Cours de Mathématiques pour la Physique

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1 Mustapha SADOUKI Maitre de Conférences Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama à Khemis-Miliana Cours de Mathématiques pour la Physique Intégrales simples et multiples Intégrales impropres Equations différentielles Les séries : Numériques, Entières et de Fourier Transformation de Fourier Transformation de Laplace Tome 1

2 Le présent document est le fruit d une expérience pédagogique acquise ces quatre dernières années ( ) dans le cadre de l enseignement assurée de la deuxième année licence de physique. Ce cours polycopié correspond au programme de l Unité d Enseignement Fondamental UEF-F121 : «Séries et équations différentielles» de la deuxième année de la licence de physique fondamental, il intéressera aussi les étudiants de la licence sciences et technologies en Electronique, Electromécanique, Génie Mécanique, Génie Civil, automatique Je tiens à remercier Monsieur Mohamed FELLAH professeur à l Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène d Alger, Professeur Mourad LOUNIS et Maamar BENBACHIR maitre de conférences à l université Djilali Bounaama de Khemis-Miliana pour leurs conseils critiques et suggestions. Pour toute remarque contactez: sadmus@yahoo.fr

3 Sommaire Cours de Mathématiques pour la Physique Sommaire Chapitre 1 : Intégrales simples et multiples 1. Intégral de Riemann 1.1 Calcul d une aire 1.2 Propriétés 1.3 Applications Valeur moyenne Valeur efficace Intégrales indéfinies Intégrales généralisées Méthodes d intégration Décomposition en somme Intégration par parties changement de variable Intégrales doubles Généralités Calcul en coordonnées cartésiennes Calcul en coordonnées polaires Calcul d aire du domaine D Changement de variables Intégrales triples Généralités Méthodes de calcul de l intégrales triple Calcul en coordonnées cartésiennes Calcul de l intégrale triple sur un parallélépipède rectangle Calcul de l intégrale triple par la méthode de tranche Calcul de l intégrale triple par la méthode de bâtons Changement de variable dans les intégrales triples Déterminant Jacobien Calcul en coordonnées cylindriques Calcul en coordonnées sphériques 17 Chapitre 2 : Intégrales impropres (généralisées) Cas d un problème à une seule borne Cas d un problème aux deux bornes Intégrales faussement impropres Propriétés Théorème de convergence Fonction intégrables Théorème de convergence Critère d équivalence Fonction intégrables Utilisation de développements asymptotiques 25 Chapitre 3 : Equations différentielles Définition Equation différentielle linéaire du premier ordre Equation différentielle linéaire sans second membre Equation différentielle linéaire avec second membre Recherche d une solution particulière 29 Université Djilali Bounaama à Khemis-M i M.Sadouki

4 Sommaire Cours de Mathématiques pour la Physique Méthode de variation de la constante Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants Equation de Bernoulli et Equation de Riccati Equation de Bernoulli 31 Transformation d une équation de Bernoulli en équation linéaire Equation de Riccati 33 Transformation d une équation de Riccati en équation de Bernoulli 33 Transformation d une équation de Riccati en équation linéaire Equation différentielle d ordre deux Equation différentielle linéaire sans second membre à coefficients constants Equation différentielle d ordre deux linéaire avec second membre et à coefficients constants Solutions particulières Equation différentielle d ordre deux avec des coefficients non constants et sans second membre : Cas des équations incomplètes 38 Cas des équations F(x, y, y ) = 0 (absence de y) 38 Cas des équations F(y, y, y ) = 0 (absence de x) Equation différentielle d ordre deux linéaire sans second membre et à coefficients non constants : Equation différentielle d ordre deux linéaires à coefficients non constants avec second membre : Système d équations différentielles Définition d un système d équations différentielles Equation différentielle d ordre n Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants Cas des valeurs propres réelles Cas des valeurs propres complexes Cas d une matrice non diagonalisable Systèmes linéaires non homogènes à coefficients constants Equations aux dérivées partielles (EDP) Rappel sur les dérivées partielles Dérivées successives Dérivées d une fonction composées de deux variables Différentielles totales Formes différentielles totales exactes Application à l intégration d équations différentielles du premier ordre Facteur Intégrants Détermination de facteurs intégrants monovariables 56 Facteur intégrant de la forme F(x) 57 Facteur intégrant de la forme F(y) Généralisation aux fonctions de plus de deux variables : Différentielle totales et fonctions d etat Equation linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1 er ordre dans le cas d une fonction de 2 variables 62 Université Djilali Bounaama à Khemis-M ii M.Sadouki

5 Sommaire Cours de Mathématiques pour la Physique Chapitre 4 : Les séries 65 1 Séries numériques Série géométrique Série exponentielle Séries à termes positifs ou nuls Critères de Cauchy et de d Alembert Critère de Cauchy Critère de d Alembert Séries à termes quelconques Somme de séries 72 2 Séries entières Définitions Lemme d Abel Rayon de convergence d une suite entière Détermination de rayon de convergence Lemme d Hadamard Dérivée et primitive d une série entière Opération sur les séries entières Série de Taylor Equations différentielles et série entières La série des binômes Equation du second ordre Séries de Fourier Série trigonométrique Condition de Dirichlet Expression de décomposition en série de Fourier Forme algébrique de la décomposition en série de Fourier Forme polaire de la décomposition en série de Fourier Forme complexe de la décomposition en série de Fourier Parité des fonctions Cas des fonctions paires Cas des fonctions impaires Développement en série de Fourier de fonction non périodiques Relation de Parseval 91 Chapitre 5 : Transformation de Fourier Définition Inversion de la transformation de Fourier Propriétés de la transformation de Fourier Linéarité Translation Modulation Changement d échelle Conjugaison complexe Transformée de Fourier de la dérivée d une fonction Dérivation de la transformée de Fourier Convolution et transformation de Fourier Théorème de Parseval Conservation de la norme Transformée de Fourier d une fonction radiale à deux et trois dimensions Transformation de Fourier d une fonction de plusieurs variables 100 Université Djilali Bounaama à Khemis-M iii M.Sadouki

6 Sommaire Cours de Mathématiques pour la Physique 6. Relation d incertitude 101 Chapitre 6 : Transformation de Laplace Définition et transformée inverse Propriétés des transformées de Laplace Linéarité Translation dans l espace de départ Dilatation ou contraction dans l espace de départ Transformée de Laplace d une fonction modulée transformée de Laplace de la dérivée d une fonction Transformée de Laplace de la primitive d une fonction Dérivation de la transformée de Laplace Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale Transformée de Laplace d un produit de convolution Applications : Transformature de Laplace des fonction usuelles Transformée de Laplace de l impulsion de Dirac Transformée de Laplace de l échelon unitaire Transformée de Laplace de la fonction sinus Transformée de Laplace de la fonction cosinus Transformée de Laplace de l exponentielle Résolution d une équation différentielle linéaire Table de transformées de Laplace 110 Annexe Bibliographie Université Djilali Bounaama à Khemis-M iv M.Sadouki

7 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Chapitre 1 : Intégrales simples et multiples 1. Intégrale de Riemann 1.1 Calcul d une aire : Soit f une fonction une fonction de la variable réelle telle que pour tout x de l intervalle [a, b] f(x) 0. On note C f sa représentation graphique, on appelle S la surface décrite par a x b S: 0 y f(x) x, x,, x des réels tels que a = x < x < x < < x = b. (1.1) Dans chaque intervalle de la forme [x, x ] on choisit un réel h (au hasard) et on pose Y = f(h ). On appelle alors R le rectangle de base [x, x ] et de hauteur Y. Les rectangles R recouvrent approximativement la surface S, plus les largeurs des rectangles R sont petites, plus l approximation est «bonne». On définit x = max (x x ) et on impose la condition x 0, Riemann pose alors S = y (x x ) et on démontre que : Si lim S = L alors L ne dépend pas du choix des x, x,, x ni des h. Dans ce cas on note L sous la forme f(x)dx qui se lit «somme entre a et b de f(x)dx. a et b sont les bornes de l intégrale, f(x)dx est l intégrante, dx est l élément différentiel et x est une variable «muette» qui n intervient pas dans le résultat. y f(x) Y k R k a = x 0 x 1 x 2 x k-1 h x k x n-1 x n = b x Figure 1.1 Intégrale de Riemann Université Djilali Bounaama à Khemis-M 1 M.Sadouki

8 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples 1.2 Propriétés : Nous admettons les propriétés suivantes : Positivité : si f(x) 0 pour tout x [a, b] avec a < b alors f(x)dx 0 Conservation de l ordre : Si f(x) < g(x) pour tout x [a, b] alors f(x)dx g(x)dx Linéarité : [αf(x) + βg(x)]dx = α f(x)dx + β Relation de Chasles : f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx Symétries : f(x)dx = 2 f(x)dx si f est paire 0 si f est impaire Période : si f a pour période T alors : f(x)dx = f(x)dx et f(x)dx f(x)dx f(x) dx = f(x)dx Si F est une primitive quelconque de f alors on a : 1.3 Applications Valeur moyenne - Valeur efficace f(x)dx = [F(x)] = F(b) F(a) g(x)dx La valeur moyenne de «plusieurs» nombres est la constante qui en remplaçant chacun de ces nombres donnerait la même «somme». Exemple : - Calculer la moyenne des carrés des réels compris entre 0 et 1 x dx = mdx m = 1/3. - Calculer la moyenne des sinus des réels compris entre 0 et π/2 / Définitions : sin(x) dx / = mdx m = 2/π. La fonction f étant intégrable dans [a,b] : On appelle moyenne de f (x) dans [a, b] le nombre m = f(x)dx. On appelle valeur efficace de f (x) dans [a, b] le nombre v tel que v = f(x) dx Université Djilali Bounaama à Khemis-M 2 M.Sadouki

9 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples 1.4 Intégrales indéfinies : La notation sans borne f(x)dx présente intégrale indéfinie, le calcul de cette intégrale se termine toujours par une constante d intégration. Exemple : x dx = 1 3 x + cste 1.5 Intégrale généralisées La méthode de Riemann ne peut s appliquer qu à des intégrales dans un intervalle borné lorsque l un des deux bornes d intégration est infini le calcul de l intégrale passe par un calcul de limite. f(x)dx désigne lim f(x)dx De même, pour f(x)dx Enfin, pour la notation séparément les deux limites. 1.6 Méthodes d intégration : Décomposition en somme désigne lim f(x)dx f(x)dx, on sépare l intégrale en deux parties pour pouvoir traiter Si une fonction f est telle que f(x) = f (x) + f (x) et si f (x) et f (x) ont des primitives on calcule f(x)dx Exercice : Calculer I = Solution : dx en utilisant f(x)dx I = dx = x dx = + 4ln (2) Intégration par parties = f (x)dx + f (x)dx On sait que d(uv) = vdu + udv et en intégrant d(uv) = vdu + udv. C'est-àdire : uv = vdu + udv, on en déduit : - Pour les intégrales indéfinies : udv = uv vdu - Pour les intégrales définies udv = [uv] vdu Université Djilali Bounaama à Khemis-M 3 M.Sadouki

10 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Remarque : L intégration par parties est commode dans les cas où f(x) est de l une des formes P(x)e ou P(x)sin(ωx) où P(x)ln (ax), ( P(x) est un polynôme) Changement de variable On suppose que f est une fonction intégrable dans [a, b], que φ est une fonction à φ(α) = a dérivée continue, réalisant une bijection de [α, β] vers [a, b] et telle que φ(β) = b conditions f(x)dx Exercices : = fφ(t). φ (t)dt. - Calcule I = 1 x dx dans ces x [ 1; 1], on pose x = sin t avec t [, + ] alors 1 x = cos (t) et dx = cos(t) dt avec t = Arcsin(x) on obtient, I = cos (t)dt = 1 + cos (2t) dt = 1 sin(2t) t + + Cte = 1 2 Arcsin(x) + x1 x + Cte - Calcule I = x ln(x) dx I = x ln(x) dx = x ln (x) x dx (intégration par partie)) = e e 3 = 2e Calcule I = ( ) du (changement de variable) On pose u = tan (x) d où du = (1 + u ). dx et = cos (x) 1 (1 + u ) du = cos (x)dx = 1 sin (2x) x + + Cst 2 2 = 1 u Arctan(u) u + Cste - Calcule I = dx (changement de variable) On pose u = 1 + x d où u = 1 + x et 2udu = dx On obtient : I = dx =. 2u. du Université Djilali Bounaama à Khemis-M 4 M.Sadouki

11 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples I = 2 (u 1)du = 2 u 3 u + Cte = x x Cte - Calcul de x 1 + x (changement de variable) On pose u = 1 + x x = 1 u = 2 d où du = 2xdx et x = 0 u = 1 On obtient : x 1 + x = u du = u/ = Calcul de Arcsin(x). dx (intégration par partie + changement de variable) I = Arcsin(x). dx = xarcsin(x) x 1 dx = xarcsin(x) 2 du 1 x u = xarcsin(x) + u + Cte Où on a posé u = 1 x du = 2xdx On obtient : I = xarcsin(x) + 1 x + Cte. - Calcul de x e dx (changement de variable + 3 intégrations par partie) On pose t = x d où t = x dx = 2tdt x e dx = 2 t e dt = = 2e x x 3x + 6 x 6 + Cte 2. Intégrales doubles 2.1 Généralités : Soit f une fonction des deux variables x et y définie sur un domaine D R. On sait que lorsqu'on fait varier les coordonnées du point M(x, y) dans D et que l'on reporte sa cote U = f(m), on obtient la représentation graphique de f qui est une surface que l'on notera Σ. ds est la surface infinitésimale entourant le point M. Alors f(m)ds représente le volume du prisme infinitésimal dessiné ci dessous (fig 1.2). Lorsqu'on fait la somme de tous les volumes des prismes f(m)ds pour tous les points M D, on obtient une intégrale double : I = f(m)ds (1.2) Université Djilali Bounaama à Khemis-M 5 M.Sadouki

12 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Figure 1.2- Représentation graphique de f(m) lorsque M varie dans le domaine D Cette intégrale double représente mathématiquement le volume algébrique compris entre le plan xoy délimité par le domaine D et la surface Σ. La notation renvoie au fait que le domaine d'intégration est une surface à deux dimensions et donc que nous allons procéder à deux intégrations successives. 2.2 Calcul en coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes, l'élément de surface ds s'obtient en faisant varier x de dx et y de dy. Ainsi ds est un rectangle de côtés dx et dy et donc ds = dxdy. On a donc : On peut inverser les rôles de x et y et on obtient : Exemple : () I = f(x, y)dxdy (1.3) I = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy (1.4) () () - Calcule I = (1 + x)dxdy On a I = f (x)f (y)dxdy - Calcule l intégrale double où D = [0,1]x[0,2] = dy () (1 + x) dx = 3 I = (x + y)dxdy où D = {(x, y) R ; x 0, y 0, x + y 1} - Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 à 1 x, donc : I = f(x, y) dxdy = (x + y)dy dx = Y 1 D 0 1 x Université Djilali Bounaama à Khemis-M 6 M.Sadouki

13 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples 2.3 Calcul en coordonnées polaires On obtient l'élément de surface ds en coordonnées polaires, en faisant varier r de dr et θ de dθ. ds est alors un secteur angulaire que l'on considère comme un pseudo rectangle infinitésimal de longueur dr et de largeur rdθ. Ainsi ds = rdrdθ. L intégrale I se calcule par deux intégration successives : I = g(r, θ) () rdrdθ = rg(r, θ) dr dθ (1.5) () y ds=rdrdθ r+dr rdθ dr θ+dθ O θ x Figure 1.3 Elément de surface ds en coordonnés polaires. Soit I = f(u, v)dudv une intégrale double. On dit que le domaine d'intégration D est un pavé si les bornes v min (u) et v max (u) sont indépendantes de u. Dans ce cas on a : I = f(u, v)dudv = f(u, v)dudv (1.6) Lorsque l'on est en coordonnées cartésiennes, un pavé est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. En coordonnées polaires, un pavé est un secteur circulaire. Si en plus sur ce pavé D on a f(u, v) = g(u)h(v), on dit que f est à variables séparables, dans ce cas on peut alors transformer le calcul d'une intégrale double en un produit de deux intégrales simples : Exercice : I = f(u, v)dudv = h(v)dv x g(u)du (1.7) - Calculer I = xydxdy où D est le pavé [0, 1]x[0, 2] Université Djilali Bounaama à Khemis-M 7 M.Sadouki

14 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Solution : 2.4 Calcul de l aire du domaine D : I = xydxdy = xdx ydy = 1 Dans le cas où f(u, v) = 1, l intégrale A = dudv correspond à l aire du domaine D. En coordonnées cartésiennes A = dxdy et en coordonnées polaires A = rdrdθ. Exercice : Calculer l aire de la région du plan xoy délimitée par les courbes : 2y = 16 x et x + 2y = 4 A Solution : Lorsque x varie entre -4 et 4, y varie entre A y = (4 x) et y = (16 x ) A = dy dx () = 1 2 x + 1 x + 6 dx = Changement de variable : On appelle jacobien de φ: (u, v) (x, y) le déterminant suivant : x det jφ(u, v) = u y u x v (1.8) y v Soit D une partie de R et φ: [u, u ]x[v, v ] [x, x ]x[y, y ] telle que φ(ω) = D, on a alors : f(x, y)dxdy = fφ(u, v)det jφ(u, v) dudv. Soit D un domaine défini en coordonnées polaires comme un pavé Ω = [r, r ]x[θ, θ ]. On a φ: [r, θ] [r cos θ, r sin θ] et on retrouve alors : Université Djilali Bounaama à Khemis-M 8 M.Sadouki

15 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples f(x, y)dxdy = f(rcosθ, rsinθ) r drdθ (1.9) Exercice : - Calculer en passant aux coordonnées polaires I = dxdy D est la couronne limitée par les cercles de centre O et de rayons respectifs a et b (0 < a < b). Solution : Le domaine D est obtenu lorsque les coordonnées polaires (r,θ) parcourent le rectangle. D = [a, b]x[ π, π] D autre part, f(r cos θ, r sin θ) =. Donc : I = f(r cos t, r sin t)rdrdθ = = D D dθ O θ a b = 2π ln b a 3. Intégrales triples 3.1 Généralités Soit f une fonction de trois variables x, y et z définie sur un domaine V R, est M est un point appartient à V (M V) entouré par un volume infinitésimale dv. Lorsqu on fait la somme de tous les volumes pour tous les points M V, on obtient une intégrale triple : I = f(m)dv (1.10) Question : pourquoi calcule-t-on une intégrale triple?. Calcul de masse : Si V est un domaine de l espace constitue d un matériau de masse volumique µ(x,y,z), alors la masse m de V est égale à : m = μ(x, y, z)dxdydz (1.11) Université Djilali Bounaama à Khemis-M 9 M.Sadouki

16 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples. Calcul de volume : Lorsque, en particulier, μ(x, y, z) = 1, (x, y, z) V, cette masse est égale au volume du domaine V multiplié par 1, ce qui permet de calculer le volume V d un domaine quelconque de l espace par : V = dxdydz (1.12) Calcul des coordonnées du centre de gravité d un domaine de l espace : Les coordonnées (x G, y G, z G ) du centre de gravité d un domaine V de masse volumique μ(x, y, z) sont données par : x = 1 m x (x, y, z)dxdydz y = 1 m y (x, y, z)dxdydz z = 1 m z (x, y, z)dxdydz (1.13) 3.2 Méthodes de calcul d une intégrale triple : Calcul en coordonnées cartésiennes : On procède par analogie avec les intégrales doubles. En coordonnées cartésiennes, l'élément de volume dv s'obtient en faisant varier x de dx, y de dy et z de dz et donc dv = dxdydz. On a alors : () (,) I = f(x, y, z) dz dy dx (1.14) () (,) Bien sur, on peut intervertir les rôles de x, y, z. ainsi, on a 6 possibilités différentes pour le calcul de l intégrale I. Université Djilali Bounaama à Khemis-M 10 M.Sadouki

17 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Exemple : Figure 1.4 Bornes d intégrations en coordonnées sphériques Calcule I = (x + y + z) dxdydz. Où V = {(x, y, z) R /x 0, y 0, z 0, x + y + z 1} Solution : La projection du domaine V sur le plan xoy est le domaine D limité par les axes et le droite d équation x + y = 1. Lorsque (x, y) appartient à D, on a x z 1 V 1 1 y Y 1 D 1 x I (x, y) = [(x + y + z) dxdy]dz On calcule alors l intégrale double, I = Lorsque x est compris entre 0 et 1, on a : = () = (1 (x + y) ), (1 (x + y) )dxdy, I (x) = I (x, y)dy = 1 (1 (x + y) )dy 3 = 1 3 y (x + y) 4 = 1 4 x x Université Djilali Bounaama à Khemis-M 11 M.Sadouki

18 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Alors, I = I (x) dx = 1 4 x x dx = x 4 x x = Calcul d une intégrale triple sur un parallélépipède rectangle : Le calcul pratique de cette intégrale triple va se ramener au calcul pratique d une intégrale simple et d une intégrale double, ou de trois intégrales simples sur un domaine V = [a, b ]x[a, b ]x[a, b ]. I = f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z) dz dy dx (1.15) Il est facile de voir que l on peut écrire les intégrales simples dans n importe quel ordre puisque les bornes de ces intégrales sont indépendantes lorsque le domaine d intégration est un parallélépipède rectangle. Exemples : Donner la valeur de l intégrale suivant : I = (1 + x)zdxdydz I = I = où V = [0,1]x[0,2]x[0,1]. - I = f(x, y, z)dxdydz = (1 + x)dx dy x ye dxdydz où V = [0,1]x[0,2]x[ 1,1]. z dz = 2 = - Puisque la dérivée par rapport à z de e xyz est xye xyz, on peut commencer par intégrer par rapport à z, ce qui donne : x ye dxdydz = x xye dz dxdy où D= [0,1]x[0,2]. I = (xe xe )dy dx = [e e ] dx Calcul de l intégrale triple par la méthode de tranche : = sh2 2. Lorsque le domaine V de l espace n est pas un parallélépipède rectangle on peut ramener le calcul de l intégrale triple à celui d une intégrale simple et d une intégrale double. La difficulté consiste à trouver les «bonnes» bornes de cette intégrale simple et de cette intégrale double. On suppose que le domaine V peut être défini par : V = {(x, y, z) R /a z b, (x, y) D } où D z est le domaine (plan) intersection de volume V avec le plan parallèle à xoy qui a pour cote z, ce domaine D z varie avec z en Université Djilali Bounaama à Khemis-M 12 M.Sadouki

19 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples général, a 3 est la plus petite cote des points du domaine V et b 3 la plus grande cote des points de V. On peut montrer que I = f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdy dz (1.16) Figure 1.5 Méthode des tranches Dans la formule précédente on a privilégié l'axe Oz. On aurait pu aussi bien privilégier l'axe Oy, ce qui donnerait I = f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdz dy Exemples : 1. Soit V = {(x, y, z) R / x + y + (z 1) 1, z 1} Montrer que I = f(x, y, z)dxdydz peut s écrire : I = f(x, y, z)dxdy dz où f(x, y, z)dzdz dx Préciser les valeurs de a 3, b 3, a 1, b 1. Solution : Le volume est la demi boule de centre (0,0,1), de rayon 1 située au dessous du plan d'équation z = 1. Donc z varie de 0 à 1: a 3 = 0, b 3 = 1. D z0 est l'intersection de avec le plan d'équation z = z 0, il s'agit donc d'un disque situé dans le plan d'équation z = z 0, centré en (0,0,z 0 ) et de rayon 1 (z 1). x varie de -1 à 1: a 1 = -1, b 1 = 1. Université Djilali Bounaama à Khemis-M 13 M.Sadouki

20 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples D x0 est un demi disque situé dans le demi-plan x = x 0, z 1, de centre (x 0, 0, 1) et de rayon 1 x. 2. Calculer par la méthode des tranches le volume du domaine V = {(x, y, z) R / x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. Solution : - I = dxdydz = dxdy dz Où D z est le triangle {x 0, y 0, x + y 1 z}, ce qui donne : I = dxdydz = dydx dz = 1/ Calcul d une intégrale triple par la méthode des bâtons : Dans la méthode des tranches, on a exprimé une intégrale triple I comme une intégrale simple d'intégrale double, on peut également exprimer I comme une intégrale double d'intégrale simple, c'est la méthode des bâtons qui va être décrite ci-dessous. On suppose maintenant que le domaine V est décrit par : V = {(x, y, z) R / (x, y) D, α(x, y) z β(x, y)} L expression de l intégrale triple par la méthode des bâtons est la suivantes : (,) I = f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dz dxdy (1.17) (,) Le domaine plan D est la projection orthogonale de V sur le plan xoy. Figure 1.6 Méthode des bâtons Université Djilali Bounaama à Khemis-M 14 M.Sadouki

21 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Soit un point de coordonnées (x,y) dans D, on considère alors la droite parallèle à Oz et qui passe par ce point. Cette droite coupe le domaine V en deux points dont les cotes α(x, y) et β(x, y) comme cela est représenté par la figure (1.6). En fait z = α(x, y) est la surface qui limite le domaine V vers le bas. z = β(x, y) est la surface qui limite le domaine V vers le haut. On aurait aussi en privilégiant l axe Oy I = f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dy dxdz (1.18) (,) (,) où D est la projection de V dans le plan xoz et [α(x, z), β(x, z)] est l intersection de la droite parallèle à Oy passant par le point (x,y) du domaine D avec V. Exemples : 1. Soit V = {(x, y, z) R / x + y + (z 1) 1, z 1}. Montrer que : I = (,) (,) f(x, y, z)dxdydz peut s écrire f(x, y, z)dy dxdz - Le volume V est la demi boule de centre (0,0,1), de rayon 1 située au dessous du plan d équation z = 1. Donc D, projection de V sur le plan xoy est un disque de centre O et de rayon 1. - La surface qui limite le volume au dessus est le plan z = 1, la surface qui limite le volume en dessous est la demi sphère inférieure d équation z = 1 1 x y. d où α(x, y) = 1 1 x y et β(x, y) = 1 2. Calculer par la méthode des bâtons le volume du domaine V = {(x, y, z), x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. - dxdydz 0, x + y 1} ce qui donne = dz dxdy, où D est le triangle du plan xoy {x 0, y dxdydz = (1 x y)dydx = 1/6 3.3 Changement de variable dans les intégrales triples Déterminants jacobien : On considère le changement de variables suivant : x = a(u, v, w) y = b(u, v, w) z = c(u, v, w) (u, v, w) Ω (1.19) Université Djilali Bounaama à Khemis-M 15 M.Sadouki

22 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Où a, b, c sont des fonctions supposées continument différentiables sur un domaine Ω de l espace R 3. On appelle matrice jacobienne, la matrice j(u,v,w) suivante : a(u, v, w) u b(u, v, w) j(u, v, w) = u c(u, v, w) u a(u, v, w) v b(u, v, w) v c(u, v, w) v et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant : Par le changement de variable ci-dessus, on a : a(u, v, w) w b(u, v, w) w c(u, v, w) w (1.20) DJ(u, v, w) = det J(u, v, w) (1.21) I = f(x, y, z)dxdydz = g(u, v, w) DJ(u, v, w) dudvdw Le terme DJ(u, v, w) représente la valeur du jacobien. (1.22) Exemples: Quelles sont les matrices jacobiennes des changements de variable : x = rcosθ y = rsinθ z = z Quel sont les jacobiens associées? Solution : et x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ. z = rcosθ cosθ rsinθ 0 - On a J(r, θ, z) = sinθ rcosθ 0 DJ(r, θ, z) = r cosφcosθ rcosφsinθ rsinφcosθ - J(r, θ, φ) = cosφsinθ rcosφcosθ rsinφsinθ DJ(r, θ, φ) = r cosφ sinφ 0 rcosφ Calcul en coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques sont données par : x = rcosθ I = y = rsinθ z = z (1.23) Ici dv est obtenu en faisant varier r de dr, θ de dθ et z de dz. dv est un pseudo-parallélépipède tel que dv = rdrdθdz. Université Djilali Bounaama à Khemis-M 16 M.Sadouki

23 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples Figure Elément de volume dv en coordonnées cylindriques On a donc : I = g(r, θ, z)rdrdθdz. dans la pratique, on calcule souvent ainsi : () (,) I = rg(r, θ, z) dz dr dθ (1.24) () (,) Exemple : Calculer le volume du cylindrique de rayon R et de hauteur h. Solution : V = rdrdθdz = rdr dθ dz = hπr Calcul en coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques sont données par : x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ L élément de volume est alors dv = r sinθdrdθdφ. et on a donc : (1.25) son calcul se fait de la manière suivante : I = h(r, θ, φ) r sinθdrdθdφ (1.26) Université Djilali Bounaama à Khemis-M 17 M.Sadouki

24 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples () (,) I = r h(r, θ, φ) dr sinθdθ dφ (1.27) () (,) Figure Elément de volume dv en coordonnées sphériques Exercice : Calculer I = zdxdydz Où V = {(x, y, z) R /x + y + z R ; z 0}. Solution : En coordonnées sphérique l intégrale I devient: où Ω(r, θ, φ) = [0, R]x 0, x[0,2π] I = r sinθ cos θ drdθdφ I = 1 2 r sin(2θ)drdθdφ = 1 2 r dr sin(2θ) dθ dφ = πr 4 Université Djilali Bounaama à Khemis-M 18 M.Sadouki

25 Chapitre 2 Intégrales impropres Chapitre 2 Intégrales impropres (généralisées) Le but de ce chapitre est de généraliser la notion d intégration à une fonction continue par morceaux sur un intervalle non borné ou sur un intervalle (semi) ouvert. 1. Cas d un problème à une seule borne : On donne ici la définition pour l intervalle [a, b[ où < a < b < +. on adaptera cette définition pour les intervalles suivants : [a,+ [, ], b] et ]a, b]. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b[ R. On dit que l intégrale de f sur [a,b[ est convergente ( ou converge, ou existe) lorsque l intégrale partielle F(x) = f(t)dt cas, on note cette limite est divergente ou qu elle n a pas de sens. Remarque : possède une limite finie lorsque x b, Si c est le f(t)dt dans le cas contraire on dit que l intégrale de f sur [a,b[ Si on est dans le cas de la convergence, et en notant F une primitive quelconque de f sur [a,b[, on utilisera la notation, f(t)dt = [F(t)] = lim (F(b) F(a)). Soit c [a,b[ : f(t)dt Exemples : converge f(t)dt Université Djilali Bounaama à Khemis-M 19 M.Sadouki - Soit f définie sur [1,+ [ par f(t) = 1/t. Pour x 1 on a : dt = convergente et on écrit = lim 1 dt converge = 1 donc l intégrale de f sur [1,+ [ est = 1. - Soit g définie sur [1,+ [ par g(t) =. Pour x 1 on a : dt = [ln t] = lim ln x = +. Donc l intégrale [1,+ [ est divergente. - Considérons la fonction cosinus sur R +. on a pour tout x 0 :

26 Chapitre 2 Intégrales impropres cos t dt = [sin t] = sin x qui n admet pas de limite lorsque x tend vers +, donc l intégrale cos t dt n a pas de sens. - Soit h définie sur ]0,1] par h(t) =. Pour 0 < x 1 on a : = 2 t = lim 2 2 x = 2 est donc l intégrale existe est vaut 2. - Montrons que ln t dt converge et vaut -1. Pour 0 < x 1 on a : ln t dt = [t ln t ] dt 2. Cas d un problème aux deux bornes : = lim x 1 x ln x = 1, d où le résultat. On s intéresse ici au cas des intervalles] a, b[, ], b[, ]a, + [ et R, c est `a dire au cas des intégrales doublement impropres. Donnons par exemple la définition sur ]a, b[. Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ R et c ] a, b [ On dit que l intégrale de f sur ]a, b[ est convergente lorsque les deux intégrales et f(t)dt f(t)dt divergente. Remarque : convergent, Si c est le cas, on note : = f(t)dt f(t)dt + f(t)dt, Sinon on dit que l intégrale de f sur ]a, b[ est Il faut décomposer en somme l intégrale donné pour connaitre sa nature. On retiendra par exemple que lim sin t dt diverge. sin t dt = 0 et pourtant sin t dt n a pas de sens puisque Exemple : On a déjà montré que = lim 1 = +. Donc est convergente. Pour x ]0, 1] on a : diverge. Ainsi l intégrale est divergente. 3. Intégrales faussement impropres On se place ici sur l intervalle [a, b[ où < a < b < +. Soit f une fonction définie sur [a, b[. si f admet une limite finie en b alors On dit dans ce cas que l intégrale est faussement impropre (ou mal écrite) en b. f converge. Université Djilali Bounaama à Khemis-M 20 M.Sadouki

27 Chapitre 2 Intégrales impropres Exemples : L intégrale / lim = 1. dt est faussement impropre en 0, donc converge. En effet, converge α > 1. et converge α < 1. En effet, Soit, on a les cas suivants : 1- Si α = 1, une primitive de 1/t sur R * + est lnt qui n admet de limite finie ni en + ni en 0 +, donc et divergent. Supposons désormais α x 1, vers = si α >1. 3- x ]0,1], et vers si α <1. On notera que incompatibles. e dt [t ] = qui tend, lorsque x + vers + si α < 1 et = [t ] = qui tend, lorsque x 0 +, vers + si α > 1 converge α > 0. est toujours divergente car les conditions α > 1 et α < 1 sont Pour α = 0 l intégrale est bien sur divergente, on suppose donc α 0. On a alors, pour tous x 0 : e dt = e = (1 e ) ce qui, lorsque x +, tend vers + si α < 0 et vers 1/α si α > 0. Dans le cas général, on montre par récurrence sur n le résultat suivant. α > 0, n N, t e dt converge et vaut! 4. Propriétés : 4.1 Linéarité : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a,b[ et λ une constante : - Si f converge et g converge alors (f + g) = f + g (f + g) converge et on a:. - Si f converge alors λf converge et vaut λ f Université Djilali Bounaama à Khemis-M 21 M.Sadouki

28 Chapitre 2 Intégrales impropres Attention aux éclatements illicites! On pourrait écrire : 1 = dt t = 1 + t t 1 t dt = 1 + t t dt dt t Or ça n a aucun sens car les deux dernières intégrales écrites sont divergentes. 4.2 Intégration par parties : Soient f et g deux fonctions de classe C 1 sur [a, b[. Si f g possède une limite finie en b, alors les intégrales f g et fg sont de la même nature. Si de plus elles sont convergentes, alors : Exemple : Montrons que l intégrale f g = [fg] fg dt converge et calculons sa valeur. ( ) On remarque que : lim t ln t = 0 et donc l intégrale est faussement impropre en 0, donc convergente. Une primitive de qui s annule en 0, c est-adire 1 est ( ) qui n a pas de sens. Il faut choisir la primitive de = mais si on fait ce choix, le terme tout intégré devient ( ). les trois objets de la formule ont alors un sens et on peut écrire : ( ) dt = dt = 0 [ln(1 + t )] =. 4.3 Changement de variable : Soient a et b deux réels tels que - a < b + ; φ une bijection de classe C 1 de ]a,b[ sur son image et f une fonction continue sur φ( ]a,b[ ). Les intégrales convergentes. () () f(t)dt et fφ(u)φ (u)du sont de la même nature, et égales si Exemple 1 : 1. Calculons I = La règle de Bioche nous invite à poser u = tan. soit t = 2 arctan u = φ(u). La fonction φ établit une bijection C 1 de [0,+ [ sur [0,π[ et la fonction f: t Université Djilali Bounaama à Khemis-M 22 M.Sadouki est continue sur [0,π[

29 Chapitre 2 Intégrales impropres donc on peut appliquer le théorème du changement de variable. On rappelle les formules suivantes : Pour u = tan ; cos t = ; sin t = ; dt = On a donc : I = Exemple 2 : = Pour a < b, calculons I = du ()() = arctan = π/ 3 (t a)(b t) = t + (a + b)t ab = t +. On a donc pour a < t < b u = D où : t i.e ()() = t = φ(u) = I = 2 b a 1 (b a) 1 u 2 u + où on a posé : où φ: ] 1,1[ ]a, b[ du = du 1 u = [arcsin u] = π 5. Théorème de convergence - Fonctions intégrables 5.1 Théorème de convergence Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a, b[ R. on suppose que : t [a, b[, 0 f(t) g(t). i. Si g ii. Si f Exemple : converge alors diverge alors Montrons que f converge et 0 g On a : t [0, + [, 0 diverge. dt est convergente.. Or l intégrale f D après le théorème de comparaison on conclue que 0 dt g. dt est convergente et vaut π/2. dt est convergente et que Université Djilali Bounaama à Khemis-M 23 M.Sadouki

30 Chapitre 2 Intégrales impropres 5.2 Critère d équivalence : Théorème : Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[ R. on suppose que f(t) g(t) et que f garde un signe constant au voisinage de b. alors les intégrales f et g ont la même nature. Exemple : Déterminer la nature de dt où (α, β) R 2. Il suffit de remarquer que [()] [()] 0 et donc l intégrale étudiée a la même nature que l intégrale de Riemann qui converge Si et seulement si β α < Fonctions intégrables soit f une fonction définie sur [a,b[. on dit que l intégrale de f sur [a,b[ est absolument convergente ou encore que f est intégrable sur [a, b[ lorsque Théorème : Exemples : 1- Toute intégrale absolument convergente est convergente. f(t) dt est convergente. a une intégrale absolument convergente sue [1, + [ car et a une intégrale convergente sur [1,+ [. 2- Etudions, pour α > 0, la nature de dt. Si α > 1, on a alors t [1, + [, 0. De plus l intégrale de Riemann est convergente car α > 1, donc l intégrale convergente (donc convergente). Si 0 < α 1. Montrons que l intégrale dt dt est convergente. est absolument On applique le théorème d intégration par partie : puisque lim = 0, l intégrale étudiée a même nature que convergente (donc convergente), en effet : dt or cette dernière est absolument Université Djilali Bounaama à Khemis-M 24 M.Sadouki

31 Chapitre 2 Intégrales impropres t [1, + [, 0 car α + 1 > 1.. et l intégrale de Riemann est convergente Si 0 < α 1. Montrons que l intégrale dt est convergente. Si 0 < α 1. Montrons que l intégrale dt diverge. On utilise la minoration suivante : sin t sin t. On a donc : t [1, + [, 0, il suffit donc de démontrer, d après le théorème de la comparaison, que l intégrale dt est divergente. Or on a : =. On étudie donc la nature des deux intégrales suivantes : - : elle est divergente d après le critère de Riemann ( α 1). - dt précédemment). : elle est convergente (par intégration par parties identique à celle faite On en déduit, par le théorème de la linéarité que diverge également. 0 < α 1 α > 1 En particulier on voit que l intégrale dt dt dt Université Djilali Bounaama à Khemis-M 25 M.Sadouki est semi-convergente. est absolument convergente. dt, qui est faussement impropre en 0, est semiconvergente et de méthode permettant de prouver qu elle vaut π/ Utilisation de développements asymptotiques diverge et donc que Il est parfois possible, en utilisant des développement limités, d écrire une fonction f, dont on veut étudier la convergence de l intégrale sur [a, b[, comme somme de deux (ou plus) fonctions dont la convergence des intégrales est plus simple à étudier. Exemple : f(x) = f(x) = f(x) = On considère, la fonction f(x) = et avec le développement limité à l ordre 1 de : 1 (1 + ε(x)) avec lim ε(x) = 0. (1 + ε(x)). dt continue sur [1, + [, on peut écrire

32 Chapitre 2 Intégrales impropres L intégrale de est semi-convergente sur [1,+ [ et celle de absolument convergente sur [1,+ [ puisque (1 + ε(x)). (1 + ε(x)) est Université Djilali Bounaama à Khemis-M 26 M.Sadouki

33 Chapitre 3 Equations différentielles Chapitre 3 Equations différentielles 1. Définition : De manière générale, une équation différentielle est une équation : - Dont l inconnu est une fonction y dépendant d une variable x (ou t). - Qui fait intervenir y et certaines de ses dérivées y, y, etc et éventuellement la variable x (ou t). Résoudre l équation différentielle, c est chercher toutes les fonctions, définies sur un intervalle, qui satisfont l équation (on dit aussi intégrer l équation différentielle). 2. Equation différentielle linéaire du premier ordre : Une équation différentielle linéaire d ordre un est de la forme : y + f(x)y = g(x) (3.1) - On parle d équation différentielle d ordre un sans second membre si g(x) = 0 (SSM). - On parle d équation différentielle linéaire d ordre un avec second membre si g(x) 0 (ASM). - La fonction g(x) est le second membre de l équation, l équation sans second membre (SSM) est encore appelée équation homogène. 2.1 Equation différentielle linéaire sans second membre (SSM) : Nous considérons des équations de la forme : y + f(x) y = 0 (3.2) Ces équations SSM sont à variables séparables et aisément intégrables sous réserve de pouvoir calculer la primitive de la fonction f : Par intégration on obtient : y + f(x) y = 0 dy dx = f(x)y dy y = f(x)dx Université Djilali Bounaama à Khemis-M 27 M.Sadouki

34 Chapitre 3 Equations différentielles ln y = F(x) + C Où F(x) est la primitive de la fonction f(x) est C est la constante d intégration. Finalement on trouve : Où on a posé K = e est une constante. Exemples : y = Ke () (3.4) - Résoudre l équation : y + e y = 0 (E 0 ) Solution : (E ) = ye dy y = e dx ln y = e + C y = Ke (C,K) : constantes - Résoudre l équation : y = y e (E 0 ) Solution : (E ) = y e dy y = e dx 1 2y = e + C y = y = ±, C : constante 2.2 Equation différentielle linéaire avec second membre (ASM) : Nous considérons dans ce paragraphe des équations de la forme : y + f(x)y = g(x) (3.5) Ces équations avec second membre (ASM) se résolvent en deux temps : 1- On intègre d abord l équation sans second membre (SSM) pour obtenir : y = Ke () 2- On résout l équation avec second membre ASM, soit en recherchant une solution particulière y de (E), soit en utilisant la méthode de variation de la constante. Université Djilali Bounaama à Khemis-M 28 M.Sadouki

35 Chapitre 3 Equations différentielles Recherche d une solution particulière : Supposons que l on dispose d une solution particulière y de (E), alors la solution générale de (E) est la fonction définie par : y = y + y = Ke () + y (3.6) Vérification : Soit y = y + y = Ke () + y. Montrons qu une telle fonction est bien solution de (3.5). y est une solution particulière de (3.5), elle vérifie donc y + f(x)y = g(x), par ailleurs y = Kf(x)e () + y, on remplace dans (3.5) : y + f(x)y = Kf(x)e () + y + f(x)ke () + y = Kf(x)e () + Kf(x)e () + y + f(x)y = y + f(x)y = g(x) Alors, y = y + y = Ke () + y est bien solution de (3.5). Exemple : Résoudre l équation y + xy = x + 1 (E) Solution : On résout d abord l équation SSM : y + xy = 0 (E 0 ) On trouve : y = K e On cherche une solution particulière de (E), posons y = ax + b où a et b sont à déterminer de telle sorte que y vérifie (E), on trouve a = 1 et b = 0. Une solution particulière de (E) est donc y = x. On conclue sur la solution générale de (E) : y = y + y = K e + x. Cette méthode repose entièrement sur la connaissance de y qui n est pas toujours facile à obtenir. La méthode de variation de la constante est par contre beaucoup plus générale Méthode de variation de la constante : On utilise cette technique lorsqu on ne peut pas trouver de solution particulière de l équation avec second membre (3.5), on résout dans ce cas l équation sans second membre (SSM) qui fournit y = Ke (), puis on fait varier la constante : En posant dans (3.5), y = K(x)e (), on obtient : Université Djilali Bounaama à Khemis-M 29 M.Sadouki

36 Chapitre 3 Equations différentielles K (x)e () f(x)k(x)e () + f(x)k(x)e () = g(x) K (x)e () = g(x) K (x) = g(x) e () Ainsi, par intégration et sous réserve que l on puisse calculer une primitive de g(x) e (), on obtient : K(x) = g(x) e () dx. Finalement la solution générale de l équation (3.5) s écrit : y = e () g(x) e () dx (3.7) Exemple : - Résoudre l équation : y = x (E) Solution : On résout d abord l équation sans second membre SSM : y = 0 (E 0) Il vient : y = C x avec C = e (E ) dy dx = y x dy y = dx x ln y = ln x + C On utilise ensuite la méthode de variation de la constante en cherchant y sous la forme y = C (x) x, on remplace y dans (E), on obtient, C (x) = x, d où C (x) = + K, et la solution générale de (E) est : y = + Kx 2.3 Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants Nous considérons cette fois des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients, constants, c est-a-dire de la forme : avec a R une constante. y + ay = g(x) (3.8) C est un cas particulier des équations différentielles du premier ordre que nous avons vu précédemment, en effet, nous avons ici, f(x) = a. Ainsi, après avoir résolu l équation SSM, Université Djilali Bounaama à Khemis-M 30 M.Sadouki

37 Chapitre 3 Equations différentielles la méthode précédente s applique, soit avec recherche d une solution particulière, soit par variation de la constante, la solution particulière y, dans ce cas, s obtient parfois facilement : - Si g(x) = P (x) un polynôme de degré n, alors y = Q (x) un polynôme de degré n. - Si g(x) = e P (x) alors on pose y = ze, et z devient la fonction inconnue de Exemple : Solution : l équation différentielle : z + (a + m)z = P(x), on est ramené au cas précédent. Résoudre l équation : y 2y = x + 1 (E) On résout d abord l équation SSM : y 2y = 0 (E 0 ) On trouve y = Ce. On cherche ensuite une solution particulière de (E) : Posons y = ax + bx + cx + d où a,b,c et d sont à déterminer pour que y vérifie (E). on trouve a =, b = c =, d =. Par conséquent : y = (x + x). On conclu sur la solution générale de (E), y = y + y soit : y = Ce x (x + x) Equations de Bernoulli et Equations de Riccati Equation de Bernoulli On appelle équation de Bernoulli toute équation différentielle de la forme : x + a(t)x = b(t)x (3.9) Où a(t) et b(t) sont des fonctions continues de la variable indépendante t ou des constante connues, avec la condition : n 0 et n 1 (3.10) Bien entendu, si n = 0, l équation de Bernoulli devient une équation linéaire avec second membre x + a(t)x = b(t) (3.11) et si n = 1 l équation de Bernoulli devient une équation linéaire sans second membre x + (a(t) b(t))x = 0 (3.12) Université Djilali Bounaama à Khemis-M 31 M.Sadouki

38 Chapitre 3 Equations différentielles Transformation d une équation de Bernoulli à une équation linéaire Il est aisé de voir que l on peut ramener l équation différentielle de Bernoulli à une équation différentielle linéaire par les transformations suivantes. - Divisons tous les termes de l équation par x, on obtient x x + a(t)x = b(t) (3.13) Faisons le changement de variable suivant y = x (3.14) - La dérivée des deux membres de la fonction (3.14) donne y = (1 n)x x (3.15) - Substituons ces transformations dans l équation (3.13), il vient y + (1 n)a(t)y = (1 n)b(t) (3.16) Il est à remarquer que l équation différentielle (3.16) est linéaire, simple à résoudre par la méthode de variation des constantes. Exemple : Résoudre l équation différentielle suivante : Solution : x + x = (E) L équation différentielle (E) est de Bernoulli avec n =, divison tous les termes par, on obtient l équation suivante x / x + x/ = exp t (E 1 ) Introduisons la nouvelle fonction y donnée en fonction de x par la relation y = x / D où la dérivée des deux membres de la fonction y(t) donne y = 3 x x 2 Portons ses expressions dans l équation (E 1 ), on est ramené à une équation linéaire avec second membre Université Djilali Bounaama à Khemis-M 32 M.Sadouki

39 Chapitre 3 Equations différentielles 2 3 y + 2 y = exp t t Il est aisé de voir que cette équation se résout par la méthode de variation des constantes dont la solution est : y(t) = 9 1 t + 1 t 1 2t e + Cte t D où la solution, x(t) = (y(t)) Equation de Riccati : On appelle équation de Riccati toute équation différentielle de la forme : x + a(t)x + b(t)x = c(t) (3.17) où a(t), b(t) et c(t) sont des fonctions continues de la variable indépendante t ou des constantes connues avec la condition b(t) 0 et c(t) 0 (3.18) Transformation d une équation de Riccati à une équation de Bernoulli Il est simple de voir que l on peut ramener l équation différentielle de Riccati à une équation différentielle de Bernoulli par les transformations suivantes : - Connaissons une solution particulière x (t) d équation de Riccati. - Substituons le changement de variable x = x (t) + y (3.19) Pour aboutir à une équation de Bernoulli de la forme y + A(t)y = b(t)y (3.20) où A(t) est une fonction continue donnée par A(t) = a(t) 2b(t)x (t) (3.21) Transformation d une équation de Riccati à une équation linéaire Il est aisé de voir que l on peut ramener l équation différentielle de Riccati à une équation linéaire avec second membre par les transformations suivantes : - Connaissons une solution particulière x (t) d équation de Riccati. - Substituons le changement de variable x = x (t) + 1 y (3.22) Pour aboutir à une équation différentielle linéaire non homogène de la forme Université Djilali Bounaama à Khemis-M 33 M.Sadouki

40 Chapitre 3 Equations différentielles y + A(t)y = b(t) (3.23) où A(t) est une fonction continue donnée par A(t) = 2b(t)x (t) a(t) (3.24) - Intégrons les équations obtenues par ces changements, suivant les cas connus, équations linéaires ou équations de Bernoulli. Remarque 1 Il n est pas toujours évident de trouver la solution particulière de l équation de Riccati. Exemple : Résoudre l équation différentielle suivante Solution : x x + x = 4t + 2t + 2 (E) On remarque dans l équation (E) que les termes du premier membre sont semblables à ceux du second membre, il suffit donc de prendre le changement de variable suivant x = at + b (E 1 ) Portons l expression (E 1 ) dans l équation (E) et égalons les coefficients des termes semblables, on trouve les constante a et b. trouve : Si la solution particulière du type donné existe, ce qui n est pas toujours le cas, on a t + ( a + 2ab)t + a b + b = 4t + 2t + 2 En égalant les coefficients de même puissance de t dans les deux membres, on obtient le système a = 4 a + 2ab = 2 a b + b = 2 Il est simple de voir que les valeurs a = 2 et b = 1 sont solution de ce système. D où l existence de la solution particulière x (t) sous forme polynomiale Soit le changement de variable suivant x = 2t + 1 x = x (t) + 1 y = 2t y Université Djilali Bounaama à Khemis-M 34 M.Sadouki

41 Chapitre 3 Equations différentielles Substituons cette expression dans l équation différentielle (E), afin d obtenir une équation linéaire non homogène de la forme y + ( 4t 1)y = 1 qui se résout par la méthode de variation de la constante. Comme, on peut mettre le changement de variables suivant x = x (t) + y = 2t y dans l équation différentielle (E), afin d obtenir une équation de Bernoulli de la forme y + (4t + 1)y = y Proposition 1 Etant donné une équation de Riccati de la forme x = Ax + B t x + C t (3.25) où A, B et C sont des constantes, si de plus, on a (B + 1) 4AC (3.26) alors cette équation admet une solution particulière x (t) de la forme x (t) = a t (3.27) En effet, portons l expression x (t) = dans l équation (3.25), on obtient Aa + (B + 1)a + C t = 0 (3.28) Pour trouver la valeur de a, il faut que la condition (B + 1) 4AC soit remplie. Proposition 2 Etant donné une équation de Riccati de la forme x x = x + C (3.29) où A et B sont des constantes, alors cette équation se ramène à une équation à variable séparables par la substitution de la fonction suivante x = y t (3.30) En effet, portons l expression x(t) = y t dans l équation (3.29), on obtient ou encore ty = Ay + C (3.31) dy Ay + C = dt t (3.32) Université Djilali Bounaama à Khemis-M 35 M.Sadouki