GEOMETRIE DANS L ESPACE. I) Vecteurs de l espace

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1 GEOETRIE DNS L ESPCE ant tot, rappelons ne propriété fondamentale : Tot théorème de Géométrie plane s appliqe dans n importe qel plan de l espace. Les exemples de ce chapitre se réfèrent a dessin ci-contre : CDEFIJ est n cbe EGHJKLN est n parallélépipède rectangle tel qe H = CI et JH = 2JI I) Vecters de l espace Lorsqe, la direction de est celle de la droite ( ), le sens de est le sens de ers et la longer o norme de, notée, est la distance. Lorsqe =, est le ecter nl, noté 0. On désigne soent les ecters par ne sele lettre, par exemple,, w Por tot point O de l espace et por tot ecter, il existe n niqe point tel qe O =. 1) Vecters égax Chacne des propriétés siantes signifie qe les ecters non nls et DC sont égax : et DC ont même direction, même sens et même norme. CD est n parallélogramme. ( Si,, C et D sont alignés, on dit qe CD est n parallélogramme aplati ) 2) Règles de calcl Les règles de calcl sr les ecters de l espace sont analoges ax règles de calcl sr les ecters d plan. RELTION DE CHSLES : + F = REGLE DU PRLLELOGRE : DC + DJ = OPPOSE D UN VECTEUR : = D + DI = JN + JH = JN + LG = ULTIPLICTION D UN VECTEUR PR UN REEL : Por tos réels a et b, et por tos ecters et on a : DE + KL = DC + DJ + D = a ( + ) = ( a + b ) = a ( b ) = a = 0 Géométrie dans l espace Page 1

2 3) Vecters colinéaires Dex ecters non nls et qi ont la même direction sont dits colinéaires. Par conention le ecter nl est colinéaire à tot atre ecter. Dire qe dex ecters non nls et sont colinéaires reient à dire q il existe n réel k tel qe Exemple : EG = 2 donc : Dire qe les points, et C sont alignés reient à dire q il existe k IR tel qe Exemple : ontrer qe les points D, I et sont alignés. 4) Vecters orthogonax Dex ecters non nls et dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonax. On note. Par conention le ecter nl est orthogonal à tot atre ecter. Exemples : II) Interprétation ectorielle des droites et plans de l espace 1) Droites Soit d ne droite, on appelle ecters directers de d les ecters, non nls, définis par dex points de d. Soit n point de l espace et n ecter non nl. ( ; ) représente la droite qi passe par et de direction, la direction de. d Remarqes : La droite ( ; ) est l ensemble des points de l espace tels qe et sont colinéaires, c'est à dire tels q il existe n réel k érifiant = k Dire qe les droites ( ) et ( CD ) sont parallèles reient à dire qe les ecters et CD sont colinéaires, c'est à dire q il existe k IR * tel qe = k CD 2) Plans PLN DETERINE PR TROIS POINTS : Soit, et C trois points non alignés. Le plan ( C ) est l ensemble des points de l espace tels q il existe des réels x et y érifiant = x + y C On dit qe les ecters et C sont des ecters directers d plan ( C ). C 22 1 Ici :.. Géométrie dans l espace Page 2

3 PLN DEFINI PR UN POINT ET UN COUPLE DE VECTEURS NON COLINEIRES : Un point et dex ecters et non colinéaires déterminent n niqe plan : le plan ( C ) où = et C =. On note ( ;, ) ce plan ( ;, ) est l ensemble des points de l espace tels q il existe dex réels x et y érifiant = x + y. On dit qe les ecters et sont des ecters directers d plan ( ;, ) o encore qe le plan ( ;, ) est dirigé par et C Remarqe : Si est n ecter non nl colinéaire à, et n ecter non nl colinéaire à, alors le plan ( ;, ) est le même qe le plan ( ;, ) Exemple : Le plan ( ; DN, KL ) est le plan III) Vecters coplanaires, et w sont trois ecters de l espace tels qe et ne sont pas colinéaires. Dire qe, et w sont coplanaires reient à dire q il existe des réels a et b tels qe w = a + b. Démonstration : Soit O n point de l espace. On considère les points, et C tels qe O =, O = et OC = w. et ne sont pas colinéaires, les points O, et ne sont pas alignés et déterminent donc n plan, le plan ( O ). Par définition, dire qe, et w sont coplanaires reient à dire C ( O ) ce qi reient à dire q il existe des réels a et b tels qe OC = a O + b O. IV) Interprétation ectorielle d parallélisme 1) Dex droites Une droite de ecter directer et ne droite de ecter directer sont parallèles si et selement si et sont colinéaires 2) Une droite et n plan Dire q ne droite d, de ecter directer, est parallèle à n plan P, de ecters directers et w reient à dire qe, et w sont coplanaires. o encore : il existe des réels a et b tels qe = a + b w d d w P Géométrie dans l espace Page 3

4 3) Dex plans Dire q n plan P, de ecters directers et, est parallèle à n plan P de ecters directers et reient à dire qe,, et sont coplanaires. P P P P o encore : il existe des réels a et b tels qe = a + b et, il existe des réels a et b tels qe = a + b V) arycentre dans l espace Les définitions et propriétés concernant le barycentre dans le plan se généralisent à l espace. Soit, et C trois points de l espace et a, b et c trois réels tels qe a + b + c 0. Il existe n niqe point G érifiant : a G + b G + c GC = 0 Ce point G est appelé barycentre d système {(, a ) ; (, b ) ; ( C, c )}. Remarqes : Comme dans le plan le barycentre reste inchangé lorsq on mltiplie les coefficients, par n même nombre non nl. La règle d barycentre partiel reste raie. Le barycentre de {( ; a ), ( ; b )} appartient à la droite ( ). Le barycentre de {( ; a ), ( ; b ), ( C ; c )} appartient a plan ( C ). VI) Repères et coordonnées 1) ase et repère Soit i, j et k trois ecters non coplanaires de l espace et O n point de l espace, alors : ( i, j, k ) est ne base des ecters de l espace ( O ; i, j, k ) est n repère de l espace On dit qe le repère ( O ; i, j, k ) est orthogonal lorsqe les ecters i, j et k sont orthogonax dex à dex. Si, de pls, les ecters i, j et k sont nitaires ( ont por norme 1 ) alors, on dit qe le repère est orthonormal. Représentation classiqe d n repère orthonormal (O; i ; j ; k ) k j i O Géométrie dans l espace Page 4

5 2) Coordonnées Soit ( O ; i, j, k ) n repère de l espace. tot point de l espace, on pet associer n niqe triplet de réels ( x ; y ; z ) tel qe O = x i + y j + z k On dit qe ( x ; y ; z ) sont les coordonnées d point dans le repère ( O ; i, j, k ) o qe ( x ; y ; z ) sont les coordonnées d ecter O dans la base ( i, j, k ). x, y et z sont respectiement l abscisse, l ordonnée et la cote d point. z y x,i O Exemple : Dans le repère ( J ; JD ; JI ; JE ) : les coordonnées des points sont : C D E F G H I J K L N 3) Propriétés Les propriétés et les règles de calcl es dans le plan por les coordonnées de ecters et de points se prolongent dans l espace en ajotant simplement ne troisième coordonnée. Dans n repère donné de l espace, soit ( a, b, c ) et ( a, b, c ) dex ecters, ( x, y, z ) et ( x, y, z ) dex points. Por tot réel k, le ecter k a por coordonnées.. Le ecter + a por coordonnées = Le ecter a por coordonnées... Le milie I de [ ] a por coordonnées Le barycentre de {( ; α), ( ; β )} a por coordonnées. Géométrie dans l espace Page 5

6 VII) Distance et orthogonalité Dans ce paragraphe l espace est mni d ne repère orthonormal ( O ; i, j, k ). 1) Norme et distance Si n ecter a por coordonnées ( a ; b ; c ) alors : = a ² + b ² + c ² Si les points et ont por coordonnées respecties ( x, y, z ) et ( x, y, z ), alors : = ( x x ) ² + ( y y ) ² + ( z z ) ² Démonstrations : On note le point tel qe O =. Les coordonnées de O sont ( a ; b ; c ) et ² = O Pisqe le repère est orthonormal, le triangle O est rectangle en donc : O ² = a ² + b ² et ² = O ² = c ² On en dédit, d après le théorème de Pythagore qe : ² = O ² = O ² + O ² = a ² + b ² + c ² = c b a,i O 2) Condition analytiqe d orthogonalité Dans ne base orthonormale : Dire qe les ecters ( x ; y ; z ) et ( x ; y ; z ) sont orthogonax reient à dire qe x x + y y + z z = 0 Démonstration : Le résltat est immédiat lorsqe = 0 o = 0. Si et sont non nls, on note et les points définis par = O et = O. Les coordonnées de et de sont respectiement celles de et de. insi dire qe et sont orthogonax reient à dire qe le triangle O est rectangle en O c'est à dire qe O² + O ² = ² Or O² =.. O ² =.. ² =.... insi Géométrie dans l espace Page 6