1 Analyse des systèmes asservis

Transcription

1 i TABLE DES MATIÈRES Analyse des sysèmes asservis. Caracérisaion des sysèmes asservis Srucure des sysèmes asservis Caracérisiques d un sysème asservi Sabilié Posiion du problème e définiions Éude de la sabilié Condiion de sabilié Posiion des pôles Crières de sabilié Marges de sabilié Précision Posiion du problème Données Erreur en régime permanen - erreur saique Effe d une perurbaion sur la précision Rapidié Temps de réponse - emps de monée Temps de monée e bande passane Exercices Corrigés

2

3 CHAPITRE ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS. Caracérisaion des sysèmes asservis.. Srucure des sysèmes asservis Un sysème asservi linéaire peu se représener par le schéma.. On y rerouve, une chaîne d acion qui agi sur le sysème pour obenir la sorie souhaiée en foncion de la consigne, une chaîne d informaion qui prélève une image de la sorie, cee image es comparée à la consigne à aeindre. CHAÎNE D ACTION consigne Comparer écar Réguler u Agir sorie mesure Mesurer CHAÎNE D INFORMATION FIGURE. Srucure d un sysème asservi Nous avons caracérisé, dans le manuel de première année, les ouils permean son éude ransformaion de Laplace, schéma blocs, analyse fréquenielle e emporelle,.... Il nous fau mainenan caracériser le foncionnemen souhaié d un sysème asservi e préciser les moyens permean d obenir ce foncionnemen...2 Caracérisiques d un sysème asservi a Quelques exemples de cahier des charges Four Un four élecrique doi aeindre la empéraure de consigne à C près en moins de 3 min puis la mainenir sans flucuaion. À l ouverure de la pore la empéraure ne doi pas chuer. Robo d assemblage Un robo assure l assemblage de deux pièces, la première arrive sur un apis e s arrêe devan le pose d assemblage. Le robo saisi l aure pièce sur un apis d amenage e la posiionne sur la première. La précision d assemblage es de,2 mm.

4 2 Analyse des sysèmes asservis Robo d assemblage 2 Afin d améliorer la producivié du pose précéden, on ne souhaie plus arrêer la première pièce e réaliser l assemblage de manière dynamique. Suspension La suspension acive doi permere assurer une haueur de caisse consane quelle que soi la charge du véhicule e d absorber les défaus de la roue. Le nombre des oscillaions résiduelles ne doi pas êre supérieur à 3. Nous voyons au ravers de ces quelques exrais de cahier de charges les caracérisiques que l on peu aendre d un sysème asservi : Le emps de réponse du four es de 3 min ; Le sysème de régulaion du four doi permere de rejeer les perurbaions ouverure de la pore ; La précision es une qualié imporane pour le four C près, le premier robo,2 mm. Pour ces deux sysèmes, il s agi de l erreur à une enrée consane la empéraure, la posiion, pour le deuxième robo, il doi êre précis pendan le mouvemen suivi de rajecoire. La réponse emporelle de la sorie peu comporer ou non des oscillaions avan la sabilisaion e bien sûr ous ces sysèmes doiven êre sables. b Foncionnemen souhaié Précision La précision éan l écar enre la consigne e la sorie du sysème, il semble éviden que l on souhaie que ce écar soi nul. Dans le cas d un asservissemen de ype régulaion, on cherchera à avoir une erreur indicielle nulle pour une enrée de ype échelon e si le sysème doi suivre une consigne évoluive suivi de rajecoire, une erreur de raînage nulle. Il faudra aussi vérifier que le sysème n es pas sensible aux perurbaions exérieures l ouverure de la pore d un four doi êre corrigée le plus rapidemen possible. Sabilié La sabilié es la qualié la plus imporane que doive posséder le sysème asservi. Un sysème qui aein sa posiion finale après de nombreuses oscillaions es sable mais ne peu êre considéré comme un sysème correc. La sabilié n es donc pas seulemen une qualié binaire sable /non sable. La noion de dépassemen, associée aux marges de sabilié, perme de caracériser cee sabilié relaive. Rapidié Comme pour la précision, on souhaie que le sysème soi le plus rapide possible. Souven après avoir réglé la sabilié du sysème, avoir obenu la précision souhaiée, il ne rese plus de possibilié de réglage de la rapidié sans modifier les paramères précédens..2 Sabilié.2. Posiion du problème e définiions Une manière inuiive de préciser la noion de sabilié es d imaginer un sysème que l on écare de sa posiion iniiale par une impulsion e de regarder son évoluion, s il rerouve sa posiion iniiale, il es sable, s il s en écare, il es insable. Les peis schémas.2 précisen quelques comporemens possibles d un sysème. Un sysème à sabilié indifférene va s écarer de sa posiion iniiale pour rouver une aure posiion sable différene de la première, le sysème s écare mais ne diverge pas. Un sysème réel insable oscille jusqu à la desrucion, ces oscillaions son dans le cas général limiées par les différenes sauraions limies des amplificaeurs opéraionnels, buées physiques,.... Ces limiaions physiques peuven laisser croire que la sorie du sysème es bornée. Plusieurs définiions de la sabilié son envisageables. a Définiion Un sysème es sable si à une enrée bornée correspond une sorie bornée. Remarque : cela revien à sollicier le sysème avec une enrée bornée ype échelon e à vérifier que la sorie ne diverge pas.

5 .2 Sabilié 3 a sable b insable c indifféren d condiionnel FIGURE.2 Représenaion de la sabilié b Définiion 2 Un sysème es sable si la réponse libre du sysème end vers zéro à l infini. Remarque : éudier la réponse libre d un sysème, revien à éudier le sysème lorsqu on l écare de sa posiion d équilibre e à analyser sa réponse. Un sysème sable a endance à revenir dans sa posiion d équilibre, un sysème qui ne revien pas dans sa posiion d équilibre mais ne s en écare pas es di juse insable. Remarque 2 : pour éudier la réponse libre, il suffi de sollicier le sysème par une impulsion de Dirac e de vérifier que celui ci revien en posiion iniiale. Ces deux définiions son équivalenes dans le cas de sysèmes linéaires mais son parfois mises en défau. c Éude générale de la sabilié Tou sysème linéaire sans reard peu se mere sous la forme du schéma bloc ci- Ep H p = K N p p α D p Sp Modèle d éude dessous. Avec : K le gain K > ; Np e Dp deux polynômes el que : N = e D = ; Np de degré m, Np = + a p + a 2 p a m p m ; Dp de degré n, Dp = + b p + b 2 p b n p n ; α la classe du sysème. Pour un sysème physique, en veru du principe de causalié l effe ne peu précéder la cause, le degré du dénominaeur es supérieur au degré du numéraeur..2.2 Éude de la sabilié Afin d éudier la sabilié du sysème, on se propose de déerminer l allure de la réponse emporelle du sysème écaré de sa posiion iniiale puis relâché. Abandonner un sysème avec une condiion iniiale non nulle revien pour l éude du comporemen à considérer que le sysème a éé soumis à l insan = à une impulsion e = A δ avec δ l impulsion de Dirac, si celui-ci revien dans sa posiion iniiale, on considère alors que le sysème es sable. On rappelle que la ransformée de Laplace de l impulsion de Dirac es L δ = d où L e = A.

6 4 Analyse des sysèmes asservis Nous avons Hp = Sp Ep d où Sp = Hp Ep finalemen Sp = A Hp. La réponse emporelle s se dédui de la ransformée inverse de Sp : s = L Sp = A L Hp.. Éudier la réponse emporelle d un sysème linéaire soumis à une impulsions de Dirac revien donc à éudier la ransformée inverse de la foncion de ransfer du sysème : L Hp = h u.2 { < u = avec u la foncion de Heaviside elle que u =. Il rese donc à déerminer la ransformée inverse de Hp, pour cela nous allons décomposer la foncion de ransfer en élémens simples e rechercher les racines du dénominaeur les pôles. H p = K N p p α D p = K + a p + a 2 p a m p m p α + b p + b 2 p b n pn.3 Tou polynôme possède e / ou : des racines nulles ; des racines réelles, simples e / ou muliples ; des racines complexes, simple e / ou muliples. Le polynôme du dénominaeur peu donc se mere sous la forme d un produi de foncions du premier e du second ordre : Hp = K p α + a p + a 2 p a m p m αj p c j p 2 αl al + b 2 l p 2 + b 2 αk.4 l j p α : racines nulles d ordre α, αj p c j : racines réelles muliples d ordre αj, l k avec : j p 2 αl al + b 2 : racines complexes muliples d ordre α l l, l p 2 + b 2 αk : racines imaginaires pures muliples d ordre α l k. k On suppose pour simplifier l éude qui sui que oues les racines son simples, le cas des racines muliples sera examiné plus loin. Si les racines son simples α = α j = α k = α l = alors H p = K p + a p + a 2 p a m p m p 2 p c j al + b 2 l e la décomposiion en fracions simples s écri : j l k p 2 + b 2 l.5 H p = f C f p + j C j p c j + l A l p + B l 2 + p al + b 2 l k A k p + B k p 2 + b 2 k on reconnaî : C f : f p décomposiion en fracion simple des racines nulles, C j : j p c j décomposiion en fracion simple des racines réelles, A l p + B l décomposiion en fracion simple des racines complexes 2 : p al + b 2 conjuguées, l A k p + B k k p 2 + b 2 : k l décomposiion en fracion simple des racines imaginaires pures..6

7 .2 Sabilié 5 La réponse emporelle es donc la somme des réponses emporelles. Le sysème sera insable si un des ermes ne end pas vers en l infini, il nous suffi donc d éudier chacune des ransformées inverses pour obenir les condiions de sabilié du sysème. Commençons par les racines réelles e complexes. Racines réelles j C j p c j : à parir du ableau des ransformées inverses en annexe page?? on dédui C j p c j L C j e c j..7 Le sysème es sable si la réponse emporelle end vers lorsque end vers l infini. L allure de la réponse emporelle ne dépend donc que du signe de c j. c j >, alors lim e c j = +, la sorie diverge, le sysème es insable ; c j <, alors lim e c j = +, la sorie end vers, cee racine ne rend pas le sysème insable. Racine complexes l ransformée de A l p + B l p al 2 + b 2 A l p + B l p al 2 + b 2 b L b 2 + p + a 2 e a. sinb e p + a L b 2 + p + a 2 e a. cosb. La ransformée inverse es donc de la forme : l l : le ableau des ransformées inverses ne donne pas direcemen la mais, il es possible de la déduire à parir des deux formes suivanes : A l p + B l L 2 K i e a i sin b i + ϕ i p al + b 2 l Le sinus es oujours borné, la sabilié du sysème ne dépend donc que du signe de a i : a i >, comme précédemmen lim e a i = +, la sorie diverge, le sysème es insable a i <, dans ce cas, lim e a i =, la sorie end vers, cee racine ne rend pas le sysème insable. Remarque : nous n avons raié que le cas des racines simples, une racine muliple ne modifie pas la condiion de sabilié, la parie réelle doi êre négaive. Il ne rese plus qu à éudier le cas d une racine nulle, e le cas d une racine imaginaire pure mais nous allons ici prendre en compe le fai que la racine soi simple ou muliple..8 Racine nulle simple p, es racine du dénominaeur. La ransformée inverse es : p L u..9 La sorie end donc vers une consane non nulle. Le sysème ne revien pas à mais ne s écare pas indéfinimen, il rese borné. On di alors que le sysème es juse insable. Racine nulle double, du ableau des ransformée, on dédui p2 p 2 L.. On consae que la sorie diverge lorsque croî. Le sysème es donc insable.

8 6 Analyse des sysèmes asservis A k Racine imaginaire pure simple p 2 + ω 2, on a alors p k = ±j ω k qui es racine du dénominaeur. k Du ableau des ransformées on dédui : p 2 + ω 2 L sinω.. ω La sorie es consammen sinusoïdale, elle ne end pas vers mais elle rese bornée. On di alors que le sysème es juse insable. A k Racine imaginaire pure double p 2 + ω 2 le ableau donne 2 k L Ł p 2 + ω 2 sinω ω cosω ω2 Le second erme end vers l infini, le sysème es donc insable. a Conclusion Si les paries réelles des racines complexes son oues négaives e si oues les racines réelles son négaives, alors la réponse ransioire du sysème es composée d exponenielles amories e décroissanes, la réponse end vers zéro pour endan vers l infini, le sysème revien à sa posiion d équilibre, le sysème es sable ; Si un des pôles réels es posiif, le sysème es insable. Le sysème es de ype divergen exponeniel ; Si un des pôles complexes es à parie réelle posiive, le sysème es insable. Le sysème es de ype oscillaoire divergen ; Si ou ±j ω es racine simple, le sysème es juse insable ; Si ou ±j ω es racine muliple, le sysème es insable..2.3 Condiion de sabilié Énoncé condiion de sabilié Un sysème es sable si, e seulemen si, la foncion de ransfer en boucle fermée n a pas de pôle à parie réelle posiive ou nulle. Remarque : on appelle pôles de la foncion de ransfer les racines du dénominaeur..2.4 Posiion des pôles La posiion des pôles dans le plan complexe de la foncion de ransfer en boucle fermée nous renseigne sur la sabilié de la foncion de ransfer fig.3. Il suffi donc d éudier les racines du dénominaeur de la foncion de ransfer en boucle fermée pour savoir si le sysème es sable ou insable. Mais si on sai résoudre des polynômes de degré, 2, 3 voire 4, on ne sai pas déerminer de manière sysémaique les racines d un polynôme de degré supérieur nous verrons plus loin qu il exise des ouils qui à défau de nous donner les racines nous indiquen le signe de celles-ci..2.5 Crières de sabilié La connaissance des racines perme de déduire si le sysème es sable, mais il n es pas envisageable de déerminer les racines d un polynôme de degré élevé. Les crières ci-dessous nous permeen de déerminer le signe des racines sans avoir besoin de déerminer les racines. On disingue les crières algébriques e les crières graphiques.

9 .2 Sabilié 7 STABLE INSTABLE Racine nulle simple I Racine nulle muliple Racines complexes à parie réelle négaive Racine réelle posiive R Racine réelle négaive Racines imaginaires simples Racines imaginaires doubles Racines complexes à parie réelle posiive FIGURE.3 Posiions des pôles e sabilié a Crière de Rouh Le crière de Rouh es un crière algébrique permean de déerminer à parir du polynôme du dénominaeur de la foncion de ransfer le signe des racines de ce polynôme sans avoir à résoudre l équaion Dp =. Pour une foncion de ransfer en boucle fermée s écrivan, BF p = N p D p = a m p m + a m p m a p + a b n p n + b n p n + + b p,.3 + b on dédui l équaion caracérisique : b n p n + b n p n + + b p + b =. D p =.4

10 8 Analyse des sysèmes asservis Condiion nécessaire Énoncé Condiion nécessaire de sabilié Pour que le sysème soi sable, il fau que ous les coefficiens de l équaion caracérisique soien du même signe que b n. Remarque : cee condiion es une condiion suffisane pour les sysèmes du premier e du second ordre. Tableau de Rouh Le crière de Rouh perme de déerminer le signe des racines d un polynôme à parir du ableau ci dessous consrui à parir des coefficiens du polynôme. On place sur la première colonne les puissances décroissanes du polynôme de p n à p. Les deux premières lignes son consiuées des coefficiens du polynôme : La première es consiuée des coefficiens de même parié que le degré n du polynôme, rangés suivan les puissances décroissanes ; La deuxième es consiuée des coefficiens de même parié que n, rangés suivan les puissances décroissanes. p n A = b n A 2 = b n 2 A 3 = b n A k = b 2 A l = b p n A 2 = b n A 22 = b n 3 A 23 = b n A 2k = b p n 2 A 3 A 32 A p n 3 A 4 A 42 A A i 2 A i A i 2j + A i A i A i j + p n i Ai j p A n A n 2 p A n = b TABLE. Tableau de Rouh Les coefficiens de la roisième ligne son calculés comme sui : le suivan : A 3 = A A A 2 2 A 2 A 22.5 = b n b n 2 b = b n b n 3 b n b n 2.6 n b n b n b n 3 A 32 = A A A 3 2 A 2 A 23 = b n Pour la ligne suivane : A 4 = A A 2 A 22 3 A 3 A 32 b n b n b n 4 b n 5.7 A 42 = A A 2 A 23 3 A 3 A 33.8 Pour le erme de la ligne i e de la colonne j : A i j = A A i 2 A i 2j + i A i A i j +.9 On poursui le remplissage jusqu à la ligne p. La première colonne es appelée colonne des pivos e le erme A i es le pivo de ous les ermes de la ligne i. On remarquera que :

11 .2 Sabilié 9 les ermes du riangle inférieur droi son nuls ; que le erme b se propage une ligne sur deux le long de la diagonale du riangle jusqu à la ligne p ; Remarque : le ableau. es consrui pour un polynôme de degré pair, pour un polynôme de degré impair les deux premières lignes se erminen différemmen le erme en p es sur la seconde ligne. p n b n b n 2 b n b 3 b p n b n b n 3 b n b 2 b Énoncé Crière de Rouh Le sysème es sable si ous les ermes de la colonne des pivos son du même signe que A = b n. Il y a auan de racines à parie réelles posiives que de changemen de signe dans la colonne des pivos. Le crière de Rouh, es un crière de sabilié absolue, il ne perme pas de préciser les marges de sabilié du sysème. Cas pariculiers Lors de l éablissemen du ableau de Rouh, deux cas pariculiers limies peuven se produire, un zéro dans la colonne des pivos, ou une ligne de zéro : Un zéro dans la colonne des pivos pour poursuivre l éude, on remplace le zéro par ε, dans la suie, puis on fai endre ε vers pour éudier le signe. Une ligne de zéro dans le ableau de Rouh implique la présence d une racine imaginaire pure, le sysème es donc juse insable. p k u u 2 u 3... p k+ Ligne de zéros Afin de poursuivre l analyse, on consrui, le polynôme consiué à parir des coefficiens de la ligne précédene, ce polynôme es ensuie dérivé par rappor à la variable p pour poursuivre le ableau. On reconsrui le polynôme de rang k : On dérive ce polynôme par rappor à p : P k p = a p k + a 2 p k 2 + a 3 p k P k p = a k p k + a 2 k 2 p k 3 + a 3 k 4 p k On remplace les ermes de la ligne p k+ par les coefficiens du polynôme dérivé. p k u u 2 u 3... p k+ a k a 2 k a 3 k 2... La ligne de zéro es remplacée p k n poursui la consrucion du ableau Remarque : : le crière de Rouh es rès uile lorsque les coefficiens du polynôme son des paramères de réglage de l asservissemen pour déerminer les valeurs limies de ces paramères comme sur l exemple ci-dessous. Ep K + Gp = p p 2 + p + 3 Sp BFp = Gp + Gp K = p 3 + p p + K

12 Analyse des sysèmes asservis On consrui le ableau de Rouh p 3 3 p 2 K p A 3 p K e A 3 = 3 K = 3 K Le sysème es donc sable pour < K < 3.

13 .2 Sabilié Im insable insable juse insable db + - Re sable juse insable sable - - a dans le plan de Nyquis b dans le plan de Black FIGURE.4 Crière du revers insable 3 4 sable 5 6 juse insable FIGURE.5 Crière du revers à parir des diagrammes de Bode b Crière graphique du revers Le crière de Rouh s applique sur la foncion de ransfer en boucle fermée du sysème, les crières graphiques permeen d éudier la sabilié d un sysème à parir de la représenaion graphique de la foncion de ransfer en boucle ouvere. Cee éude peu êre conduie à parir des diagrammes de Bode, de Nyquis ou de Black. Soi le sysème décri par le schéma bloc suivan : Ep εp Sp + BOp on noe, BOp, la foncion de ransfer en boucle ouvere e BFp = BOp + BOp.2

14 2 Analyse des sysèmes asservis la foncion de ransfer en boucle fermée Nous savons que l éude de la sabilié se résume à la recherche du signe des racines du dénominaeur de la foncion de ransfer en boucle fermée. cee condiion peu aussi écrire sous la forme Dp =.2 + BOp =.22 BOp =.23 Éudier BOp = revien à éudier le lieu le racé de la foncion de ransfer de la foncion BOp par rappor au poin, du plan complexe. Le poin, es appelé poin criique. La posiion de ce racé par rappor au poin criique nous renseigne sur la sabilié du sysème. L éude peu aussi bien êre réalisé sur le diagramme de Nyquis que sur les diagrammes de Black ou de Bode. Énoncé Crière du revers dans le plan de Nyquis Un sysème asservi linéaire es sable si, en parcouran dans le sens des pulsaions croissanes le lieu de ransfer dans le plan de Nyquis de la FTBO on laisse le poin criique, sur la gauche figure.4a. Il es insable dans le cas conraire. Énoncé Crière du revers dans le plan de Black Un sysème asservi linéaire es sable si, en parcouran dans le sens des pulsaions croissanes le lieu de ransfer dans le plan de Black de la FTBO, on laisse le poin criique 8,dB sur la droie figure.4b. Il es insable dans le cas conraire. Remarque : le poin criique a pour coordonnées 8,dB dans le plan de Black. Énoncé Crière du revers dans le plan de Bode Un sysème asservi es sable si, pour la pulsaion ω C définie par HJ ω C = soi db, le déphasage es supérieur à 8 figure.5. Remarque : L uilisaion du crière de revers dans le plan de Bode es à manipuler avec précauion, en effe, conrairemen à son applicaion dans le plan de Black e de Nyquis où l on a une vision globale du lieu de ransfer, sur les diagrammes de Bode, le racé es décomposé sur deux graphes e il es obligaoire de s inéresser aux deux pour évaluer la sabilié. Les limies du crière du revers Le crière du revers ne peu s appliquer avec ceriude que sur des foncions de ransfer régulières en boucle ouvere, c es à dire ne possédan pas de pôle ou de zéro à parir réelle posiive. Ainsi pour le sysème don la FTBO s écri : BOp = + 2 p, p + p + p 3 Le diagramme de Black e le diagramme de Nyquis de la FTBO figure.6 semblen indiquer que la FTBF es sable, mais le simple calcul des coefficiens de la FTBF monre que le sysème es insable coefficiens négaifs, la condiion nécessaire n es pas remplie. BFp = BOp + BOp = p 35 p p p 4 Le crière du revers es la version limiée aux foncions de ransfer régulières d un crière graphique plus comple, le crière de Nyquis.

15 .2 Sabilié 3 db Im - Re - a diagramme de Black b diagramme de Nyquis FIGURE.6 Les limies du crière du revers c Crière de Nyquis Le crière de Nyquis s appuie sur le héorème de Cauchy qui perme de déerminer graphiquemen le nombre de pôles e de zéros d une foncion complexe compris dans une rajecoire fermée du plan complexe. Énoncé Théorème de Cauchy Soi C une courbe fermée séparan le plan complexe en deux : l inérieur de C e l exérieur de C. Soi f une foncion analyique. Puisque oue foncion analyique es coninue, f p décri aussi une rajecoire fermée lorsque s parcour C. Noons, P le nombre de pôles de f p enfermés par C, Z le nombre de zéros de f p enfermés par C, e N le nombre de ours auour de zéro fais par f p lorsque p parcour C on compe posiivemen lorsque le parcours a lieu dans le sens direc rigonomérique alors, N = Z P..24 Dans l exemple de la figure.7, on compe Z = 3, P =, le conour décri par f s fai N = 2 our auour de zéro. I m I m f p R e f C R e C f C FIGURE.7 Théorème de Cauchy Le crière de Nyquis perme à parir du choix d une courbe fermée C engloban la oalié du demiplan complexe à parie réelle posiive de vérifier l exisence ou non de pôle à parie réelle posiive de la FTBF.. Ni la démonsraion du héorène de Cauchy, ni la démonsraion du crière de Nyquis son au programme des classes préparaoires.

16 4 Analyse des sysèmes asservis R I m I m I m 3 R e R e R e 2 a n es pas un pôle de la FTBO b es un pôle de la FTBO c cas général FIGURE.8 Conours de Nyquis La figure.8 présene quelques conours possibles, le premier es uilisable si n es pas un pôle de la FTBO, le second si es un pôle, le roisième lorsque la FTBO possède e deux pôles imaginaires conjugués. Ces conours permeen d englober le demi-plan complexe en faisan endre le rayon exérieur vers + e le rayon auour du pôle nul ou des pôles imaginaires vers. Soi Hp la foncion de ransfer en boucle fermée du sysème décri par le schéma bloc ci-dessous, avec BOp la foncion de ransfer en boucle ouvere. Ep + ɛp C d p Mp C r p Sp Hp = C d p + C d p C r p = C d p + BOp Énoncé Crière de Nyquis Soi un sysème don la foncion de ransfer BOp en boucle ouvere possède P pôles à parie réelle sricemen posiive. Soi N le nombre de ours fai par le lieu comple de Nyquis de le foncion de ransfer en boucle ouvere BOp auour du poin criique -,, compés posiivemen dans le sens rigonomérique. Alors, le nombre de pôles insables du sysème en boucle fermée es : Z = P N.25 Ainsi, le sysème es sable en boucle fermée si Z =, c es à dire si le lieu de Nyquis comple fai P ours auour du poin criique -,. Remarque : le crière de Nyquis n es qu une simple adapion de héorème de Cauchy, au lieu d éudier les pôles e les zéros de Hp, il éudie les pôles e les zéros de + BOp. Remarque 2 : les pôles de + BOp son les mêmes que ceux de BOp. Le crière de Nyquis n es facilemen uilisable que si on sai déerminer les pôles de BOp. Remarque 3 : au lieu de comper le nombre de our auour de l origine, de la foncion +BOp, le crière de Nyquis s ineresse au nombre de our du lieu comple de Nyquis de BOp auour du poin criique -,. Consrucion du lieu comple de Nyquis Il nécessaire pour uiliser le crière de Nyquis de racer le lieu comple de Nyquis. Ce lieu se consrui en plusieurs éapes correspondan aux différenes paries du conour de Nyquis figure.8a :. pour la première demi-droie, p = j ω es un imaginaire pur e ω varie de à +, on remplace p par j ω. On rerouve le racé du lieu de Nyquis de la foncion de ransfer ;

17 .2 Sabilié 5 2. le racé de la demi-droie symérique ω varie de à es le symérique par rappor à l axe des réels du lieu de Nyquis ; 3. le lieu correspondan au demi-cercle de rayon R = s obien en remplaçan p par R e j θ e en faisan endre R. le racé correspondan es en général confondu avec l origine ; 4. si es un pôle de BOp, le lieu de Nyquis compore une branche asympoique lorsque ω, pour fermer le conour, il es nécessaire de poser p = r e j θ e de faire endre r vers. Applicaion Reprenons la foncion de ransfer de l exemple BOp = + 2 p, p + p + p 3 Im I m R 3 - Re R e - 2 a conour de Nyquis b lieu comple de Nyquis FIGURE.9 Applicaion crière de Nyquis La FTBO compore un pôle à parie réelle posiive P =, le lieu comple de Nyquis n enoure pas le poin criique,, Le sysème es donc insable. Z = P N = =.2.6 Marges de sabilié Les crières ci-dessus son des crières de sabilié absolue, ils permeen de répondre à la quesion binaire : le sysème es-il sable ou insable? La réponse à cee quesion ne perme pas de régler e d opimiser le foncionnemen d un sysème. Il es nécessaire, pour cela, d idenifier un ou plusieurs paramères qui permeen de régler le sysème asservi afin d avoir le comporemen souhaié en erme d oscillaions de la réponse emporelle. a Influence de la posiion de la FTBO par rappor au poin criique On se propose d évaluer l influence de la disance enre le lieu de ransfer de la FTBO e le poin criique sur le comporemen emporel du sysème asservi.

18 6 Analyse des sysèmes asservis Soi le sysème décri par le schéma bloc ci-conre avec Gp = p + 2 p +,5 p 2. Les figures. représenen le diagramme de Black de BOp = K Gp e la réponse emporelle de la sorie pour une enrée en échelon uniaire pour différenes valeurs du gain K. Ep + εp K Gp Sp db s K = 3 K =.5-8 K = 3 K = K =, K =, a lieu de Black b réponse emporelle FIGURE. Disance par rappor au poin criique e comporemen emporel courbe n : K = 3, le lieu de Black es proche du poin criique, la réponse emporelle es rès oscillane ; courbe n 2 : K = ; courbe n 3 : K =,5, le lieu de Black es éloigné du poin criique, la réponse emporelle n es pas oscillane. Les réponses emporelles son caracérisiques d un sysème sable mais on consae que le comporemen emporel es d auan plus oscillan que le racé du lieu de Black es proche du poin criique 8, db. Il es donc possible, à parir de la représenaion fréquenielle, de prévoir l allure de la réponse emporelle e d ajuser le sysème pour avoir un comporemen correc, il suffi pour cela de régler une «disance»minimale enre le poin criique e le lieu de la foncion de ransfer en boucle ouvere. Cee disance es appréciée par les deux marges de sabilié : la marge de gain M G e la marge de phase M P. Les valeurs usuelles de réglage des marges de gain e de phase son : Marge de Gain M G de db à 5dB ; Marge de Phase M P de 4 à de 5. Ces marges peuven êre évaluées e mesurées aussi bien sur les diagrammes de Bode, de Black que de Nyquis. b Marges de sabilié sur les diagrammes de Bode On noe, : ω 8, la pulsaion elle que arg BOj ω 8 = 8 ;

19 .2 Sabilié 7 ω db, la pulsaion elle que 2log BOj ωdb = db Marge de Gain La marge de gain es mesurée sur le diagramme d ampliude figure., enre la courbe de gain de la FTBO e l axe des abscisses pour la pulsaion ω 8. Le sens posiif es compé de la courbe vers l axe des abscisses. M G = 2 log BOj ω Marge de Phase La marge de phase es mesurée sur le diagramme de Phase enre l ordonnée 8 e la courbe de phase de la FTBO pour la pulsaion ω db. le sens posiif es compé de l ordonnée 8 à la courbe. M P = arg BOj ω db ω db ω M P 27 2 M G FIGURE. Marges de Sabilié sur les diagrammes de Bode c Marge de sabilié à parir du diagramme de Black La déerminaion de la marge de gain e de la marge de phase es direce sur le diagramme de Black, il suffi de mesurer l écar enre la courbe e le poin criique suivan les deux axes. Marge de Gain C es l écar mesuré en db figure.2a enre l inersecion du lieu de Black de la FTBO avec la droie d argumen 8 e le poin criique de coordonnées 8,dB. Marge de Phase C es l écar mesuré enre l inersecion du lieu de Black avec l axe des abscisses e le poin criique 8,dB. d Marges de sabilié à parir du diagramme de Nyquis Marge de Gain La marge de gain ne peu êre direcemen mesurée en décibel sur le diagramme de Nyquis figure.2b, par conre, il es possible de la calculer à parir de la courbe. On mesure la disance enre l origine e le poin d inersecion de l axe des réels négaifs e lieu de Nyquis de la FTBO c es-à-dire ω 8 défini plus hau soi G 8 = BOj ω8, on dédui ensuie M G = 2logG 8.

20 8 Analyse des sysèmes asservis M P G 8 M G 8 ω db db M P ω 8 ω db ω 8 8 Im - - Re a lieu de Black b lieu de Nyquis FIGURE.2 Marges de Sabilié Marge de Phase La marge de phase se mesure direcemen en mesuran l angle enre l axe des réels négaifs e le poin d inersecion du lieu de Nyquis avec le cercle uniaire c es-à-dire ω db, on a alors M P = arg BOj ω db 8. e Faceur de résonance Une méhode plus globale pour régler le sysème es de régler le faceur de résonance Q Cf. page?? c es-à-dire le rappor Q = BFω r BFω ou ω r es la pulsaion de résonance e ω = rad s. Nous avons vus dans le chapire?? que l abaque de Black Nichols Cf. page?? perme, à parir du racé de la FTBO à reour uniaire, de déerminer le faceur de résonance de la FTBF. Remarque : La procédure de racé es précisée page??. La FTBF ne compore de résonance que si le lieu de Black de la FTBO angene un des conours fermés des iso modules. Le poin de angence de la FTBO avec un conour d ampliude fermé es ω r, la pulsaion de résonance de la FTBF. Ainsi sur la figure.3 on consae que le conour de la FTBO rai coninu angene le conour fermé à 2,3dB rai poinillé. Cee pulsaion correspond au maximum de la FTBF. Pour obenir le faceur de résonance souhaié, il suffi de faire angener le lieu de Black avec le conour d ampliude considéré en jouan sur le gain K de la FTBO. La valeur usuelle en db de réglage du faceur de résonance es :Q db = 2,3dB. Remarque : Cee procédure es plus globale que le simple réglage de la marge de phase e de la marge de gain, en effe ce réglage ne s inéresse pas uniquemen aux inersecions de la FTBO avec l axe des abcisses e la droie d ordonnée 8 mais à la disance de la FTBO au poin criique dans oues les direcions..3 Précision.3. Posiion du problème La précision es une caracérisique prépondérane d un sysème asservi ou d une régulaion. La précision es évaluée aussi bien vis à vis de l enrée de consigne que vis à vis des perurbaions. Un sysème doi êre précis vis à vis de l enrée mais insensible aux perurbaions, elles ne doiven pas dégrader la réponse finale. On disingue :

21 .3 Précision 9 db db.2db.2db.5db.5db db db dB 2.3dB 3dB 4dB 5dB 6dB 8dB db -8 ωr 8,7 rad s dB + 3dB 4dB 5dB 6dB ωr 8,7 rad s 8dB db 2dB - 5dB 359 2dB dB dB FIGURE.3 Marges de Sabilié e faceur de résonance L erreur saique : c es l erreur en régime permanen enre la sorie e la loi d enrée. Pour déerminer cee erreur on soume le sysème à des enrées canoniques : Échelon, on parle alors d erreur indicielle figure.4a, Rampe, erreur de raînage ou erreur de poursuie figure.4b, Accéléraion, erreur en accéléraion. L erreur dynamique : c es l écar insanané enre la sorie e l enrée lors de la phase ransioire suivan l applicaion de l enrée ou après une perurbaion hors du programme..3.2 Données La précision es évaluée par l écar ε mesuré pour un sysème à reour uniaire enre e e s. Dans le cas d un sysème à reour non uniaire il se mesure enre e e m, avec m la mesure de s. Déerminons dans les deux cas l erreur ε pour une perurbaion nulle. a Cas du reour uniaire Ep + ɛp C d p Sp

22 2 Analyse des sysèmes asservis s s ε ε i 2 a erreur indicielle 2 b erreur de raînage FIGURE.4 Erreur saique εp = Ep Sp εp = Ep C d p εp εp = Ep + C d p avec ici : BOp = C d p b Cas du reour non uniaire Ep + ɛp C d p Mp C r p Sp soi finalemen dans les deux cas : εp = Ep Mp εp = Ep C d p C r p εp εp = Ep + C d p C r p avec ici : BOp = C d p C r p εp = Ep.26 + BOp L erreur dépend de la FTBO e de la naure de l enrée. Pour la suie, nous ne raierons que le cas de sysème à reour uniaire, l éude éan idenique pour les sysèmes à reour non uniaire. Nous nous placerons dans le cas général pour lequel la FTBO peu êre mise sous la forme : BOp = K Np p α Dp avec K > : le gain, Np : un polynôme de degré n el que N =, Dp : un polynôme de degré m el que D =,.27

23 .3 Précision 2 α : la classe du sysème. Remarque : Pour un sysème physique le degré du dénominaeur m + α es supérieur au degré du numéraeur n..3.3 Erreur en régime permanen - erreur saique a Définiion L écar en régime permanen es la limie quand end vers l infini de l écar enre e e s : Un sysème sera précis si ce écar end vers. ε s = lim e s = lim ε.28 b Calculs préalables Le héorème de la valeur finale perme d écrire : lim ε = limp εp.29 Remarque imporane : ce héorème ne peu-êre uilisé que si la sorie converge, c es à dire si le sysème es sable. Nous supposerons donc pour la suie que le sysème es sable. Ici on peu donc écrire pour l écar : d où pour l erreur saique εp = p + BOp Ep = + K Np p α Dp Ep.3 p α Dp εp = p α Ep.3 Dp + K Np ε s = limp εp = lim p p p finalemen en se rappelan que : N = e D = p α+ ε s = lim p p α + K Ep p α Dp p α Dp + K Np Ep En conclusion, l erreur saique dépend de la naure de l enrée Ep e de la classe α de la foncion de ransfer en boucle ouvere e du gain K de la FTBO. c Erreur indicielle - réponse à un échelon On nomme erreur indicielle ε i, l erreur saique relaive à une enrée en échelon e = E u avec u la foncion de Heaviside. Le sysème éan sable par hypohèse on peu écrire p α+ ε i = lim p εp = lim p p p α + K Ep.34 avec e L Ep = E p p α+ ε i = lim p p α + K E = lim p p p α p α + K E On peu considérer deux cas en foncion de la classe du sysème..35

24 22 Analyse des sysèmes asservis Sysème de classe α = : la FTBO ne compore pas d inégraion ε i = lim p p p + K E = + K E L erreur es non nulle e dépend du gain K de la FTBO, elle es d auan plus peie que le gain es imporan. Sysème de classe > α > : la FTBO compore au moins une inégraion dans la boucle ε i = lim p p α p α + K E =.36 L erreur es donc nulle à l infini quelque soi le gain K de la FTBO. Remarque : par abus de langage on appelle souven erreur saique, l erreur indicielle. d Erreur de raînage - réponse à une rampe L erreur de raînage aussi nommée erreur de poursuie ε, es l erreur mesurée enre une enrée de ype rampe e = A u e la sorie. Comme précédemmen p α+ ε = lim p εp = lim p p p α + K Ep.37 avec e L Ep = A p 2 p α+ A p α ε = lim p p α + K p 2 = lim A p p α + K l erreur de raînage dépend comme l erreur indicielle du gain K e de la classe du sysème. Nous pouvons disinguer rois cas. Sysème de classe α = : la FTBO ne compore pas d inégraion. ε = lim A p p p + K = +.38 L écar end vers +, la réponse emporelle de la sorie s écare de la consigne en rampe. Sysème de classe α = : la FTBO compore une inégraion ε = lim A p p p + K = A K.39 L erreur es consane, la sorie es parallèle à l enrée, décalée de ε. Sysème de classe > α > : la FTBO compore au moins deux inégraions. ε = lim A p p α p α + K L erreur de raînage es nulle, la sorie rarape l enrée lorsque +. =.4

25 .3 Précision 23 e Erreur en accéléraion - Réponse à une consigne parabolique On se propose mainenan de déerminer l erreur en accéléraion, ε a, correspondan à une enrée de ype parabolique e = A O 2 u. Comme dans les éudes précédenes avec e L Ep = 2 A p 3 En foncion de α on obien : p α+ A p α 2 ε a = lim p p α + K 2 p 3 = lim 2 A p p α + K.4 Sysème de classe < 2 < α < 2 ε a = lim 2 A p p α 2 p α + K = +.42 Sysème de classe 2 α = 2 ε a = lim 2 A p p p 2 + K = 2 A K.43 Sysème de classe > 2 α > 2 ε a = lim 2 A p p α 2 p α + K =.44 f Tableau récapiulaif Le ableau page suivane récapiule les différenes erreurs e l allure des réponses emporelles correspondanes. Il ne fau pas déduire rapidemen du ableau.2 qu il suffi de corriger le sysème en rajouan une inégraion pour que le sysème soi précis, en effe chaque inégraion ajoue aussi un déphasage de 9, le sysème risque donc de devenir insable. Ce ableau n a de sens que si le sysème es sable!

26 24 Analyse des sysèmes asservis Classe Échelon Rampe Accéléraion α = ε i = E O + K ε = + ε a = + α = ε i = ε = A O K ε a = + α = 2 ε i = ε = ε a = 2 A O K α > 2 ε i = ε = ε a = TABLE.2 Tableau récapiulaif : influence de la classe sur l erreur saique.3.4 Effe d une perurbaion sur la précision a Présenaion du problème On se propose d éudier l effe d une perurbaion sur la précision d un sysème e l influence de la forme de la foncion de ransfer sur l impac de cee perurbaion. À parir du modèle d éude décri par le schéma blocs e les foncions de ransfer suivans : F p = K N p p α D p e F 2p = K 2 N 2 p p α 2 D 2 p avec N = D =, N 2 = D 2 =, α, α 2, K > e K 2 >. Rp Ep + εp F p + F2 p Sp Déerminons l écar ɛ

27 .3 Précision 25 εp = Ep Sp = Ep F 2 p F p εp Rp.45 εp = + F p F 2 p Ep F 2 p Rp.46 + F p F 2 p L erreur due à la perurbaion s ajoue à celle relaive à l enrée résula général que l on rerouve par le héorème de superposiion appliqué aux sysèmes linéaires. Nous limierons nore éude au cas d une perurbaion consane, les aures ypes de perurbaions se raian de la même manière. b Perurbaion consane À parir du héorème de superposiion, on sai que la réponse obenue pour une sysème linéaire à deux enrées es la somme des sories de chaque enrée prise isolémen. Pour éudier l effe de la perurbaion seule, il suffi de poser e =. On en dédui l écar relaif à la perurbaion : F 2 p ε p p = + F p F 2 p Rp On choisi d éudier le comporemen pour une perurbaion consane soi dans le domaine de Laplace L erreur relaive à la perurbaion s écri donc : r = R u Rp = R p. F 2 p ε p p = + F p F 2 p R p.47 en remplaçan F p e F 2 p : ε p p = K 2 N 2 p p α 2 D 2 p + K N p p α D p K2 N 2 p p α 2 D 2 p R p K 2 N 2 p p α D p ε p p = p α D p p α 2 D 2 p + K N p K 2 N 2 p R p Nous supposons comme dans l éude précédene que le sysème es sable, il es donc possible d uiliser le héorème de la valeur finale pour déerminer l écar saique dépendan de la perurbaion. ε p = lim ε = lim p p ε p p.5 avec N i = D i = ε p = lim p ε p = lim p p R K 2 p α p α p α R 2 + K K 2 p K 2 p α p α +α 2 + K K On consae que l erreur relaive à la perurbaion dépend principalemen de la classe de la foncion de ransfer en amon de la perurbaion α. On disingue deux cas :

28 26 Analyse des sysèmes asservis α = : La foncion de ransfer F p en amon de la perurbaion ne possède pas d inégraion. K 2 p ε p = lim R p p α K K 2 si α 2 = si α 2 > ε p = lim R p ε p = lim R p K 2 p p + K K 2 K 2 p p α 2 + K K 2 L erreur saique relaive à la perurbaion es non nulle dans les deux cas. = R K 2 + K K 2.54 = R K.55 α > : La foncion de ransfer F p en amon de la perurbaion possède au moins une inégraion. K 2 p α ε p = lim R p p α =.56 +α 2 + K K 2 l erreur saique relaive à la perurbaion es nulle à l infini. En conclusion : pour que l erreur permanene ne dépende pas de la perurbaion, il fau au moins une inégraion en amon de la perurbaion..4 Rapidié.4. Temps de réponse - emps de monée Temps de réponse : c es le emps mis pour que la sorie aeigne la valeur finale à 5 % près ; Temps de monée : c es le emps mis par la sorie pour passer de 5 % à 95 % de la valeur finale. Évaluer la rapidié d un sysème revien en général à déerminer le emps de réponse à 5 % T 5% pour une enrée de ype échelon. Si on sai évaluer cee quanié pour les sysèmes du premier ordre T 5% = 3τ e du second ordre Cf. abaque en annexe, pour des sysèmes d un ordre supérieur, il n exise pas de relaion direcemen applicable. Le emps de monée peu lui aussi permere d évaluer la rapidié du sysème mais cee mesure ne prend pas en compe les oscillaions de la réponse figure.5. On remarque, que des sysèmes ayan un emps de réponse analogue peuven avoir des emps de monée noablemen différens..4.2 Temps de monée e bande passane Un sysème asservi se compore comme un filre passe-bas, c es à dire un sysème linéaire qui ne «laisse passer»que les basses fréquences, les haues fréquences son foremen aénuées. On caracérise les filres par la bande passane à 3dB. On se propose de monrer que la bande passane e le emps de FIGURE.5 Temps de réponse e emps de monée monée son corrélés, plus la bande passane de la FTBF es imporane, plus le emps de monée es faible. Cee relaion es déjà connue pour les sysèmes du premier ordre, en effe, pour un sysème en boucle fermée don la foncion de ransfer s écri : K H p = + τ p.57

29 .4 Rapidié 27 alors on sai que : le emps de réponse à 5 % es : T 5% = 3 τ la bande passane à 3dB es : ω c = τ On consae bien, que plus la bande passane augmene, plus le emps de réponse diminue. Dans les aures cas, les calculs son plus complexes, nous nous limierons donc à monrer sans démonsraion que pour un sysème du second ordre, la relaion enre la bande passane e le emps de monée es de même naure. Pour l évaluer, nous allons éudier le cas du sysème du second ordre à reour uniaire ci-dessous. ɛp + Ep K Sp La FTBF s écri : p + p BFp = + p K + p2 K Par idenificaion avec la forme canonique on obien : ω n = k, la pulsaion propre ; z = K, le coefficien d amorissemen. 2 On consae que la réponse emporelle fig..6b e la réponse fréquenielle fig..6a dépenden principalemen de K, plus K es grand, plus la réponse es rapide le emps de monée diminue mais les oscillaions augmenen e plus la bande passane es grande. db dB bp 3 bp 2 K = bp K = K =.3 6 rad/s a Diagramme d ampliude - bande passane K = K = K =,3 m m 2 m 3 b Temps de monée FIGURE.6 Bande passane e emps de monée On peu ener de généraliser en disan que si l on souhaie diminuer le emps de monée du sysème, il fau augmener la bande passane mais ne fau oublier que le emps de monée e le emps de réponse ne son pas direcemen corrélés.

30 28 Analyse des sysèmes asservis.5 Exercices Exercice - Crière du revers Corrigé page?? Q. Pour chacune des foncions de ransfer en boucle ouvere racées pour K = sur les figures.7a,.7b,.7c e.7d déerminer par le crière du revers si le sysème en boucle fermée es sable. Préciser la valeur maxi de K pour que le sysème soi juse insable. 2 db rad/s rad/s 2 a Diagramme de Bode de T p 2 db rad/s rad/s 2 b Diagramme de Bode de T 2 p db db c Diagramme de Black de T 3 p d Diagramme de Black de T 4 p FIGURE.7 Éude graphique de la sabilié Chaque sysème es décri par le schéma bloc ci-dessous. Ep + K T i p Sp

31 .5 Exercices 29 Exercice 2- Sabilié - décomposiion en élémens simples Corrigé page?? Q. Déerminer pour chacune des foncions ci dessus la décomposiion en élémens simples pour une enrée de ype Dirac. H p = +.3 p +.5 p + 2 p + 2 p 2 H 2 2p = p p H 3 p = p p 2 4 p 5 Q2. Conclure sur la sabilié. Exercice 3- Second ordre avec inégraion Corrigé page?? Un sysème es décri par le schéma bloc suivan : Xp ɛ + p Hp Yp Hp = K + 2 z ω n p + p2 ω 2 n Q. À parir du crière de Rouh, déerminer les condiions sur K, z e ω n pour que le sysème soi sable. Exercice 4- Marges de sabilié-bode Corrigé page?? 6 La FTBO du sysème éudié es définie par : H p = p p + p 2 Q. Tracer les diagrammes de Bode. Le sysème es-il sable en boucle fermée? Q2. Évaluer les marges de phase e de gain Exercice 5- Boucle de régulaion Corrigé page?? Soi le sysème décri par le schéma bloc suivan. Θ e p + ɛ K p p +,2 p 2 Θ s p Q. Déerminer la valeur de K p pour laquelle le sysème es juse insable en uilisan le crière de Rouh. Q2. Rerouver cee valeur, à parir du racé des diagrammes de Bode pour K p =. Exercice 6- Réglage dans le plan de Black Corrigé page?? Le sysème éudié es décri par le schéma bloc ci-dessous avec : Ep + K Gp Sp G p = +.5 p + p + 5 p + p 2

32 3 Analyse des sysèmes asservis Q. Compléer le ableau ci-dessous avec le module e l argumen de la FTBO pour K =. ω Argumen ř Module db ω Argumenř Module db rad s rad s, , ,5, , Q2. Tracer le diagramme de Black figure??. Q3. Déerminer la marge de gain e la marge de phase. Q4. Déerminer K pour avoir une marge de phase de M P = 45. Q5. En déduire la marge de gain M G. Exercice 7- Réglage du faceur de résonance Corrigé page?? La foncion de ransfer en boucle ouvere d un sysème à reour uniaire s écri K BOp = p +,3 p Q. Tracer le diagramme de Black pour K = sur l abaque de Black Nichols. Q2. Déerminer K pour avoir une faceur de résonance de 2,3 db. Q3. Déerminer la FTBF, puis la mere sous forme canonique. Q4. Tracer la réponse à un échelon uniaire. Exercice 8- Précision e sabilié Corrigé page?? Soi le sysème décri par le schéma bloc : Y r e f p H p Up + H 2 p Yp H 3 p 5 H p = + 6 p + 33 p H 2 p = 5 k p + p H 3 p = +. p.58 y r e f = Y o es une consigne consane échelon. Q. Déerminer la foncion de ransfer en boucle fermée. Q2. Déerminer la valeur finale de Y pour k =,5 e k = 5. Exercice 9- Précison e paramères Corrigé page?? Le sysème éudié es un réaceur, don on se propose de réguler la empéraure. Θ e p + ɛp Cp Up Θp Gp

33 .5 Exercices 3 L équaion différenielle relian la empéraure θ à la ension de commande u s écri : d 2 θ dθ α + 4 α θ = 4 u d 2 d Le paramère α a éé idenifié par plusieurs essais mais sa valeur, dépendane aux produis inroduis dans le réaceur, n es connue que par un encadremen : 6 α 2. La régulaion complèe es représenée par le schéma bloc ci conre. Θ e p : la ransformée de Laplace de la empéraure de consigne θ e ; Θp e Up les ransformées de Laplace de θ e u ; Cp : le régulaeur. Dans un premier emps, on choisi un régulaeur proporionnel : Cp = K p. Q. Déerminer la foncion de ransfer Gp. Q2. Déerminer la foncion de ransfer en boucle fermée G F p = Θp. Mere sous forme canonique. Θ e p Q3. Le sysème es-il sable? Q4. Déerminer Kp pour obenir un coefficien d amorissemen z F >,5. Q5. Déerminer l erreur indicielle pour un échelon de empéraure de Θ = 2 C en foncion du paramère α. Conclure sur la précision. On choisi mainenan un régulaeur proporionnel inégral :Cp = Kp + T i p T i p. Q6. Déerminer la FTBO pour les valeurs suivanes de T i e α ; T i = /2, T i = /6 α = 2, α = 6 Q7. À parir du racé des diagrammes de Bode ou de Black de la FTBO pour chacun des cas on prend K p =, déerminer le couple T i,k p el que la marge de phase Mp soi supérieure à 45 pour oues les valeurs de α. Q8. Déerminer l erreur indicielle pour un échelon de empéraure de Θ = 2 C..5. Corrigés