COPIE I Partie A - Filtre RLC (11 points)

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1 E.C. P3 D.S. - 2 heures A RENDRE AVEC LA COPIE ON REDIGERA LA PARTIE A SUR UNE COPIE, ET LA PARTIE B SUR UNE AUTRE. SI UNE PARTIE N EST PAS TRAITEE JOINDRE UNE COPIE BLANCHE A VOTRE NOM. LE NON-RESPECT DE CES CONSIGNES ENTRAINERA UN RETRAIT DE 2 POINTS. TOUTE APPLICATION NUMERIQUE EST PRECEDEE D UN CALCUL LITTERAL ET EVENTUELLEMENT AFFECTEE D UNE UNITE. COPIE I Partie A - Filtre RLC ( points) On considère le circuit ci-contre alimenté par une tension sinusoïdale e(t) d amplitude E max et de pulsation ω. Dans tout l exercice, on prendra E max = 4 V, C = µf. L inductance L de la bobine et la résistance R sont inconnues. UNE CALCULATRICE NON PROGRAMMABLE, NON GRAPHIQUE EST AUTORISEE DOCUMENTS EN DERNIERES PAGES A VOTRE DISPOSITION POUR TOUT LE SUJET A) Donner le modèle équivalent de Thévenin (e th, Z Th ) du dipôle AB vu de la résistance R. Faire l analyse dimensionnelle des résultats. A2) Déterminer l expression de la tension u aux bornes de la résistance R en fonction de e th, Z Th et R, puis en fonction de e, C, L, ω et R. A3) Montrer que la fonction de transfert de cet opérateur peut se mettre sous la forme canonique : Avec x la pulsation réduite, A et Q deux réels On déterminera les expressions de A, Q et x en fonction de R, C, L et ω. Jeudi 9 janvier 27 A4) Déterminer l expression de H et de arg (H ) en fonction de A, x et Q. A5) On peut montrer que H passe par un maximum pour 2 On ne demande pas de démontrer ce résultat. On supposera dans toute la suite de l exercice que. Nommer le phénomène physique mis en évidence. Déterminer les valeurs de Q pour lesquelles cette situation se produit. Montrer que cela correspond alors à la condition. En déduire la nature et l ordre du filtre grâce aux diagrammes du formulaire reproduit en pages 5 et 6. L expérience a permis de mesurer les amplitudes E max et U max des tensions sinusoïdales e(t) et u(t) pour différentes valeurs de la pulsation ω et d en déduire le graphique de H en fonction de la fréquence f de la tension e(t). La courbe est représentée page 2. /6

2 NOM : GROUPE : A RENDRE AVEC LA COPIE Jeudi 9 janvier 27 A6) Déterminer graphiquement la fréquence de résonance f r. En déduire l expression de l inductance L de la bobine en fonction de C et f r et réaliser l application numérique. A7) Donner la définition de la bande passante à -3 db. Nommer les fréquences délimitant celle-ci. Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante f de cette résonance. On exposera la méthode sur la courbe ci-dessous. COPIE II Partie B Restitution d un signal analogique (9 points) Après lecture, les données numériques stockées sur un cédérom génèrent une tension électrique v (t) dont le spectre est représenté ci-contre. Le signal utile représentant les données est l harmonique à 2 khz, les deux autres harmoniques ayant été générées par le traitement. A8a) Déterminer l expression analytique du maximum H max de H en fonction de Q et A. A8b) Déterminer la valeur numérique de Q, et en déduire la valeur numérique de la résistance R. B.) D après le spectre, la tension v (t) est-elle purement sinusoïdale? Justifier. B.2) Indiquer dans le tableau en annexe page 3 les amplitudes des différentes raies du spectre de la tension v (t). B.3) Il est par ailleurs précisé que les phases à l origine des différentes composantes de v (t) sont nulles. Ecrire l équation horaire de v (t). B2 On se propose à présent de déterminer le filtre permettant de sélectionner le signal utile à 2 khz et d éliminer les autres harmoniques. B2.) Afin d établir le gabarit de ce filtre, on s impose le cahier des charges suivant : La fréquence de coupure à -3 db est sensiblement plus grande que la fréquence du signal utile. Les harmoniques atténuées de plus de db sont considérées comme annulées. Après avoir indiqué et justifié vos choix, tracer le gabarit du filtre à réaliser sur l une des feuilles de papier semi-logarithmique fournies en page 4. B2.2) En déduire la nature et l ordre minimal du filtre résultant. 2/6

3 NOM : GROUPE : A RENDRE AVEC LA COPIE 2 Jeudi 9 janvier 27 B3 On représente ci-dessous le diagramme de Bode (gain et phase) du filtre intégré au lecteur de cédérom. La fonction de transfert est définie par =, où v est la tension d entrée et v 2 la tension de sortie du filtre. B3.) A l aide de ces courbes, déterminer (et justifier) : la nature et l ordre du filtre sa fréquence de coupure à -3 db sa bande passante On exposera la méthode sur le diagramme de Bode donné ci-dessous. (trait plein) Déphasage ( ) (trait pointillé) ANNEXE PARTIE B Questions B..2) et B.3.3) On précisera les unités dans chaque ligne Harmoniques H H H Fréquences ( ) v (t) Amplitudes ( ) , Fréquence (khz) B3.2) Ce filtre est-il compatible avec le gabarit déterminé en B2? B3.3) A l aide de ces courbes, on a déterminé pour les harmoniques H et H" de la tension v 2 (t) en sortie du filtre, leur amplitude et leur déphasage par rapport à v (t). Voir le tableau en annexe ci-contre. Achever de remplir ce tableau (cellules non grisées). B3.4) Si on considère que les composantes atténuées d au moins db ne sont pas transmises par le filtre, quel est le spectre d amplitudes de v 2 (t)? B3.5) Ecrire dans ces conditions l équation horaire de v 2 (t). v 2 (t) Amplitudes (V) Déphasage 2/ (rad) 4,5,2 -,58 -,4 3/6

4 NOM : GROUPE : GRAPHES SEMI-LOGARITHMIQUES A RENDRE AVEC LA COPIE 2 Jeudi 9 janvier /6

5 E.C. P3 Diagrammes de Bode Chapitre 3-5 des fonctions de transfert du er et du 2 ème ordre Légende : Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes -, -5,!! " f c : fréquence de coupure , -45, -6, -5-75, -6-9,,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x! f c : fréquence de coupure! " , 75, 6, -3 45, -4 3, -5 5, -6,,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x! f : fréquence propre > % (trait plein double) : présence d un phénomène de résonance < % (trait plein simple) : pas de résonance , -3, -6, -9, -2, -5, -2-8,,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x 5/6

6 E.C. P3 Diagrammes de Bode Chapitre 3-5 des fonctions de transfert du er et du 2 ème ordre Légende : Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes! f : fréquence propre > % < % (trait plein double) : présence d un phénomène de résonance (trait plein simple) : pas de résonance ,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x ( )! f : fréquence propre Les asymptotes se coupent en * +,- 2log ,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x ( )! f : fréquence propre ,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x 6/6