Transformations géodésiques en France Métropolitaine

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1 Trnsformtions géodésiques en Frnce Métropolitine 1 Processus de chngement de système Définitions Similitude 3D à 7 prmètres Modèle «à 7 prmètres» Coordonnées géogrphiques (,,h) Coordonnées crtésiennes (,,) Clrke 1880 IGN (Ellipsoïde ssocié u système NTF) IG GRS 80 (Ellipsoïde ssocié u système RGF93) et WGS Interntionl HFORD 1909 (Ellipsoïde ssocié u système ED50) Géométrie de l'ellipsoïde Coordonnées crtésiennes (,,) Coordonnées géogrphiques (,,h) Formules de conversion Remrques sur l fonction TN... 5 Trnsformtion de coordonnées géogrphique en coordonnées plnes Trnsformtions stndrd NTF WGS NTF ED ED50 WGS Trnsformtions pr grille de prmètres NTF RGF lgorithmes Constntes Lmbert Frnce Lmbert zone Lmbert zone Lmbert coordonnées géogrphiques Coordonnées géogrphiques Lmbert Ltitude à prtir de l ltitude isométrique Coordonnées géogrphiques RGF93 vers CC 9 zones CC 9 zones vers coordonnées géogrphiques RGF Logiciel de trnsformtion de coordonnées : Circé Frnce IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

2 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN 1 Processus de chngement de système 1.1 Définitions On entend pr chngement de système géodésique l trnsformtion qui permet d'exprimer les coordonnées crtésiennes, géogrphique ou plnes d'un point dns un utre système géodésique. Il peut être détillé selon un modèle générl. coordonnées du système modèle de trnsformtion coordonnées du système B crtésiennes (,,) similitude 3D à 7 prmètres crtésiennes (,,) géogrphiques (λ,ρ,h) formules de Molodensky géogrphiques (λ,ρ,h) plnes (E,N,H) trnsformtion polynomile plnes (E,N,H) Le plus utilisé est l similitude 3D cr elle présente l'vntge de pouvoir être utilisée dns les deux sens : les mêmes prmètres servent à trnsformer des coordonnées du système vers le système B et réciproquement, moyennnt une simple inversion de signe. Les formules de Molodensky sont des développements limités dont, pr nture, l'ordre influe sur l précision finle. Le pssge inverse nécessite l'ppliction de formules différentes. L trnsformtion polynomile ne peut s'ppliquer que sur des zones restreintes fin de conserver une précision comprble à celle obtenue pr une similitude 3D. 1. Similitude 3D à 7 prmètres Compte tenu des fibles rottions utilisées en géodésie, les formules pour psser du système u système B sont : B B B T T T 0 0 0

3 1.3 Modèle «à 7 prmètres» Les 7 prmètres sont 3 trnsltions (T, T, T ), 3 rottions (,, ) et un fcteur d'échelle ( Concernnt le signe des rottions et dns toutes ses publictions, l'ign utilise l convention de l'iers 1 qui consiste à mener les xes du système d'rrivée en prllèle à ceux du système de déprt. Cette convention est notmment utilisée dns les progrmmes Circé. Pr contre, dns l pluprt des systèmes GPS utonomes ou les systèmes d'informtion géogrphique (SIG), les signes des rottions doivent être inversés. L'IGN utilise les symboles R 1, R et R 3 pour les rottions exprimées selon l convention IERS, fin de les différencier des nottions x, y, et z qui sont plus courmment utilisées. L formule de trnsformtion de coordonnées crtésiennes peut lors s'écrire (T étnt le vecteur trnsltion et le fcteur d'échelle) : ' T (1 ) R vec 0 R3 R R R3 0 R1 et on obtient R R1 0 R x R y R z Coordonnées géogrphiques (,,h) Coordonnées crtésiennes (,,) = (N+h) cos cos = (N+h) cos sin = (N(1-e²) + h) sin e W b 1 e sin N W 1 e 3 W r N cos Les prmètres de l'ellipsoïde ssocié ux coordonnées sont indispensbles à ces clculs Clrke 1880 IGN (Ellipsoïde ssocié u système NTF) demi grnd xe () demi petit xe (b) , m ,0 m 1 Interntionl Erth Rottion nd Reference Systems Service ( IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

4 1.4. IG GRS 80 (Ellipsoïde ssocié u système RGF93) demi grnd xe () ,0 m pltissement (f) 1 / 98, WGS84 demi grnd xe () ,0 m pltissement (f) 1 / 98, Les ellipsoïdes WGS84 et IG GRS80 ont été définis de l même mnière, plus mthémtiquement, pr le demi grnd xe et l'hrmonique zonl du second degré J (pour GRS80) et C0 rrêté u 8ème chiffre significtif (pour WGS84). Cette différence explique l écrt de m constté sur b Interntionl HFORD 1909 (Ellipsoïde ssocié u système ED50) demi grnd xe () ,0 m pltissement (f) 1 / Géométrie de l'ellipsoïde À prtir de et f ci-dessus, il est possible de clculer le demi-petit xe b et l excentricité e de l'ellipsoïde. b (1 f ) e b 1.6 Coordonnées crtésiennes (,,) Coordonnées géogrphiques (,,h) Formules de conversion f 1 1 e R TN (, ) rctg 1 f 4 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN e R 3 1 f e sin rctg 3 1 f e cos h cos sin 1 e sin Source : Bowring, 1985, The ccurcy of geodetic ltitude nd height equtions, Survey Review, 8, pp0-06 (modifié pour l expression de )

5 1.6. Remrques sur l fonction TN En trigonométrie, l fonction tn à deux rguments est une vrition de l fonction rctngente (rctn, ussi notée rctg dns ce document). Pour tout rguments réels x et y non nuls, tn(y,x) est l'ngle (en rdins) entre l prtie positive de l'xe des x d'un pln et le point de ce pln ux coordonnées (x,y). Cet ngle est positif pour les ngles dns le sens trigonométrique (moitié hute du pln, y > 0) et négtif dns le sens horire (moitié bsse du pln, y < 0). L expression d tn en fonction de rctn est : ttention : trditionnellement, tn(0,0) est non défini. IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

6 Trnsformtion de coordonnées géogrphiques en coordonnées plnes Ces trnsformtions dépendent de formules spécifiques à chque projection. Elles ne sont ps détillées ici mis les lgorithmes des projections utilisées en Frnce sont disponibles sur le site de l géodésie de l IGN..1 Trnsformtions stndrd.1.1 NTF WGS84 prtir des éléments de géodésie sptile Doppler des nnées 1970 et 1980, un modèle réduit à 3 prmètres (trnsltion) été étbli entre l NTF et le système WGS84. ucune rottion ou défut d'échelle globux n'ont pu être mis en évidence. T T T Ces prmètres, vlbles sur l Frnce, sont officiellement définies pr l'ign dns le document «RT/G n 14 : Nouveux systèmes géodésiques utilisbles en Frnce (WGS84, ED87)». L précision de ce modèle à l'époque de s détermintion étit estimée à environ m. Les détermintions effectuées lors l'étblissement du RBF (environ 1000 points dns les systèmes RGF93 et NTF) confirment les vleurs de trnsltion (à 0 cm près) et l précision nnoncée vec des vleurs extrêmes inférieures à 5 m. Cette trnsformtion, dite «stndrd» et notée «T0», été doptée dns l qusi-totlité des tritements jusqu à l mise à disposition de l trnsformtion «pr grille de prmètres»..1. NTF ED50 T T T L précision de ce modèle à l'époque de s détermintion étit estimée à environ m. Il existe plusieurs jeux de prmètres de trnsformtion entre NTF et ED50. Celui-ci donne les vleurs officielles définies pr l'ign pour l Frnce dns le document «RT/G n 7 : Définition des systèmes géodésiques utilisés en Frnce (NTF, ED50, WGS7)»..1.3 ED50 WGS84 T T T L précision de ce modèle à l'époque de s détermintion été estimée à environ m. Cette trnsformtion est issue de l composition des trnsformtions ED50 WGS7 et WGS7 WGS84. Ces prmètres de trnsformtion sont officiellement définis pr l'ign dns les documents RT/G n 14 et RT/G n 7. 6 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN

7 . Trnsformtions pr grille de prmètres..1 NTF RGF93 Dns le contexte de l étblissement d'un nouveu système géodésique de référence pour l Frnce métropolitine (le RGF93), l IGN développé un nouveu processus de trnsformtion de coordonnées de mnière à fciliter le pssge de l NTF u RGF93. Le principe du processus de trnsformtion est l'interpoltion dns un semis de points régulièrement réprtis, une grille de prmètres tridimensionnels de trnsltion entre systèmes. L grille de prmètres de trnsformtion de coordonnées NTF RGF93 est l grille GR3DF97 u ps régulier de 0.1 en longitude et ltitude. Elle est fournie sous forme d'un fichier texte (SCII). GR3D GR3D GR3D INTERPOLTION BILINEIRE GR3D3 PREC CM 01:5 0:10 03:0 04:50 99> Entête du fichier GR3D (codes IGN) GR3D1 GR3D GR3D : 00(NTF) [vers] 04(RGF93) 04 : RGF : (coordonnées géogrphiques) 037 (ellipsoïde IG GRS 80) 0 (degrés décimux) 01 (méridien interntionl de Greenwich) longitude minimle longitude mximle ltitude minimle ltitude mximle ps en longitude et en ltitude en degrés décimux (ici les deux ps de grilles sont égux : 0.1 ). mode d'interpoltion (ici, bilinéire) codes de précision de l trnsformtion Corps du fichier (1 enregistrement pr nœud de l grille) longitude, ltitude T, T,T code de précision feuille u 50000e en degrés décimux prmètres de trnsformtion de coordonnées crtésiennes (trnsltion) de NTF vers RGF93 xx -xxxx : feuille à l échelle du 1 / existnte L : feuille fictive en limite de zone d'ppliction de l grille - : feuille fictive hors zone d'ppliction de l grille L grille de prmètres est exprimée en longitude et ltitude dns le système géodésique RGF93 (ellipsoïde IG GRS80, méridien interntionl, degrés décimux) et les 3 prmètres de trnsformtion sont donnés en mètres dns le sens NTF RGF93. Ils correspondent ux coordonnées de l'origine de l NTF exprimées en RGF93. IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

8 Le processus de trnsformtion de coordonnées dépend donc du sens de l trnsformtion. L'interpoltion est directe à prtir des coordonnées géogrphiques dns le sens RGF93 NTF. Dns le sens inverse, elle nécessite un premier clcul pproché utilisnt les prmètres de l trnsformtion stndrd (T0). Schém du processus de trnsformtion de coordonnées utilisnt l grille de prmètres GR3DF97 8 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN

9 3 lgorithmes 3.1 Constntes Lmbert Frnce Lmbert I Lmbert II Lmbert III Lmbert IV Lmbert 93 n 0, , , , , C , , , , ,46 S , , ,000 34, ,000 S ,674 (*) , , , ,050 (*) Lmbert II étendu : Lmbert II vec S = ,768 m 0 = 0 grdes Pris (soit 0' 14,05" E Greenwich) e = 0, Lmbert zone Lmbert zone ttention : cet lgorithme ne peut ps être utilisé vec le Lmbert 93 en entrée n, C, S, S : constntes de l projection (vec indices I et F pour «initil» et «finl») I, I : coordonnées Lmbert initiles en sortie F, F : coordonnées Lmbert finles F = n F SI I rctn = 1 I ln I I SI ni ( I SI) ( I SI) n C R F = C F exp( n F ) F = SF + R F sin F F = SF R F cos F ppliction numérique : Lmbert I Lmbert étendu I = ,00 m I = ,00 m IIétendu = 75083,1 m IIétendu = ,77 m 3.3 Lmbert coordonnées géogrphiques en entrée en sortie n, C, S, S : constntes de l projection : longitude, ltitude 0 : longitude du méridien centrl e : excentricité de l'ellipsoïde, : coordonnées Lmbert IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

10 R = ( S) ( S) = rctn S S 0 + n = 1 n ln R C = -1 (, e ) NB : -1 (,e) représente l ltitude isométrique inverse, obtenue à l'ide de l'lgorithme ltitude à prtir de l ltitude isométrique. ppliction numérique : Lmbert I Coordonnées NTF = ,083 m = 7 73,849 m (rd) = 0, E (rd) = 0, N 3.4 Coordonnées géogrphiques Lmbert en entrée en sortie n, C, S, S : constntes de l projection, : coordonnées Lmbert 0 : longitude du méridien centrl e : excentricité de l'ellipsoïde : longitude, ltitude = 1 1 sin e 1 esin ln ln 1 sin 1 esin R = C exp( n ) = n ( 0 ) = S + R sin = S R cos ppliction numérique : Coordonnées NTF Lmbert = 0, gr E Pris = 51, gr N = 63 54,058 m = ,145 m 3.5 Ltitude à prtir de l ltitude isométrique en entrée en sortie : ltitude isométrique : ltitude e : excentricité de l'ellipsoïde 10 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN

11 0 = rctn ( exp ( ) ) est obtenu pr itértions successives 1 esin i 1 ( e/ ) i = rctn( ( ) exp ( ) ) 1 esin i 1 ppliction numérique = 1, (rd) = 0, e = 0, Prmètres des projections coniques conformes de Lmbert Lmbert I Lmbert II Lmbert III one d'ppliction (ltitude) de 57,0 gr à 53,5 gr de 53,5 gr à 50,5 gr de 50,5 gr à 47,0 gr Ltitude origine 55 gr (49 30') 5 gr (46 48') 49 gr (44 06') Longitude origine (*) 0 gr Pris (*) 0 gr Pris (*) 0 gr Pris Prllèles utomécoïques 48 35'54,68" 45 53'56,108" 43 11'57,449" 50 3'45,8" 47 41'45,65" 44 59'45,938" Eo m m m No m m m Fcteur d'échelle 0, , , Lmbert IV Lmbert II étendu Lmbert 93 one d'ppliction (ltitude) de 47,8 gr à 45,9 gr de 57,0 gr à 45,9 gr de 41 à 51 Ltitude origine 46,85 gr (4 09'54") 5 gr (46 48') 46 30' Longitude origine (*) 0 gr Pris (*) 0 gr Pris 3 00' est Grenwich Prllèles utomécoïques 41 33'37,396" 45 53'56,108" '03,588" 47 41'45,65" 49 Eo 34,358 m m m No ,369 m m m Fcteur d'échelle 0, , , (*) 0 grde Pris = 0' 14,05" Est Greenwich Lmbert I, II, III, IV, II étendu Lmbert 93 Référentiel géodésique NTF RGF93 Ellipsoïde Clrke 1880 IGN IG GRS 80 Demi grnd xe () , m ,00 m pltissement (f) 1 / 93, /98, Première excentricité (e) 0, , IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

12 Prmètres des projections Coniques Conformes 9 ones (CC 9 ones) Ltitude origine : 0 one d'ppliction (*) 41+N 0 +/- 111 km Prllèle utomécoïque Prllèle utomécoïque Longitude origine ou méridien centrl de l projection : 0 E 0 N 0 3 Est Greenwich m (*) (N * ) m (*) N : numéro de l zone (de 1 à 9) 1 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN

13 3.6 Coordonnées géogrphiques RGF93 vers CC 9 ones en entrée 0, 1,, E 0, N 0 : prmètres de l projection 0 : longitude du méridien centrl en sortie, : coordonnées CC 9 ones : demi grnd xe de l ellipsoïde e : excentricité de l'ellipsoïde : longitude, ltitude RGF93 L(,e) = 1 1 sin e 1 esin ln ln 1 sin 1 esin cos( ) 1 e sin ln cos( 1) 1 e sin 1 n L(, e) L(, e) S E 0 1 C R = C exp( n L,e ) = n ( 0 ) = S + R sin S cos( 1) 1 e sin 1 exp( n L( 1, e) n N0 c exp( n L( 0, e)) = S R cos 3.7 CC 9 ones vers coordonnées géogrphiques RGF93 en entrée 0, 1,, E 0, N 0 : prmètres de l projection 0 : longitude du méridien centrl en sortie : longitude, ltitude RGF93 e : excentricité de l'ellipsoïde, : coordonnées CC 9 ones ln n cos( ) 1 e sin cos( 1) 1 e sin 1 L(, e) L(, e) 1 C cos( 1) 1 e sin 1 exp( n L( 1, e) n S 0 S 0 c exp( n L( 0, e)) R = ( S) ( S) = rctn S S = 1 n ln R C 0 + n = -1 (, e ) NB : -1 (, e ) représente l ltitude isométrique inverse, obtenue à l'ide de l'lgorithme ltitude à prtir de l ltitude isométrique. IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15

14 4 Logiciel de trnsformtion de coordonnées : Circé Frnce Circé Frnce convertit des coordonnées géogrphiques ou crtogrphiques d'un système de coordonnées dns un utre depuis l émergence du Réseu Géodésique Frnçis, en permettnt l ccès u système RGF93 et ux références d ltitudes IGN69 (et IGN78 pour l Corse). Un système de coordonnées sert à décrire et identifier les coordonnées des différentes publictions géodésiques ou crtogrphiques (fiches signlétiques, crtes topogrphiques...). Il comprend le référentiel (ou système géodésique de référence), le type de coordonnées (crtésiennes,, ; géogrphiques,, h e ; plnes E, N), les unités et le méridien origine et l projection crtogrphique 3. Des trnsformtions multiples Circé Frnce propose des prmètres stndrds de trnsformtion (notmment entre WGS84 et NTF) insi que des conversions pr grille de trnsformtion de coordonnées fournissnt les prmètres de trnsltion (T, T, T ) entre RGF93 et NTF. L précision des prmètres stndrds est métrique et celle de l grille est centimétrique. Circé Frnce rélise l mjeure prtie des trnsformtions de coordonnées sur l Frnce. Il trite les coordonnées plnes telles que Lmbert (I, II, III, IV), Lmbert-93, Coniques Conformes 9 zones, UTM fuseux 30, 31 et 3, les coordonnées géogrphiques et les trnsformtions entre les systèmes ED50, WGS84, NTF et RGF93. Des ltitudes précises L composnte verticle prise en compte peut être une ltitude ou une huteur u-dessus de l ellipsoïde de référence lié à l un des systèmes géodésiques concernés pr l trnsformtion. L ltitude d un point de l Frnce métropolitine est clculée vec les surfces de conversion issues du modèle de géoïde le plus récent : l Référence des ltitudes Frnçises 009 (RF09) et l Référence des ltitudes de l Corse 009 (RC09). Précision L précision obtenue sur les coordonnées trnsformées peut vrier entre le mètre et le millimètre. Une estimtion en est fournie pr le logiciel, mis l exctitude est liée à plusieurs fcteurs : l précision des coordonnées des points dns le système géodésique initil, l définition intrinsèque du système, l définition reltive du système pr rpport ux utres, c est-à-dire le choix des points communs et des processus utilisés lors de l'élbortion des prmètres de trnsformtion. pour des coordonnées géogrphiques 3 pour les coordonnées plnes 14 / 15 Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / 013 IGN / SGN

15 Selon le type de coordonnées choisi, Circé Frnce offre l possibilité de choisir unités métriques, degrés sexgésimux, degrés et minutes décimles, grdes ou encore rdins. Une instlltion et une utilistion simples L instlltion de Circé Frnce nécessite un PC vec 16 Mo de RM disponibles et 10 Mo de ROM. Il fonctionne vec les systèmes Windows cournts. Circé Frnce fonctionne en mode mnuel pour des conversions ponctuelles ou en mode fichier pour des tritements pr lots de points. L'utilisteur spécifie les crctéristiques des coordonnées en entrée (moitié hute de l fenêtre) et en sortie (moitié bsse de l fenêtre). Il est en outre possible d éditer un rpport de l opértion, structuré pour l impression. Des versions en mode commnde et pour Linux sont églement disponibles. Circé Frnce est téléchrgeble grtuitement sur geodesie.ign.fr IGN Service de Géodésie et Nivellement Informtion Géodésique (+33) sgn@ign.fr Contct commercil IGN / SGN Trnsformtion entre systèmes géodésiques / version 3 / / 15