Fonctions usuelles. Chapitre Les fonctions trigonométriques inverses. 7.2 Les fonctions logarithme et exponentielle

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2 Chapitre 7 Fonctions usuelles. 7. Les fonctions trigonométriques inverses. tan :] π/, π/[ R est strictement croissante car sa dérivée + tan est strictement positive. La fonction tg est donc bijective ce qui prouve qu elle admet une réciproque arctg: R ] π/, π/[. sin : [ π/, π/] [, ] est strictement croissante car sa dérivée, cos, est strictement positive sur cet intervalle. La fonction sin est donc bijective ce qui prouve qu elle admet une réciproque arcsin: [, ] [ π/, π/]. cos : [0, π] [, ] est strictement décroissante car sa dérivée, sin, est strictement positive sur cet intervalle. La fonction cos est donc bijective ce qui prouve qu elle admet une réciproque arccos: [, ] [0, π]. Remarque : Le graphe d une fonction réciproque f est obtenu en symétrisant le graphe de f. Exercice : Montrer que, pour tout x [, ], arcsin(x)+arccos(x) = π/. Exemple : Calculer les dérivées de arccos(x), arcsin(x), arctan(x) : x ], [, arccos (x) = x ], [, arcsin (x) = x R, arctan (x) = sin(arccos(x)) = x cos(arcsin(x)) = x + tan (arctan(x)) = + x 7. Les fonctions logarithme et exponentielle On admet qu il existe une fonction dérivable de ]0, + [ dans R appelée le logarithme et notée ln telle que (ln) (x) = /x et ln() = 0. Théorème : Pour tout (x, y) dans R +, ln(xy) = ln(x) + ln(y). Proposition : La fonction ln est strictement croissante, lim x + ln(x) = +, lim x 0,x>0 ln(x) lim = 0. x + x ln(x) = Proposition : La fonction ln est bijective de R + dans R. Elle admet donc une fonction réciproque, qui sera notée exp. exp est définie de R dans R +, elle est bijective et vérifie exp(0) = et (exp) (x) = exp(x). De plus, pour tout (x, y) R, exp(x + y) = exp(x). exp(y). On a aussi les limites suivantes : et lim x + exp(x)/x = +. Proposition : Les fonctions ln et exp sont de classe C. lim exp(x) = +, lim exp(x) = 0 x + x 4

3 4 CHAPITRE 7. FONCTIONS USUELLES. Définition : Pour a et b deux réels, a > 0, on définit a b = exp(b ln(a)). On pose aussi e = exp() de telle sorte que exp(x) = e x. Remarque : Cette définition est une extension de a n, pour n N, lorsque a > 0. Cependant, on ne peut utiliser cette définition lorsque a Les fonctions hyperboliques. Définition : Les fonctions hyperboliques sont définies de la manière suivante : Cosinus hyperbolique ch (x) = ex + e x Sinus hyperbolique sh (x) = ex e x tangente hyperbolique hyperbolique th(x) = ex e x e x + e x Proposition : Ces fonctions sont toutes définies et de classe C sur R et : ch (x) = sh (x) sh (x) = ch (x) th (x) = On a, pour tout réel x les relations suivantes : e x = ch (x) + sh (x) ch (x) sh (x) = e x = ch (x) sh (x) ch (x) = th (x) Remarque : Il existe des relations similaires à celles obtenues avec les fonctions sin et cos. Proposition : La fonction ch est continue et strictement croissante de R + dans [, + [, elle admet donc une fonction réciproque qui sera notée argch définie de [, + [ dans R +. La fonction sh est continue et strictement croissante de R dans R, elle admet donc une fonction réciproque qui sera notée argsh définie elle aussi de R dans R. La fonction th est continue et strictement croissante de R dans ], [, elle admet donc une fonction réciproque qui sera notée argth définie de ], [ dans R. Proposition : La fonction argch est de classe C sur ], + [ et : La fonction argsh est de classe C sur R et : La fonction argth est de classe C sur ], [ et : Proposition : 7.4 Récapitulatif des dérivées. Soient n Z et a R. argch (x) = argsh (x) = x x + argth (x) = x argch(x) = ln x + x, x argsh(x) = ln x + x +, x R argth(x) = ln + x x, x ], [

4 7.5. PLAN GÉNÉRAL D ÉTUDE D UNE FONCTION. 43 f x n x a ln(x) exp(x) D f R ou R R + R + R f nx n ax a /x exp(x) D f R ou R R + R + R f cos(x) sin(x) tan(x) arccos(x) arcsin(x) arctan(x) D f R R ] π/, π/[ [, ] [, ] R f sin(x) cos(x) +tan (x) / x / x /( + x ) D f R R ] π/, π/[ ], [ ], [ R f ch (x) sh (x) th(x) argch(x) argsh(x) argth(x) D f R R R [, + [ R ], [ f sh (x) ch (x) +th (x) / x / x + /( x ) D f R R R ], + [ R ], [ Remarque : La dérivée de = cos(x) peut s écrire f (x) = cos(x + π/). De même, la dérivée de g(x) = sin(x) peut s écrire g (x) = sin(x + π/). En itérant : f (n) (x) = cos(x + nπ/) et g (n) (x) = cos(x + nπ/). 7.5 Plan général d étude d une fonction. Définition : Un sous-ensemble W de R est dit symétrique par rapport à α R si α + x W = α x W Définition : Une fonction numérique f est dite paire si D f est symétrique par rapport à 0 et si x D f, f( x) =. Une fonction numérique f est dite impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si x D f, f( x) =. Exemples : = x est paire, g(x) = x 3 est impaire, h(x) = cos(x) est paire, u(x) = sin(x) est impaire. Définition : Le graphe d une fonction numérique f est dit symétrique par rapport à la droite x = α si D f est symétrique par rapport à α et si x D f, f(α x) = f(α + x). On dit aussi que x = α est un axe de symétrie pour le graphe de f. Le graphe d une fonction numérique f est dit symétrique par rapport au point (α, 0) si D f est symétrique par rapport à α et si x D f, f(α x) = f(α + x). On dit aussi que (α, 0) est un point de symétrie pour le graphe de f. Remarque : Si f est paire, le graphe de f est symétrique par rapport à la droite x = 0. Si f est impaire, le graphe de f est symétrique par rapport au point (0, 0). Définition : Soit T R +. Une fonction numérique f est dite périodique, de période T si D f = R et si x R, f(x + T) =. Remarque : Si f est périodique de période T, il suffit de définir f sur [0, T] pour connaître f sur R Exemples : = sin(x) est périodique de période π. = cos(x) est périodique de période π. g(x) = x x est périodique de période. Définition : Une fonction f admet une asymptote verticale en a R si D f contient un intervalle du type ]a ǫ, a[ ou ]a, a + ǫ[ et si lim x a = ± ou si lim x a+ = ±. Définition : Soient a et b deux réels. Une fonction f admet pour asymptote la droite y = ax + b si D f contient ]a, + [ ou ], a[ et si lim ax = b ou lim ax = b. x + x

5 44 CHAPITRE 7. FONCTIONS USUELLES. Remarque : Pour obtenir les valeurs de a et b, on calcule successivement lim = a puis lim ax = b. x + x x + ou lim = a puis lim ax = b. x x x Définition : Une fonction f admet une branche parabolique de direction Oy si D f contient ]a, + [ ou ], a[ et si lim = ± ou si lim x + x x x = ± Etude d une fonction :. Ensemble de définition.. Réduction de l intervalle d étude : recherche de périodicité, de symétries. 3. Calcul de la dérivée, détermination de son signe. 4. Construction du tableau de variation. 5. Détermination des limites. 6. Recherche des asymptotes. 7. Recherche des branches paraboliques. Exemple : = x arctan(/(x + )) est définie sur R { }. On a ( f (x) = xarctan x + ( f (x) = xarctan g(x) = f (x) x = arctan que l on dérive de nouveau pour déterminer son signe : g (x) = (+x) g (x) = ( + +x x + ) + x ) ( x + + (+x) ( ) +x x ( + x) + ) x x + x + ) x + x + x(x + ) (x + x + ) x + x + x + (x + x + ) = (x + x + ) ( x + ) (x + x + ) g (x) = x 4x 6 (x + x + ) < 0. Le polynôme P(x) = x 4x 6 n a pas de racine réelle puisque = 4 6 =. Donc le signe de P(x) est celui du coefficient dominant, c est-à-dire P(x) < 0 pour tout x R. Donc g est strictement décroissante, définie sur R { }. De plus lim x g(x) = 0 et lim x + g(x) = 0 donc g est négative sur ], [ et positive sur ], + [. Or lim = lim x + x + x arctan car la dérivée de arctan(u) est /( + u ). Donc ( ) = lim x + (y y + ) arctan = lim ( u 0+ u ( u) ) arctan(u) = lim u 0+ u arctan(u) arctan(u) 0 lim = u 0 u 0 lim = +. x + Et en reprenant le même calcul, lim x + x = lim ( u) arctan(u) = u 0+ u On verra plus tard un moyen simple pour calculer lim x + x. ( ) y

6 7.6. EXEMPLE D UTILISATION DE MUPAD Exemple d utilisation de Mupad. source : print(nonl, Fonction f : ) : f :=xˆ*arctan(/(+x)); print(nonl, Positions des discontinuités : ) : discont(f,x,dom : :Real); g :=diff(f,x) : print(nonl, Dérivée : ) : simplify(g) ; print(nonl, valeur en : ) : eval(subs(f,x=)),float(eval(subs(f,x=))); plotfuncd(f, x = -5..5); print(nonl, limite en +infini : ) : limit(f,x=infinity) ; print(nonl, limite en +infini : ) : limit(f,x=-infinity) ; print(nonl, limite en - : ) : limit(f,x=-); print(nonl, limite à droite en - : ) : limit(f,x=-,right); print(nonl, limite à gauche en - : ) : limit(f,x=-,left); print(nonl, Développement de Taylor en x=0, termes sont demandés : ) : series(f,x=0,); print(nonl, Développement de Taylor à droite en x=-, 3 termes sont demandés : ) : series(f,x=-,3,right); print(nonl, Développement de Taylor à gauche en x=-, 3 termes sont demandés : ) : series(f,x=-,3,left) : Résultat :