Fonctions modulaires. Caroline Dumoulin. Université de Fribourg (Suisse)

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1 Fonctions modulaires Caroline Dumoulin Université de Fribourg (Suisse)

2 Table des matières Introduction 2 La fonction modulaire 3 La fonction modulaire J de Klein 6

3 Introduction Dans ce proséminaire, nous allons présenter les fonctions modulaires. Nous débuterons par la définition et quelques propriétés pour ensuite nous occuper de la fonction modulaire de Klein J. 2 La fonction modulaire Définition 2. Une fonction f est appelée modulaire si elle remplit les conditions suivantes :. f est méromorphe sur le demi-plan supérieur H = {τ C Im(τ) > 0}. 2. f est invariante sous l action de Γ tel que f(aτ) = f(τ), A Γ (2.) { } où Γ = τ aτb cτd a, b, c, d Z, ad bc = est le groupe modulaire. 3. f peut s écrire en série de Fourier de la façon suivante : Remarques: f(τ) = n= m a(n)e nτ (2.2) La condition 3. veut dire que f a au plus un pôle d ordre m en i et non une singularité essentielle. Car : Si on pose x = e τ, alors la série de Fourier devient une série de Laurent de puissance de x : f(x) = a(n)x n (2.3) n= m Le comportement de f en i est décrit par la série de Laurent vers 0. Remarque : i signifie que la partie imaginaire tend vers l infini. Distinguons maintenant deux cas : (a) Si m > 0 et a( m) 0, alors on dit que f a un pôle d ordre m en i. (b) Si m 0, alors on dit que f est analytique en i. Théorème 2.2 Si f est modulaire et non nulle, alors f a le même nombre de zéros que de pôles sur la fermeture de la région fondamentale R Γ, en comptant de la manière suivante :. Les zéros et les pôles d un bord de la région fondamentale R Γ se retrouvent sur le bord équivalent, c est pourquoi ils sont comptés une seule fois. 2. L ordre du zéro ou du pôle se trouvant sur le sommet ρ est divisé par 3 ; celui sur le sommet i par 2 ; l ordre en i est l ordre du zéro ou du pôle en x = 0 lors du changement de variable x = e τ.

4 (a) Supposons que f n a pas de zéro ni de pôle sur la partie finie du bord de R Γ. On coupe R Γ en deux parties séparées par la droite {z H Im(z) = M > 0}, telle que la partie inférieure, appelée R, contienne tous les zéros et les pôles de f. Ceci est possible, car si f a un nombre infini de pôles dans R Γ, alors f a une accumulation de pôles en i et m = dans la série de Laurent, ce qui contredit la condition 3. de la définition et si f est non-nulle, elle ne peut pas avoir une infinité de zéros dans R Γ. Soient N le nombre de zéros et P le nombre de pôles de f dans R, alors avec le principe de l argument, on a : N P = = R f(τ) dτ { () (2) } (3) (4) (5) f(τ) dτ Où (), (2), (3), (4) et (5) désignent les bords de la région fondamentale de R délimitée par M, selon le schéma suivant : Les intégrales sur les bords équivalents () et (4) s annulent, car le bord (4) est l image du bord () par la translation T : τ τ et on intègre () et (4) dans le sens opposé. Les intégrales sur les bords équivalents (2) et (3) s annulent également, car le bord (3) est l image du bord (2) par l application S : τ /τ et on intègre (2) et (3) dans le sens opposé à la périodicité. Donc, l équation devient : N P = (5) f(τ) dτ Maintenant, utilisons le changement de variable x = e τ, avec τ qui varie sur (5) tel que τ = u im, où 2 u 2, alors x = e (uim) = e 2πM e u où x varie autour du cercle K de rayon e 2πM et de centre x = 0 dans la direction négative. Les points au-dessus de la droite {z H Im(z) = M > 0} sont projetés à l intérieur de K, tel que f n a pas de zéro ni de pôle dans K, sauf peut-être x = 0, car e y 0 y. Donc, la série de Fourier devient : f(τ) = a m x m 2... = F (x)

5 Et la dérivée peut s écrire de la manière suivante : Donc, Alors, notre équation devient : N P = f(τ) dτ = (5) = F (x) d(x) d(τ) f(τ) dτ = F (x) F (x) dx K F (x) F (x) dx = (N F P F ) = P F N F où N F et P F sont les nombres de zéros et de pôles de F dans K. Remarque : Le changement de variable dans l équation nécessite un changement de signe, car les x varient dans la direction négative autour de K. Si F a un pôle d ordre m en x = 0, alors pour m > 0, N F = 0, P F = m, car x = 0 ne peut pas être un zéro et un pôle en même temps dans K, alors P F N F = m et N = P m. Donc, f prend la valeur 0 dans R Γ aussi souvent qu elle prend la valeur. Si F a un zéro d ordre n en x = 0, alors pour m = n (selon la série de Laurent), P F = 0, N F = n, car x = 0 ne peut pas être un zéro et un pôle en même temps dans K, alors P F N F = n et N n = P. Donc, f prend la valeur 0 dans R Γ aussi souvent qu elle prend la valeur. Ce qui prouve le théorème si f n a pas de zéro ni de pôle dans la partie finie du bord de R Γ. (b) Supposons maintenant que f a des zéros ou des pôles sur le bord de la fermeture de la région fondamentale R Γ, mais pas sur les sommets. On coupe d abord R Γ comme en (a) avec la droite {z H Im(z) = M > 0}. On introduit ensuite des détours de façon périodique, tel que les intégrales s annulent, dans le chemin des bords de R Γ tel qu on inclut les zéros et les pôles à l intérieur de R. Alors, les intégrales des bords équivalents s annulent par équivalence sous T et S comme dans la partie (a). Donc, l intégrale sur le bord (5) peut se calculer de la même manière que dans la partie (a), car les zéros ou les pôles de ce bord sont dans R, la région de R Γ qui contient les zéros et les pôles de f par la définition de R. 3

6 (c) Supposons enfin que f a un zéro ou un pôle sur le sommet ρ ou i. Comme auparavant, on modifie le chemin en mettant les zéros et les pôles dans R (comme dans (b)) et en excluant ceux des sommets. Alors, nous obtenons l équation suivante : { ( N P = Car, = {( /2iM /2iM C C selon la partie (a) de la preuve. Ensuite, près du sommet ρ, on pose C 3 C 3 ) ) /2iM C 2 /2iM C 2 } } f(τ) dτ m f (τ) f(τ) dτ = (5) f(τ) dτ = m f(τ) = (τ ρ) k g(τ) f(τ) dτ où g(ρ) 0 L exposant k est positif si f a un zéro en ρ et négatif si f a un pôle en ρ. Sur le chemin C, on pose τ ρ = re iθ, où r est fixé et α θ π/2, où α dépend de r. Alors, = k(τ ρ) k g(τ) (τ ρ) k g (τ) f(τ) = Alors, l intégrale sur le bord C devient : C f(τ) dτ = = ri = kα 2π π/2 α π/2 α r 2π k τ ρ g (τ) g(τ) = ( k re iθ g (ρ re iθ ) g(ρ re iθ ) ( ke iθ re iθ g (ρ re iθ ) g(ρ re iθ ) eiθ π/2 α g (ρ re iθ ) g(ρ re iθ ) eiθ dθ k re iθ g (ρ re iθ ) g(ρ re iθ ) ) re iθ idθ ) dθ 4

7 où α = π 2 α. Quand r 0, le dernier terme tend vers 0 comme l intégrale est bornée. Alors, α π/3 quand r 0, car α tend vers π/6 quand r 0, donc : lim r 0 De manière similaire, on obtient : Donc, lim r 0 lim r 0 C f(τ) dτ = k 6 De même, près du sommet i, on pose C 3 f(τ) dτ = k 6 ( ) C C 3 f(τ) dτ = k 3 f(τ) = (τ i) l h(τ) où h(i) 0 Et on trouve, de la même manière que lim r 0 C 2 f(τ) dτ = l 2 Donc, nous obtenons la formule suivante : N P = m k 3 l 2 Si f a un pôle en x = 0 d ordre m et des zéros en ρ et i d ordre k et l, alors m, k et l sont positifs et on a : N k 3 l 2 = P m Le membre gauche compte le nombre de zéros de f dans la fermeture de R Γ (avec les conditons sur les sommets) et le membre droit compte le nombre de pôles. Si f a un zéro en x = 0 d ordre n, alors m = n et on a : N n k 3 l 2 = P Si f a un pôle en ρ ou i, k et l sont négatifs et on a : N n = P k 3 l 2 Ceci prouve que le nombre de zéros et de pôles sont identiques, si f a des zéros et des pôles sur les sommets de R Γ. Définition 2.3 On dit qu une fonction f : H C prend la valeur w C en z avec multiplicité n, si f w possède un zéro d ordre n en z. 5

8 Théorème 2.4 Si f est modulaire et non constante, alors c C, f c prend le même nombre de zéros que de pôles sur la fermeture de la région fondamentale R Γ en comptant comme dans le théorème 2.2. En conséquence, comme f et f c ont le même nombre de pôles, donc de zéros, alors f prend chaque valeur le même nombre de fois (en comptant comme dans le théorème 2.2 et comme dans la définition 2.3). De plus, on en déduit que f est surjective. Comme f est modulaire, f c est aussi modulaire, car : (a) f c est méromorphe, puisque f est méromorphe et c est une constante. (b) f c est invariante sous l action de Γ, car [f c](aτ) = f(aτ) c = f(τ) c = [f c](τ) (c) La série de Fourier de f c commence par m et non par, car [f c](τ) = f(τ) c = n= m a(n)e nτ c Comme f est non constante par hypothèse, f c est non constante et non nulle. Donc, on peut appliquer le théorème 2.2 à la fonction f c qui nous dit que le nombre de zéros de f c est égal au nombre de pôles de f c dans la fermeture de R Γ en comptant comme dans le théorème 2.2. Ce qui implique que comme f et f c ont le même nombre de pôles, elles ont le même nombre de zéros dans R Γ. Théorème 2.5 Si f est modulaire et bornée dans H, alors f est constante. D après le théorème 2.4, si f est modulaire et non constante, alors f prend toutes les valeurs de C dans la fermeture de R Γ. Mais, si f est bornée, f ne prend pas toutes les valeurs dans la fermeture de R Γ, donc f est constante. 3 La fonction modulaire J de Klein Définition 3. La fonction modulaire de Klein est définie par : J(τ) = g3 2 (τ) (τ) τ H (3.) où (τ) = g 3 2(τ) 27g 2 3(τ) 0 g 2 (τ) = 60 (m nτ) 4 g 3 (τ) = 40 (m nτ) 6 (τ) 0 par définition, car elle a été introduite pour la fonction de Weierstrass qui possède trois racines distinctes, donc un discriminant non nul. 6

9 Théorème 3.2 La fonction J est modulaire. J est analytique sur H, donc J est méromorphe sur H. J est invariante sous l action de Γ, car g 2 (τ) et (τ) sont invariantes. J peut s écrire en série de Fourier en commençant par m : 2 3 J(τ) = e τ 744 a(n)e nτ (3.2) (voir [A, pp. 20-2] pour la preuve) J(τ) = n= n= a(n)e nτ Donc, J est une fonction modulaire. Théorème 3.3 La fonction J prend chaque valeur exactement une fois dans la fermeture de R Γ. Plus particulièrement, J(ρ) = 0 J(i) = J(i ) = Il y a un pôle simple en i et un zéro d ordre 3 en ρ. D après l équation (3.2), J a un pôle simple en i, car m = dans la série de Fourier de J. Ensuite, vérifions que g 2 (ρ) = 0 et g 3 (i) = 0. Avec ρ 3 = et ρ 2 ρ = 0, on a : 60 g 2(ρ) = (m nρ) 4 = (mρ 3 nρ) 4 = ρ 4 (mρ 2 n) 4 = ρ = ρ M,N = 60ρ g 2(ρ) (n m mρ) 4 (N Mρ) 4 Alors, ρg 2 (ρ) = g 2 (ρ) g 2 (ρ)(ρ ) = 0 g 2 (ρ) = 0 Car (ρ ) 0, car ρ. De manière analogue, on montre que g 3 (i) = 0. Finalement, on a : J(ρ) = g3 2 (ρ) (ρ) = 0 J(i) = g3 2 (i) (i) = g 3 2 (i) g 3 2 (i) 27g2 3 (i) = g3 2 (i) g 3 2 (i) = 7

10 Donc, il y a un zéro d ordre 3 en ρ, car J(ρ) = 0 et de multiplicité 3, car : N T = P T selon le théorème 2.2 (où N T et P T sont les nombres totals de zéros et de pôles dans R Γ ), comme J a un pôle simple, elle a un zéro simple, mais comme ce zéro se trouve sur le sommet ρ, on doit le multiplier par 3 selon les conditions du théorème 2.2. Théorème 3.4 Chaque fonction rationnelle de J est une fonction modulaire f. À l inverse, chaque fonction modulaire f peut s écrire comme fonction rationnelle de J. Dans la première partie, il suffit de vérifier la définition des fonctions modulaires pour les fonctions rationnelles de J : Une fonction rationnelle de J est méromorphe, car J est méromorphe et l addition/soustraction et la multiplication/division conservent la méromorphie. Elle est invariante, car J est invariante sous l action de Γ et l addition/soustraction et la multiplication/division conservent l invariance. Pour montrer qu elle possède au plus un pôle d ordre m en i et pas une singularité essentielle, on pose P (J) Q(J) où P (J), Q(J) sont des polynômes de J et Q(J) 0. Alors, P (J) possède au plus un zéro ou un pôle d ordre p en i, car l addition et la multiplication conserve l écriture en série de Fourier et idem pour Q(J), car sinon Q(J) = 0 (disons d ordre q). Donc, comme P (J) et Q(J) n ont pas de singularité essentielle en i, P (J) Q(J) n a pas non plus de singularité essentielle en i. Donc, J remplit les conditions d une fonction modulaire. Pour la deuxième partie, on suppose que f possède des zéros en z,..., z n et des pôles en p,..., p n avec leurs multiplicités usuelles. Soit, g(τ) = n J(τ) J(z k ) k= J(τ) J(p k ) Si z k ou p k est, alors J( ) =. Alors, g possède les mêmes zéros et pôles que f dans R Γ, avec chacun leur propre multiplicité. Alors, f g n a pas de zéro ni de pôle. f g doit être constante, car f g est modulaire (selon la première partie) et n a pas de zéro, donc selon le théorème 2.4, elle ne prend pas toutes les valeurs complexes le même nombre de fois, ce qui veut dire qu elle est constante. Donc, f = c g est une fonction rationnelle de J. Théorème 3.5 L application J sur la fermeture de la région fondamentale R Γ a comme image le plan complexe. 8

11 La partie de gauche de R Γ est envoyée sur H avec : le bord vertical de R Γ est envoyé sur l intervalle réel (, 0] ; la partie circulaire sur [0, ] ; et l axe imaginaire (v >, u = 0) sur (, ). Deux points symétriques par rapport à l axe imaginaire dans R Γ sont envoyés vers des points conjugués complexes dans C, donc J(τ) = J( τ). Le recouvrement est conforme (holomorphe et J (τ) 0), sauf sur les sommets i et ρ où les angles sont doublés ou triplés, toujours par rapport aux conditions du théorème 2.2. Sur l axe imaginaire dans R Γ, on a τ = iv et appliquons le changement de variable x = e τ = e 2πv > 0. Alors, on voit avec la série de Fourier de J 2 3 J(x) = x c(n)x n que J(iv) est réelle. Comme J(i) = et J(iv) quand v, l axe imaginaire v < est projeté par J sur l axe réel J(τ) <. Sur le bord gauche de R Γ, on a τ = 2 iv et appliquons le changement de variable x = e τ = e 2πv e πi = e 2πv < 0, car n=0 e πi = cos( π) i sin( π) = cos(π) i sin(π) = Comme pour un grand v (petit x), on a J( 2 iv) < 0, alors J applique la ligne u = 2 sur l axe réel négatif. Comme J(ρ) = 0 et J( ) =, le bord gauche de R Γ est appliqué sur la ligne < J(τ) 0. Puis, on montre que J(τ) = J( τ). On pose τ = u iv. Alors, x = e τ = e (uiv) = e u e 2πv x = e u e 2πv = e ( uiv) = e τ Donc, τ et τ correspondent aux points conjugués x et x, mais comme la série de Fourier de J a des coefficients réels, J(τ) et J( τ) sont des conjugués complexes. Finalement, on admet que τ appartient au bord circulaire de R Γ. On sait que tous les points qui se trouvent sur la partie circulaire (2) sont équivalent à (3) par la transformation S τ, ce qui veut dire que τ = τ et J(τ) = J( τ). De plus, on a prouvé ci-dessus que J(τ) = J( τ). Donc, on a J(τ) = J( τ) = J( τ), ce qui montre que J(τ) R. Comme J(ρ) = 0 et J(i) =, alors 0 J(τ). Références [] T. Apostol : Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, 976 9