B) CHAÎNES DE SOLIDES

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1 Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme. De cette aalyse, et e foctio des objectifs visés, peuvet ressortir les élémets suivats : la capacité du mécaisme à remplir correctemet sa foctio de trasformatio de mouvemet, e traduisat la (les) loi(s) etrée/sortie souhaitées ; la possibilité de pouvoir calculer les vitesses relatives au sei des liaisos, e vue de leur coceptio (choix qualitatif et dimesioemet) ; la écessité de modifier des liaisos, ou bie d'imposer des cotraites géométriques «sévères» ou, tout au cotraire, de faire apparaître la écessité d'itroduire des jeux das certaies liaisos, afi d'obteir u mécaisme viable et fiable, e particulier das l'optique d'ue productio e série (cotexte écoomique de fabricatio) ; la possibilité de pouvoir calculer tous les efforts trasmissibles par les liaisos, e vue de leur coceptio (choix qualitatif et dimesioemet) ; La descriptio des objectifs visés met e évidece les caractères idissociables et complémetaires des aspects statiques et ciématiques. REMARQUE L'aspect statique est mis e avat, mais il pourrait être remplacé par l'aspect dyamique sas que la démarche i qu'aucue coclusio e soiet modifiées. 1. MISE EN ÉQUATION 1.1. Aalyse géométrique L aalyse géométrique d u mécaisme permet de mettre e évidece la (ou les) relatio(s) etrée/sortie qui relie(t) le (ou les) paramètre(s) de sortie et le (ou les) paramètre(s) d etrée. Pour u couple de paramètres etrée/sortie, cette relatio défiit la foctio de trasfert géométrique de la chaîe ciématique correspodate du système. Elle est issue de l écriture de la relatio vectorielle qui traduit la fermeture géométrique de chaîe : 1 OA1+ AiAi+ 1+ A1O = 0 i= 1 Le poit O est l origie du repère fixe et les poits A i sot les cetres des liaisos qui défiisset la chaîe ciématique. La projectio de cette relatio das ue base doée permet d écrire les 2 (problème pla) ou 3 (problème spatial) relatios scalaires desquelles o tire la relatio etrée/sortie Aalyse ciématique L aalyse ciématique d u mécaisme permet d établir des relatios etre les vitesses issues de la fermeture ciématique de chaîe. La fermeture ciématique de chaîe est l écriture de la loi de compositio des mouvemets sous la forme : { VR R V i 1 / }+ { i R/ R 0 }= {} 0 i= 1 15

2 Mécaique Cette relatio torsorielle se traduit par l écriture de deux équatios vectorielles qui, projetées das u repère, vot doer 6 équatios scalaires. O peut, de la même faço que pour l étude géométrique, e tirer ue (ou des) relatio(s) etre les paramètres ciématiques d etrée et ceux de sortie. O défiit aisi la foctio de trasfert ciématique du mécaisme Aalyse des actios mécaiques L aalyse des actios mécaiques permet d établir des relatios etre le torseur d effort d etrée et celui de sortie d u mécaisme. Cette étude peut être meée soit e statique soit e dyamique. O défiit aisi la foctio de trasfert du mécaisme au iveau des efforts. 2. DÉFINITIONS Degrés de liberté Le positioemet d u solide S 2 par rapport à u solide S 1 est défii lorsque les 6 paramètres idépedats X, Y, Z, θ X, θ Y, θ Z appelés degrés de liberté sot détermiés (fig. 1). Mobilité ciématique La mobilité ciématique d u mécaisme (otée m c )est le ombre de mouvemets idépedats (e relatio avec les degrés de liberté) que l o peut imposer à certaies pièces de ce mécaisme pour défiir complètemet so comportemet ciématique. X x z Z S 1 O θx θz S 2 Y θy y Fig 1 : Degrés de liberté Elle est costituée de la mobilité ciématique utile (otée m cu ) et de la mobilité ciématique itere (otée m ci ): m c =m cu +m ci La mobilité ciématique utile m cu correspod au ombre de relatios idépedates qui existet etre les paramètres ciématiques d etrée et de sortie du mécaisme. La mobilité ciématique itere m ci correspod au ombre de relatios idépedates qui existet etre les paramètres ciématiques des pièces iteres du mécaisme. La mobilité ciématique itere, das u mécaisme, est ue mobilité idépedate etre 2 solides qui e modifie pas le foctioemet du mécaisme (par exemple la rotatio d ue pièce sur elle-même). Icoues statiques de liaiso Ce sot les composates (idépedates) du torseur statique associé à ue liaiso. Das la suite, o otera L i le ombre de ces icoues relativemet à la iéme liaiso. Icoues ciématiques de liaiso Ce sot les composates (idépedates) du torseur ciématique associé à ue liaiso. Das la suite, o otera M i le ombre de ces icoues relativemet à la iéme liaiso. Degré d hyperstaticité Ue liaiso etre deux solides est faite pour imposer ue certaie mobilité etre eux. 16

3 Chaîes de solides Si le ombre de composates de liaisos pour assurer cette foctio est miimum, la liaiso est dite «isostatique». Das le cas cotraire, les composates e surombre sot qualifiées de composates hyperstatiques et leur ombre défiit le degré d hyperstaticité de la liaiso. O le ote h. Modèle d'étude - Structures des mécaismes Les mécaismes sot réalisés à partir de pièces modélisées comme idéformables et reliées etre elles par les l liaisos mécaiques parfaites, c'est-à-dire, sas jeux et sas frottemet. Les esembles aisi formés sot appelés chaîes de solides. Ces chaîes peuvet être classées e trois types de structures qui sot défiis par le graphe des liaisos. O distiguera : figure 2-a : les chaîes cotiues ouvertes (l = 1) ; figure 2-b : les chaîes cotiues fermées (l = ) ; figure 2-c : les chaîes complexes fermées (l > ). Fig 2 : Chaîes de solides La théorie des mécaismes présetée ici e s'itéressera qu'aux chaîes fermées, cotiues ou complexes. Toute chaîe complexe fermée pouvat être cosidérée comme l'associatio de plusieurs chaîes cotiues fermées, ce sot ces derières qui, das u premier temps, ferot l'objet de l'étude. 3. DÉTERMINATION DU DEGRÉ DE MOBILITÉ ET DU DEGRÉ D HYPERSTATISME 3.1. Aalyse des chaîes cotiues fermées Approche statique Icoues statiques de liaiso Pour la chaîe cotiue fermée, le ombre total d'icoues statiques de liaiso est : I s = Σ L i Nombre d'équatios statiques C'est le ombre total des équatios issues de l'applicatio du pricipe fodametal appliqué à chaque solide mois u, puisque, pour ue chaîe fermée, l'écriture de l'équilibre de (-1) solides cotiet les iformatios relatives à l'équilibre du ième (actios réciproques). Le solide 'état pas pris e cosidératio est gééralemet le bâti. Das l'espace, et pour chacu des (-1) solides, o peut écrire 6 équatios. 17

4 Mécaique Le ombre total maximal des équatios statiques que l'o peut écrire est : 6 ( 1). Mais, cela e sigifie pas que les 6 ( 1) équatios soiet idépedates et sigificatives. O otera r s le rag du système d'équatios statiques aisi obteu. RAPPEL Le rag r s est le rag de la matrice issue du système des e équatios de statique à i icoues. Il est toujours égal ou iférieur à la plus petite des deux valeurs e ou i. Mobilité ciématique Pour ue chaîe cotiue fermée, la mobilité ciématique se défiit de la faço suivate : m c = 6 ( 1) r s Or la différece etre le ombre d icoues statiques de liaiso I s et r s correspod au degré d hyperstatisme : h = I s r s ou ecore r s = I s h O obtiet doc e défiitive : Idice de mobilité 6 ( 1) I s = m c h O appelle idice de mobilité les quatités 6 ( 1) I s ou m c h. Formule de mobilité 6(±1)±I s =m cu +m ci ±h avec I s = L i Σ [1] Iterprétatio des différetes valeurs de h h = 0 Le mécaisme est isostatique. Toutes les actios de liaisos sot défiies à partir des actios extérieures coues. h > 0 Le mécaisme est hyperstatique, il existe h icoues surabodates. Toutes les actios de liaisos e peuvet pas être défiies à partir des équatios de la statique. E d autres termes, il maque h équatios etre les icoues d efforts que l o va puiser das le domaie de la résistace des matériaux par exemple. h < 0 Pour ue chaîe cotiue fermée, si le calcul coduit à h < 0, il est probable que la détermiatio de m c 'a pas été faite correctemet Approche ciématique Icoues ciématiques de liaiso Pour la chaîe cotiue fermée, le ombre total d'icoues ciématiques das les liaisos est : I c = Σ M i Puisque les torseurs ciématique et statique sot complémetaires (comomet ul = puissace ulle développée au sei de la liaiso parfaite), alors pour ue liaiso : L i + M i = 6. Pour la chaîe cotiue fermée, le ombre total d'icoues ciématiques de liaiso sera doc : I c = Σ 6 ±L i =6± Σ L i =6±I s Nombre d'équatios ciématiques C'est le ombre total des équatios issues de la fermeture de la chaîe ciématique par applicatio de la compositio des torseurs ciématiques et qui traduit : V 1/1 O = V 1/2 O + V 2/3 O V /1 O = 0 Cette équatio torseurielle das l'espace est susceptible de fourir 6 équatios scalaires. Mais, cela e sigifie pas que ces 6 équatios soiet idépedates et sigificatives. O otera r c le rag du système d'équatios ciématiques aisi obteu. 18

5 Chaîes de solides Mobilité ciématique Pour ue chaîe cotiue fermée, elle est défiie par le ombre m c de paramètres ciématiques idépedats et surabodats pris parmi les icoues ciématiques, qu'il faut imposer afi de défiir complètemet toutes les autres icoues ciématiques par résolutio du système d'équatios ciématiques : m c = I c r c Or ici, le degré d hyperstatisme correspod à : h = 6 r c ou ecore r c = 6 h O obtiet doc e défiitive : Idice de mobilité I c 6= m c h O appelle idice de mobilité les quatités I c 6 ou m c h. Formule de mobilité I c ±6=m cu +m ci ±h avec I c = Σ M i [2] Iterprétatio des différetes valeurs de h h = 0 Toutes les icoues ciématiques sot calculables à partir des m c paramètres d'etrée. Le mécaisme peut se moter et foctioer sas cotraites géométriques particulières. La loi etrée/sortie est parfaitemet défiie. h > 0 Il existe h équatios dépedates qui costituet autat de coditios géométriques qui, das la pratique, doivet être parfaitemet respectées. La chaîe est rigide et surabodate. h < 0 Le mécaisme est pas viable car mal coçu Cas particulier d'ue chaîe à mobilité ulle Ue telle chaîe est défiie, par exemple, par la figure 3. O vérifiera que sa mobilité est ulle et qu'elle répod au critère d'isostatisme h = 0. Néamois, il s'agit plus d'u «assemblage» que d'u mécaisme au ses ciématique du terme, puisqu'il 'y a pas mouvemet. Le mécaisme e possède pas de loi etrée/sortie Aalyse des chaîes complexes Ue chaîe complexe fermée est décomposable e ue juxtapositio de chaîes cotiues fermées. La décompositio 'est pas uique. Soit : : le ombre de solides qui costituet la chaîe complexe ; l : le ombre de liaisos qui costituet la chaîe complexe. O motre (théorie des graphes) que le ombre de chaîes cotiues fermées qu'il est écessaire et suffisat d'étudier, afi d'obteir toutes les équatios de fermetures de chaîes possibles (fermetures géométriques ou/et fermetures ciématiques), est doé par le ombre µ défii par la relatio : µ = l + 1 Le ombre µ est appelé ombre cyclomatique de la chaîe complexe. REMARQUE Il est idispesable d'extraire les µ chaîes cotiues fermées de la chaîe complexe de telle maière que chaque liaiso apparaisse au mois ue fois. E coséquece, das le cas des chaîes complexes, o peut écrire 6µ équatios ciématiques (au lieu de 6 pour les chaîes cotiues) correspodat aux fermetures des µ chaîes idépedates. Par ailleurs, l'étude Fig 3 : Chaîe à mobilité ulle 19

6 Mécaique des chaîes complexes est e tout poit idetique à l'étude des chaîes cotiues. La seule ouveauté cosiste doc à modifier l'expressio du ombre d'équatios de ciématique. Toutes les relatios vues précédemmet restet doc valables à l'exceptio de la formule de mobilité cocerat le poit de vue ciématique qui deviet (cas gééral): I c ±6µ =m cu +m ci ±h avec I c = M i Σ [3] 4. CONCLUSIONS Problèmes techologiques posés par u mécaisme hyperstatique Il se produit des déformatios de pièce par apparitio de torseurs d efforts idésirables, ce qui a pour coséquece d etraîer de l usure, de réduire le redemet et d obliger le cocepteur à surdimesioer les pièces. Solutios techologiques pour redre le mécaisme isostatique Usier précis (toléraces serrées sur la forme et sur la positio des surfaces foctioelles). Itroduire des réglages. Prévoir ue période de rodage importate. Itroduire des élémets déformables. Recocevoir le mécaisme e apportat de ouveaux degrés de liberté par trasformatio des liaisos. Cette solutio est souvet la meilleure. Coclusio Il est importat de remarquer qu u mécaisme hyperstatique est pas forcémet u «mauvais» mécaisme. U mécaisme hyperstatique écessite cepedat des cotraites de fabricatio plus importates (difficultés d usiage, augmetatio des coûts, ). 20