SOMMAIRE. Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme

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1 SOMMAIRE Fiche 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche 3 : Démontrer qu un triangle est équilatéral Fiche 4 : Démontrer qu un triangle est isocèle Fiche 5 : Démontrer qu un triangle est rectangle Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Fiche 7 : Démontrer qu un quadrilatère est un rectangle Fiche 8 : Démontrer qu un quadrilatère est un losange Fiche 9 : Démontrer qu un quadrilatère est un carré Fiche 10 : Déterminer la longueur d un segment Fiche 11: Déterminer la mesure d un angle Fiche 12 : Démontrer qu un point est le milieu d un segment Fiche 13 : Droites remarquables d un triangle 1 sur 25

2 Fiche 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles 1. 6ème Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. 2. 6ème Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. 3. 6ème Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles. 4. 6ème Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles. 5. 6ème Si un quadrilatère est un carré, alors ses côtés opposés sont parallèles. 6. 5ème Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. 2 sur 25

3 7. 5ème Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes internes égaux, alors elles sont parallèles. 8. 5ème Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles. 9. 5ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles ème Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté ème Réciproque du théorème de Thalès : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d) distincts de A Soient C et N deux points de (d') distincts de A Si = et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. = = 3 sur 25

4 Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires (Voir aussi fiche : V Démontrer qu un triangle est rectangle) 1. 6ème Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors est aussi perpendiculaire à l autre. 2. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. 3. 6ème Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. 4. 6ème Si un quadrilatère est un carré, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. 5. 6ème Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires. 6. 6ème Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. 4 sur 25

5 7. 5ème (Définition, pas de rédaction particulière) Une hauteur est une droite qui passe par un sommet d un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. 8. 4ème i une droite d est la tangente à un cercle de centre O en A, alors d est perpendiculaire au rayon [AO]. (rédaction simplifiée) 5 sur 25

6 Fiche 3 : Démontrer qu un triangle est équilatéral 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur. 2. 6ème Si un triangle a ses trois qui sont égaux (et valent 60 ), alors il est équilatéral. 3. 5ème Si un triangle a deux angles égaux à 60, alors il est équilatéral. 6 sur 25

7 Fiche 4 : Démontrer qu un triangle est isocèle 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. 2. 6ème Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. 7 sur 25

8 Fiche 5 : Démontrer qu un triangle est rectangle (Voir aussi fiche II Démontrer que deux droites sont perpendiculaires) 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. 2. 5ème Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle. avec + = ème Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle. Si M est un point du cercle de diamètre [AB], où M est distinct de A et de B, alors le triangle MAB est rectangle en M. (rédaction simplifiée) 4. 4ème Si, dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de la longueur de ce côté, alors c est un triangle rectangle. 5. 4ème Réciproque du théorème de Pythagore : Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le côté le plus long. 8 sur 25

9 Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme 1. 5ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux. (AB) // (DC) et (AD) // (BC) 2. 5ème Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c est un parallélogramme. 3. 5ème Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c est un parallélogramme. 4. 5ème Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. 5. 5ème Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux deux à deux, alors c est un parallélogramme. 6. 5ème Si un quadrilatère a deux angles consécutifs supplémentaires, alors c est un parallélogramme. + = 9 sur 25

10 Fiche 7 : Démontrer qu un quadrilatère est un rectangle 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. 2. 6ème Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle. 3. 6ème Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux et un angle droit, alors c est un rectangle. 4. 6ème Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur deux à deux et un angle droit, alors c est un rectangle. 5. 6ème Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles, de même longueur et un angle droit, alors c est un rectangle. 10 sur 25

11 6. 6ème Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur, alors c est un rectangle. 7. 5ème Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. 8. 5ème Si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. 11 sur 25

12 Fiche 8 : Démontrer qu un quadrilatère est un losange 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un losange est un quadrilatère qui a quatre cotés égaux. 2. 6ème Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires, alors c est un losange. 3. 5ème Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. ABCD parallélogramme 4. 5ème Si un parallélogramme a deux cotés consécutifs égaux, alors c est un losange. ABCD parallélogramme 12 sur 25

13 Fiche 9 : Démontrer qu un quadrilatère est un carré 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre cotés égaux. 2. 6ème Si un quadrilatère est un rectangle et un losange à la fois, alors c est un carré. 3. 6ème Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un carré. 4. 6ème Si un rectangle a deux cotés consécutifs égaux, alors c est un carré. 5. 6ème Si un losange a ses diagonales de même longueur, c est un carré. 13 sur 25

14 6. 6ème Si un losange a un angle droit, alors c est un carré. 7. 5ème Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c est un carré. 14 sur 25

15 Fiche 10 : Déterminer la longueur d un segment 1. 6ème Si un point est sur la médiatrice d un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment. 2. 6ème Si deux points appartiennent à un même cercle, alors ils sont à égale distance du centre de ce cercle. 3. 6ème Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont la même longueur. 4. 6ème Si deux cercles sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont le même rayon. 5. 6ème Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses cotés opposés sont égaux. 15 sur 25

16 6. 6ème Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont égales. AC = BD 7. 6ème Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont égales. 8. 5ème Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même longueur. 9. 5ème Si deux cercles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont le même rayon ème Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses cotés opposés sont égaux. 16 sur 25

17 11. 4ème Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux cotés, alors ce segment mesure la moitié de la longueur du troisième coté ème Théorème de Thalès : Si, dans un triangle OBB, A est un point de [OB], A est un point de [OB ] et (AA )//(BB ), alors =. = (AA ) // (BB ) 13. 4ème Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de la longueur de l hypoténuse. = ème Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors la longueur de l hypoténuse au carré est égale à la somme des deux autres longueurs au carré. BC² = AB² + AC² 15. 4ème Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du coté adjacent par la longueur de l hypoténuse. 17 sur 25

18 16. 4ème Si un point est sur la bissectrice d un angle, alors il est situé à égale distance des cotés de cet angle ème Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du coté adjacent par la longueur de l hypoténuse et la tangente de cet angle aigu est égale au quotient de la longueur du coté opposé par la longueur du coté adjacent. 18 sur 25

19 Fiche 11 : Déterminer la mesure d un angle 1. 6ème Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont la même mesure. 2. 6ème Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux. 3. 6ème Si un triangle est équilatéral, alors ses angles sont égaux et valent ème Dans un triangle, la somme des angles vaut = ème Si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires. + =90 19 sur 25

20 6. 5ème Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure. 7. 5ème Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. 8. 5ème Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes internes formés sont égaux. 9. 5ème Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants formés sont égaux ème Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors les angles opposés sont égaux. 20 sur 25

21 11. 5ème Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires ème Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du coté adjacent par la longueur de l hypoténuse ème Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du coté adjacent par la longueur de l hypoténuse et la tangente de cet angle aigu est égale au quotient de la longueur du coté opposé par la longueur du coté adjacent ème Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure ème Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l angle au centre mesure le double de l angle inscrit. 21 sur 25

22 Fiche 12 : Démontrer qu un point est le milieu d un segment 1. 6ème (Définition, pas de rédaction particulière) La médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire. 2. 6ème Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. 3. 6ème Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. 4. 6ème Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. 22 sur 25

23 5. 5ème (Définition, pas de rédaction particulière) Les points A et B sont symétriques par rapport à I donc I est le milieu de [AB]. 6. 5ème Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. 7. 4ème Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d un coté et est parallèle à un autre côté, alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu. ( IJ ) // (AB) 8. 4ème Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. 23 sur 25

24 Fiche 13 : Droites remarquables du triangle 1. 5ème Médiatrice Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Si un point est à égale distance des extrémités d un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Si deux points sont symétriques par rapport à une droite, alors cette droite est la médiatrice du segment qu ils forment. 2. 5ème Médiane Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre de gravité de ce triangle. Si, dans un triangle, une droite passe par un sommet et le point d intersection de deux médianes, alors cette droite est la troisième médiane. 24 sur 25

25 3. 4ème Hauteur Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point qui est l orthocentre de ce triangle. Si, dans un triangle, une droite passe par un sommet et le point d intersection de deux hauteurs, alors cette droite est la troisième hauteur. 4. 4ème Bissectrice Les trois bissectrices s d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit de ce triangle. Si, dans un triangle, une droite passe par un sommet et le point d intersection de deux hauteurs, alors cette droite est la troisième hauteur. Si un point est à égale distance des deux cotés d un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle. 25 sur 25

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