IFT-1215 Introduction aux systèmes informatiques

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1 Systèmes de nombres

2 Rappel Dans un système en base X, il faut X symboles différents pour représenter les chiffres de 0 à X-1 Base 2: 0, 1 Base 5: 0, 1, 2, 3, 4 Base 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Base 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Base 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

3 Systèmes de nombres Système Base Symboles Décimal 10 0, 1, 9 Binaire 2 0, 1 Octal 8 0, 1, 7 Hexadécimal 16 0, 1, 9, A, B, F

4 Quantité/Comptage Décimal Binaire Octal Hexadécimal

5 Conversion d'une base à une autre Exemples: Décimal Octal Binaire Hexadécimal

6 Exemple = = 31 8 = Base

7 Rappel, système décimal Le nombre 125 signifie: 1 groupe de 100 (100 = 10 2 ) 2 groupes de 10 (10 = 10 1 ) 5 groupes de 1 (1 = 10 0 ) KC

8 Placer les valeurs Système décimal Exemple: groupes de groupes de groupes de 10 2 groupes de 1 /KC

9 Représentation d un nombre N en base X Représentation d un nombre N en base X : N x = d i X i Chiffre de Chiffre de poids fort poids faible Poids => 5 x 10 0 = 5 2 x 10 1 = 20 1 x 10 2 = = 1 x x x 10 0 Base

10 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Exemples: Décimal Octal Binaire Hexadécimal

11 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Conversion d un nombre entier Méthode des divisions successives Méthode des soustractions successives

12 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Conversion d un nombre entier Méthode des divisions successives N est itérativement divisé par X jusqu à obtenir un quotient égal à 0 La conversion du nombre N dans la base X est obtenue en notant les restes de chacune des divisions effectuées depuis la dernière division jusqu à la première

13 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Conversion d un nombre entier Méthode des divisions successives =? =

14 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Conversion d un nombre entier Méthode des soustractions successives La plus grande puissance de X qui est inférieure ou égale à N est soustraite à N. Répéter jusqu à obtenir un résultat égale à 0 Le nombre N exprimé en base X est obtenu en notant le nombre de fois où une même puissance de X a été retirée et ce pour chaque puissance depuis la plus grande apparaissant dans l ordre décroissant des puissances.

15 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Conversion d un nombre entier Méthode des soustractions successives =? = 1; 8 1 = 8; 8 2 = 64; 8 3 = = 171; = 107; = 43; => 3 x = 35; 35 8 = 27; 27 8 = 19; 19-8 = 11; 11-8 = 3 => 5 x = 2; 2 1 = 1; 1 1 = 0; => 3 x = 3 x x x 1 = 353 8

16 Conversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X Conversion d un nombre fractionnaire Nombre N est fractionnaire Sa partie entière vers une base X Méthode des division successives Méthode des soustractions Partie fractionnaire Multiplier cette partie fractionnaire par la base X La multiplication est itérée sur la partie fractionnaire du résultat obtenu Prendre des parties entières de chacun des résultats des multiplications effectuées

17 Conversion d un nombre fractionnaire Décimal en binaire x x x x x x etc. Le développement s arrête lorsque la précision voulue est obtenue

18 Conversion du nombre N exprimé en base X vers la base 10 Exemples: Décimal Octal Binaire Hexadécimal

19 Conversion du nombre N exprimé en base X vers la base 10 Technique Multiplier chaque digit par la base X n, où n est le poids de ce digit Additionner les résultats N x = d n d 0 = d n x X n + d n-1 x X n d 0 x X 0

20 Exemple Bit poids => 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 3 = 8 0 x 2 4 = 0 1 x 2 5 =

21 Fractions Décimal (rappel) 3.14 => 4 x 10-2 = x 10-1 = x 10 0 =

22 Fractions Binaire vers décimal => 1 x 2-4 = x 2-3 = x 2-2 = x 2-1 = x 2 0 = x 2 1 =

23 Conversion du nombre N exprimé dans la base 8, 16 vers la base 2 (et vice versa) Toutes les informations sont représentées dans un ordinateur sous forme d une chaîne binaire Base de représentation base 2 Chaînes binaires ne sont pas aisément manipulables par l esprit humain Deux autres bases sont très souvent utilisées La base 8 (système octal) La base 16 (système hexadécimal)

24 Conversion du nombre N exprimé dans la base 8, 16 vers la base 2 (et vice versa) Octal Binary Hexadecimal

25 Conversion du nombre N exprimé dans la base 8 vers la base 2 et vice versa Technique Convertir un nombre N exprimé en base 8 vers la base 2 s effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 3 bits Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 8 s effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 3 bits depuis le bit de poids faible jusqu au bit de poids fort pour la partie entière

26 Exemple =? =

27 =? 8 Exemple Digit de poids faible =

28 Conversion du nombre N exprimé dans la base 16 vers la base 2 et vice versa Technique Convertir un nombre N exprimé en base 16 vers la base 2 s effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 4 bits Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 16 s effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 4 bits depuis le bit de poids faible jusqu au bit de poids fort pour la partie entière

29 Exemple 10AF 16 =? A F AF 16 =

30 Exemple =? B B = 2BB 16

31 Fractions Technique Convertir un nombre N exprimé en base 8 (16) vers la base 2 s effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 3 (4) bits Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 8 (16) s effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 3 (4) bits depuis le bit de poids fort jusqu au bit de poids faible pour la partie fractionnaire

32 Fractions Octal vers binaire =? =

33 Fractions Binaire vers octal Digit de poids fort Digit de poids faible =? =

34 Fractions Binaire vers hexadécimal Digit de poids fort Digit de poids faible =? E = 2.E8 16

35 Conversion du nombre N exprimé dans la base 8 vers la base 16 et vice versa Technique Utiliser système binaire comme un système intermédiaire Base 8 Base 2 Base 16 Base 16 Base 2 Base 8

36 Exemple =? Digit de poids faible E = 23E 16

37 Exemple 1F0C 16 =? 8 1 F 0 C F0C 16 =

38 Mesure de la quantité Base 10 d'information Puissance Nom Symbole pico p 10-9 nano n 10-6 micro µ 10-3 milli m 10 3 kilo k 10 6 mega M 10 9 giga G tera T Valeur

39 Mesure de la quantité d'information Base 2 Puissance Nom Symbole 2 10 kilo k 2 20 mega M 2 30 Giga G Valeur

40 Exemple / 2 30 =

41 Addition binaire Deux valeurs de 1 bit A B A + B deux

42 Addition binaire 2 valeurs de n-bits Additionner les bits dans chaque position Propager les retenues

43 Multiplication Décimal (rappel) 35 x

44 Multiplication 2 valeurs de 1-bit A B A B

45 Multiplication 2 valeurs de n-bits Comme les valeurs décimales 1110 x

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