3) Exemple du miroir plan onsidérons un point objet placé à une distance H d un miroir plan (figure 8.2.). La situation possédant une symétrie de révolution par rapport à l axe (H), nous restreindrons notre étude à un plan contenant cet axe, la situation générale en trois dimensions s en déduisant par rotation autour de l axe (H). ette symétrie impose donc à l image de de se trouver sur l axe (H). i -i H I -i Figure 8.2. : Miroir plan Les lois de Descartes de la réflexion permettent de tracer un rayon quelconque réfléchi par le miroir. Le triangle I est isocèle de base 2d : les prolongements de tous les rayons issus de et réfléchis par le miroir passent donc par le point : est le point conjugué de (c est une image virtuelle) et le miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique. La relation de conjugaison du miroir plan s écrit : H + H = 0 (les distances algébriques sont positives lorsqu elles sont mesurées dans le sens de propagation de la lumière incidente). Remarquons que la relation de conjugaison reste valable dans le cas d un objet virtuel réalisable en éclairant le miroir avec des rayons convergents (figure 8.3.). L image est alors réelle. H Figure 8.3. : Image réelle d un objet virtuel 4) as des objets étendus, grandissement hacun des points d un objet étendu (i.e. non ponctuel) émet de la lumière, l image d un objet étendu s obtient en construisant l image de chaque point, ou lorsque cela est possible de certains points particuliers.

3 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 3/16 Exemple : Dans le cas de l image d un objet rectiligne B donnée par un miroir plan, le tracé de l image s obtient comme en figure 8.4. B B H I Figure 8.4. : onstruction de l image d un objet étendu donnée par un miroir plan On appelle grandissement du système optique et on note γ le rapport algébrique de la taille de l image sur la taille de l objet : B γ B Exemple : Dans le cas du miroir plan, γ = B B=+ 1, l image est donc «droite» (i.e. non-renversée) et de même taille que l objet. III. INTRODUTION UX BERRTION : L EXEMPLE DU DIOPTRE PLN 1) berrations géométriques et stigmatisme approché Nous savons depuis le lycée qu un dioptre plan n est pas un système optique stigmatique. onsidérons en effet un seau rempli d eau dans le fond duquel est posé une bille: l image (virtuelle) de la bille est différente pour différents observateurs 3 (figure 8.5.). Tous les rayons lumineux issus de l objets ne convergent donc pas en une image unique : c est le phénomène d aberrations géométriques. O 1 O Figure 8.5. : Dioptre plan eci est bien visible si l on demande à un logiciel de tracer plusieurs images issues d un objet ponctuel plongé dans l eau (figure 8.6.a.), en faisant varier l angle d incidence sur le dioptre de 0 à 40. i on fait varier l angle d incidence sur une plage plus faible, de 0 à 20, la séparation entre les différentes images s amenuise (figure 8.6.b.). Enfin, lorsque la plage de variation de l angle est 0-3 là encore, la symétrie de révolution du problème permet de connaître l axe sur lequel se trouvent les images.

4 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 4/16 air air air eau eau eau i Figure 8.6.a. : Dioptre air-eau, rayons issus d un objet i [ 0, 40 ] (échelle horizontale dilatée) Figure 8.6.b. : Dioptre air-eau i [ 0, 20 ] (échelle horizontale dilatée) Figure 8.6. : berrations géométriques et stigmatisme approché dans le cas du dioptre plan Figure 8.6.c. : Dioptre air-eau i [ 0,10 ] (échelle horizontale dilatée)

5 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 5/16 10, la séparation entre les images n est plus perceptible : le dioptre plan présente donc un stigmatisme approché restreint aux petits angles (figure 8.6.c.). Remarque : e domaine de validité du stigmatisme du dioptre plan coïncide avec l approximation géométrique sin i tan i i i en radian des petits angles, dans laquelle : ( ) 2) berrations chromatiques Nous avons vu au chapitre précédent que, dans un milieu dispersif, l indice optique dépend de la longueur d onde. Dans le cas d un dioptre plan dans son domaine de stigmatisme approché, et plus généralement pour un système optique quelconque dans ces conditions, il y a donc une image par longueur d onde: c est le phénomène d aberrations chromatiques (figure 8.7.). Rouge Jaune Bleu B J R i air n = 1 verre n > n > n B J R Figure 8.7. : berrations chromatiques dans le cas du dioptre plan IV. MIROIR PHERIQUE DN L PPROXIMTION DE GU 1) Miroirs Un miroir est une surface à fort pouvoir réfléchissant, réfléchissant plus de 50% de l énergie lumineuse incidente. Il est réalisé en déposant par évaporation sous vide une fine couche métallique (aluminium, argent ou or). Un miroir sphérique est un miroir réalisé à partir d une portion de sphère, le rayon algébrique R de la sphère est appelé rayon de courbure du miroir ( est le centre de la sphère, et l axe est orienté dans le sens de propagation de la lumière incidente). elon que le côté intérieur ou extérieur de la sphère est recouvert d une couche réfléchissante, le miroir sphérique est dit concave 4 ou convexe (figures 8.8.). Miroir concave Miroir convexe (R<0) (R>0) Figure 8.8. : Miroirs sphériques 4 «cave» = creux

6 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 6/16 2) pproximation de Gauss omme dans le cas du dioptre plan, un miroir sphérique n est pas rigoureusement stigmatique : à cause d aberrations géométriques, un objet ponctuel n admet pas d image ponctuelle, i.e. il n existe pas de relation de conjugaison (figure 8.9.a.). Mais, lorsque nous restreignons l ensemble des rayons incidents à de faibles incidences, nous constatons que le miroir sphérique présente un stigmatisme approché (figure 8.9.b.). Nous n avons pas à nous inquiéter des aberrations chromatiques, les indices optiques n intervenant pas dans les lois de la réflexion. Figure 8.9.a. : stigmatisme d un miroir sphérique convexe Figure 8.9.b. : tigmatisme approché du même miroir Lorsqu un système optique quelconque présente une symétrie de révolution (dont l axe est appelé axe optique), on généralise la condition des petits angles par la condition des rayons paraxiaux, aussi appelée approximation de Gauss : Un système optique centré présente un stigmatisme approché si les rayons incidents sont paraxiaux, i.e. peu inclinés par rapport à l axe optique et peu éloignés de l axe optique. En pratique, on empêche les rayons indésirables de nuire à la ponctualité de l image en diaphragmant le faisceau incident (figure 8.10.). On réduit de fait inévitablement la luminosité de l image. Figure : Réalisation pratique d une image ponctuelle avec un miroir sphérique concave 3) Première relation de conjugaison Plaçons nous dans l approximation de Gauss et montrons qu il existe une relation de conjugaison univoque permettant de trouver la position de l image en fonction de celle de l objet (figure 8.11.). I

7 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 7/16 α π, IH i Figure : Notations et orientations utilisées pour montrer la relation de conjugaison du miroir sphérique omme α π, sinα tanα α d où I H, les points H et sont confondus au premier ordre. Les sommes des angles dans les triangles I et I sont égales à π : α i+ π ω = π α = i+ ω π α + j+ ω = π α = j+ ω = i+ ω Il vient, en sommant ces deux relations : 2ω = α + α Dans l approximation des petits angles, les angles sont assimilables à leur tangente : HI HI HI 2 = + soit, en simplifiant par HI et en multipliant par 1 : = R Nous avons donc montré que, dans les conditions de Gauss, il existe une et une seule image associée à un point objet situé sur l axe optique. ette relation reste valable pour les miroirs sphériques convexes ainsi que pour des objets virtuels, à condition de respecter les conventions algébriques. Remarquons que nous retrouvons la relation de conjugaison du miroir plan en faisant tendre le rayon de courbure du miroir vers l infini. 4) Foyers principaux a. Foyer principal image, vergence Par définition, le foyer principal image d un miroir, noté F, est l image d un point situé à l infini sur l axe optique (figure 8.12.). Il vient, d après la relation trouvée dans le paragraphe précédent, en faisant tendre vers : f F = R 2 Le foyer principal image est donc situé à mi chemin entre et. La distance f est appelée distance focale du miroir, un système optique de distance focale positive (i.e. pour un miroir R > 0, donc concave) est dit convergent, un miroir de distance focale négative (i.e. pour un miroir R < 0, donc convexe) est dit divergent. En fonction de la distance focale du miroir sphérique, la première relation de conjugaison devient : = f la place de la distance focale, les opticiens utilisent souvent la vergence, définie comme l inverse de la distance focale :

8 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 8/16 V 1 qui s exprime en m -1, ou dioptries (δ ). f vers F Figure : Foyer principal image b. Foyer principal objet Le foyer principal objet F du miroir est par définition la position d un objet ponctuel sur l axe optique ayant son image à l infini. En vertu du principe de retour inverse de la lumière, F et F sont confondus. 5) Deuxième relation de conjugaison : Grandissement du miroir sphérique Pour déterminer la position de l image d un point situé en dehors de l axe optique, nous avons besoin d une deuxième relation. Dans l approximation de Gauss, nous savons qu il existe une image unique B d un point B : il nous suffit donc de trouver le point d intersection de deux rayons particuliers réfléchis par le miroir pour obtenir la position de cette image. Par définition du foyer principal image, le rayon issu de B et parallèle à l axe optique est réfléchi en direction de F. De plus, le rayon issu de B et passant par le centre de courbure du miroir sphérique frappe le miroir avec un angle d incidence nul : il est donc réfléchi en direction de (figure 8.13.). B α α B Figure : onstruction de l image d un point en dehors de l axe optique Les triangles B et B étant semblables, le grandissement du miroir sphérique s écrit :

9 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 9/16 B γ = B est la deuxième relation de conjugaison. Dans l exemple de la figure 8.13., le grandissement est négatif (l image est renversée) et inférieur à 1 (l image est plus petite que l objet). Remarquons enfin que, lorsque nous faisons tendre la distance vers en maintenant l angle α constant 5, tendra vers F et B se trouvera dans un plan perpendiculaire à l axe optique et passant par F, nommé plan focal image du miroir, constitué par l ensemble des foyers images secondaires, images des points situés à l infini en dehors de l axe optique (figure 8.14.). On a alors : B ' ' = α f' Plan focal image vers B vers α =F α B Figure : Plan focal image 6) Modélisation des miroirs sphériques Dans l approximation de Gauss, comme nous l avons vu au paragraphe 3, les surfaces utilisées des miroirs sont assimilables à la droite qui leur est tangente au point, on choisit alors de les symboliser comme indiqué en figures Une telle modélisation supprime toute information sur le rayon de courbure du miroir, elle n est donc utilisable que si la position du foyer principal image est indiquée (ou, manière équivalente, la position du centre de courbure). En effet, c est la seule information dont nous avons eu besoin au paragraphe précédent pour construire les images de sources ponctuelles (ou étendues, en les considérant comme un ensemble de sources ponctuelles indépendantes). axe optique a.o. F F Miroir concave Miroir convexe Figure : ymboles des miroirs sphériques 5 i on maintenait la distance B constante, l angle α tendrait vers zéro, nous voyons ici que seul l angle d observation à un sens physique lors d une observation à l infini (cas des objets en astronomie ou, comme nous le verrons, des images en microscopie).

10 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 10/16 La construction de l image d un objet se fait alors facilement à partir de deux des trois rayons particuliers ainsi que de leur prolongement si cela est nécessaire (figures 8.16.). B B B B F = F ao.. ao.. F = F Figure 8.16.a. : onstruction d une image donnée par un miroir convergent Figure 8.16.b. : onstruction d une image donnée par un miroir divergent V. LENTILLE PHERIQUE MINE DN L PPROXIMTION DE GU près cette étude des systèmes optiques utilisant la réflexion, nous nous intéressons aux systèmes optiques utilisant la transmission : les lentilles. 1) Définitions a. Dioptre sphérique Un dioptre sphérique est une portion de sphère séparant deux milieux transparents d indices optiques différents (figure 8.17.a.). Leur étude théorique détaillée, hors programme, n est pas nécessaire à la compréhension des lentilles minces, des constatations expérimentales suffiront. Un dioptre sphérique présente un stigmatisme approché dans les conditions de Gauss (figure 8.17.b.). Tout comme le dioptre plan, le dioptre sphérique présente des aberrations chromatiques. Figure 8.17.a. : Dioptre sphérique Figure 8.17.b. : tigmatisme approché du dioptre sphérique

11 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 11/16 b. Lentilles sphériques Une lentille sphérique est une association de deux dioptres sphériques, de rayons de courbure algébriques R1 1 1 et R Elles peuvent être à bords minces ( 1 2 < 0 ) ou épais ( 1 2 > 0 ) (figures 8.18.) axe optique axe optique e e Figure 8.18.a. : Lentille à bords minces biconvexe Figure 8.18.b. : Lentille à bords épais biconcave 2) onstruction de l image donnée par un lentille sphériques à bords minces a. tigmatisme approché, foyer principal image omme on s y attendait étant donné le stigmatisme approché d un dioptre sphérique, on constate expérimentalement qu une lentille sphérique à bords minces présente un stigmatisme approché (figures 8.19.). F Figure 8.19.a. : stigmatisme d une lentille sphérique à bords minces Figure 8.19.b. : tigmatisme approché d une lentille sphérique à bords minces Tout comme dans le cas des miroirs, le point F vers lequel convergent des rayons arrivant de l infini parallèlement à l axe optique est appelé foyer principal image de la lentille. cause de cette propriété de convergence, une lentille à bord minces est dite convergente. Remarque : D après le principe de moindre temps, le fonctionnement d une lentille peut être compris ainsi : On interpose sur les trajets des rayons lumineux une couche d un matériau transparent dont l épaisseur est ajustée de manière à retarder les rayons dont le parcours est le plus court, ainsi tous les rayons ont la même durée minimale de parcours jusqu au point image. Les dioptres sphériques sont un bon compromis entre la qualité de l image et la facilité de fabrication. b. Lentille mince Une lentille sphérique est dite mince si son épaisseur est très inférieure à ses rayons de courbure : e R, R 1 2

12 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 12/16 On peut alors négliger cette épaisseur ; le point d intersection O de la lentille mince et de l axe optique est appelé centre optique de la lentille mince. La modélisation d une telle lentille est donnée en figure La distance algébrique f du centre optique au foyer principal objet est la distance focale de la lentille : f OF positive dans le cas d une lentille convergente, et le plus souvent de l ordre de quelques centimètres. On définit aussi la vergence de la lentille, égale à l inverse de sa distance focale et exprimée en dioptries (δ ) : 1 V f En vertu du principe de retour inverse de la lumière, il existe un point F, symétrique de F par rapport à O et nommé foyer principal objet, qui a la propriété suivante : la lentille donne d un objet placé en F une image à l infini. F O F a.o. Figure : Modélisation d une lentille mince à bords minces c. onstruction d une image : rayons particuliers Nous constatons de plus que tout rayon passant par le centre optique de la lentille n est pas dévié. Nous pouvons donc tracer géométriquement l image d un objet étendu B perpendiculaire à l axe optique en construisant l image B de B grâce à deux des trois rayons particuliers suivants : Le rayon issu de B parallèlement à l axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer principal image F. Le rayon issu de B et passant par le centre optique O de la lentille n est pas dévié. Le rayon issu de B et passant par le foyer principal objet émerge de la lentille parallèlement à l axe optique. La symétrie axiale du problème imposant à l image de d être sur l axe optique, la position de se déduit de celle de B par projection sur l axe optique (figure 8.20.). B F O F B Figure : onstruction de l image B d un objet ponctuel B Remarque : Tout comme dans le cas des miroirs, il suffit d utiliser les prolongements des rayons lorsque la construction n est pas aussi immédiate (objet ou image virtuels).

13 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 13/16 3) Lentilles à bords épais On constate qu une lentille à bords épais à pour effet de faire diverger des rayons initialement parallèles (figures 8.21.). Pour cette raison, ces lentilles sont appelées divergentes. F Figure 8.21.a. : stigmatisme d une lentille à bords épais Figure 8.21.b. : tigmatisme approché d une lentille à bords épais L image d un objet situé à l infini sur l axe optique est donc virtuelle. i la lentille est mince, on la modélise comme indiqué en figure F F O Figure : Modélisation d une lentille mince à bords épais a distance focale est négative tout comme sa vergence. On généralise les constructions vues dans le paragraphe précédent au cas des lentilles divergentes en prolongeant les rayons incidents et émergents (figure 8.23.). B B F O F Figure : onstruction de l image d un objet étendu donnée par une lentille mince divergente Dans cet exemple, l image est virtuelle, droite et plus petite que l objet.

14 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 14/16 4) Relations de conjugaison herchons les relations de conjugaison de la lentille mince, i.e. les relations algébriques permettant de trouver la position de l image en fonction de celle de l objet et de la distance focale de la lentille. fin de fixer les idées, nous étudierons le cas d une lentille convergente (figure 8.24.). B I F α O F J B Figure : Notations pour l établissement des relations de conjugaison Remarquons tout d abord que les triangles OB et O B sont semblables : B ' ' O' = (1) B O Il en est de même pour les triangles IOF et B F : B ' ' F ' ' B ' ' F ' ' = = (2) OI OF ' B OF ' puisque OI = B. Il vient, en combinant (1) et (2) : O ' ' F ' ' O + ' ' = = OF = 1 O O OF ' OF ' OF ' O = O' OF ' O' O = OF ' = 1 = V f e résultat est la première relation de conjugaison des lentilles minces, qui donne la position de connaissant celle de et la distance focale de la lentille. Nous voulons, de plus, pouvoir calculer la distance entre B et l axe optique. onnaissant la position de par la première formule de conjugaison et la taille de l objet B, la position de B se déduit du grandissement qui s écrit, d après (1) : B ' ' O' γ = = B O est la deuxième relation de conjugaison des lentilles minces. es deux relations restent valables dans le cas d un objet ou d une image virtuelle, ainsi que pour une lentille divergente, à condition de respecter les conventions de signe. 5) as d un objet à l infini en dehors de l axe optique Lorsque nous faisons tendre la distance O vers en maintenant l angle α constant (figure 8.25.), tend vers F et B se trouve dans un plan perpendiculaire à l axe optique et passant par

15 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 15/16 F, nommé plan focal image de la lentille, constitué par l ensemble des foyers images secondaires, images des points situés à l infini en dehors de l axe optique. L objet B étant de taille infinie, le grandissement n a alors plus de signification physique et la deuxième relation de conjugaison doit être modifiée pour s écrire en fonction des angles (figure 8.25). : FB = αof vers B Plan focal image vers α O =F B Figure : as d un objet à l infini en dehors de l axe optique 6) ssociation de lentilles On réalise un doublet de lentilles en les accolant, i.e. en superposant leur centre optique : O = O = O (figure 8.26). 1 2 B O F 1 ' F 2 ' Figure : Doublet de lentilles minces La position de l image donnée par une lentille de distance focale f 1 se trouve avec la première relation de conjugaison : = O O f1 i on accole une deuxième lentille de distance focale f 2, la position de l image finale " sera donnée par la même relation de conjugaison, en prenant cette fois pour objet l image donnée par la première lentille : = O O f2 En additionnant ces deux relations on obtient : = + = V1 + V2 O O f f 1 2

16 PI HPITRE 8 : FORMTION DE IMGE DN L PPROXIMTION DE GU 16/16 Un doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une seule lentille de vergence égale à la somme des vergences. i les deux lentilles ne sont pas accolées, il suffit alors de calculer la position de l image finale en prenant pour objet de la deuxième lentille l image donnée par la première.

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