Trigonométrie Résolution d équation trigonométrique Exercices corrigés

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1 Trigonométrie Résolution d équation trigonométrique Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : résolution d équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du cosinus et du sinus d un angle Exercice 2 : résolution d équation trigonométrique dans à l aide des formules fondamentales Exercices 3 et 4 : résolution d équation trigonométrique dans un intervalle donné de Exercices 5 et 6 : résolution d équation trigonométrique dans en utilisant les angles associés Exercice 7 : résolution d équation trigonométrique de degré 2 Exercice 8 : résolution d équation trigonométrique dans en utilisant les formules de duplication Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables pour tout réel. 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 1 Rappel : Valeurs remarquables dans Valeurs du cosinus et du sinus d angles compris entre Valeurs du cosinus et du sinus d angles compris entre. 1 ère équation 2 ème équation 3 ème équation 4 ème équation 2

3 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 2 Rappel : Résolution d équation trigonométrique { { 1 ère équation 2 ème équation 3

4 3 ème équation 4 ème équation Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans [ ] les équations suivantes : Correction de l exercice 3 Avant de résoudre les équations dans [ ], déterminons les solutions dans. 1 ère équation 4

5 [ ] Donc n est pas solution. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution de [ ]. [ ] Donc n est pas solution. Pour tout entier relatif, l équation n admet pas de solution de [ ]. En résumé, l ensemble des solutions de l équation dans [ ] est : { } 2 ème équation 5

6 Les réels solutions de l équation initiale dans [ ] sont les solutions de et où est un entier relatif à déterminer pour que [ ]. Intéressons-nous tout d abord aux solutions de. [ ] Donc n est pas solution. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution de [ ]. [ ] Donc n est pas solution. Pour tout entier relatif, l équation n admet pas de solution de [ ]. En résumé, l ensemble des solutions de l équation dans [ ] est : { } Intéressons-nous désormais aux solutions de. 6

7 [ ] Donc n est pas solution. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution de [ ]. [ ] Donc n est pas solution. Pour tout entier relatif, l équation n admet pas de solution de [ ]. En résumé, l ensemble des solutions de l équation dans [ ] est : { } Finalement, les solutions de l équation initiale est la réunion des solutions et. { } { } { } Exercice 4 (2 questions) Niveau : facile Résoudre dans puis dans les équations suivantes. 7

8 Correction de l exercice 4 1 ère équation Résolvons dans un premier temps l équation proposée dans. Déterminons dans un second temps les solutions dans ] ].. Or, ] ]. Donc est solution dans ] ].. Or, ] ]. Donc n est pas solution dans ] ]. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution.. Or, ] ]. Donc n est pas solution dans ] ]. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution. En définitive, l équation admet une solution unique dans ] ]. On a { }. 2 ème équation Tout d abord, résolvons dans l équation proposée. Dorénavant, précisons les solutions de l équation dans ] ]. Intéressons-nous tout d abord aux solutions de. Donc est solution. 8

9 Donc n est pas solution. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution dans ] ]. Donc est solution. Donc n est pas solution. Pour tout entier relatif, l équation n admet pas de solution dans ] ]. En résumé, l ensemble des solutions de l équation dans ] ] est : { } Intéressons-nous désormais aux solutions de. Donc est solution. Donc est solution. Donc est solution. Donc n est pas solution. Pour tout entier, l équation n admet pas de solution de ] ]. Donc est solution. 9

10 Pour tout entier relatif, l équation n admet pas de solution de ] ]. En résumé, l ensemble des solutions de l équation dans ] ] est : Donc n est pas solution. { } Finalement, les solutions de l équation initiale est la réunion des solutions et. { } { } { } Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 5 Rappel : Angles associés 1 ère équation 1 ère méthode : 10

11 2 ème méthode : 2 ème équation Etudions les solutions selon les valeurs de, entier relatif, et remarquons alors que les solutions de se trouvent dans l ensemble des solutions de. Ainsi, l ensemble des solutions de l équation est : { } 3 ème équation { { { { 11

12 { Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile Résoudre dans puis dans l équation suivante : Correction de l exercice 6 Pour tout réel, Les solutions dans l intervalle sont : En effet, Ces deux valeurs appartiennent à l intervalle donc elles sont solutions de l équation. 12

13 Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l intervalle donc est solution de l équation ; est en revanche exclue. Aucune de ces valeurs n appartient à l intervalle Pour tout entier naturel,.. Aucune d elle n est donc solution de l équation. Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l intervalle donc est solution de l équation ; n est en revanche pas solution. Exercice 7 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 7 Rappel : Résolution d équation de la forme Si, l ensemble des solutions est l ensemble vide Si, l ensemble des solutions est { } Si, l ensemble des solutions est { } 1 ère équation 13

14 2 ème équation 3 ème équation Rappel : Relation fondamentale entre le sinus et le cosinus d un angle On est ainsi amené à résoudre la première équation de cet exercice. D après ce qui précède, les solutions sont : Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 8 Rappel : Formules de duplication 1 ère équation 14

15 Remarquons en effet que les solutions de se trouvent dans l ensemble des solutions de. Il suffit de prendre multiple de : si, alors. 2 ème équation Posons. Alors, comme pour tout réel,, il vient que et l expression devient. Soit le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, admet deux racines réelles distinctes : En outre, le trinôme est factorisable :. On a bien et donc : 3 ème équation 15

16 Exercice 9 (1 question) Niveau : difficile Résoudre dans l équation suivante : Correction de l exercice 9 Lorsque, le réel appartient à l intervalle si et seulement si : Or, Donc la seule valeur de telle que est. De même, lorsque, le réel appartient à l intervalle si et seulement si : Or, Il n existe donc aucun entier relatif tel. Par conséquent, Il existe un réel unique de tel que. D où : 16

17 A l aide de la calculatrice, on trouve à près par défaut. En effet,. Exercice 10 (1 question) Niveau : difficile Résoudre dans [ ] l équation suivante :. Correction de l exercice 10 Rappel : Formules d addition Résolvons dans [ ] l équation suivante :. Pour tout réel, ( ) ( ) ( ) ( ) 17

18 Etudions le trinôme. Pour cela, posons. Remarquons que, pour tout réel,, donc. L expression devient. En posant le discriminant de ce trinôme du second degré d inconnue,. donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : En outre, comme, le trinôme est factorisable et. Enfin, comme et, on obtient que : ( ) ( ) D où, pour tout réel, ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) Or, dans [ ], on a : L équation admet 3 solutions dans [ ] :. 18