Les nombres complexes - Géométrie polaire
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- Michelle Lépine
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1 Chapitre Les nombres complexes - Géométrie polaire. Argument d'un nombre complexe On considère toujours un nombre complexe z = a + ib d'image Ma; b dans le plan complexe muni du repère O; u, v, comme représenté ci-dessous : Dénition. Si z C, alors on appelle argument de z, noté argz = ϑ, la mesure de l'angle orienté u, OM, à kπ près.
2 CHAPITRE. LES NOMBRES COMPLEXES - GÉOMÉTRIE POLAIRE Théorème. Si z = a + ib est un nombre complexe d'image Ma; b dans le plan complexe muni du repère O; u, v, de module z = a + b et d'argument ϑ, alors : a cosϑ = sinϑ = b Démonstration. Supposons a > 0 et b > 0 démonstration analogue dans les autres cas. On note N le point projeté de M sur l'axe des abscisses. Alors le triangle ONM est rectangle en N, et l'on peut y calculer les égalités trigonométriques, appliquées à l'angle NOM = ϑ : a cosϑ = ON OM = sinϑ = NM OM = b Et l'on retrouve ce que l'on voulait.. Écriture trigonométrique d'un nombre complexe Propriété. Si z = a + ib est un nombre complexe de module z et d'argument argz = ϑ mod π, alors on peut écrire : z = z cosϑ + i sinϑ. Cette écriture est appelée écriture trigonométrique d'un nombre complexe. Démonstration. z cosθ + i sinθ = a + b a a + b + i b = a + ib = z Exemple. Considérons le nombre complexe z = + i. On a alors : a = Rez = et b = Imz =. Son module est alors : z = a + b = + =. D'après le théorème, on a : cosϑ = = sinϑ = = Or l'angle ϑ qui vérie ceci est le suivant, d'après le cercle trigonométrique : ϑ = π 4 mod π Ainsi, l'écriture trigonométrique de z est : z = π π cos + i sin. 4 4
3 .3. ÉCRITURE EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE 3.3 Écriture exponentielle d'un nombre complexe.3. Propriétés de calcul Si z et z sont deux nombres complexes non nuls et n N, alors on a les règles de calcul suivantes : Produit z z = z z argz z = argz + argz mod π Puissance z n = z n argz n = n argz mod π Inverse z = arg = argz mod π z z Quotient z = z z arg = argz argz mod π z z z Démonstration. Soient z, z C et n N. Notons, sous forme trigonométrique : z = z cosϑ + i sinϑ et z = z cosϑ + i sinϑ. Alors : z z = z z cosϑ + i sinϑ cosϑ + i sinϑ z z = z z cosϑ cosϑ sinϑ sinϑ + icosϑ sinϑ + cosϑ sinϑ z z = z z cosϑ + ϑ + i sinϑ + ϑ z z = Rcosϑ + i sinϑ avec R = z z et ϑ = ϑ + ϑ On en tire : z z = z z et argz z = argz + argz mod π. On va démontrer cette par récurrence : n N, z n = z n et argz n = n argz. Initialisation : z = z = z et argz = argz mod π. Le cas de base est démontré. Hérédité : Soit k N xé. Supposons que z k = z k et argz k = k argz mod π. On veut démontrer que z k+ = z k+ et que argz k+ = k + argz mod π.
4 4 CHAPITRE. LES NOMBRES COMPLEXES - GÉOMÉTRIE POLAIRE On a donc : z k = z k z k z = z k z z k z = z k+ z k z = z k+ propriété précédente z k+ = z k+ argz k = k argz argz k + argz = k argz + argz mod π argz k + argz = k + argz mod π argz k z = k + argz mod π propriété précédente argz k+ = k + argz mod π L'hérédité est démontrée. Conclusion : n N, z n = z n et argz n = n argz mod π. On a : z = z z z = = z z On en tire : z z = z = z z z = z z = z z. On a : arg z z = argz + arg mod π arg = argz + arg mod π z z 0 = argz + arg mod π z argz = arg mod π z z On en tire : arg z mod π. = arg z z = argz + arg z = argz argz
5 .3. ÉCRITURE EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE 5.3. La forme exponentielle En s'intéressant à la fonction f : ϑ cosϑ + i sinϑ, dénie pour tout ϑ R, on constate que fϑ est un nombre complexe de module et d'argument ϑ mod π. On a de plus : ϑ, ϑ R, fϑ fϑ a pour module et pour argument ϑ + ϑ mod π. On en tire : fϑ fϑ = fϑ + ϑ. Comme f0 = cos0 + i sin0 =, et que par dérivation en admettant que l'on peut l'étendre à C on a : f ϑ = sinϑ + i cosϑ = icosϑ + i sinϑ = i fϑ, on retrouve ainsi des propriétés de la fonction exponentielle réelle, étendues à l'ensemble des nombres complexes. Dénition. Si ϑ est un nombre réel, alors on note e iϑ = cosϑ + i sinϑ. Il s'agit du nombre complexe de module et d'argument ϑ mod π. Conséquence. Le nombre complexe non nul z = z cosϑ + i sinϑ se note z = z e iϑ. Exemples. On a les cas particuliers suivants : e iπ = cosπ + i sinπ = ; e i π π π = cos + i sin = i ; e i π = cos π + i sin π = i ; e i π π π 3 6 = cos + i sin = i. Propriétés. À partir de la forme exponentielle, on peut retranscrire des propriétés déjà démontrées auparavant, pour tous ϑ, ϑ R, n N : e iϑ e iϑ = e iϑ+ϑ ; eiϑ e iϑ = eiϑ ϑ ; e iϑ n = e inϑ ; e iϑ = e iϑ.
6 6 CHAPITRE. LES NOMBRES COMPLEXES - GÉOMÉTRIE POLAIRE.4 Utilisation des nombres complexes en géométrie.4. Propriétés de base Théorème. Si A, B, C et D sont quatre points du plan complexe,d'axes respectives z A, z B, z C et z D tels que z A z B et z C z D, alors :. AB = z B z A ;. u, AB = argz AB = argz B z A mod π ; zd z C 3. AB, CD = arg mod π. z B z A Démonstration.. Soit M le point du plan complexe tel que OM = AB ; son axe est alors : zm = z B z A, donc : AB = OM = z B z A.. En considérant toujours le même point M, on a : u, AB = u, OM = arg z OM = argzb z A mod π. 3. AB, CD = AB, u + u, CD = u, CD u, AB = argz D z C argz B z A zd z C = arg mod π. z B z A.4. L'inégalité triangulaire Théorème. L'inégalité triangulaire. Si z et z sont deux nombres complexes, alors z + z z + z. Démonstration. On admet ce théorème, qui peut s'interpréter grâce au schéma suivant :
7 .5. LES FORMULES DE MOIVRE ET D'EULER HORS PROGRAMME 7.5 Les formules de MOIVRE et d'euler hors programme.5. La formule de MOIVRE Théorème. Si ϑ R et n N, alors cosϑ + i sinϑ n = cosnϑ + i sinnϑ. Démonstration. La formule est une réécriture de l'égalité : e iϑ n = e inϑ..5. Les formules d'euler Théorème. Si ϑ R, alors cosϑ = eiϑ + e iϑ et sinϑ = eiϑ e iϑ. i Démonstration. Comme e iϑ = cosϑ + i sinϑ, alors : e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ = cosϑ i sinϑ, d'où : e iϑ + e iϑ = cosϑ, donc : cosϑ = eiϑ +e iϑ ; e iϑ e iϑ = i sinϑ, donc : sinϑ = eiϑ e iϑ i.
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