Objectifs du Chapitre. Initiatiaon à l Analyse Dimensionnelle. Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude.

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1 Objectifs du Chapitre Initiatiaon à l Analyse Dimensionnelle. Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

2 Introduction et remarques Difficultés théoriques... Les équations de mouvement (Eqs N.S. + Continuité + énergie + Conditions aux limites et initiales) sont difficiles à résoudre. Les solution sont encore plus difficile pour les écoulements turbulents. Les solutions numériques sont parfois lourdes de mise en oeuvre et coéteuses en temps de calcul. Coût d études expérimentales Difficultés théoriques = études expérimentales. Côuts exubérants d études expérimentales sur prototypes en vrai grandeur. Recours aux études sur maquettes aux échelles réduites des prototypes. Avantage : moins coûteux et plus simple à metter en oeuvre expérimentalement. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

3 Analyse Dimensionnelle Unités fondamentales Toute relation entre des grandeurs physiques est indépendante du système d unités de mesure Toute relation entre des grandeurs physiques est dimensionnellement homogène. Grandeurs fondamentales Longueur L, dimension de [distance] = L Masse M, dimension de [masse] = M Temps T, dimension de [temps] = T Température Θ, dimension [température] = [Θ] Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

4 Analyse Dimensionnelle Remarques... L, M, T et Θ constituent les unités fondamentales en mécanique. En fonction de L, M, T et Θ on constitue des unités dérivées. Les grandeurs fondamentales de tout système sont indépendantes l une de l autre. Le passage d un système d unités à un autre n entraîne que des multiplicateurs de conversion. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

5 Analyse Dimensionnelle Grandeur physique symbole Dimension Unité, Système International S.I. Unités fondamentales Longueur l L m Temps t T s Masse m M kg Température T Θ K, dégrée Kelvin Unités dérivées Vitesse U [U] = L T 1 m s 1 Accélération a = dv [a] = L T 2 m s 2 dt Force F [F ] = M L T 2 kg m s 2 = N, Newton Masse volumique ρ [ρ] = M L 3 kg m 3 Débit Q [Q] = L 3 T 1 m 3 s 1 Pression p [p] = M L 1 T 2 N m 2 = Pa, Pascal Contrainte σ ou τ [σ] = M L 1 T 2 N m 2 Travail W [W ] = M L 2 T 2 N m = J, joule Énergie E [E] = M L 2 T 2 N m = J, joule Quantité de chaleur Q [ Q] = M L 2 T 2 N m = J, joule Puissance P [P] = M L 2 T 3 N m s 1 = W, Watt Viscosité dynamique µ [µ] = M L 1 T 1 kg m 1 s 1 Viscosité cinématique ν [ν] = L 2 T 1 m 2 s 1 Tension superficielle σs [σs ] = M T 2 N m 1 = kg s 2 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

6 Analyse Dimensionnelle Encore des remarques!!!... La dimension de toute grandeur physique se dérive de sa définition, exemple : Force = masse accélération = [F ] = [m] [a] = M L T 2 = M L T 2 La dimension de toute grandeur physique peut aussi se dériver d autres grandeurs physiques : [l] = [U] 1 [ρ] 1/2 [F ] 1/2, [m] = [U] [ρ] 1/2 (F ] 3/2, [t] = [U] 2 [ρ] 1/2 [F ] 1/2. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

7 Analyse Dimensionnelle Procédure à suivre dans un problème d analyse dimensionnelle identifier toutes les variables indépendantes intervenant dans le problème étudié, soit au nombre N, spécifier les dimensions de ces variables en utilisant les dimensions de base (L, T, M, Θ), choisir les grandeurs fondamentale convenables, disons au nombre r, utiliser une méthode appropriée pour identifier le nombre et la forme des paramètres sans dimensions (paramètres adimensionnels) 2 méthodes d analyse dimensionnelle : i- le théorème des π, ou théorème de Vaschy Buckingham. ii- la méthode de Rayleigh. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

8 Analyse Dimensionnelle Theorème de Vaschy Buckingham Énoncé de Théorème de Vaschy Buckingham ou théorème des π Toute grandeur B d un phénomène physique et fonction de N variables (ou causes) indépendantes B 1,, B N, mesurée par r unités fondamentales, r < N, s écrit comme B = F(B 1, B 2,, B N ) soit B = π 1 = π 2 =. π N r = a 1,a 2,,ar exposantes à déterminer z } { B a 1 1 B a 2 2 B ar r F(π 1, π 2,, π N r ) {z } paramètres de similitude 9 B r+1 B a r+1,1 1 B a r+1,2 2 B a r+1,r r B r+2 {B B a r+2,1 1 B a r+2,2 2 B a r+2,r >= 1,, B r } r un sous-ensemble de grandeurs physiques B N B a N,1 1 B a N,2 2 B a N,r r >; aux dimensions indépendantes Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

9 Analyse Dimensionnelle Theorème de Vaschy Buckingham En général, on pose et par conséquent π = B B a 1 1 Ba 2 2 Bar r π = F (π 1, π 2,, π N r ) Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

10 Analyse Dimensionnelle Theorème de Vaschy Buckingham Tableau des exposants aux dimensions de [B, B 1,, B N ] [Grandeur] L T M Θ [B ] α β γ δ [B 1 ] α 1 β 1 γ 1 δ 1 [B 2 ] α 2 β 2 γ 2 δ 2. [B N 4 ] α N 4 β N 4 γ N 4 δ N 4 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

11 Analyse Dimensionnelle Exemple Exemple Un navire, de taille caractérisée par une longueur l, est en mouvement à la vitesse U. L eau dans laquelle la navire avance exerce une force de résistance (force de traînée), F traînée, au mouvement que l on peut penser dépendre, à part de l et U, de la masse volumique ρ, de la viscosité dynamique µ et de la tension superficielle σ s de l eau ainsi que de l accélération de la pesanteur g Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

12 Analyse Dimensionnelle Exemple Solution par la méthode de Rayleigh Forme de relation recherché : F = ρ α 1 U α 2 l α 3 µ α 4 g α 5 σ α 6 s, Tableau des exposants : Choix des variables fondamentales : l, U et ρ. [Grandeur] L T M Θ exposante [F traînée ] [ρ ] α 1 [U ] α 2 [l ] α 3 [µ ] α 4 [g ] α 5 [σ s ] α 6 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

13 Analyse Dimensionnelle Exemple Relation recherchée doit être dimensionellement homogène : F traînée ρ U l µ g σ s somme d exposants en L : + 1 = 3α 1 + α 2 + α 3 α 4 + α somme d exposants en T : 2 = + 0 α α 4 2α 5 2α 6 somme d exposants en M : + 1 = + α α α 6 Solution par rapport aux variables fondamentales l, U et ρ : α 1 = 1 α 4 α 6 α 2 = +2 α 4 2α 5 2α 6 α 3 = +2 α 4 + α 5 α 6 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

14 Analyse Dimensionnelle Exemple Résultats F traînée = ρ 1 α 4 α 6 U 2 α 4 2α 5 2α 6 l 2 α 4+α 5 α 6 µ α 4 g α 5 σ α 6 s «µ α4 «g l α5 «α6 = ρu 2 l 2 σs. ρul U 2 ρu 2 l Soit F traînée = 1 2 ρu2 S F (Re, Fr, We) avec S = l 2 Nombres sans dimensions de Reynolds, de Froude et de Weber Re = ρlu µ = lu U2, Fr = ν gl, We = ρu2 L σ s Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

15 Analyse Dimensionnelle Exemple Solution par la méthode de π Choix des variables fondamentales : ρ, U et L t.q. les variables restant µ, g et σ s soit de dimensions indépendantes. Conséquence : r = 3, N r = 3 paramètres sans dimensions. π 1 = π 2 = π 3 = µ ρ α 1 U β 1 l γ 1, g ρ α 2 U β 2 l γ 2, σ s ρ α 3 U β 3 l γ 3, 8 < : 8 < : 8 < : 1 = 3α 1 + β 1 + γ 1 1 = β 1 = 1 = α 1 1 = 3α 2 + β 2 + γ 2 2 = β 2 = 0 = α 2 0 = 3α 3 + β 3 + γ 3 2 = β 3 = 1 = α 3 8 < : 8 < : 8 < : α 1 = 1, β 1 = 1, γ 1 = 1, α 2 = 0, β 2 = 2, γ 2 = 1 α 3 = 1, β 3 = 2, γ 3 = 1 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

16 Analyse Dimensionnelle Exemple Résultats... π = F traînée ρ α U β l γ, 8 < : 1 = 3α + β + γ 2 = β 1 = α 8 < = : α = 1, β = 2, γ = 2. D où Finalement : π = F traînée ρu 2 l 2, π 1 = µ ρul, π 2 = gl U 2, π 3 = σs ρu 2 l F traînée = ρu 2 l 2 F (π 1, π 2, π 3 ) = ρu 2 l 2 F (Re, Fr, We). Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

17 Analyse Dimensionnelle Exemple Conclusions particulières L analyse dimensionnelle permet d indentifier les différents paramètres, mais sans préciser la relation. L étude expérimentale de la résistance au mouvement d un navire se revient à étudier la fonction F traînée = ρu 2 l 2 F (Re, Fr, We), Re effet de viscosité ou l influence des forces de traînée de l eau sur la coque de navire. Fr effet de la pesanteur ou l influence de sillage, c-à-d l influence de système de vagues produit derrière le navire. We effet des forces de tension superficielle qui sont négligeables pour cet exemple. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

18 Similitude et théorie des maquettes Paramètre Définition Explication Nombre de Reynolds Nombre de Froude Nombre de Mach Rapport de capacités thermique Nombre de Strouhal Nombre de Prandtl Nombre de Péclet Nombre d Eckert Nombre de Weber Coefficient de frottement Rugosité adimensionnelle Re = ρul µ Fr = U2 Lg Ma = U c γ = cp cv St = (L/U) τ Pr = κ ν (L/U) Pe = λ/(ρ cp U 2 ) Ec = U2 cv T We = ρu2 L σs C D = τ ρu2 ε L force d inertie force visqueuse force d inertie force de la pesanteur vitesse d écoulement vitesse de son enthalpie énergie interne temps d advection temps de variation locale diffusivité thermique diffusivité visqueuse temps d advection temps de diffusion thermique variation d énergie cinétique variation d énergie interne force d inertie force de tension superficielle force de traînée force dynamique rugosité longueur caractéristique Domaine d application Écoulements visqueux Écoulement à surface libre Écoulement compressible Transfert thermique Écoulement instationnaire Transfert thermique Transfert thermique Transfert thermique Écoulement à surface libre Aérodynamique, Hydrodynamique Écoulement turbulent, surface rugueuse Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

19 Similitude et théorie des maquettes Pourquoi des maquettes Les essais en vraie grandeur : rares et très coûteux. Recours aux modèles aux échelles réduites. Échelles... Échelles géométriques : longueur caractéristique D Échelle cinématique : vitesse U et temps D/U Échelle dynamique : forces surfaciques t.q. les forces de pression, contraintes de cisaillement ou tension superficielle. Forces volumiques t.q. la force de pesanteur ou des forces d origine électromagnétique. Toutes exprimées en fonction des grandeurs caractéristiques. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

20 Similitude et théorie des maquettes Comment exprimer les différentes grandeurs en fonction des grandeurs caractéristiques Un astérisque sera effectué aux grandeurs physiques : t, x, v, p, f = g = g z t = D U t, x = D x, v = U v, p = ρu 2 p. Les symboles désignant t, x, v, et p sont sans dimensions. Les équations... Équations avec dimensions... v = 0, v t + v v = g 1 ρ p + ν v. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

21 Similitude et théorie des maquettes Équations sans dimensions obtenues après le changement des variables v = 0, v + v v t {z } {z } accélération accélération par convection locale = 1 Fr z {z } Forces volumiques Forces d inertie p {z} Forces de pression Forces d inertie + 1 Re v {z } Forces visqueuses Forces d inertie Fr = U2 DU, Re = Dg ν Conclusions Équations, sans dimensions, ne faisant intervenir que deux nombres sans dimensions dépendant de l écoulement. Tout écoulement n étant défini que par les valeurs de nombres sans dimensions lui caractérisant Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

22 Similitude et théorie des maquettes Remarques sur l application des contions aux limites et initiales Conditions aux limites aux frontières du système géométrie du système Conditions initiales l état du système à l instant initial correspondance géométrique des frontières entre le prototype et le maquette Comment? Prototype désigné par l indice 1 (respectivement premier écoulement) Maquette désigné par l indice 2 (resp. deuxième écoulement) Distances d 1 et d 2 reliant des points homologues (AB) prototype et (AB) maquette : similitude géométrique k g = d 1 d 2 = Cte Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

23 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Similitude géométrique Similitude géométrique 1. Correspondance entre tous les points géométriques des solides ainsi que des écoulements. 2. Préservation des angles et orientations des solides et des deux écoulements 3. Correspondance entre toutes les dimensions linéaire par un facteur d échelle constante kg. D abord on pose x = x 1 D 1 z = z 1 = x 2, D 2 y = y 1 D 1 = z 2, etc. D 1 D 2 = y 2, D 2 4. D où x 1 x 2 = y 1 y 2 5. Exemple kg = Hp Hm = z 1 z 2 = D 1 D 2 = Cte. = L P = Dp = D 1 =. Lm Dm D 2 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

24 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Similitude cinématique 1. Vitesses homologues liées aux points homologues par u = u 1 U 1 = u 2 U 2, v = v 1 U 1 = v 2 U 2, w = w 1 U 1 = w 2 U 2 Similitude cinématique 2. Avec t 2 t 1 = D 2 U 2 D 1 U 1 = D! 2 D 1! U 1 = Cte = kt U 2 3. On tire U 1 D 1 = kt = kg kt = kc = Cte U 2 D 2 4. Et u 1 u 2 = v 1 v 2 = w 1 w 2 = U 1 U 2 = Cte = kc 5. Conclusion : les vitesses aux points homologues sont proportionnelles par un facteur d échelle constant, kc. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

25 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Similitude dynamique 1. Fluides homogènes : similitude géométrique = similitude de masse. 2. Principe fondamental de la dynamique : force accélération 3. F 1A1,prototype F 2A2,maquette, A un point arbitrarire, = F 1A1,prototype = k d F2A2,maquette 4. La similitude dynamique implique pour la pression : p1 p2 = ρ 1U1 2 ρ 2 U2 2 = k mkg 3 k2 c F1 5. Pour les forces : F2 = ρ 1 U1 2 D2 1 ρ 2 U2 2 = Cte = k d D Nombres sans dimensions ont les mêmes valeurs : = Cte, km = masse de prototype masse de maquette D 1 U 1 = D 2U 2 = D 1k g U 1 k c = k g k c = 1 ν 1 ν 2 ν 2 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

26 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Conditions de la Similitude dynamique 1. Écoulement incompressible sans surfaces libres : Re p = Re m. 2. Écoulement incompressible avec surfaces libres : Re p = Re m, Fr P = Fr m. 3. Écoulement compressible : Re p = Re m, Ma p = Ma m, γ p = γ m 4. Écoulement avec tension superficielle : Re p = Re m, We p = We m Résumé 1. La similitude géométrique exige que l échelle linéaire de longueur k g soit la même. 2. La similitude cinématique exige que l échelle linéaire et l échelle de temps soient les mêmes, c-à-d, l échelle de vitesse k c soit la même. 3. La similitude dynamique exige que les échelles linéaires, de temps et de force soient les mêmes. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

27 Similitude et théorie des maquettes Exemple : énoncée Pour estimer la force de frottement, Fp, sur un prototype sonde, on utilise les données obtenues sur une maquette testée dans une soufflerie. Au tableau ci-dessous sont montrées les données de teste et les caractéristiques du prototype. Paramètre Prototype Maquette Géométrie Sphère Sphère D 0.4 m 0.15 m V 2.5 m/s à déterminer F à déterminer 25 N ρ 1000 kg/m kg/m 3 ν m 2 /s m 2 /s Déterminer la force de frottement exercée par l écoulement sur le prototype. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

28 Similitude et théorie des maquettes Solution : définitions F : force de frottement V : vitesse de l écoulement D : diamètre de la sphère ρ : dénsité du fluide µ : viscosité dynamique Solution : méthode F = F(V, D, ρ, µ) Solution : résultats π 1 = µ ρdv, π = = ν DV = 1 Re F D 2 ρv 2 F = D 2 ρv 2 F(Re) = F /D 2 ρv 2 = F(Re) Coefficient de traînée = C D = F F /D2 ρv 2 1 A = F(Re) 2.5 m/s 0.4 m Rep = m 2 = , /s! Théorème de π = N = 4 D, V et ρ indépandantes grandeurs fondamentales : r = 3 µ π 1 = ρ α 1 D β 1 V γ 1 F π = ρ α D β V γ F(π 1 ) Rem = Rep = VD ν m 0 Vm m 2 1 /s A = 76.9 m/s 0.15 m La similitude exige CD p = C 0 D m = Fp = ρp V p 2 D 2 1 p ρm V m 2 D m 2 A = N Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

29 Similitude et théorie des maquettes Invariance et solutions auto-semblables Invariance et similitude remarques Nous avons vu que l Analyse Dimensionnelle ainsi que la mise sous forme sans dimensions des équations, conditions aux limites et initiales y associées mettent en évidence des règles de similitudes et auto-similtude. Nous proposons en ce qui suit d exploiter cette propriété d invariance du système d équations dans un groupe continu de transformations pour regrouper les variables dépendantes et indépendantes en un nombre réduite de variables de similitude. Dans certain cas, cela conduit : à remplacer les équation EDP originelles par un système d équations ordinaires, la découverte de solutions auto-semblable en s appuyant sur l analyse dimensionnelle. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

30 Similitude et théorie des maquettes Invariance et solutions auto-semblables Introduction et application : l exemple de premier problème de Stokes Analyse dimensionnelle Tableau des exposants : L T M Θ exposante [u ] [y ] α 1 [t ] α 2 [ν ] α 3 [U 0 ] α 4 u = ν 2 u t y 2 u(y, t) = 0, t 0, u(y = 0, t > 0) = U 0, u(y, t) = 0, u = F (y, t; ν, U 0 ) N = 4, r = 2 Grandeurs de dimensions indépendantes : ν et U 0 π = u, π 1 = U 0 U p ν y, π 2 = U2 0 ν t. «u = U pf U0 ν y, U2 0 ν t. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31

31 Similitude et théorie des maquettes Invariance et solutions auto-semblables Transformations affines u = Au, y = By, t = Ct ν = Dν, U 0 = EU 0 B 2 u Équation : CD t = ν 2 u y 2 Conditions aux limites : A E u (y = 0, t > 0) = U 0 u (y, t ) = 0 u (y, 0) = 0 Conditions d invariance B2 CD = 1 A E = 1 Transformations invariantes u = Eu, y = (CD) 1/2 y, t = Ct ν = Dν, U 0 = EU 0 u En éliminant E : U 0 = u U 0 y 2 En éliminant CD : ν t = y 2 νt «y Solution : u = U 0 f 2νt Équation : f (η) + 2ηf (η) = 0 Conditions aux limites : u(0, t > 0) = U 0 = f (η = 0) = 1 u(y, t) = 0 = f (η ) = 0 Solution : f (η) = 1 erf(η), erf(η) = 2 Z η e η2 dη π 0 Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude / 31