1 Balade autour de l arbre. On se balade autour de l arbre en suivant les pointillés dans l ordre des numéros indiqués : r 1. a 13. b 21.

Transcription

1 Prours un rr inir Un rr inir st un rr v rin ns lqul tout nou u plus ux ils : un évntul ils guh t un évntul ils roit. On illustrr v l rr inir suivnt : r h i j k l 1 Bl utour l rr On s l utour l rr n suivnt ls pointillés ns l orr s numéros iniqués : r h 5 6 i j k l 1

2 1.1 Prmièr éinition s trois prours A prtir ontour, on éinit trois prours s sommts l rr : 1. l orr préix : on list hqu sommt l prmièr ois qu on l rnontr ns l l. C qui onn ii : l orr postix : on list hqu sommt l rnièr ois qu on l rnontr. C qui onn ii : l orr inix : on list hqu sommt ynt un ils guh l son ois qu on l voit t hqu sommt sns ils guh l prmièr ois qu on l voit. C qui onn ii : orr préix : r,,,h,,i, j,l,,,k,. 2. orr postix : h,,i,l, j,,,k,,,,r. 3. orr inix :,h,,i,,l, j,r,k,,,. 1.2 Son éinition s trois prours Dns l l shémtisé plus hut, on jout ls ils ntôms mnqunts : r h i j k l On put insi onsiérr qu on pss un ois à guh hqu nou (n snnt), un ois nssous hqu nou, un ois à roit hqu nou (n rmontnt). Vériir, sur l xmpl, qu hun s orrs préix, inix, postix st otnu n listnt tous ls mots : soit lorsqu on pss à lur guh, soit lorsqu on pss à lur roit, soit lorsqu on pss n-ssous. 1. A guh : préix. 2

3 2. A roit : postix. 3. En-ssous : inix. 2 Algorithms réursis Pour hun s prours éinis i-ssus (postix, inix, préix), éinir réursivmnt l prours. 1. Prours préix. ProursPréix ( Arr inir T rin r ) A i h r l [ r ] ProursPréix ( Arr rin ils_guh [ r ] ) ProursPréix ( Arr rin i l s _ r o i t [ r ] ) 2. Prours postix. ProursPostix ( Arr inir T rin r ) ProursPostix ( Arr rin ils_guh [ r ] ) ProursPostix ( Arr rin i l s _ r o i t [ r ] ) A i h r l [ r ] 3. Prours inix. ProursInix ( Arr inir T rin r ) ProursInix ( Arr rin ils_guh [ r ] ) A i h r l [ r ] ProursInix ( Arr rin i l s _ r o i t [ r ] ) 3 Rprésnttion n mhin Chqu nœu l rr T st rprsnté pr un ojt ynt un hmp l (s vlurs à trir pr xmpl), un hmp pèr, un hmp ils_guh, un hmp ils_roit (stoknt s pointurs). Lorsqu pèr[x]=nil, x st l rin l rr. Lorsqu x n ps ils guh, ils_guh[x]=nil (im pour ils_roit). L rin l rr T st pointé pr l ttriut rin[t]. Lorsqu rin[t]=nil, l rr st vi. 3

4 4 Complxité un prours inix Vériir qu v n nous, l prours inix Prours_ Inix ( rr inir T rin x ) Si x i s t i n t NIL * * * * * tmps onstnt T( 0 ) = pour un sous rr vi lors Prours_Inix ( rr rin ils_guh [ x ] ) * * * * * tmps T( k ) A i h r l [ x ] * * * * * tmps onstnt Prours_Inix ( rr rin i l s _ r o i t [ x ] ) * * * * * tmps T(n k 1) prn un tmps n Θ(n) (étlir v ls nottions suggérés i-ssus : T (n) = ( + )n + ) Amor : T (0) = = ( + ) 0 +. Héréité : T (n) = T (k) + T (n k 1) + = [( + )k + ] + [( + )(n k 1) + ] + = ( + )n + ( + ) + + = ( + )n + 5 L nottion polonis invrs Érir ls sommts l rr i-ssous pour hun s orrs postix, préix, inix : + + Pour l prours inix, on jout l onvntion suivnt : on jout un prnthès ouvrnt à hqu ois qu on ntr ns un sous-rr t on jout un prnthès rmnt lorsqu on quitt sousrr. 4

5 1. Préix (nottion polonis) :,,+,,,,,,+,,. 2. Postix (polonis invrs) :,,+,,,,,,,+,. 3. Inix :,+,,,,,,,,+,. Av un jout prnthèss (ouvrnt n rnontrnt l nœu rin u sous rr pour l prmièr ois t rmnt lorsqu on l rnontr pour l rnièr ois, v xption sur ls sousrrs onstitués un uill) : ( ( + ) ( ) ) ( + ). L inix néssit tt onvntion pour lvr ls miguïtés, ls ux utrs non. L préix onsist à voir ls opérturs omm s ontions ux vrils : ( ),,+,,,,,,+,, = [+(,), (,)],+(, ) Im v l postix mis v l ontion érit sur l roit. 6 L tri u ijoutir On ispos un list nomrs. Pr xmpl, l list 7, 9, 3, 5, 4, 1, 8. On ssoi à hqu élémnt n l list un nœu v (initilistion : pèr[v]=nil, ils_guh[v]=nil, ils_roit[v]=nil, l[v]=n). Arr_ Insérr ( Arr T, nou z ) y :=NIL x := rin [T] TntQu x i s t i n t NIL i r y := x Si l [ z] < l [ x ] lors x := ils_guh [ x ] sinon x := i l s _ r o i t [ x ] FinTntQu pèr [ z ] : = y Si y=nil lors rin [T ] : = z sinon Si l [ z] < l [ y ] lors ils_guh [ y ] : = z sinon i l s _ r o i t [ y ] : = z 5

6 1. Drssr l rr otnu n ppliqunt l lgorithm Arr_Insérr ux élémnts l list (ns l orr l list) n prtnt un rr vi pour l prmir élémnt, hqu ppl à l lgorithm moiint l rr. 2. L un s prours postix, inix, préix l list tri l list. Lqul? 3. Dns l onstrution l rr pour un list n nomrs, qul st l nomr omprisons tués ns l pir s s? 4. Qul st l nomr omprisons tués si l rr inl st un rr inir omplt (rr inir ns lqul tout nœu utr qu un uill ux ils t ns lqul ls uills sont tous s nœus mêm proonur). 1. L rr otnu : L prours inix tri l list. Ls élémnts guh sont n t pr onstrution plus ptits qu un nou t sont ihés vnt l nœu ns l orr inix t ls élémnts roit qui sont, pr onstrution, plus grns sont ihés ns l orr inix près l nœu. Pr "réurrn", on on un ihg s élémnts l list ns l orr. On put onnr un vrsion grphiqu prours n projtnt vrtilmnt ls nœus sur un roit horizontl (à ssinr sous l rr). 3. L pir s s orrspon ux s où l list st trié (orr roissnt ou éroissnt). L nomr omprisons à tur st lors (n 1) = 1 2n(n 1). 4. Pour joutr un nou u nivu proonur p (l rin étnt u nivu proonur 0), on tu p omprisons. Si l proonur st h, on ur tué un omprison pour hun s ux nous proonur 1 (2 1), ux omprisons pour hun s 2 2 nous proonur 2 ( totl ), tros omprisons pour hun s 2 3 nous proonur 3 (totl )... L nomr omprisons pour un proonur h st (pruv il pr réurrn) : h j 2 j = (h 1) 2 h j =1 6

7 Av n nous ( st à ir n nomrs à trir), on h = 2 h+1 1 t h j 2 j = (h 1) 2 h = (log 2 (n + 1) 1) (n + 1) + 2 j =1 On on un s optiml n O(n log(n)) t on put montrr (omm pour l quik sort) qu l hutur moynn un rr inir rhrh onstruit létoirmnt à prtir n ls st O(log(n)) (réérn : introution à l lgorithmiqu, Cormn, Lisrson,Rivst, Stin, éitions Duno, 2002, pg 258, prgrph 12.4). Ls rtéristiqus tmps sont ls mêms qu pour l quik sort, mis v un vntg u ôté s rtéristiqus sp pour l quik sort (on tri l tlu sur pl pour l quik sort, on ré un rr rhrh pour l tri u ijoutir). 7 Réérns 1. Introution à l lgorithmiqu. Auturs : Cormn, Lisrson, Rivst, Stin. Eition rnçis : Duno Plus 1100 pgs sur ls lgorithms t ls struturs réérn. L hpitr 12 onrn ls rrs inirs rhrh. 2. Un rtil Jn-Clu Oriol sur l sit l pmp v un pssg sur l tri u ijoutir : 3. L ours Pirr Auirt (Pris 8) n lign : 7