Intégration et probabilités ENS Paris, TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé

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1 Intégration et probabilités NS Paris, TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé xercices à préparer du TD 4 xercice. (Partiel 27 Soit (,,µ un espace mesuré et f : + une fonction mesurable.. On suppose que f est intégrable. Étudier la convergence de la suite ( I n n ln + f dµ n lorsque n. 2. Même question losque f dµ.. Pour tout x, nln( + f (x/n f (x lorsque n, et de plus, on a n ln( + f /n dµ f, qui est une fonction intégrale positive indépendante de n. D après le théorème de convergence dominée, I n f dµ. 2. D après le lemme de Fatou, xercice 2. ( lim inf nln + f dµ f dµ. n n Ainsi I n. emarque. On peut aussi vérifier que nln( + f /n croît vers f quand n, et appliquer, aussi bien pour a que pour b, le théorème de convergence monotone.. Dans le lemme de Fatou, montrer que si l on remplace liminf par limsup, f n par f n et par, le théorème reste vrai. Montrer en revanche, à l aide de contre-exemples, qu on ne peut pas se permettre d en changer certains mais pas les autres. 2. Donner un exemple de fonctions (f n n pour lesquelles l inégalité est stricte dans le lemme de Fatou. 3. Dans le théorème de convergence dominée, vérifier, en donnant des exemples et contre-exemples, que si l on oublie une hypothèse la conclusion peut rester vraie, ou pas! 4. eprendre la question précédente avec le théorème de convergence monotone. Pour des questions, demande de précisions ou explications, n hésitez pas à m envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr, ou bien à venir me voir au bureau V4.

2 5. Soit (f n une suite de fonctions positives convergeant µ-pp vers f. Supposons que f n dµ c <. Montrer que f dµ est définie est appartient à [,c] mais ne vaut pas nécessairement c. 6. Construire une suite de fonctions continues f n sur [,], avec f n, et telle que lim f n (xdx, sans toutefois que la suite (f n (x ne converge pour aucun x de [,]. Tout d abord, voici une tripotée d exemples utiles : La bosse glissante : f n [n,n+]. Le puits infini : f n n [,/n]. Pour les probabilistes : (X i i une suite iid de Bernoulli /2. Le stroboscope infernal : f n est un plateau de largeur /n que l on fait glisser sur le segment [,].. Pour la première partie, il suffit d utiliser le lemme de Fatou avec f n à la place de f n. Pour les contre-exemples, choisir parmi la liste ci-dessus. 2. Choisir un contre-exemple parmi la liste ci-dessus. 3. Si on oublie la condition de domination : si on prend f n n [n,n+], la conclusion reste vraie (autre exemple : f n (x n si /n < x <, f n (x n si < x < /n et sinon ; mais si on prend la bosse glissante la conclusion est mise en défaut. Si on oublie la convergence presque partout : voir question 6. pour un exemple où la conclusion demeure, mais si on prend f n (x sin(n sur [,], la conclusion est mise en défaut. 4. Si on oublie la croissance : si on prend f n {n}, la conclusion reste vraie, mais si on prend le puits infini, la conclusion est mise en défaut. Si on oublie la positivité : si on prend f n {n}, la conclusion reste vraie, mais si on prend f n (x x ],/n[(x, la conclusion est mise en défaut. 5. Prendre la bosse glissante. 6. Prendre le stroboscope infernal : f n,k (x ] k n, k n[ pour k n. Petites questions xpliquer pourquoi il n y a pas de faute d orthographe dans le titre du TD. Soit f la fonction définie sur [,] 2 par f (x,y x2 y 2 Calculer alors 2 n considérant l intégrale dx dyf (x,y et 2 + (x 2 + y 2 2 si (x,y (, et f (x,y si x y. dy dxf (x, y. Diabolique, non? ( + y( + x 2 dx dy, calculer y + ln(x x 2 dx. 3 n remarquant que x sin(x cos(xydy, calculer pour tout t > l intégrale suivante + x sin(xe tx dx. 2

3 Deux théorèmes de Fubini ont été vus en cours, dont l un spécifique aux fonctions à valeurs positives. À x fixé, en remarquant que y/(x 2 + y 2 est une primitive de (x 2 y 2 /(x 2 + y 2 2, il vient : [ y dyf (x,y x 2 + y 2 ] + x 2. Donc dx dyf (x,y π 4 et par symétrie dy dxf (x,y π 4. De ce fait le théorème de Fubini ne s applique pas, car f n est pas dans L ([,] 2. 2 Notons F(x,y ( + y( + x 2 pour tout x,y. On a, d après le théorème de Fubini pour les y fonctions positives, 2 + F(x,ydx dy + ( dy + y + dx + x 2 y + dy π ( + y 2 y π 2 + 2du + u 2 π2 2, et Or pour tout x >, 2 + ( F(x,ydx dy F(x,ydy dx F(x,ydy x 2 + ( x 2 + x 2 y + y dy 2ln(x x 2. Donc + ln(x π2 x 2 dx 4. 3 Posons G(x,y cos(xyexp( tx pour x, y [,] et t >. On a G(x,y exp( tx et (x,y exp( tx est intégrable sur + [,] d après le théorème de Fubini pour les fonctions positives. Donc G est intégrable sur + [,] et d après le théorème de Fubini pour les fonctions intégrables, sin(x e xt dx + x G(x,ydx dy + [,] ( cos(xye tx dx + t y 2 + t 2 dy ( arctan. t 2 Théorèmes de Fubini dy xercice 3. (Truc de ouf Soit f : une fonction borélienne. Montrer que pour λ presque tout y, λ({x ; f (x y}. 3

4 On écrit, en utilisant le théorème de Fubini pour les fonctions positives : dyλ({x ; f (x y} dxdy {f (xy} dxλ({y ; f (x y} dx. Le résultat en découle, car une fonction positive d intégrale nulle est presque partout nulle. Autre solution : Pour m,n, on note { A m,n y ; λ({f ({y} [ m,m]} > }. n Il est facile de voir que A m,n est fini. Ainsi : {y ; λ({x ; f (x y} > } m,n A m,n est dénombrable, donc de mesure de Lebesgue nulle. Ceci conclut. xercice 4. (Quelque chose d utile Sur un espace mesuré σ-fini (,A,µ, on considère f : (,A,µ ( +,B( + une fonction mesurable. Soit g : + + une fonction croissante de classe C telle que g(. Montrer que + g f dµ g (tµ({f t}dt. Indication : On pourra écrire g(f (t comme une intégrale. 2. Montrer que f dµ µ{f t}dt. 3. On suppose que µ est finie et qu il existe p et c > tels que pour tout t >, µ({ f > t} ct p. Montrer que f L q (,A,µ pour tout q [,p[. A-t-on forcément f L p (,A,µ?. La fonction g : + + est de classe C et g( donc pour tout x on a On a donc g f dµ f (x g(f (x g (sds. + g (s {s f (x} ds dµ(x. t la fonction F : (x,s + g (s {s f (x} est positive. Donc d après le théorème de Fubini pour les fonctions positives (Fubini-Tonelli, on a g f dµ g (s {s f (x} dµ(xds g (sµ({f s}ds Application immédiate de la question précédente en prenant g(x x. 4

5 3. On applique la question. avec f et g(x x q (pour passer de µ({ f > t} à µ({ f t}, on remarque qu on peut remplacer {s f (x} par {s < f (x} dans la solution de la question : f q dµ q t q µ({ f t}dt qµ( + cq t q p dt <, car q p <. n revanche, on n a pas forchément f L p (,A,µ : prendre par exemple f t /p sur ],]. emarque. Si f L p (,A,µ, l inégalité de Markov implique qu il existe c > telsque pour tout t >, µ({ f > t} ct p. 3 Calculs xercice 5.. Soit (f n n une suite de fonctions (,A,µ (,B( intégrables. Montrer que ( f n dµ < f n dµ f n dµ. n n n 2. Calculer les intégrales lnx x dx, sin(ax e x dx.. D après le théorème de convergence monotone, la fonction n f n est intégrable. Cela implique que la fonction n f n existe et est intégrable. De plus, pour tout N N, N f n f n et n n N f n n p.p. N f n. D après le théorème de convergence dominée, on a donc N f n dµ f n dµ. Par ailleurs, pour tout N, n N N f n dµ n n n N f n dµ. t f ndµ est le terme général d une série absolument convergente par hypothèse. n passant à la limite quand N + dans l égalité précédente, on obtient le résultat. 2. Pour tout x ],[, on a ln(x x x n ln(x. n Posons pour tout n, f n : x ],[ x n ln(x. Alors, par une intégration par parties, on obtient, f n (x dx x n ln(xdx 5 n x n n + dx (n + 2.

6 Donc n f n(x dx < +. On peut donc appliquer la question. et l on trouve, ln(x x dx Autre possibilité : Écrire Pour tout x >, on a x n ln(x dx n ln(x x dx sin(ax e x n x n ln(xdx (n + 2 π2 6. n ln( x x dx et développer plutôt en série entière ln( x. sin(ax e x e x e (n+x sin(ax. Posons pour tout n, f n : x ],+ [ e (n+x sin(ax. Alors, pour tout x >, f n axe (n+x, et n f n (x dx n n axe (n+x dx (n + 2 <. n Ainsi, d après la question., On a, Donc, f n (xdx sin(ax e x dx n f n (xdx. (e (n+x eiax e iax dx ( 2i 2i (n + x iax (n + x + iax a (n a 2. sin(ax e x dx a n 2 + a 2. n xercice 6. Soit ϕ : ([,],B([,] (,B( une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue. On définit F : + + par F(t ϕ(x 2 + t dx. [,]. Montrer que F est continue sur + et dérivable sur Donner une condition nécessaire et suffisante sur ϕ pour que F soit dérivable en.. On pose, pour tous t et x [,], f (x,t ϕ(x 2 + t. Pour tout t, f (x,t ϕ(x + t qui est intégrable sur [,]. La fonction F est donc bien définie. De plus, pour tout A > et pour tout t [,A], f (x,t ϕ(x + A. D après le théorème de continuité sous le signe intégrale, F est continue sur tout ensemble de la forme [,A] et donc sur +. La fonction f est de plus dérivable par rapport à t en tout t > et Soient a > et t a. On a alors f (x,t t f (x,t t 6 2 ϕ(x 2 + t. 2 a.

7 Ainsi, F est dérivable sur tout ensemble de la forme [a,+ [ et donc sur + de dérivée F (t 2 ϕ(x 2 + t dx. 2. Soit (t n n une suite décroissant vers. On a F(t n F( ϕ(x 2 + t n ϕ(x dx t n t n ϕ(x 2 + t n + ϕ(x dx. D après le théorème de convergence monotone, F(t n F( t n n 2 ϕ(x dx. Ainsi, F est dérivable en si et seulement si / ϕ est intégrable. 4 Compléments (hors TD xercice 9. On définit une fonction µ : P ( [, + ] par µ(a si A est une partie finie ou dénombrable, µ(a + sinon. a Soit K l espace triadique de Cantor défini par K n 3 n : (a n n {,2} N. On rappelle que K est un compact de [,], infini non-dénombrable et de mesure de Lebesgue nulle. On pose C {(x,y : x y K}.. Vérifier que µ est une mesure sur (,P (. n 2. Montrer que C B( P (. ( 3. Calculer les intégrales C (x,yµ(dy dx et ( C (x,ydx µ(dy. Conclure.. L ensemble vide est considéré comme fini donc µ(. Si (A n n est une suite de parties de disjointes finies ou dénombrables alors n A n est finie ou dénombrable et donc µ A n µ(a n. n Si (A n n P ( N est une suite dont au moins une des parties est infinie non-dénombrable alors n A n est infinie non-dénombrable et donc µ A n + µ(a n. n 2. L ensemble K est compact donc C est fermé. Ainsi C B( B( P (. n n 7

8 3. On a ( C (x,yµ(dy car x K est non-dénombrable et ( C (x,ydx dx µ(x Kdx +, µ(dy λ(k ydy λ(kdy. On a ici un exemple où le théorème de Fubini pour les fonctions positives s applique pas, la mesure µ n est pas σ-finie. xercice. Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur la tribu borélienne de.. Montrer que l ensemble D µ {x : µ({x} > } est fini ou dénombrable. 2. Soit {(x,x : x } la diagonale de 2. Montrer que µ ν( µ({x}ν({x}. x. Soit ( n n une suite croissante de boréliens de telle que n n et telle que µ( n < pour tout n. On note D n { x n : µ(x /n }. Si D n est infini alors il contient une suite (y m m et µ( n µ(d n µ({y m,m } µ({y m } n, ce qui est impossible. On en déduit donc que D n est fini. Puis D n D n est fini ou dénombrable. 2. D après le théorème de Fubini pour les fonctions positives on a µ ν( (x,yµ(dxν(dy µ({y}ν(dy µ({x} {xy} ν(dy x D µ µ({x} {xy} ν(dy x D µ m µ({x}ν({x} x D µ D ν µ({x}ν({x}. x m xercice. (La fonction Γ Pour tout t > on pose Γ (t x t e x dx.. Montrer que ceci définit une fonction de classe C sur +. 8

9 2. Montrer la formule d uler : pour tout t >, Γ (t lim n n t n! t(t +...(t + n. Indication : on pourra considérer la suite de fonctions (f n n définies par ( f n : x ], [ ],n[ (x n x n x t.. Pour tout t >, la fonction x + g(t,x x t e x est intégrable donc Γ est bien définie sur +. De plus, pour tout k et pour tout x >, g est k-fois dérivable par rapport à t et k g(x,t t k (ln(x k x t e x. Pour tous A > a >, t [a,a] et x >, on a k g(x,t t k (ln(x k x A e x {x } + (ln(x k x a e x {x<}, et la fonction x + (ln(x k x A e x {x } + (ln(x k x a e x {x<} L ( +,λ. D après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, Γ est de classe C k sur tout ensemble de la forme [a,a] et ceci pour tout k. On obtient donc le résultat. 2. On fixe t >. On voit que la suite de fonctions (f n n converge p.p. vers f : x + x t e x et de plus pour tout x >, f n (x x t e x. Donc, d après le théorème de convergence dominée, on a Or, en posant u x/n, on a n Γ (t lim n n ( x n n x t dx. ( x n x t dx n t ( u n u t dt n t I n n (t. On montre par une intégration par parties que I n (t (ni n (t+/t pour tout n. On en déduit que n! I n (t t(t +...(t + n I n! (t + n t(t +...(t + n (t + n. xercice 2. Soit ϕ : ([,],B([,] (,B( une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue. On définit G : + par G(t ϕ(x t dx. [,]. Montrer que G est continue sur. 2. Montrer que G est dérivable en t si et seulement si où λ désigne la mesure de Lebesgue. λ({ϕ t}, 9

10 . Même méthode qu à la question. de l exercice Pour tout t et tout h, on a G(t + h G(t h ϕ(x t h ϕ(x t dx. h Soit (h n n une suite de réels strictement positifs décroissant vers. Pour tout x [,], on a ϕ(x t h n ϕ(x t h n [ϕ(x,+ [ (t ],ϕ(x[ (t, n et ϕ(x t h n ϕ(x t h n. Ainsi, d après le théorème de convergence dominée, la fonction G est dérivable à droite en t et G d (t λ({ϕ t} λ({ϕ > t}. De même, G est dérivable à gauche en t et G g(t λ({ϕ < t} λ({ϕ t}. Ainsi G d (t G g(t λ({ϕ t} ce qui implique le résultat. Fin