Cours 5: Une introduction aux suites numériques

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1 Cours 5: Une introduction aux suites numériques Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année

2 1 Généralités sur les suites 2 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire 3 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire

3 1 Généralités sur les suites 2 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire 3 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire

4 Généralités sur les suites Definition Une suite est une application de N vers R. u : N R, n u(n) souvent noté u n. La suite sera notée u ou bien (u n ) n N. u n s appelle le terme général de la suite.

5 Exemples- Une suite est la donnée d une série de nombres dans un ordre précis. En général, on note u 0 le premier terme de la suite,u 1 le deuxième, u 2 le troisième, etc... Enfin, on note u n le terme général et on note (u n ) n N l ensemble des termes de la suite. En les choisissant les uns après les autres, on peut construire n importe quelle suite de nombres. Par exemple, u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = 2, u 3 = 4, u 4 = 2, u 5 = 14,...

11 Exemples- Les suites logiques permettent de représenter et de prévoir différents phénomènes économiques, comme par exemple le calcul d intérêts. Il y a deux façons de construire une suite logique : définition explicite. On donne une expression de u n en fonction de n. Exemple : pour tout n N, u n = 3n 4 suites récurrentes. On se donne la règle permettant de passer d un terme au suivant. Le terme u n s exprime en fonction de u n 1. Un procédé classique est le suivant : (u n ) : { u0 donné u n+1 = f (u n )

17 Exemples de suites récurrentes Par exemple, on peut passer d un terme à l autre en ajoutant 2 à chaque fois,on définit u n = u n Pour qu une telle suite soit définie correctement, il faut également se donner le premier terme. Exemples : { u0 = 1, (u n ) : u n = u n Ici, on a u 1 = 3, u 2 = = 5, u 3 = = 7, etc... { u0 = 3, (u n ) : u n = 5u n 1 Ici, on a u 1 = 15, u 2 = 5 15 = 75, etc...

22 On voit ici que si l on veut calculer un terme (par exemple u 10 ), il faut calculer tous les termes précédents. Cependant, les suites récurrentes sont souvent plus pratiques pour modéliser une situation donnée. Par la suite, on verra comment modéliser une situation (financière) à l aide de suites récurrentes, puis comment transformer cette suite en une suite explicite pour pouvoir l exploiter et prévoir le comportement du système que l on aura modélisé.

23 On voit ici que si l on veut calculer un terme (par exemple u 10 ), il faut calculer tous les termes précédents. Cependant, les suites récurrentes sont souvent plus pratiques pour modéliser une situation donnée. Par la suite, on verra comment modéliser une situation (financière) à l aide de suites récurrentes, puis comment transformer cette suite en une suite explicite pour pouvoir l exploiter et prévoir le comportement du système que l on aura modélisé.

24 Généralités sur les suites Proposition Une suite u est stationnaire s il existe un entier p tel que, pour tout n N, u n+p = u p. Une suite u est croissante si et seulement si pour tout n N, u n+1 u n. Une suite u est décroissante si et seulement si pour tout n N, u n+1 u n.

25 Généralités sur les suites Une suite (u n ) sera dit majorée s il existe un nombre M (indépendant de n) tel que n N, u n M. minorée s il existe un nombre m (indépendant de n) tel que n N, u n m. bornée si elle est à la fois majorée et minorée ; autrement dit s il existe m, M R tels que n N, m u n M.

29 Généralités sur les suites Assez souvent, pour des raisons pratiques, on utilisera plutot la définition suivante : (u n ) est bornée A > 0 tq n N, u n A.

30 Exemples Généralités sur les suites La suite (u n ) : u n = 1 est bornée. n La suite (v n ) : v n = 1 est bornée n La suite (w n ) : w n = sin(n 2 n + 1) est bornée. la suite (x n ) : x n = n 2 n est pas bornée.

35 Definition de la convergence d une suite Definition Une suite u est convergente si elle admet une limite l quand n tend vers l infini. sinon on dit la la suite est divergente. Remarque : Si une suite est convergente, la limite est unique. On note lim n u n = l.

38 Definition de la convergence d une suite Formellement, une suite (u n ) admet comme limite le nombre l R si ɛ > 0, n 0 N tq n n 0, u n l < ɛ. Dans cette définition, ɛ > 0 se lit pour ɛ aussi petit que l on veut et u n l < ɛ se lit la distance entre u n et l est plus petite que ɛ. Autrement dit, cette définition nous dit que quitte à prendre n assez grand, la suite (u n ) se rapproche de l aussi près que l on veut.

42 Exemples... Généralités sur les suites la suite (u n ) définie par u n = ( 1)n n a ses termes qui se rapprochent de 0 quand n grandit.on dit alors que (u n ) a pour limite 0 et on note lim u n = 0. n + Contrairement à la suite (u n ) précédente, la suite (v n ) définie par v n = n 2 ne se rapproche d aucun nombre. Les termes v n sont de plus en plus grands. Dans ce cas, on note lim n + v n = +.

46 Exemples... Généralités sur les suites Enfin la suite (w n ) définie par w n = ( 1) n, prend alternativement les valeurs 1 et 1.Une telle suite n a donc pas de limite.

49 Proposition On a : 1 Toute suite croissante et majorée, converge. 2 Toute suite décroissante et minorée, converge. Exemple d application : Voir exos en TD.

50 Proposition On a : 1 Toute suite croissante et majorée, converge. 2 Toute suite décroissante et minorée, converge. Exemple d application : Voir exos en TD.

51 Limites et inégalités Proposition Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergentes et soient l 1 et l 2 leurs limites respectives. Si u n v n pour tout n, alors l 1 l 2. Remarque : si u n < v n pour tout n, on peut avoir l 1 = l 2. Penser à u n = 1 n et v n = 1 n.

52 Limites et inégalités Proposition Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergentes et soient l 1 et l 2 leurs limites respectives. Si u n v n pour tout n, alors l 1 l 2. Remarque : si u n < v n pour tout n, on peut avoir l 1 = l 2. Penser à u n = 1 n et v n = 1 n.

53 Limites et inégalités De même, on a un théorème d encadrement connu sous le nom de théorème des gendarmes : Théorème Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles que 1 n N, u n v n w n. 2 (u n ) et (w n ) sont convergentes et lim n u n = lim n w n = l. Alors la suite (v n ) converge également et lim n v n = l. Exemple d application : u n = cos(n) n (Utiliser l encadrement 0 u n 1 n )

57 1 Généralités sur les suites 2 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire 3 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire

58 suites arithmétiques Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Definition On considère une suite (u n ) n N. Si on passe de chaque terme au suivant en ajoutant la même quantité r (raison) alors la suite est dite arithmétique. u n+1 = u n + r Pour prouver qu une suite est arithmétique, il suffit de montrer que u n+1 u n ne dépend pas de n.

59 suites arithmétiques Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Definition On considère une suite (u n ) n N. Si on passe de chaque terme au suivant en ajoutant la même quantité r (raison) alors la suite est dite arithmétique. u n+1 = u n + r Pour prouver qu une suite est arithmétique, il suffit de montrer que u n+1 u n ne dépend pas de n.

60 Exemples de modélisation Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Capital placé à intéret simple (tirelire)

61 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire arithmétiques Théorème Soit u une suite arithmétique de raison r, alors u n = u 0 + nr De manière plus générale, le n ième terme s obtient à partir du p iéme en ajoutant n p fois la raison r : u n = u p + (n p)r

62 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Proposition Soit u une suite arithmétique de raison r, alors Si r > 0, la suite u est croissante. Si r < 0, la suite u est décroissante. Si r = 0, la suite u est stationnaire. Proposition Soit u une suite arithmétique de raison r, alors Si r > 0, la suite u diverge vers +. Si r < 0, la suite u diverge vers. Si r = 0, la suite u converge vers u 0.

63 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Proposition Soit u une suite arithmétique de raison r, alors Si r > 0, la suite u est croissante. Si r < 0, la suite u est décroissante. Si r = 0, la suite u est stationnaire. Proposition Soit u une suite arithmétique de raison r, alors Si r > 0, la suite u diverge vers +. Si r < 0, la suite u diverge vers. Si r = 0, la suite u converge vers u 0.

64 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Somme des N premiers termes d une suite arithmétiques Proposition Soit (u n ) n une suite arithmétiques de raison r. Posons S N = u k. Alors, pour tout n, on a : k=0...n S n = (N + 1)(u 0 + u N ) 2 = (N + 1)(2u 0 + Nr). 2

65 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Application : on a n = n(n + 1). 2

66 1 Généralités sur les suites 2 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire 3 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire

67 Definition suites géométriques Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Definition On considère une suite (u n ) n N. Si on passe de chaque terme au suivant en multipliant par la même quantité q (raison) alors la suite est dite géométrique. u n+1 = q u n Pour prouver qu une suite est géométrique, il suffit de montrer que le rapport u n+1 u n ne dépend pas de n.

68 Definition suites géométriques Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Definition On considère une suite (u n ) n N. Si on passe de chaque terme au suivant en multipliant par la même quantité q (raison) alors la suite est dite géométrique. u n+1 = q u n Pour prouver qu une suite est géométrique, il suffit de montrer que le rapport u n+1 u n ne dépend pas de n.

69 Exemples de modélisation Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Capital placé à intéret composé (remboursement pret)

70 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Théorème Soit u une suite géométrique de raison q, alors u n = u 0 q n. De manière plus générale, le n iéme terme s obtient à partir du p iéme en multipliant n p fois la raison q : u n = q n p u p

71 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Théorème Soit u une suite géométrique de raison q, alors u n = u 0 q n. De manière plus générale, le n iéme terme s obtient à partir du p iéme en multipliant n p fois la raison q : u n = q n p u p

72 Quelques propriétés élémentaires Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Proposition Soit u une suite géométrique de raison q, alors Si u 0 = 0 ou q = 0, la suite u est stationnaire égale à 0. Si u 0 0 et q = 1, la suite u est stationnaire égale à u 0. Si u 0 0, q 1 et q > 0 la suite est monotone : croissante si u 0 (q 1) > 0, décroissante sinon. Si u 0 0, q 1 et q < 0 la suite est alternée.

73 Quelques propriétés élémentaires Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Proposition Soit u une suite géométrique de raison q, alors Si q < 1, la suite u diverge (oscillation de signe et u n tend vers + ). Si q < 1, la suite u converge vers 0. Si q > 1, la suite u tend vers ±, selon le signe de u 0. Si q = 1, la suite u converge vers u 0. Si q = 1, la suite est alternée (elle vaut u 0 puis u 0, etc...) elle ne converge pas.

74 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Somme des N premiers termes d une suite arithmétiques Proposition Soit (u n ) n une suite géométrique de raison q 1. Posons Alors, pour tout n, on a : S N = k=0...n u k. S n = u 0 1 q N+1 1 q.

75 Expression Quelques propriétés élémentaires Formule sommatoire Application : Pour x 1, S = 1 + x + x x n = 1 x n+1 1 x