Variable continue : histogramme. Définition. La moyenne, notée x, est le nombre défini par : x = = ni xi = f

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1 Statstques I) Vcabulare - tats STTISTIQUES : COURS Pulat : Esemble sur lequel rte l'étude statstque Idvdus : Elémets qu cmset la ulat Echatll : Ue arte de la ulat Caractère étudé : La rrété que l' bserve sur les dvdus Les dfféretes valeurs bteues st aelées valeurs du caractère u mdaltés, quelquefs varables O étudera essetellemet des caractères quattatfs Ceedat les dées urrt être des dées brutes, des myees de dées brutes, des urcetages, des dcesles valeurs du caractères st alrs : des mbres, das le cas ù la varable quattatve est dscrète, suvet tés, u des classes [a ; a + [, c'est à dre des tervalles das le cas ù la varable quattatve est ctue as ce cas, ce st les cetres des classes qu terveet ur les calculs Effectf : Pur ue valeur du caractère, aelle effectf le mbre d'dvdus de la ulat ayat cette valeur la valeur assce l'effectf Effectf ttal : C'est le mbre ttal d'dvdus de la ulat (u de l'échatll) sur laquelle rte l'equête O le te suvet u Quad travalle sur u échatll de dvdus, dt qu' a u échatll de talle ù état le mbre de valeurs bservées du caractère = = = réquece : C'est le qutet de l'effectf ar l'effectf ttal Pur ue valeur, la fréquece est suvet tée f O a : f= Les fréqueces st des mbres etre et La smme ttale des fréqueces est tujurs égale à = f = f + f + + f = = = = = Les fréqueces euvet être ermées e urcetage La smme est alrs égale à réqueces cumulées crssates : st bteues e ajutat au fur et à mesure les fréqueces des valeurs récédetes La derère fréquece cumulée est tujurs strbut des fréqueces : c est l'esemble des fréqueces bteus ur ue sére statstque Sére u dstrbut statstque : C'est u tableau mettat e crresdace les valeurs du caractère et les effectfs u les fréqueces O arle de la sére ( ; ) u ( ; f ) das u cas dscret II) Rerésetats grahques Varable dscrète : dagramme e bâts as u dagramme e bâts, la hauteur est rrtelle à l'effectf Eemle : as u servce de mateace, a réertré le mbre d tervets ar jur sur u ms O a bteu la dstrbut suvate : Patrck CHTEL - /9 - // Effectf mbre de jurs Varable ctue : hstgramme mbre d'tervets as u hstgramme, c'est l'are qu est rrtelle à l'effectf de la classe! Méthde ur cstrure u hstgramme Sur u ae hrztal, fat aaraître les tervalles [a ; a + [, u les bres de ces tervalles O déft ue uté d are qu crresdra ar eemle à ur l effectf Sur chaque tervalle, trace les rectagles dt l are est rrtelle à Eemle : O a réertré des élèves sel la dstace de leur dmcle au lycée O a bteu la dstrbut suvate : dstace (e km) [ ; [ [ ; 5[ [5 ; [ mbre d élèves 8 6 O chst ar eemle,5 cm ur km sur l ae des abscsses et cm² rerésete 4 élèves E : hstgramme à as cstat O a mesuré les lgueurs e mllmètres d u échatll de tges d acer à la srte d ue mache autmatque O a truvé les résultats suvats : Lgueurs e mm [ ; 5[ [5 ; [ [ ; 5[ [5 ; 4[ [4 ; 45[ Effectfs Cstrure l hstgramme de cette sére O redra,5 cm ur mm e abscsse et l effectf crresdra à,5 cm O suse que les tges st défectueuses s leur lgueur est strctemet féreure à 5 mm u suéreure u égale à 4 mm Quel est le urcetage de èces accetables? E : hstgramme à as cstat as ue succursale de baque, a té le mtat des versemets effectués au guchet edat la jurée Mtat (e ) ] ; 5[ [5 ; 75[ [75 ; [ [ ; 5[ [5 ; [ effectf Cstrure l hstgramme de cette sére (à as cstat!) III) Idcateurs de tedace cetrale u caractérstques de st O csdère das tute la sute la sére statstque suvate : ) Myee La myee, tée, est le mbre déf ar : = = = f = = Remarque : Lrsque les dées st regruées e classes, la frmule s alque e reat ur valeurs,, les cetres des classes Remarque : La myee d ue sére statstque est la valeur que tutes les dées de la sére auraet s elles étaet égales E : Vc ue sére de tes bteues das ue classe de 7 élèves mbre d tervets mbre de jurs Valeur Effectf Patrck CHTEL - /9 - // a a

2 Statstques Cmléter : = et = dc = Résultat : léarté de la myee Lrsqu ajute (u retrache) u même mbre r à chacue des valeurs du caractère, sas chager les effectfs, la myee augmete (u dmue) de r Lrsqu multle chacue des valeurs du caractère ar u même mbre k, sas chager les effectfs, la myee est multlée ar k E 4 : Pur ses cq essas, Thmas a lacé le ds à 7 m, 9 m, 8 m, 9 m et 6 m E utlsat la léarté de la myee, et e reat 8 m cmme valeur de référece, calculer metalemet la myee des lacers de Thmas E 5 : St quatre carrés de côtés,, et 4 cm Calculer le côté mye et l are myee ; Calculer l are du carré ayat ur côté, le côté mye Peut étedre la rrété récédete à tutes les érats, tammet au carré? E 6 : U élève a au er trmestre : 8,,, au d : 6, 5, 9, 8 et au ème trmestre :,, e Maths Calculer ses myees trmestrelles us la myee auelle (de façs) de ses résultats e maths Résultat : myee à artr des myees de sus grues St ue sére d effectf ttal et de myee, artagée e deu grues dsjts : u grue d effectf et de myee m u grue d effectf q et de myee m (avec + q = ), alrs = m + q m E 7 : as ue use, l y a, e, d cadres et d uvrers Le salare mesuel mye des uvrers est égal à Le salare mesuel mye das l etrerse est de 8 E, les salares st restés chagés, le mbre d uvrers état tujurs égal à Le salare mesuel mye das l etrerse état égal à 768 Que eut dre du mbre de cadres e? Précser E 8 : Jule a 5 de myee arès les quatre remers ctrôles Cmbe dt-elle avr au derer ctrôle ur bter 6 de myee ce trmestre? E 9 : Effet de structure E 6, le ersel d ue ette etrerse état csttué ar cadres et ar 7 uvrers ; le salare mesuel d u cadre état alrs de et celu d u uvrer de E 7, la structure de l etrerse chage : l y a mateat cadres et 8 uvrers ; le salare mesuel d u cadre est de et celu d u uvrer de e 6 à 7, les salares myes des cadres et des uvrers t dc augmeté O urrat dc s attedre à ue augmetat du salare mye das l etrerse ; Cmléter ce tableau et ruver que c est fau! ées 6 7 effectfs salares effectfs salares Cadres Ouvrers 7 Ttal Salare mye Ce hémèe s aelle l effet de structure ) Médae La médae, tée m, est ue valeur du caractère, u, qu artage la ulat e deu séres d égal effectf (5% avat, 5% arès), u ecre, qu ermet de frachr le seul des 5% des effectfs cumulés tat : Le lus fréquemmet la myee est tée et la médae m Ceedat, l eut arrver que la myee st tée m; das ce cas, la médae est tée M u m e étermat de la médae Cas dscret : la recherche de la médae se fat e deu étaes : Order la sére de la lus ette à la lus grade des valeurs du caractère us : S l effectf ttal est mar, c'est-à-dre que la sére est de talle alrs le rag de la médae est + La médae est la ( + ) ème valeurs valeur du caractère médae S l effectf ttal est ar, c'est-à-dre que la sére est de talle, alrs, ar cvet, la médae est bteue e reat la myee des deu valeurs du caractère crresdates au rag et + La médae est la dem-smme des termes de rag et + de cette sére rdée Cas ctu : la recherche de la médae se fat e deu étaes : cstrure la curbe des effectfs (fréqueces) cumulé(e)s crssat(e)s ; La médae est alrs l abscsse du t d rdée (u 5%) de la curbe des effectfs (fréqueces) cumulé(e)s crssat(e)s et évetuellemet, eut récser la valeur de cette abscsse ar le calcul grâce à ue terlat léare (cf sécalté) E : étermer la médae de chacue de ses deu séres : Sére : Sére : ) Mde Le mde est la valeur du caractère dt l effectf est le lus élevé; as le cas d u regruemet e classe, arle de classe mdale Remarque : Il eut y avr luseurs mdes u classes mdales ur ue même sére étermat du mde das le cas de regruemet ar classes de même amltude : la classe mdale est l tervalle asscé à l effectf mamal f as tutes de même amltude : la classe mdale crresd à l tervalle [a ; a + [ ur lequel le rart a est mamal + a (c est dc la classe ayat la lus frte desté) IV) Idcateurs de dsers ) Etedue L étedue d ue sére est la dfférece etre les valeurs etrêmes de la sére : la lus grade ms la lus ette E : Vc e mllers d habtats ( arrd au mller le lus rche ) les ulats des régs métrltaes fraçases e 999 Surce ISEE lsace 74 Chamage rdees 4 Laguedc Russll 96 Haute rmade 78 qutae 98 Crse 6 Lmus 7 Pays de la Lre uverge 9 rache-cmté 7 Lrrae Pcarde 858 urgge 6 Ile de race 95 Md-Pyréées 55 Ptu Charetes 64 retage 96 rd-pas de Calas 997 Prvece Côte d zur 456 Cetre, Val de Lre 44 asse rmade 4 Rhôe les 5645 étermer la myee, la médae et l étedue de cette sére % 5% + réqueces cumulées crssates m + + médae Patrck CHTEL - /9 - // Patrck CHTEL - 4/9 - //

3 Statstques ) Itervalle terquartle Le er quartle Q est la lus ette valeur du caractère telle qu au ms 5% des termes de la sére aet ue valeur qu lu st féreure u égale, Le ème quartle Q est la lus ette valeur du caractère telle qu au ms 75% des termes de la sére aet ue valeur qu lu st féreure u égal Remarque : U quartle est tujurs ue valeur rse das la lste des termes de la sére Remarque : Q = m étermat des quartles (das le cas dscret) : Cmme ur la médae, l faut d abrd cmmecer ar rder la sére O cherche le rag de Q (res de Q ) e dvsat l effectf ttal ar 4 u e multlat ar,5 (res e multlat ar /4 u ar,75) S le résultat bteu est u mbre eter r, c est le rag du quartle S, le rag r est le mbre eter juste au dessus O lt le quartle sur la lge des mdaltés : c est la mdalté de rag r Eemle : Ic, = dc est mar d ù la médae m est la 6 ème valeur dc m = 5 5 =,75 dc Q est la ème valeur de la sére dc Q = = 8,5 dc Q est la 9 ème valeur de la sére dc Q = 6 E : étermer les quartles de ces deu séres : a) b) L tervalle terquartle est l tervalle [Q ; Q ] Le mbre I = Q Q s aelle l terquartle Remarque : L tervalle terquartle (ctraremet à l étedue) élme les valeurs etrêmes (qu euvet être arfs duteuses!); Ceedat l e tet cmte que de 5% de l effectf, ce qu etraîe ue erte de l frmat Remarque : e faç géérale, les quatles st les valeurs qu artaget la sére e artes égales : l y a la médae (e ), les quartles (e 4), les décles (e ), les cetles (e ) ) agramme e bîte u bîte à mustaches u bîte à attes C est u dagramme, rade à cstrure ermet de vsualser la dsers d ue dstrbut statstque, u d e cmarer luseurs d etre elles Cstruct : m 5% 5% 5% 5% O trace u ae gradué crresdat au valeurs du caractère sur ue échelle allat du mmum au mamum de la sére O lace la médae m et les autres quartles Q et Q Q m Q O trace u rectagle de lgueur Q Q, cué ar u trat au veau de la médae O rlge de chaque côté de la bîte ar des «mustaches» allat st jusqu au mmum d u côté et au mamum de l autre, st jusqu au remer décle d u côté et au euvème décle de l autre (ce qu revet à csdérer cmme aberrates les % des valeurs au début et à la f de la sére) m Q méd Q ma Effectfs ; ; 45 ; 45 ; 45 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 Q m Q Mamum euvème décle Trsème quartle Médae Premer quartle ae gradué Premer décle Mmum Patrck CHTEL - 5/9 - // 5% 5% ma Remarque : Le dagramme eut être dssé vertcalemet u hrztalemet Eemle : Effectfs O a : m = 5, Q = 45 et Q = 6; agramme e bîte ssble : E : Lre les tervalles terquartles, la médae et l étedue de ces séres : E 4 : La sére de dées suvates rerésete le mbre de vtures vlées jurellemet das ue vlle durat ue érde de duze jurs : Cstrure u dagramme e bte de la sére E 5 : La sére suvate de le mbre d heures de traval effectuées, durat ue semae, ar emlyés d ue etrerse : Cstrure u dagramme e bte de la sére E 6 : as u cllège et u lycée, a fat ue equête aurès des élèves ur caître la durée de leur trajet, e mutes, de leur dmcle à leur établssemet sclare Vc c-ctre les dagrammes e bîtes truvés ) Purqu le dagramme asscé à la sére des élèves du lycée est-l celu de drte? ) Quel est le urcetages des élèves du lycée qu t u trajet de lus de 5 mutes? ) Pur u cllége quelle est la durée médae de trajet? 4) Quel est l tervalle terquartle ur la sére? 5) Le quart des élèves du cllège mettet lus de t mutes ur ver au cllège étermer la valeur de t E 7 : Les séres suvates det les réctats myees mesuelles e mm à ce et à Pars Jav év Mars vrl Ma Ju Jullet ût Set Oct v éc ce Pars ICE : m : ; ma : 58 ; médae : 7,5 ; Q : 8 ; Q : 8 PRIS : m : 4 ; ma : 6 ; médae : 5 ; Q : 48 ; Q : 54 Cstrure le dagramme e bîte de chaque sére avec ue même graduat us vérfer le cmmetare suvat : «Les réctats st lus régulères tut au lg de l aée à Pars La ttalté des valeurs de la sére des réctats à Pars est cmrse etre le er quartle et la médae de la sére des réctats à ce Pur la vlle de ce, lus de la mté des ms t des réctats suéreures au mamum de Pars» 4) Varace et Ecart tye Les ts cmme l étedue, l terquartle mesuret très grssèremet la dsers L écart tye est u uveau aramètre lus erfrmat ur mesurer cette dsers La varace V de la sére est le réel déf ar : V = ( ) L écart tye s de la sére est s = V 9 5 % 5 % ma m % Q m = % Q Q 5% ; O a auss : = m Q Me Q ma V = = Patrck CHTEL - 6/9 - //

4 Statstques Remarque : O trdut ur s, ue race carrée, af de rester das les mêmes utés que les dées ; l écart tye est ue mesure de dsers lée à la myee Cette mesure de de l mrtace au valeurs élgées de la myee et tet cmte de la réartt des dées autur de la myee E 8 : Reréseter chacue des trs séres c-dessus sur ue drte graduée, calculer la myee et la médae, l écart tye de chacue d elle et fare des remarques sur les résultats bteus Sére : ; ; ; ; Sére : 8 ; 9 ; ; 8 ; 9 Sére : 8 ; 9 ; ; ; E 9 : eu treurs s etraîet au tr à la cble Ils t té leurs résultats e ts bteus arès trs Pts 5 Treur Treur 6 6 Calculer la myee et l écart tye ur les séres des résultats des deu treurs Quel est le lus réguler? V) Séres chrlgques ) et rerésetat grahque Ue sére chrlgque est ue success de valeurs umérques d ue même gradeur, bservée à tervalle réguler das le tems valeurs O eut reréseter ue sére chrlgque ar u tableau cmme c-dessus : ates t t t t E gééral, rerésete ue sére chrlgque ar des ts (relés u ar ue lge lygale) ur lesquels les abscsses rerésetes les dates et les rdées rerésetet les valeurs e qu s agt-l? ) Lssage ar myees mbles Le but est suvet de détermer ue tedace (crssace u décrssace) malgré des varats rrégulères u érdques Pur faclter cette aalyse e élmat ces rrégulartés, effectue u lssage à l ade d ue myee mble (u glssée) Cela csste à remlacer chaque valeur ar la myee y effectuée avec la(es) valeur(s) récédete(s) et la(es) valeur(s) + k suvate(s) : y = O btet alrs la sére des myees mbles d rdre k+ k + s k Pur u rag, aelle myee mble d rdre k+ la myee de la sus sére des termes des rags k à + k Lsser ue sére chrlgque, c est remlacer la sute tale ar la sute des myees mbles Remarque : S veut lsser ue curbe ar des myees mbles d rdre (res d rdre 5), btet la sére des myees mbles à artr du rag jusqu au rag (res du rag jusqu au rag ) Méthde Il s agt de cstrure ue uvelle sére bteue, ar eemle, ur des myees mbles de rag : Eemle : O csdère la sére chrlgque suvate dat les temératures myees mesuelles e u leu dé Les ms de javer à décembre st tés de à ate t Temérature t Rerésetat grahque de cette sére chrlgque : Lssage ar la méthde des myees mbles d rdre : ates t t t + + y = y = Patrck CHTEL - 7/9 - // 5 5 dates Calcul des valeurs de la uvelle sére défe as : T = t +t +t, T = t +t +t 4,,T = t +t +t remarquer que cette sére ctet valeurs, T, T,, T, et as cmme la sére tale t T 4,7 6,, 4, 9,, 9, 4,7 7, Rerésetat grahque de la uvelle sére as bteue : O cstate que les fluctuats les lus mrtates st as gmmées E : Le tableau c-arès de l'évlut du marché fraças de vete de véhcules etrerses ms ar ms de setembre 999 à avrl e mllers de véhcules : 999 S O J M M J 57,4 88,8 8,6 86,5 69,6 8,6 85, 96,5 8,7 J S O J M 86,8 56,6 5, 84,7 76,4 5,5 9, 77,4,,4 Effectuer ue rerésetat grahque de cette sére chrlgque Effectuer u lssage ar myee mble d'rdre 5 us décrre l'évlut du marché VI) Séres dubles Pur ue ulat dée, eut s téresser smultaémet à deu varables X et Y O btet alrs ue sére duble Eemle : Le tableau c-ctre de la réartt des lycées et lycéees adms au baccalauréat e 999 : Ce tableau a lges et cles O tera, ar eemle,, = 46,, = 4 86 ( ère lge, ème cle),, = 6 6 ( ème lge, ère cle) ) Etude fréquetelle Effectfs réqueces See See lle arç Ttal Patrck CHTEL - 8/9 - // lle arç réqueces margales ééral ééral,7,7,64 Techlgque Techlgque,6,4, Prfessel Prfessel,,4,6 Cmmetares : f, =, f 4, = 4, Ttal réqueces margales,55,45 = 4 7,4 ; c est la fréquece des adms au bac e 99 qu st du see mascul et qu t assé u bac r 9 7 = 8 4,55 ; c est la fréquece des adms au bac e 99 qu st du see fém 9 7 ) réquece cdtelle eu caractères et st étudés sur ue ulat E La fréquece de sachat est la art des dvdus de la ulat ayat le caractère chez ceu ayat le caractère : effectf de et f () = effectf de See 5 5 lle arç ééral Techlgque Prfessel

5 4 86 Eemle : f arç ( ééral) = 7,6 O eut réseter les fréqueces cdtelles u sus frme de tableau à duble etrée, u sus frme d arbres : Tableau : des fréqueces cdtelles du see sel le tye de bac des fréqueces cdtelles des tyes de bac sel le see See calauréat lles arçs Ttal See é Tech ééral,58,4 lles,67,8,5 Techlgque,5,47 arçs,6,,8 Prfessel,4,57,58 = f é () ;,57 = f Pr() Ces deu tableau à duble etrée st équvalets au arbres suvats : rbres : f() =,55 See,45 = f(),67 = f (é) Pr ttal ;,8 = f (Pr) 4 7 7,64,6, é Tech Pr,58,4,5,47,4 f(é) =,67,5 = f(pr),8 f(é) =,6,,8 = f(pr),57 é Tech Pr é Tech Pr E : eu utés de rduct et rduset cmsats électrques dt 6% rveet de l'uté Parm ces cmsats,5 résetet u défaut té, dt 6 rveet de l uté Cmléter le tableau suvat : uté uté ttal défaut as de défaut ttal étermer les fréqueces suvates : f() f () f () f () Placer les valeurs calculées au sur les braches des arbres dérés suvats : Pus les cmléter E : O a demadé à 4 élèves leur référece srtve etre le basket () et le tes (T) O a bteu les résultats suvats sel le see (flle : ; garç : ) Cstrure le tableau des fréqueces et le cmléter ar les fréqueces margales étermer f(), f(), f (T) et f () Cstrure le tableau des fréqueces cdtelles du srt référé sel le see 4 Cstrure l arbre des effectfs cdtels du see sel le srt référé asket Tes lle 9 6 arç 5 Patrck CHTEL - 9/9 - //