III ESPERANCE MATHEMATIQUE
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- Virgile Beauchamp
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1 /9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager III ESPEAE MATHEMATIQUE I.Défto et alul de l espérae mathématque d ue VA La défto la plus géérale de l espérae d u VA : (do à valeurs postves ou ulles est obteue e trodusat ue sute de parttos de : [ 0, x[ [ x, x[... [ x, x [ [ x, [ où x, 0,,.., et x L espérae de est alors défe omme la lmte de la somme des valeurs x podérées par les probabltés des tervalles x, [ auxquels ls apparteet ( 0 [ x E lm x P ([ x, x [ et o ote E ( xdp ( x, 0 (emarquer que P ([ x, x [ P( Pour ue VA : pouvat predre des valeurs égatves auss be que postves o trodut la déomposto max(,0 max(,0 et o déft par E ( xdp ( x xdp ( x s et e sot pas def smultaémet fs.. De ette défto o peut dédure, as partuler par as partuler des formules de alul. S la foto de répartto F présete des sauts (dsotutés aux pots, I (I déombrable d ampltude F ( F ( P( q, I et qu elle est dérvable alleurs au ses ordare ave des valeurs de dérvée o ulles o a : I q F ( x x dx (, I (où la somme otue se alule à l extéreur des pots I S la VA est de lo dsrète, o a l espérae devet : de dsotuté q et F ( x 0x, I q P( I S la VA admet ue desté de probablté I xp ( x 0 (l y a pas de saut das F et F devet alors ulle et l espérae s ért : ( s be que p ( ad s elle est de lo otue o a ( x p. La somme dsrète das ( Il est pas éessare de oaître parfatemet la défto géérale de l espérae doée s dessus pour applquer es formules et aluler des valeurs moyees
2 /9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager p ( x x dx (3 Voabulare et otato : o dt ourammet valeur moyee pour espérae mathématque et o ote m def. Iterprétato : s o réalse fos la même expéree aléatore pour obter réalsatos ( x,.., et que l o osdère la moyee arthmétque de es résultats, x, ette derère pour très grad tedra vers ue lmte égale à E ( (o le motre théorquemet sous ertaes hypothèses et o peut le ostater expérmetalemet. II.Espérae d ue VA foto d autres VA(formule de trasfert Sot ue VA défe à partr de VA,.., et d ue foto f : : f (,..,. La formule de trasfert permet de aluler E ( sas exhber préalablemet sa lo P. Elle s ért das so expresso la plus géérale E f ( x,.., x dp ( x,.., x. Les formules de alul à a utlser e pratque (,.. dépedet de la ature de la lo oote des S la lo oote P,.. admet ue desté p,.. (lo de type otu alors o aura :. E ( f ( x,.., x p ( x,.., x dx,.. S la lo oote est dsrète, ad s l exste u esemble déombrable de pots de ( x,.., x, I tel que : P( x,.., x q ave q alors E ( se alule par : q f ( x,.., x q f ( I Le as plus gééral d ue lo qu est de type otu de type dsret est smple à érre que pour auquel as o a : f ( q F ( x f ( x dx I, I I.. dx (ave les mêmes otatos que pour ( I Pour des termes omplémetares du type tégrale urvlge ou tégrale de surfae peuvet terver (o e doe pas de formule géérale orrespodate. III.Proprétés de l espérae mathématque utles das les aluls ourats (autres que la formule de trasfert. Postvté : s P ( 0 alors 0 Espérae d ue ostate K : s P( K, K te alors K Léarté : s, pour VA,..,, alors
3 3/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager Idépedae et fatorsato : soet VA,.., dépedates das l esemble et soet VA f(,.., f ( ostrutes à partr de fotos f :,,..,. L espérae de la VA emarque : les VA,.., f,.., f ( le sot auss. ( orollare :,.., ette proprété reste vrae s et les f de la forme est alors état dépedates, les VA dépedates d d,.., sot VA à valeurs respetvemet das,.., d d IV.Momets d ue VA, varae d ue VA.Défto : o appelle momet d ordre d ue VA l espérae E ( (s elle exste..défto : A ue VA de valeur moyee m o assoe la VA otée, appelée etrée que l o déft par m. O dra égalemet qu ue VA est etrée s sa valeur moyee est ulle, auquel as. O a touours m m m m 0 3.Défto : o appelle momet etré d ordre d ue VA la quatté E ( (s elle exste. 4.Proprété (égalté de Marov : 0 0 : P( 5.Défto : la varae d ue VA est so momet etré d ordre, VA( 6.Proprétés de la varae : E ( VA( m VA( VA(, réels S,.., dépedates et.. alors VA( VA(.. VA( De maère plus géérale VA(, qu devet VA( s E ( 0 (odto qu sera réalsée e partuler s les VA sot dépedates à. Iégalté de Beaymé Thebyhef (fare,remplaer par das Marov : VA( 0: P(
4 4/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager V.Foto aratérstque et aluls de momets V..Varables aléatores à valeurs omplexes.défto :ue VA sur (,, P à valeur das (orps des omplexes est ue applato : ( U ( V ( où ( U, V est ue pare de VA sur (,, P, haue à valeurs das. emarque : la défto se gééralse sas problème au as de VA dmesoelles à valeur das..lo de probablté. La lo de orrespod à la lo oote du ouple ( U, V. E otat z u v o érera : F ( z F U, V ( u, v,( u, v pu, V ( u, v,( u, v s (, V p ( z U est de lo oote otue e se gééralse pour ue VA à valeurs das par F z,.., z F ( u,.. u, v,.., v,( u,.. u p,.., U,.., U, V,.., V, v,.., v ( (,.., z z pu U V V u u v v u u v v,..,,..,,,.., (,..,,..,,(,..,,.., 3.Déftos de la moyee et de la varae : def ( U V, etrée : U V VA( U V VA( U VA( V def V..Foto aratérstque et momets.défto : La foto aratérstque d ue VA à valeurs das est u l applato : u ( u e osu su La foto aratérstque d ue VA -dmesoelle (,.., à valeurs das l applato : ( u,.., u ( u,.., u exp( u,..,,..,.proprété (relatos ave les momets Pour VA à valeurs das :.., S le momet E ( est déf alors o a (0 et la foto u aratérstque admet le développemet de Taylor à l ordre autour de l orge : ( u u ( u u 0.. S le momet exste pour tout o a le développemet f ( u 0.. u est O retedra que : les momets d ue VA peuvet do être alulés e dérvat la foto aratérstque où e la développat e sére de Taylor autour de l orge. 3.Foto aratérstque et trasformée de Fourer (TF S la VA est de lo otue o a
5 5/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager u ux : u ( u e e p ( x dx u e qu motre, e otat pˆ la TF de p, que ( u pˆ (, u et do, qu au hagemet de varable près, la foto aratérstque est la trasformée de Fourer de la desté de probablté. La trasformée de Fourer état ue beto ( la trasformato de Fourer verse permet de retrouver la foto d orge e motre qu l est possble de retrouver la desté de probablté à partr de la foto aratérstque et qu l y a do orrespodae buvoque etre ue lo de probablté otue et la foto aratérstque. O motre que e reste vra pour des los queloques, la foto aratérstque s avérat as être touours ue spéfato exate de la lo de probablté orrespodate. VI.oeffet de orrélato etre VA réelles.melleure approxmato affe d ue VA à partr d ue autre VA. Sot varables aléatores et. Supposos que l o observe ( x. Peut o alors aluler ue approxmato de la réalsato ( y au moye d ue foto y f (x. Plus présémet exste-l ue foto f : telle que, pour toute autre foto g : o at ( f ( ( g(, e qu revet à reherher : f arg m ( g( f L espérae ( g( est appelée erreur quadratque moyee (EQM etre la varable ble et so approxmato g (. Elle e peut être que postve ou ulle. Pour être ulle l y a éessté que P ( g( (o peut le motrer e utlsat l égalté de B.T.. ette erreur permet d évaluer l erreur d approxmato sur l esemble des as reotrés ( (, ( e teat ompte de leurs fréquees relatves d apparto. O peut otradre le problème e mposat à f d apparter à ue ertae lasse de fotos : f arg m ( g( f herhos la soluto du problème das le as où est la lasse des fotos affes. Il faut alors trouver ostates réelles a et b telles que ( a, b arg m ( A B. O a : ( A B ( m A Am B = ( E ( A, B A ( m Am B A ( m Am B (( A ( m Am B ette derère quatté est mmale pour B m Am et pour A qu mmse E toute rgueur à quelques détals églgeables près (oto mathématque de foto presque partout égales
6 6/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager A A qu est u trôme du seod degré e A. e trôme admet u seul mmum (e supposat E ( 0 e A. O a do : (, m m arg m ( A B ( A, B et s o développe les aluls, pour es valeurs optmales des oeffets A et B o trouve que la valeur mmale de ( A B est égale à : m ( A B (, où, def A, B VA( VA( Exere : vérfer la premère égalté -dessus.défto du oeffet de orrélato etre VA O appelle oeffet de orrélato, ( rappelos que m m etre les VA et la quatté E ( alul de, : Il sufft de aluler m, m,, et à partr d ue desté oote p, o alulera : p, ( x, y xydxdy das le as d ue lo dsrète à dmesos o alulera: x y P( x, y x, y 3.Proprétés du oeffet de orrélato S et sot dépedates alors 0 (atteto : réproque fausse,,, pour u erta 0, pour u erta 0 4.Approhe par le produt salare etre VA Itrodusos l esemble de toutes les VA d ordre (orrespodat à ue même expéree aléatore (,, P, ad elu de toutes les VA telles que E ( est be défe (ertaes los de probablté admettet pas de momet d ordre omme la lo de auhy par exemple qu e admet auu. Pour VA queloques, de et esemble o motre qu l est touours possble de aluler l espérae du produt. Du fat des proprétés de l espérae mathématque ette opérato a toutes les proprétés d u produt salare : symétre : léarté : ( a b 3 a 3 b 3 postvté : 0, aratère déf : ( 0 P( 0 A e produt salare peut être assoé ue orme : V
7 7/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager Ue proprété de tout produt salare ( V, V est l égalté de Shwartz : ( V, V V V (ave égalté ss réel 0 : V V Ave V, V, V V et e applquat l égalté o arrve à : [ ] [ ] e qu orrespod à, e teat ompte des déftos de la varae et du oeffet de orrélato. 4.etour sur le problème d approxmato L erreur d approxmato das le problème trodut plus haut valat m ( A B ( A, B, O vot do que ette erreur est omprse etre ue valeur mmale ulle quad le oeffet de orrélato attet ue valeur maxmale e valeur absolue égale à (et o sat alors que ela orrespod à l exstee d ue relato léare exate etre les varables etrées, du mos ave probablté et ue valeur maxmale égale à VA( lorsque le oeffet est ul. Das e derer as la valeur optmale de A est ulle et o peut dre que s les varables sot déorrélées (ad, 0 alors la melleure approxmato affe de se ramèe à la valeur ostate m : l e sert à re d utlser ( pour évaluer (. oluso :Il y a ue orrespodae etre la valeur plus ou mos élevée de, et la possblté de prédre léaremet à partr de.
8 8/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager VII Espéraes odtoelles..défto de l espérae odtoelle. Sot u ouple (, de VA, haue à valeurs das. La défto la plus drete de l espérae de s x est : E / x ydp ( y dy ( / x y Autremet dt / x est la moyee pour la lo odtoelle P / x. E toute rgueur ette lo est défe que P presque sûremet (ad pour u esemble de valeurs de x oteat u boréle A tel que P ( A. Pour haue de es valeurs de x la lo odtoelle P / x peut être dsrète, otue ou mxte. La varable aléatore odtoate peut être à valeurs das où das..formules pratques de alul. Le alul de l espérae odtoelle s effetue suvat les mêmes méthodes que pour ue espérae ordare (o odtoelle. Les formules qu suvet permettet de aluler l espérae odtoelle de f ( odtoellemet à x. Elles orrespodet à la formule de trasfert das le as odtoel. Pour obter l espérae odtoelle de odtoellemet à x l sufft d y remplaer f (. par l applato detté. Les V.A. M et peuvet être à valeurs respetvemet das et, M et. O osdère f de la forme f :. S f (. est l applato detté o osdère M. S P / x admet ue desté p / x (lo de type otu alors : f ( / x f ( y p / x( y dy M S la lo odtoelle est dsrète, ad s l exste u esemble déombrable de pots de M, y, I tel que P / x( y P ( y / x alors f ( / x se alule par : J J ( y P / x J y f ( f ( y P ( y / x S est à valeurs das et que la lo odtoelle est mxte ave ue foto de répartto odtoelle F / x : f ( / x f ( [ F / x( F / x( ] f ( y F / x( x dy I J où les sot les pots de dsotuté de F / x., I 3.Proprétés de l espérae odtoelle. Postvté : P ( 0 / x 0 et e P ps (ad presque sûremet das la lo P Léarté : a b / x a / x b / x,a et b tes ( P ps
9 9/9 ésumé de ours e alul des probabltés (JJ bellager Formule de déodtoemet. ette formule est fodametale das les applatos. Elle utlse le fat que l applato x h( x / x est mesurable (o le motre et que h h( orrespod do à ue varable aléatore dot o peut herher à aluler l espérae. Elle s ért : x h( h( dp ( x / x dp ( x x où (. dp ( x se alule e utlsat les formules approprées suvat que la lo de est absolumet otue, dsrète ou eore mxte. emarque : l utlsato de la varable aléatore auxlare et la haîe de aluls odtoemet + déodtoemet pour aluler sot reommadés lorsque le alul de / x s avère fale et aturel, vore évdet, das le otexte de l étude (gééralemet pare que la lo odtoelle est elle même évdete. Le passage par es deux étapes de alul peut s avérer alors éoomque par rapport à u alul plus dret de das la lo P s ette derère est pas oue a pror et qu elle est dffle à aluler. x
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