Réduction. Sous-espaces stables. [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1

Transcription

1 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 Réduction Sous-espaces stables Exercice 1 [ ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. On suppose que u et v commutent, montrer que Im u et ker u sont stables par v. Que dire de la réciproque? Exercice 5 [ ] [Correction] Soient u L(E) (avec dim E < + ) nilpotent et p N tel que u p = 0. a) Établir que pour tout k {1,..., p}, il existe un sous-espace vectoriel F k de E tel que ker u k = ker u k 1 F k b) Établir que E = F 1 F p. c) Observer que la matrice de u dans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls. Exercice 2 [ ] [Correction] Montrer qu un endomorphisme f d un K-espace vectoriel E commute avec un projecteur p si, et seulement si, les espaces Im p et ker p sont stables par f. Exercice 3 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E tels que f g = g f. a) Montrer que ker f et Im f sont stables par g i.e. g(ker f) ker f et g(im f) Im f b) En déduire que, si p est un projecteur de E, on a : p et f commutent si, et seulement si, Im p et ker p stables par f. Exercice 4 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. On pose N = ker u p et I = Im u p p=0 p=0 a) Montrer qu il existe n N tel que N = ker u n et I = Im u n. b) Établir que N et I sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par u et tels que les restrictions de u à N et I soient respectivement nilpotente et bijective. c) Réciproquement on suppose E = F G avec F et G sous-espaces vectoriels stables par u tels que les restrictions de u à F et G soient respectivement nilpotente et bijective. Établir F = N et G = I. Exercice 6 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n non nulle et f L(E) vérifiant f 2 = Id E. a) Soit a E non nul. Montrer que la famille (a, f(a)) est libre. On pose F (a) = Vect (a, f(a)). b) Montrer qu il existe des vecteurs de E a 1,..., a p non nuls tels que E = F (a 1 ) F (a p ) c) En déduire que la dimension de E est paire et justifier l existence d une base de E dans laquelle la matrice de f est simple. Exercice 7 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant u 3 + u = 0 a) Montrer que l espace Im u est stable par u. b) Pour x Im u, calculer u 2 (x) c) Soit v l endomorphisme induit par u sur Im u. Montrer que v est un isomorphisme. d) En déduire que le rang de l endomorphisme u est un entier pair. Exercice 8 [ ] [Correction] Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l endomorphisme de dérivation dans K [X].

2 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 2 Exercice 9 [ ] [Correction] [Endomorphisme cyclique] Soient u endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie n 2. On suppose que E est le seul sous-espace vectoriel non nul stable par u. a) L endomorphisme u possède-t-il des valeurs propres? b) Montrer que pour tout x E \ {0 E }, la famille (x, u(x),..., u n 1 (x)) est une base de E. Quelle est la forme de la matrice de u dans cette base? c) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix de x. Exercice 10 [ ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un K-espace vectoriel de dimension n N. On suppose u v = v u et v nilpotent. On désire montrer det(u + v) = det u en raisonnant par récurrence sur la dimension n 1. a) Traiter le cas n = 1 et le cas v = 0. b) Pour n 2 et v 0, former les matrices de u et v dans une base adaptée à Im v. c) Conclure en appliquant l hypothèse de récurrence aux restrictions de u et v au départ de Im v. Exercice 11 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u L(E) nilpotent. Soit S un sous-espace vectoriel de E stable par u et tel que Montrer que S = E. E = S + Im u Exercice 12 [ ] [Correction] Soit E = E 1 E 2 un K-espace vectoriel. On considère Γ = {u L(E) ker u = E 1 et Im u = E 2 } a) Montrer, pour tout u de Γ que ũ = u E2 est un automorphisme de E 2. Soit φ: Γ GL(E 2 ) définie par φ(u) = ũ. b) Montrer que est une loi interne dans Γ. c) Montrer que φ est un morphisme injectif de (Γ, ) dans (GL(E 2 ), ). d) Montrer que φ est surjectif. e) En déduire que (Γ, ) est un groupe. Quel est son élément neutre? Exercice 13 [ ] [Correction] On note E = C(R, R) et on pose, pour toute f E et tout x R, T f(x) = f(x) + x a) L opérateur T est-il un automorphisme de E? 0 f(t) dt b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel de E de dimension finie impaire et stable par T? Exercice 14 [ ] [Correction] Une matrice A = (a i,j ) M n (R) est dite magique s il existe un réel s vérifiant n n i 1 ; n, a i,j = s et j 1 ; n, a i,j = s j=1 On note U la colonne U = t ( 1 1 ) M n,1 (R). a) Montrer que la matrice A est magique si, et seulement si, il existe des réels λ et µ vérifiant AU = λu et t UA = µ t U Que dire alors des réels λ et µ? b) On introduit les espaces D = Vect(U) et H = {X M n,1 (R) t UX = 0}. Pourquoi peut-on affirmer que ces espaces sont supplémentaires? c) Montrer qu une matrice A de M n (R) est magique si, et seulement si, elle laisse stable les espaces D et H. d) En déduire que la dimension de l espace de matrices magiques de M n (R). Matrices semblables Exercice 15 [ ] [Correction] Soit A M 3 (R) vérifiant A 2 = 0 et A 0. i=1

3 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 3 Établir que A est semblable à la matrice B = Exercice 16 [ ] [Correction] Soit A M n (K) vérifiant A n 1 O n et A n = O n Établir que A est semblable à la matrice 0 1 (0) B =... 1 (0) 0 Exercice 17 [ ] [Correction] Soit A M n (K) une matrice non nulle telle que les espaces Im A et ker A soient supplémentaires. Montrer que la matrice A est semblable à une matrice de la forme ( ) A 0 avec A GL 0 0 r (K) Exercice 18 [ ] [Correction] Soit A M n (K) une matrice telle que A 2 = 0 et de rang r > 0. Montrer que A est semblable à ( ) 0 Ir B =. 0 0 Exercice 19 [ ] [Correction] Soit A M 3 (R) non nulle vérifiant A 3 + A = O 3 Montrer que A est semblable à la matrice Exercice 20 [ ] [Correction] Soit M M 4 (R) telle que M 2 + I = 0. Montrer que M est semblable à la matrice Exercice 21 [ ] [Correction] Soit A M n (R) de trace nulle. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme Exercice 22 [ ] [Correction] Soit A M n (K) une matrice de rang 1. a) Montrer que A est semblable à une matrice dont les n 1 premières colonnes sont nulles. b) En déduire A 2 = tr(a).a et det(i n + A) = 1 + tr A Exercice 23 [ ] [Correction] Quelles sont les matrices carrées réelles d ordre n qui commutent avec diag(1, 2,..., n) et lui sont semblables? Exercice 24 [ ] [Correction] Soient A et B dans M n (R) semblables sur C. Montrer que A et B sont semblables sur R. Exercice 25 [ ] [Correction] Soit f : M n (C) C non constante telle que : (A, B) M n (C) 2, f(ab) = f(a)f(b) Pour A M n (C), prouver l équivalence : A inversible f(a) 0

4 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 4 Exercice 26 [ ] [Correction] Soit A M 3 (R) non nulle vérifiant A 2 = O 3. Déterminer la dimension de l espace C = {M M 3 (R) AM MA = O 3 } Exercice 27 [ ] [Correction] Les matrices suivantes sont-elles semblables? A = et B = Exercice 28 [ ] [Correction] Soit G une partie de M n (R) non réduite à la matrice nulle. On suppose que (G, ) est un groupe. Montrer qu il existe r N tel que le groupe (G, ) soit isomorphe à un sous-groupe de (GL r (R), ). Etude théorique des éléments propres d un endomorphisme Exercice 29 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer 0 / Sp(f) f surjectif Exercice 30 [ ] [Correction] Soient f un endomorphisme d un K-espace vectoriel et n N. On suppose que 0 Sp(f n ). Montrer que 0 Sp(f). Exercice 31 [ ] [Correction] Soit u un automorphisme d un K-espace vectoriel E. Établir Sp u 1 = { λ 1 λ Sp u } Exercice 32 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel, u L(E), a GL(E) et v = a u a 1. Comparer Sp u et Sp v d une part, E λ (u) et E λ (v) d autre part. Exercice 33 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un K-espace vectoriel E tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre. Montrer que u est une homothétie vectorielle. Exercice 34 [ ] [Correction] Soient u, v deux endomorphismes d un espace vectoriel. a) Si λ 0 est valeur propre de u v, montrer qu il l est aussi de v u. b) Pour P E = R [X], on pose u(p ) = P et v(p ) = X 0 P (t) dt ce qui définit des endomorphismes de E. Déterminer ker(u v) et ker(v u) c) Montrer que la propriété de la première question reste valable pour λ = 0 si l espace E est de dimension finie. Exercice 35 [ ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un R-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que si λ est valeur propre de u v alors λ est aussi valeur propre de v u. Crochet de Lie Exercice 36 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R) vérifiant AB BA = A. a) Calculer A k B BA k pour k N. b) À quelle condition la matrice A k est-elle vecteur propre de l endomorphisme M MB BM de M n (R)? c) En déduire que la matrice A est nilpotente.

5 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 5 Exercice 37 [ ] [Correction] Soient f et g deux endomorphismes d un C-espace vectoriel E de dimension finie n 1 tels que f g g f = f a) Montrer que f est nilpotent. b) On suppose f n 1 0. Montrer qu il existe une base e de E et λ C tels que : 0 1 (0) Mat e f =... 1 (0) 0 et Mat e g = diag(λ, λ + 1,..., λ + n 1) Exercice 38 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, u, v dans L(E) et a, b dans C. On suppose u v v u = au + bv a) On étudie le cas a = b = 0. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. b) On étudie le cas a 0, b = 0. Montrer que u est non inversible. Calculer u n v v u n et montrer que u est nilpotent. Conclure que u et v ont un vecteur propre en commun. c) On étudie le cas a, b 0. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. a) On suppose [u ; v] = 0. Montrer que u et v sont cotrigonalisables. b) On suppose [u ; v] = λu avec λ C. Montrer que u est nilpotent et que u et v sont cotrigonalisables. c) On suppose l existence de complexes α et β tels que [u ; v] = αu + βv. Montrer que u et v sont cotrigonalisables. Exercice 41 [ ] [Correction] Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E tels que f g g f = I. a) Montrer que, pour tout entier n 1, on a f n g g f n = nf n 1. b) En dimension finie non nulle, montrer qu il n existe pas deux endomorphismes f et g tels que f g g f = I. c) Montrer que dans E = K [X] les endomorphismes f et g définis par f(p ) = P et g(p ) = XP conviennent. Exercice 42 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E vérifiant f g g f = f a) Calculer f n g g f n b) Soit P un polynôme. Montrer que si P (f) = 0 alors f P (f) = 0. c) En déduire que f est un endomorphisme nilpotent. Exercice 39 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, (a, b) C 2, f et g dans L(E) tels que f g g f = af + bg Montrer que f et g ont un vecteur propre commun. Exercice 40 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient u et v des endomorphismes de E ; on pose [u ; v] = uv vu. Exercice 43 [ ] [Correction] Soit A M n (C). On considère l endomorphisme T de M n (C) défini par T (M) = AM MA a) On suppose que la matrice A est nilpotente. Montrer que l endomorphisme T est aussi nilpotent. b) Réciproque?

6 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 6 Exercice 44 [ ] [Correction] Soient A, B, C M n (R) vérifiant AB BA = C On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B. a) On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle. b) On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau de que la matrice C est nulle. Exercice 45 [ ] [Correction] On fixe A M p (R) et on considère : M M p (R) AM MA. a) Prouver que est un endomorphisme de M p (R) et que : n N, (M, N) M p (R) 2, n (MN) = n k=0 b) On suppose que B = (H) commute avec A. Montrer : Vérifier n (H n ) = n!b n. 2 (H) = 0 et n+1 (H n ) = 0 ( ) n k (M) n k (N) k c) Soit. une norme sur M p (R). Montrer que B n 1/n n + 0. d) En déduire que la matrice B est nilpotente. Exercice 46 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, u et v deux endomorphismes de E. a) On suppose dans cette question et dans la suivante que u v v u = u. Montrer que ker(u) est stable par v. b) Montrer que ker(u) {0}. Indice : On pourra raisonner par l absurde et utiliser la trace. En déduire que u et v ont un vecteur propre commun. c) On suppose maintenant que u v v u Vect (u, v) Montrer qu il existe une base de E dans laquelle les matrices de u et v sont triangulaires supérieures. Eléments propres d un endomorphisme Exercice 47 [ ] [Correction] Soient E = C (R, R) et D l endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f. Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés. Exercice 48 [ ] [Correction] Soient E = C N et f : E E l application qui transforme une suite u = (u n ) en v = (v n ) définie par v 0 = u 0 et n N, v n = u n + u n 1 2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Exercice 49 [ ] [Correction] Soient E l espace des suites réelles convergeant vers 0 et : E E l endomorphisme défini par Déterminer les valeurs propres de. u E, n N, (u)(n) = u(n + 1) u(n) Exercice 50 [ ] [Correction] Soient E = C 0 (R, R) et I l endomorphisme de E qui à f E associe sa primitive qui s annule en 0. Déterminer les valeurs propres de I. Exercice 51 [ ] [Correction] Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; + [ vers R convergeant en +. Soit T l endomorphisme de E donné par x [0 ; + [, T (f)(x) = f(x + 1) Déterminer les valeurs propres de T et les vecteurs propres associés.

7 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 7 Exercice 52 [ ] [Correction] Soit E le sous-espace vectoriel des fonctions de C([0 ; + [R) s annulant en 0. Pour tout f E, on définit ϕ(f): [0 ; + [ R par ϕ(f)(0) = 0 et ϕ(f)(x) = 1 x x 0 f(t) dt pour x > 0 a) Montrer que ϕ(f) E puis que ϕ est un endomorphisme de E. b) Déterminer les éléments propres de ϕ. Exercice 53 [ ] [Correction] Soit E l espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; + [ vers R. Pour tout f E, on définit T (f): ]0 ; + [ R par T (f)(x) = 1 x x 0 f(t) dt pour x > 0 a) Montrer que la fonction T (f) se prolonge par continuité en 0 et qu alors T est un endomorphisme de E. b) Déterminer les éléments propres de T. Exercice 54 [ ] [Correction] Soit E l espace des fonctions f de classe C 1 de [0 ; + [ vers R vérifiant f(0) = 0. Pour un élément f de E on pose T (f) la fonction définie par T (f)(x) = x 0 f(t) t Montrer que T est un endomorphisme de E et trouver ses valeurs propres. Exercice 55 [ ] [Correction] Soit E = C([0 ; 1], R). Si f E on pose T (f): x [0 ; 1] 1 a) Vérifier que T est un endomorphisme de E. 0 dt min(x, t)f(t) dt b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T. Exercice 56 [ ] [Correction] a) Montrer que Φ, qui à P associe est un endomorphisme de R 4 [X]. (X 2 1)P (X) (4X + 1)P (X) b) Résoudre l équation différentielle ( 5 λ y = 2(x 1) λ ) y 2(x + 1) c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ. Exercice 57 [ ] [Correction] Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de l endomorphisme ϕ de R n [X] défini par ϕ: P (X 2 1)P nxp Exercice 58 [ ] [Correction] Soit a R et n 2. a) Montrer que φ(p )(X) = (X a) (P (X) P (a)) 2(P (X) P (a)) définit un endomorphisme de R n [X]. b) À l aide de la formule de Taylor, déterminer l image et le noyau de φ. c) Trouver ses éléments propres. L endomorphisme est-il diagonalisable? Exercice 59 [ ] [Correction] a) Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel de dimension finie. Si a est valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f, a) est le sous-espace propre attaché, montrer 1 dim E(f, a) m b) Soit A = Déterminer simplement les valeurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable?

8 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 8 Polynômes caractéristiques Exercice 60 [ ] [Correction] a) Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. b) Réciproque? Exercice 61 [ ] [Correction] Soit F un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme u d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Établir que le polynôme caractéristique de l endomorphisme induit par u sur F divise le polynôme caractéristique de u. Exercice 62 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C). On désire établir l égalité des polynômes caractéristiques a) Établir l égalité quand A GL n (C). χ AB = χ BA b) Pour A / GL n (C), justifier que pour p N assez grand A + 1 p I n GL n (C). En déduire que l égalité est encore vraie pour A non inversible. Exercice 63 [ ] [Correction] Soient A M n,p (K), B M p,n (K) et λ K. En multipliant à droite et à gauche la matrice ( ) λin A M = M B I n+p (K) p par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établir λ p χ AB (λ) = λ n χ BA (λ) Exercice 64 [ ] [Correction] Soit (A, B) M p,q (R) M q,p (R). Montrer que Indice : Commencer par le cas où X q χ AB (X) = X p χ BA (X) A = ( ) Ir Exercice 65 [ ] [Correction] Soient A, B M n (K) et p N. Établir χ (AB) p = χ (BA) p Exercice 66 [ ] [Correction] Soit A M n (R) inversible de polynôme caractéristique χ A. Établir que pour tout x 0, χ A 1(x) = Exercice 67 [ ] [Correction] Soit A M n (C). Montrer Exercice 68 [ ] [Correction] xn χ A (0) χ A(1/x) χ A Ā R [X] a) Si P Z [X] est unitaire de degré n, existe-t-il une matrice A M n (Z) de polynôme caractéristique P (X)? b) Soient (λ 1,..., λ n ) C n et le polynôme P = n (X λ i ) On suppose P Z [X]. Montrer que pour tout q N le polynôme appartient encore à Z [X]. P q = i=1 n (X λ q i ) i=1 c) Soit P dans Z [X] unitaire dont les racines complexes sont de modules 1. Montrer que les racines non nulles de P sont des racines de l unité. Exercice 69 [ ] [Correction] Soient n 2 et f L(C n ) endomorphisme de rang 2. Exprimer le polynôme caractéristique de f en fonction de tr f et tr f 2.

9 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 9 Exercice 70 [ ] [Correction] Soient A et B dans M n (K)(K = R ou C). a) Comparer Sp B et Sp t B. b) Soit C M n (K). Montrer que s il existe λ pour lequel AC = λc, alors Im C ker(a λi n ). c) Soit λ une valeur propre commune à A et B. Montrer qu il existe C M n (K), C 0, telle que AC = CB = λc. d) On suppose l existence de C M n (K) avec rg C = r et AC = CB. Montrer que le PGCD des polynômes caractéristiques de A et B est de degré r. e) Étudier la réciproque de d). Exercice 71 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R). On suppose qu il existe M dans M n (R) de rang r tel que AM = MB Montrer que deg(χ A χ B ) r. Soient A et B dans M n (K)(K = R ou C). Calcul de polynômes caractéristiques Exercice 72 [ ] [Correction] Calculer le polynôme caractéristique de la matrice a 0 a 1 a n 1 Exercice 73 [ ] [Correction] Soient A n = M n(c) et P n (x) = det(xi n A n ) a) Montrer P n (x) = xp n 1 (x) P n 2 (x) Calculer P 1 (x) et P 2 (x). b) Pour tout x ] 2 ; 2[, on pose x = 2 cos α avec α ]0 ; π[. Montrer que P n (x) = sin((n + 1)α) sin α c) En déduire que P n (x) admet n racines puis que A n est diagonalisable. Exercice 74 [ ] [Correction] Soient a 1,..., a n C, tous distincts et P (x) = det(a + xi n ) avec 0 a 2 a n A = a an a 1 a n 1 0 a) Calculer P (a i ) et décomposer en éléments simples la fraction b) En déduire det A. P (x) n i=1 (x a i) Exercice 75 [ ] [Correction] Soient a 1,..., a n C deux à deux distincts. On pose 0 a 2... a n. P (x) = det(a + xi n ) avec A = a an a 1 a n 1 0 a) Calculer P (a i ). b) Justifier que P est un polynôme unitaire de degré n. c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle d) En déduire le déterminant de A + I n. P (X) n i=1 (X a i)

10 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 10 Applications du polynôme caractéristique Exercice 76 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R). Montrer que AB et BA ont même valeurs propres. Exercice 77 [ ] [Correction] Soit A M n (R) telle que Sp A R +. Montrer det A 0 Exercice 81 [ ] [Correction] a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins un vecteur propre. b) Soient u, v deux endomorphismes d un C-espace vectoriel E de dimension finie non nulle. On suppose u v = v u Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. Exercice 78 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C). Établir χ A (B) GL n (C) Sp A Sp B = Exercice 82 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant AB = BA. Montrer que A et B ont un vecteur propre en commun. Exercice 79 [ ] [Correction] a) Soient B, C M n (C) semblables Pour x C, montrer que les matrices xi n B et xi n C sont semblables. En est-il de même de (xi n B) 1 et (xi n C) 1? b) Soit A M n (C). On note P A (x) = det(xi n A) et P A le polynôme dérivé de P A. On suppose que x n est pas valeur propre de A, montrer tr (xi n A) 1 = P A (x) P A (x) Existence de valeurs propres dans un espace complexe Exercice 80 [ ] [Correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. a) Justifier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre b) Observer que l endomorphisme P (X) (X 1)P (X) de C [X] n a pas de valeurs propres. Exercice 83 [ ] [Correction] Montrer que A, B M n (C) ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existe U M n (C) non nulle vérifiant UA = BU. Exercice 84 [ ] [Correction] K désigne R ou C. On dit qu une matrice A M n (K) vérifie la propriété (P ) si M M n (K), λ K, det(m + λa) 0 a) Rappeler pourquoi une matrice de M n (C) admet au moins une valeur propre. b) Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Calculer det(i n + λt ). En déduire que T vérifie la propriété (P ) c) Déterminer le rang de la matrice ( ) 0 Ir T r = M 0 0 n (K) d) Soient A vérifiant (P ) et B une matrice de même rang que A ; montrer et en déduire que B vérifie (P ). (P, Q) GL n (K) 2, B = P AQ

11 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 11 e) Conclure que, dans M n (C), les matrices non inversibles vérifient (P ) et que ce sont les seules. f) Que dire des cette propriété dans le cas M n (R) (on distinguera n pair et n impair)? a) Montrer que 1 Sp(A). b) Justifier que si λ C est valeur propre de A alors λ 1. c) Observer que si λ C est valeur propre de A et vérifie λ = 1 alors λ est une racine de l unité. Exercice 85 [ ] [Correction] Soient u, v deux endomorphismes d un C-espace vectoriel E de dimension finie non nulle vérifiant u v = v u. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun. Eléments propres d une matrice Exercice 86 [ ] [Correction] Soit A M n (K) vérifiant rg(a) = 1. Montrer qu il existe λ K tel que A 2 = λa et que ce scalaire λ est valeur propre de A. Exercice 87 [ ] [Correction] Pour A M n (R), on pose Montrer que A = sup 1 i n j=1 n a i,j Sp(A) [ A ; A ] Exercice 88 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) M n (R) vérifiant pour tout i, j {1,..., n} a i,j > 0 et pour tout i {1,..., n}, n j=1 a i,j = 1. a) Montrer que 1 Sp(A). b) Justifier que si λ C est valeur propre de A alors λ 1. c) Observer que si λ C est valeur propre de A et vérifie λ = 1 alors λ = 1. Exercice 89 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) M n (R) vérifiant pour tout i, j {1,..., n} a i,j R + et pour tout i {1,..., n}, n j=1 a i,j = 1. Exercice 90 [ ] [Correction] Soit la matrice A M n (R) donnée par A = (min(i, j)) 1 i,j n. a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unité L et une matrice triangulaire supérieure U telle que A = LU. b) Exprimer A 1 à l aide de c) Montrer que Sp A 1 [0 ; 4]. 0 1 (0) N =... 1 (0) 0 Exercice 91 [ ] [Correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice de M n (R) suivante (0) M = (0) 1 Exercice 92 [ ] [Correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice M n(r) 1 1 1

12 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 12 Exercice 93 [ ] [Correction] Soit n N, n 2. Déterminer les valeurs propres de la comatrice de A M n (C). On commencera par étudier le cas où la matrice A est inversible. Exercice 94 [ ] [Correction] Soient n 3 et 0 (0) 1. A = M n(r) 1 (0) 0 a) Calculer les rangs de A et A 2. b) Soit f l endomorphisme de R n canoniquement représenté par la matrice A. Montrer ker f Im f = R n c) En déduire que la matrice A est semblable à une matrice de la forme 0 (0)... 0 avec B GL 2(R) (0) B d) Calculer tr B et tr B 2. En déduire les valeurs propres de B puis celles de A. e) La matrice A est-elle diagonalisable? Exercice 95 [ ] [Correction] Soit (a 0,..., a p 1 ) C p. On suppose que 1 est racine simple de P (X) = X p ( a p 1 X p a 1 X + a 0 ) On suppose la convergence d une suite (u n ) n N déterminée par ses p premiers termes u 0,..., u p 1 et la relation de récurrence Déterminer la limite de (u n ) n N. u n+p = a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a 0 u n Exercice 96 [ ] [Correction] Expliquer brièvement pourquoi t Com(A)A = det(a)i n On suppose que A admet n valeurs propres distinctes ; que vaut det(a)? Que représente un vecteur propre de A pour t Com(A)? On suppose de plus que A n est pas inversible. Déterminer dim ker t Com A Prouver que t Com A n admet que deux valeurs propres, les expliciter. Exercice 97 [ ] [Correction] Soient 0 1 (0). A n = M n(c) (0) 1 0 et χ n son polynôme caractéristique. a) Calculer pour tout α ]0 ; π[. u n = χ n (2 cos α) b) Déterminer les valeurs propres de A n. Quelle est la dimension des sous-espaces propres de A n? c) Déterminer les sous-espaces propres de A n Indice : on pourra, pour λ valeur propre de A n, chercher X = x 1. x n M n,1 (C) vérifiant AX = λx et poser x 0 = x n+1 = 0. Eléments propres d un endomorphisme matriciel Exercice 98 [ ] [Correction] Soient n N et E = M n (R). Pour A E, on introduit u: E E défini par u(m) = AM

13 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 13 Montrer que A et u ont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces propres de u en fonction de ceux de A. b) On suppose K = R. La matrice A est-elle diagonalisable? c) Mêmes questions avec B. Exercice 99 [ ] [Correction] Soient A M n (C) et Φ A l endomorphisme de M n (C) définie par Φ A (M) = AM. a) Montrer que les valeurs propres de Φ A sont les valeurs propres de A. b) Déterminer les valeurs propres de Ψ A : M MA. Exercice 100 [ ] [Correction] On considère les matrices réelles ( ) ( ) 1 0 a b A = et M = 0 2 c d a) Calculer AM MA. b) Déterminer les éléments propres de l endomorphisme M AM M A. Diagonalisabilité d une matrice par similitude Exercice 101 [ ] [Correction] Montrer que si A est diagonalisable alors t A l est aussi. Exercice 102 [ ] [Correction] Soient A GL n (K) et B M n (K). On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable. Diagonalisabilité d une matrice par l étude des éléments propres Exercice 103 [ ] [Correction] Soient α R et ( ) ( ) cos α sin α cos α sin α A = M sin α cos α 2 (K) et B = M sin α cos α 2 (K) a) On suppose K = C. La matrice A est-elle diagonalisable? Exercice 104 [ ] [Correction] Soient a, b, c R. La matrice 0 b c M = a 0 c M 3 (R) a b 0 est-elle diagonalisable? Exercice 105 [ ] [Correction] Soient a, b R tels que a b et a b a b b a b a A = a b a b b a b a M 2n (R) (avec n 2) a) Calculer le rang de A. En déduire que 0 est valeur propre de A et déterminer la dimension du sous-espace propre associé. b) Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que A est diagonalisable. Exercice 106 [ ] [Correction] Monter que la matrice suivante est diagonalisable 0 1 (0). n.. 2 A =. n n (0) 1 0 M n+1 (C) (indice : on pourra interpréter A comme la matrice d un endomorphisme de C n [X])

14 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 14 Exercice 107 [ ] [Correction] a) Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice en fonction du polynôme M = a 0 a 1 a n 1 P (X) = X n (a n 1 X n a 1 X + a 0 ) b) Soit λ une racine de P. Déterminer le sous-espace propre de M associé à la valeur propre λ. c) À quelle condition la matrice M est-elle diagonalisable? Exercice 108 [ ] [Correction] Considérons la matrice A suivante : A = 1 k M 4(C) a) On suppose k réel, la matrice A est-elle diagonalisable dans M 4 (R)? (sans calculs) ; b) Déterminer le rang de A. c) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique de A est de la forme X 2 (X u 1 )(X u 2 ) avec u 1, u 2 appartenant à C et vérifiant u 1 + u 2 = k et u u 2 2 = k d) Étudier les éléments propres dans le cas où u 1 = u 2. e) En déduire les valeurs de k pour que A soit diagonalisable dans M 4 (C). Exercice 109 [ ] [Correction] Pour quelle(s) valeurs de x R, la matrice suivante n est-elle pas diagonalisable? 2 x 5 + x x A = x 2 x x Exercice 110 [ ] [Correction] Soient a, b, c, d quatre nombres complexes avec a 2 + b 2 0 et a b c d A = b a d c c d a b d c b a a) Calculer A t A, det A et montrer que rg(a) = 2 ou 4. b) On pose α 2 = b 2 + c 2 + d 2 supposé non nul. Montrer que A est diagonalisable. Exercice 111 [ ] [Correction] Soit (a 1,..., a n 1 ) C n 1. a) Quel est le rang de A M n (C) définie par 0 0 a 1 A = a n 1? a 1 a n 1 0 b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres? c) A est-elle diagonalisable? Exercice 112 [ ] [Correction] ( ) O In Soient A M n (K) et B =. A O a) Étudier les valeurs propres de B en fonction de celles de A. b) On suppose A diagonalisable. B est-elle diagonalisable? Exercice 113 [ ] [Correction] Soient A 1 M p (K), A 2 M q (K) et A M p+q (K) définie par ( ) A1 O A = O A 2 Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A 1 et A 2 le sont.

15 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 15 Diagonalisabilité des matrices de rang 1 Exercice 114 [ ] [Correction] Soit A M n (C) telle que rg A = 1. Établir A diagonalisable si, et seulement si, tr A 0 Exercice 115 [ ] [Correction] Soient X, Y M n,1 (K) non nuls. À quelle condition la matrice X t Y est-elle diagonalisable? Exercice 116 [ ] [Correction] Soient K un sous-corps de C et 1 1 J =.. M n (K) 1 1 Montrer que J est diagonalisable. Exercice 117 [ ] [Correction] Soit (a 1,..., a n ) C n. La matrice (a i a j ) 1 i,j n est-elle diagonalisable? Exercice 118 [ ] [Correction] Parmi les matrices élémentaires E i,j de M n (K), lesquelles sont diagonalisables? Exercice 119 [ ] [Correction] Soient (a 1,..., a n ) (R +) n et a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 N =... a n a n a n Calculer N 2, la matrice N est-elle diagonalisable? Montrer que M = 2N + I n est inversible et calculer M 1. Diagonalisation d une matrice Exercice 120 [ ] [Correction] On pose a 2 ab ab b 2 M(a, b) = ab a 2 b 2 ab ab b 2 a 2 ab b 2 ab ab a 2 pour tous a, b réels. a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables? b) Étudier et représenter graphiquement l ensemble des (a, b) R 2 tel que M(a, b) n tend vers 0 quand n tend vers. Exercice 121 [ ] [Correction] Soient a, b deux réels et les matrices a b b b b a. A = b a b et B =. a b b. b b a a b b Réduire ces deux matrices. Exercice 122 [ ] [Correction] Diagonaliser les matrices de M n (R) et Exercice 123 [ ] [Correction] Soit 0 (b) M n =... M n (C) (a)

16 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 16 À quelle condition la matrice M n est-elle diagonalisable? Déterminer alors une base de vecteurs propres Calcul de puissances d une matrice Exercice 124 [ ] [Correction] Calculer A n pour A = Exercice 125 [ ] [Correction] Soit ( ) cos θ 2 sin θ A = 1 2 sin θ cos θ a) Déterminer deux réels α, β tel que A 2 = αa + βi 2. b) Calculer A n pour n 1. Exercice 126 [ ] [Correction] Soit 0 1 M =... M n (R) avec n a) Montrer que M est diagonalisable. b) Déterminer le polynôme minimal de M. c) Calculer M p pour p N. Applications diverses de la diagonalisabilité b) Combien y a-t-il de matrice M telle que M 2 = A dans M n (C)? dans M n (R)? Exercice 128 [ ] [Correction] Soit ( ) 5 3 A = M (R) a) Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passage P b) Soit M M 2 (R) une matrice telle que M 2 + M = A. Justifier que la matrice P 1 MP est diagonale. c) Déterminer les solutions de l équation M 2 + M = A. Exercice 129 [ ] [Correction] Soit pour n 2 la matrice 0 1 (0). J = a) Montrer que la matrice J est diagonalisable dans M n (C) b) Application : exprimer a 0 a 1 a n 1. a..... n a1 a 1 a n 1 a 0 Exercice 127 [ ] [Correction] a) Déterminer les valeurs propres de A = Exercice 130 [ ] [Correction] Les matrices et sont-elles semblables?

17 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 17 Exercice 131 [ ] [Correction] Soit G un sous-groupe de (GL n (R), ) vérifiant a) Montrer que G est commutatif. M G, M 2 = I n b) En déduire que les éléments de G sont codiagonalisables. c) En déduire Card G 2 n d) Application : Montrer que s il existe un isomorphisme entre (GL n (R), ) et (GL m (R), ) alors n = m. Exercice 132 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R) avec B diagonalisable. Montrer AB 3 = B 3 A = AB = BA Exercice 133 [ ] [Correction] Soient p, q N et A, B, M M n (C) avec A, B diagonalisables. Montrer Exercice 136 [ ] [Correction] Soit M M n (R) telle que M 2 soit triangulaire supérieure à coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que M est aussi triangulaire supérieure. Exercice 137 [ ] [Correction] a) Soit D M n (C). Déterminer l inverse de ( ) In D O n I n b) Soient A, B M n (C) diagonalisables telles que Sp A Sp B =. Montrer que pour tout matrice C M n (C), les matrices suivantes sont semblables ( ) ( ) A C A On et O n B O n B Exercice 138 [ ] [Correction] a) Déterminer les entiers k pour lesquelles l équation A p MB q = O n = AMB = O n e iθ + e ikθ = 1 Exercice 134 [ ] [Correction] Soit ϕ une application de M 2 (C) vers C vérifiant : Montrer que ϕ = det. A, B M 2 (C), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) et ϕ ( ) λ 0 = λ 0 1 Exercice 135 [ ] [Correction] On considère trois suites réelles (u n ) n 0, (v n ) n 0 et (w n ) n 0 vérifiant u n+1 = u n + v n + w n v n+1 = u n v n + w n w n+1 = u n + v n w n À quelle condition sur (u 0, v 0, w 0 ), ces trois suites sont-elles convergentes? admet au moins une solution θ R. b) Soit S k l ensemble des suites réelles u telles que n N, u n+k = u n + u n+k 1 À quelle condition sur k, S k contient-il une suite périodique non nulle. Diagonalisabilité d un endomorphisme par l étude de ses éléments propres Exercice 139 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un K-espace vectoriel de dimension finie E. On suppose que Im(u Id E ) Im(u + Id E ) = {0 E } Montrer que u est diagonalisable.

18 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 18 Exercice 140 [ ] [Correction] Soit E = R n [X]. Pour P E, on pose ϕ(p ) = P (X + 1)P. a) Justifier que ϕ définit un endomorphisme de R n [X]. b) Déterminer les valeurs propres de ϕ et justifier que ϕ est diagonalisable. Exercice 141 [ ] [Correction] Montrer que l application f : P (X) (X 2 1)P (X) + 2XP (X) est un endomorphisme de l espace vectoriel réel E = R n [X]. Former la matrice de f relative à la base canonique de E. En déduire la diagonalisabilité de f ainsi que ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés. Exercice 142 [ ] [Correction] Soient E = R n [X] et deux réels a b. Pour P E, on pose ϕ(p ) = (X a)(x b)p nxp a) Montrer que ϕ est un endomorphisme de E. b) Déterminer les valeurs propres de ϕ et en déduire que ϕ est diagonalisable. Exercice 143 [ ] [Correction] L endomorphisme φ de M n (R) défini par est-il diagonalisable? φ(m) = M + tr(m).i n Exercice 144 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, f L(E) et F L(L(E)) définie par F (u) = f u. a) Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, F l est. b) Montrer que f et F ont les mêmes valeurs propres. c) Soit λ une valeur propre de f. Établir dim E λ (F ) = dim E dim E λ (f). Exercice 145 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé de E et F : L(E) L(E) définie par a) F est-elle linéaire? b) F est-elle diagonalisable? F : f 1 (f p + p f) 2 c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés? Exercice 146 [ ] [Correction] Soient A R [X] et B R [X] scindé à racines simples de degré n + 1. Soit Φ l endomorphisme de R n [X] qui à P R [X] associe le reste de la division euclidienne de AP par B. Déterminer les éléments propres de Φ. L endomorphisme Φ est-il diagonalisable? Exercice 147 [ ] [Correction] Soient A, B fixés dans R n [X]. On note f l application qui, à P R n [X] associe le reste de la division euclidienne de AP par B. a) Montrer que f est un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme? b) On suppose dans la suite que les polynômes A et B premiers entre eux avec B scindé à racines simples ; donner les valeurs propres de f. c) L endomorphisme f est-il diagonalisable? Exercice 148 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, f L(E) tel que f 2 = f. Étudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l endomorphisme u fu uf de L(E). Exercice 149 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et f L(E). On définit T L(E) L(E) par T (g) = f g g f Montrer que si f est diagonalisable, alors T est diagonalisable ; si f est nilpotente, alors T est nilpotente.

19 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 19 Exercice 150 [ ] [Correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et e = (e 1,..., e n ) une base de E. On considère l endomorphisme f de E déterminé par a) Donner la matrice de f dans e. k {1,..., n}, f(e k ) = e k + b) Déterminer les sous-espaces propres de f. c) L endomorphisme f est-il diagonalisable? d) Calculer le déterminant de f. L endomorphisme f est-il inversible? Exercice 151 [ ] [Correction] On considère un R-espace vectoriel de dimension finie E, u un endomorphisme de E, U = (u i,j ) la matrice de u dans une base de E, e i,j les projecteurs associés à cette base et E i,j la matrice de ces projecteurs. On considère ϕ l endomorphisme dans L(E) tel que ϕ(v) = u v a) Montrer que ϕ et u ont les mêmes valeurs propres. b) Calculer UE i,j en fonction des E k,j. En déduire qu il existe une base de L(E) dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale par blocs. c) Exprimer cette matrice. Exercice 152 [ ] [Correction] Soient D = diag(λ 1,..., λ n ) et ϕ: M DM MD endomorphisme de M n (K). a) Calculer ϕ(e i,j ) où E i,j désigne la matrice élémentaire d indice (i, j) de M n (K). Quelle particularité présente la matrice de ϕ relativement à la base canonique de M n (K)? b) Soit f un endomorphisme diagonalisable d un K-espace vectoriel E de dimension finie. L endomorphisme φ: u f u u f de L(E) est-il diagonalisable? n i=1 e i Exercice 153 [ ] [Correction] Soient E = S 2 (R), ( ) a b A = M c d 2 (R) et Φ: S 2 (R) S 2 (R) définie par Φ(S) = AS + S t A a) Déterminer la matrice de Φ dans une base de E. b) Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiques χ Φ et χ A? c) Si Φ est diagonalisable, la matrice A l est-elle? d) Si A est diagonalisable, l endomorphisme Φ l est-il? Applications de la diagonalisabilité d un endomorphisme Exercice 154 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension n admettant exactement n valeurs propres distinctes. a) Montrer qu il existe a E tel que la famille (a, f(a),..., f n 1 (a)) soit une base de E. b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base? Exercice 155 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme diagonalisable d un K-espace vectoriel E de dimension n. On note C f l ensemble des endomorphismes qui commutent avec f. a) Montrer que C f est un sous-espace vectoriel de L(E). b) Montrer qu un endomorphisme g appartient à C f si, et seulement si, chaque sous-espace propre de f est stable par g. c) En déduire que dim C f = λ Sp(f) où α λ est l ordre de multiplicité de la valeur propre λ. d) On suppose que les valeurs propres de f sont simples. Montrer que (Id, f,..., f n 1 ) est une base de C f. α 2 λ

20 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 20 Exercice 156 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel de dimension finie n 2. a) Donner un exemple d endomorphisme f de E dont l image et le noyau ne sont pas supplémentaires. b) On suppose, dans cette question seulement, que f est une endomorphisme de E diagonalisable. Justifier que l image et le noyau de f sont supplémentaires. c) Soit f un endomorphisme de E. Montrer qu il existe un entier nature non nul k tel que Im(f k ) ker(f k ) = E L endomorphisme f k est-il nécessairement diagonalisable? d) Le résultat démontré en c) reste-t-il valable si l espace est de dimension infinie? Exercice 157 [ ] [Correction] Soit v un endomorphisme d un C-espace vectoriel E de dimension finie diagonalisable. a) Montrer qu il existe un endomorphisme u de E vérifiant u 2 = v. b) Montrer qu on peut choisir u solution qui soit un polynôme en v. Exercice 158 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un R-espace vectoriel E de dimension n possédant exactement n valeurs propres. a) Déterminer la dimension des sous-espaces propres de f. b) Soit g un endomorphisme de E vérifiant g 2 = f. Montrer que g et f commutent. En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi vecteurs propres de g. c) Combien y a-t-il d endomorphismes g de E solutions de l équation g 2 = f Exercice 160 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et u L(E), v L(E) diagonalisables vérifiant u 3 = v 3 Montrer que u = v. Trigonalisabilité d une matrice Exercice 161 [ ] [Correction] Montrer qu une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable. Exercice 162 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant AB = O n. a) Montrer que les matrices A et B ont un vecteur propre en commun. b) Établir que A et B sont simultanément trigonalisables. Exercice 163 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant AB = BA. a) Montrer que les matrices A et B ont un vecteur propre en commun. b) Établir que les matrices A et B sont simultanément trigonalisables. Trigonalisation d une matrice Exercice 164 [ ] [Correction] Soit A = a) Calculer le polynôme caractéristique de A. b) Trigonaliser la matrice A. Exercice 159 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension n N. On suppose que f possède exactement n valeurs propres distinctes. Montrer que seuls les polynômes en f commutent avec f (indice : on pourra introduire un polynôme interpolateur convenable). Exercice 165 [ ] [Correction] Soit A =

21 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 21 a) Calculer le polynôme caractéristique de A. b) Trigonaliser la matrice A. «Tout sous-espace vectoriel stable par u admet un supplémentaire stable» Montrer que l endomorphisme u est diagonalisable. Exercice 166 [ ] [Correction] Trigonaliser la matrice A = Exercice 171 [ ] [Correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les f L(E) tels que tout sous-espace vectoriel de E stable par f possède un supplémentaire stable. Exercice 167 [ ] [Correction] Montrer que la matrice est trigonalisable et préciser une matrice de passage. Exercice 168 [ ] [Correction] a) Déterminer l ensemble Ω des réels a tels que A = 1 a n est pas diagonalisable. b) Pour a Ω, trouver P inversible telle que P 1 AP soit triangulaire supérieure. Réduction et sous-espaces stables Exercice 169 [ ] [Correction] Soient f, g endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose que f est diagonalisable. Montrer : f g = g f chaque sous - espace propre de f est stable par g Exercice 170 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un C-espace vectoriel E de dimension finie vérifiant : Exercice 172 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel muni d une base B, f L(E) et H un hyperplan. a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel {u E u(h) = {0}}. b) Montrer que si H a pour équation u(x) = 0 alors H est stable par f si, et seulement si, u f est colinéaire à u. c) Soient A et L les matrices dans B de f et u. Montrer que H est stable par f si, et seulement si, t L est vecteur propre de t A d) Déterminer les plans stables par A = Exercice 173 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme d un R-espace vectoriel E de dimension finie non nulle Montrer qu il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u. Exercice 174 [ ] [Correction] Soient f une endomorphisme de R n et A sa matrice dans la base canonique de R n. On suppose que λ est une valeur propre non réelle de A et que Z C n est un vecteur propre associé. On note X et Y les vecteurs de R n dont les composantes sont respectivement les parties réelles et imaginaires des composantes de Z. a) Montrer que X et Y sont non colinéaires. b) Montrer que Vect(X, Y ) est stable par f.

22 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 22 c) On suppose que la matrice de f est donnée par A = Déterminer tous les plans stables par f. Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 175 [ ] [Correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et u L(E) tel que u 3 = Id Décrire les sous-espaces stables de u. Même question avec E un R-espace vectoriel. Exercice 176 [ ] [Correction] Soit u un endomorphisme diagonalisable d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer qu un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si, il possède une base de vecteurs propres de u. Exercice 179 [ ] [Correction] Soit A M n (K). On suppose χ A scindé. a) Justifier que A est trigonalisable. b) Établir que pour tout k N, Sp(A k ) = { λ k λ Sp(A) } Exercice 180 [ ] [Correction] Soit A M n (Z) de polynôme caractéristique n (X λ i ) avec λ i C i=1 Déterminer une matrice à coefficients entiers de polynôme caractéristique Exercice 181 [ ] [Correction] Montrer que pour tout A M n (C), n (X λ p i ) i=1 det(exp(a)) = exp(tr A) Exercice 177 [ ] [Correction] Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice est dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f. Application de la trigonalisabilité Exercice 178 [ ] [Correction] Expliquer pourquoi le déterminant de A M n (R) est le produit des valeurs propres complexes de A, valeurs propres comptées avec multiplicité. Exercice 182 [ ] [Correction] Soient A M n (K) et P K [X]. On suppose le polynôme caractéristique de A de la forme χ A (X) = n (X λ k ) k=1 Exprimer le polynôme caractéristique de P (A). Exercice 183 [ ] [Correction] a) Soient A et B dans M 2 (K) telles que AB = BA. Montrer que B K [A] ou A K [B]. b) Le résultat subsiste-t-il dans M 3 (K)?

23 [ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 23 Exercice 184 [ ] [Correction] Soit A M n (C) telle que tr(a m ) 0 quand m +. Montrer que les valeurs propres de A sont de module < 1 Exercice 185 [ ] [Correction] Soient A, B M n (C) vérifiant m N, tr(a m ) = tr(b m ) Montrer que les matrices A et B ont les mêmes valeurs propres. Exercice 186 [ ] [Correction] Pour A = (a i,j ) M n (C) et B = (b i,j ) M n (C), on définit A B M n 2(C) par a 1,1 B a 1,n B A B =.. a n,1 B a n,n B a) Montrer que si A, A, B, B M n (C) alors (A B)(A B ) = (AA ) (BB ). b) En déduire que A B est inversible si, et seulement si, A et B sont inversibles. c) Déterminer le spectre de A B. En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant de A B. Exercice 187 [ ] [Correction] Soit A M n (C). Déterminer les valeurs propres de A k pour k N. Polynômes en un endomorphisme ou une matrice Exercice 188 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et u L(E). On suppose qu il existe un vecteur x 0 E telle que la famille (x 0, u(x 0 ),..., u n 1 (x 0 )) soit libre. Montrer que seuls les polynômes en u commutent avec u. Exercice 189 [ ] [Correction] Soient A et B deux matrices réelles carrées d ordre n telles qu il existe un polynôme P R [X] de degré au moins égal à 1 et vérifiant P (0) = 1 et AB = P (A) Montrer que A est inversible et que A et B commutent. Exercice 190 [ ] [Correction] Soient A, B M n (K). On suppose qu il existe un polynôme non constant P K [X] vérifiant AB = P (A) et P (0) 0 Montrer que A est inversible et que A et B commutent. Exercice 191 [ ] [Correction] Soient A et B dans M n (R). On suppose que A est nilpotente et qu il existe P R [X] tel que P (0) = 1 et B = AP (A). Montrer qu il existe Q R [X] tel que Q(0) = 1 et A = BQ(B). Exercice 192 [ ] [Correction] Soient A GL n (C) et B M n (C) telle que B p = O n. a) Montrer que I n + A 1 BA est inversible et exprimer son inverse. b) On pose H = {I n + P (B)/P C [X], P (0) = 0} Montrer que H est un sous-groupe commutatif de (GL n (C), ). Exercice 193 [ ] [Correction] Dans M n (R), on considère la matrice 0 1 (0) J =... 1 (0) 0 Exprimer simplement P (ai n + J) pour P R [X]. Lemme de décomposition des noyaux Exercice 194 [ ] [Correction] Soit u L(E) vérifiant u 3 = Id E. Justifier ker(u Id E ) ker(u 2 + u + Id E ) = E