8. TRANSLATIONS ET ESPACES AFFINES. Dans un espace vectoriel E l application t v : m a v + m est appelée translation de vecteur v.

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1 8. TRANSLATIONS ET ESPACES AFFINES On sait que l addition dans un espace vectoriel E opère sur deux éléments quelconques de E. On peut se demander ce qui se passe, lorsqu on «fixe» l un de ces éléments Translation et vecteur d une translation Soit E un espace vectoriel et v un élément donné de E. L application qui à un point quelconque m de E fait correspondre le point m + v de E est appelée translation. L élément v est appelé vecteur de la translation. La translation de vecteur v est souvent notée t v. On a donc : t v (m) = v + m. On utilise le mot «vecteur» pour caractériser v, car on obtient une figuration fléchée de v, en reliant la figuration ponctuelle d un point quelconque m à celle de son transformé m'. En effet : v = mm' Figuration n m Dans un espace vectoriel E l application t v : m a v + m est appelée translation de vecteur v. b a 0 E c n + v m + v b + v a + v Figuration de quelques points et de leurs images par t v Caractérisation d une translation v c + v L application f dans un espace vectoriel E est la translation t a ssi pour tout m de E on a : f (m) = a + m, où a est un élément donné de E. En effet pour m quelconque on a : t a (m) = a + m. Si on a également f (m) = a + m, alors pour tout m E on a : f (m) = t a (m), donc f = t a. Exemple : Soit dans E une application f telle que pour tout m et pour tout n de E on a : f (m) m = f (n) n. Montrons que f est alors une translation. En effet si n = 0 E, il vient f (m) m = f (0 E ), d où en posant v = f (0 E ) : f (m) = v + m ce qui montre que f = t v Points invariants On dit qu un élément m est invariant pour une application f ssi on a f (m) = m. Une translation dont le vecteur n est pas nul n a pas de points invariants. En effet un point m sera point invariant de la translation t a ssi t a (m) = m soit a + m = m, ou : a = 0 E. Cette égalité ne dépend plus de m. Il y a alors deux possibilités :

2 Ou bien a est effectivement égal à 0 E et alors t a est l identité dans E : tout point de E sera invariant. Ou bien a est différent de 0 E et la translation t a n a aucun point invariant Bipoint et translation Soit (a, b) un bipoint d un espace vectoriel E. Cherchons s il existe dans E une translation t v telle que t v (a) = b. On doit avoir v + a = b, soit v = b a = a b. D où le résultat : Pour tout bipoint (a, b), il existe une translation et une seule transformant a en b. Son vecteur est : ab Réciproque d une translation Dans un vectoriel E, toute translation t v possède une application réciproque. On a : (t v) -1 = t - v. En effet soit f = t v. Cherchons si f possède une transformation réciproque f -1. Pour cela il faut que pour tout point n de E, il existe un point m tel que f (m) = n, soit v + m = n ou m = - v + n. Donc f -1 existe bien et f -1 (n) = - v + n = t - v (n). On a donc f -1 = t - v, CQFD. Ce résultat peut être illustré par le schéma suivant : t - v t v 8.4. Composition des translations Une translation t v et sa réciproque (t v ) -1 = t -v. La composée de deux translations est une translation ayant pour vecteur la somme des vecteurs des deux translations. En effet : Soit t a et t b deux translations dans E. Pour tout m E on a : [ t b o t a ] (m) = t b ( t a (m) ) = t b (a + m) = b + (a + m) = (b + a) + m = t b + a (m). On a donc t b o t a = t b + a. Et comme a + b = b + a, on a aussi t b o t a = t a o t b. t b o t a = t b + a = t a o t b Soit T l ensemble des translations de E. La formule t b o t a = t b + a montre que o est une loi de composition interne dans T. Soit alors ϕ l application de E dans T, qui à tout v E fait correspondre t v T. Ainsi ϕ (v) = t v. On a : i ) ϕ est une bijection de E dans T. ii ) Pour tout a et b de E on a : ϕ (a + b) = t a + b = t a o t b = ϕ (a) o ϕ (b) Isomorphisme On résume ces deux propriétés en disant que ϕ est un isomorphisme (i.e. : une bijection conservant la même forme ) de ( E, + ) dans ( T, o ).

3 On montre que, puisque ( E, + ) est un groupe, il en est de même de ( T, o ). Nous admettrons ce dernier résultat. L isomorphisme ϕ de ( E, + ) dans ( T, o ) peut être schématisé par le dessin suivant : E a b a + b ϕ ϕ ϕ t a + b ta tb t a t b T ϕ (a + b) = t a + b = t a o t b = ϕ (a) o ϕ (b) 8.6. Propriétés des translations Le fait que ( T, o ) est un groupe, a comme conséquences les propriétés suivantes, dont quelques-unes unes ont déjà été vues : i ) Associativité : ( t a o t b ) o t c = t a o ( t b o t c ) = t a o t b o t c. ii ) Commutativité : t a o t b = t b o t a. iii ) Neutre : t 0 E est l application identique dans E. iv ) Réciproque : t - a est la translation réciproque de t a Extension d une application à l ensemble des parties Soit f une application d un ensemble E 1 dans un ensemble E 2 et soit A une partie de E 1. On appelle transformée de A par f ou image de A par f et on note f (A) ( ou simplement f A ) l ensemble des transformés par f des éléments de A. On a donc f (A) = { m / m = f (n) et n A }. Si f possède une application réciproque f -1, alors m = f (n) et n A est équivalent à n = f -1 (m) et n A, ou plus simplement à f -1 (m) A. On a alors f (A) = { m / f -1 (m) A }. Donc : Si f est une application d un ensemble E 1 dans un ensemble E 2 et A une partie de E 1, alors f (A) = { m / m = f (n) et n A }. Si f possède une application réciproque f -1 alors f (A) = { m / f -1 (m) A }. Remarques :

4 i ) Evidemment on peut avoir E 1 = E 2 = E. Soit alors P(E) l ensemble des parties de E. Si f est une application de E dans E, son extension est alors une application de P(E) dans P(E). En toute rigueur on devrait désigner l application et son extension par des noms distincts. En fait l expérience montre qu il n y a pas d inconvénient majeur à les nommer de la même façon. ii ) Naturellement on définit également la transformé d une suite : f ((a, b, c, K)) = (f (a), f (b), f (c), K) Translaté d une partie d un espace vectoriel Si P est une partie d un vectoriel E et t a une translation dans E, alors t a (P) est aussi appelé translaté de P par t a. On a : t a (P) = { m / am P }. En effet t a possède une réciproque t - a donc t a (P) = { m / t - a (m) P } = { m / am P } Sous-espaces affine d un espace vectoriel Soit E un espace vectoriel et A une partie de E. On dit que A est un sous-espace affine de E ssi A est le translaté d un sous-espace vectoriel V de E, c.-à-d. ssi il existe une translation t a telle que A = t a (V), i.e. A = { m / am V } Exemples de sous-espace affines i ) Tout singleton {a} de E est un sous-espace affine de E. En effet { 0 E } est un sous-espace vectoriel de E et {a} = t a ({ 0 E }). ii ) Tout sous-espace vectoriel V de E est aussi un sous-espace affine de E. En effet si a = 0 E, on a évidemment V = t a (V). iii ) E est un sous-espace affine de lui-même. Vrai d après ii ). En plus pour tout a E on a t a (E) = E (Car t a est une bijection dans E ). On traduit ce fait en disant qu un espace vectoriel est aussi un espace affine Propriétés des sous-espaces affines Dans les propriétés suivantes, V et W sont des sous-espaces vectoriels, a et b des points quelconques d un espace vectoriel E. i ) Si A = t a (V), alors a A. En effet 0 E V, donc a = t a (0 E ) t a (V) = A, CQFD. ii ) Si b t a (V) alors t b (V) = t a (V). En effet, si b t a (V) alors a b V, donc b a = - a b V et comme V est stable pour l addition, am V équivaut à b a + am V, soit bm V. Donc t b (V) = { m / bm V } = { m / am V } = t a (V). iii ) t a (V) t a (W) ssi V W. En effet si V W alors t a (V) t a (W). Réciproquement si t a (V) t a (W) alors on a t - a (t a (V)) t - a (t a (W)) soit V W. iv ) t a (V) t b (W) ssi V W et b a W.

5 En effet si V W alors t a (V) t a (W). Si en plus b a W, alors a t b (W) et t a (W) t b (W), donc t a (V) t b (W). Réciproquement si t a (V) t b (W), alors a qui est élément de t a (V) est aussi élément de t b (W). Or si a t b (W) alors, d une part b a W, d autre part t a (W) t b (W) et t a (V) t b (W) s écrit t a (V) t a (W) d où V W. v ) Si t a (V) = t b (W) alors V = W. En effet, si t a (V) = t b (W), alors t a (V) t b (W) et t b (W) t a (V), donc d après iii) V W et W V, c.-à-d. V = W, CQFD Direction d un sous-espace affine Soit A un sous-espace affine de E. Il existe donc un sous-espace vectoriel V et un seul, ainsi qu au moins une translation t a tels que t a (V) = A. Le sous-espace vectoriel V est alors appelé direction de A. On pourra noter V = dir (A). En effet l existence de V et de a est assurée par le fait que A est un sous-espace affine. S il existe un sous-espace vectoriel W tel que A = t b (W) alors t a (V) = t b (W), d où V = t a b (W) avec a Α et b Α, c.-à-d. a b W, donc V = W, ce qui prouve que V est unique Propriétés des directions i ) Tout singleton {m} de E a pour direction {0 E }. On dit que sa direction est nulle ou qu elle est réduite au vecteur nul. En effet pour tout m on a {m} = t m ({0 E }). ii ) Si t a (V) = A est un sous-espace affine de direction V, alors a A et V = t - a (A). En effet 0 E V donc t a (0 E ) t a (V). Or t a ( 0 ) = a et t a (V) = A donc a A. iii ) Soit A = t a (V) un sous-espace affine de direction V et b un élément de A. Si B = t b (V) alors B = A. En effet si b t a (V) alors a b V donc b a V et comme V est un sous-espace vectoriel de E il est stable pour l addition et am V équivaut à b a + am V. Donc: B = t b (V) = { m / bm V } = { m / b a + am V } = { m / am V } = t a (V) = A. On en déduit : Si deux sous-espaces affines ont même direction et s ils ont un élément commun, alors ils sont confondus. iv ) D après iii ) si b est un élément quelconque de A = t a (V) alors A = t b (V) et il en résulte d après ii ) que V = t - b (A) c. -à-d. dir (A) = t - b (A). On peut donc énoncer : Si A est un sous-espace affine et si b est un élément quelconque de A, alors dir (A) = t - b (A).

6 Vecteur directeur d un sous-espace affine Soit A un sous-espace affine et V sa direction. Tout élément non nul v de V est appelé vecteur directeur de A. On utilise le mot «vecteur» pour caractériser v, car pour obtenir une figuration de v liée à celle de A, il faut utiliser une figuration v fléchée de v. v A 0 E v V E Une figuration fléchée v d un vecteur directeur de l espace affine A et sa figuration ponctuelle v dans la direction V de A Théorème d Euclide Soit E un espace vectoriel. Soit A un sous-espace affine propre de E et soit b un point de E n appartenant pas à A. Il existe alors un sous-espace affine unique B, ayant pour élément b et même direction que A, à savoir B = t ab (A), où a est un élément de A. En effet si V = dir (A) et si B = t b (V) alors B a naturellement pour élément b et pour direction V soit celle de A. Si a est un élément de A, alors V = t - a (A). Donc : t (A) = t ab b a (A) = t b (t - a (A)) = t b (V) = B, CQFD. Ce résultat est parfois cité sous le nom de «Postulat d Euclide». Il peut être illustré par le dessin suivant : A a ab b B 0 E V E Parallélisme de deux sous-espaces affines Soit A et B deux sous-espaces affines. On dit que A est parallèle à B ssi dir (A) dir (B). La relation «est parallèle à» est notée par le signe : //.

7 A // B ssi dir (A) dir (B) Parallélisme strict Si A // B et si A B = alors on dit que A est strictement parallèle à B Propriétés du parallélisme i ) Soit A et B deux sous-espaces affines de E ayant un élément commun a. On a : A B ssi A // B. En effet posons A = t a (V) et B = t a (W). Si A B alors t - a (A) t - a (B), c. -à-d. V W, donc A // B. Réciproquement si A // B alors V W donc t a (V) t a (W) c. -à-d. A B. Si A et B sont deux sous-espaces affines tels que A // B, alors ou bien A est strictement parallèle à B, ou bien A est inclus dans B. En effet : Supposons que A non strictement parallèle à B. Ils ont donc un élément commun et d'après i ), A étant parallèle à B, on a A B. ii ) Soit A et B deux sous-espaces affines ayant respectivement pour éléments a et b. On a : A B ssi A // B et a b dir (B). En effet si V et W sont les directions de A et B alors A = t a (V) et B = t b (W). Si V W alors t a (V) t a (W). Si en plus b a W alors a t b (W) et t a (W) = t b (W), donc t a (V) t b (W). Réciproquement si t a (V) t b (W) alors a, qui est élément de t a (V) est aussi élément de t b (W). Or si a t b (W) alors d'une part b a W, d'autre part t a (W) = t b (W) et t a (V) t b (W) peut s'écrire t a (V) t a (W), d'où : V W Remarques sur le parallélisme i ) A // B ssi tout vecteur directeur de A est aussi vecteur directeur de B. ii ) A a même direction que B ssi A // B et B // A. iii ) Si une seule des deux relations A // B et B // A est vraie, on peut conclure que A et B n'ont pas la même direction. iv ) Si A // B et si B // C alors A // C. On dit que la relation de parallélisme est transitive Intersection de deux sous-espaces affines Lorsqu'elle n'est pas vide, l'intersection de deux sous-espaces

8 affines de E est un sous-espace affine de E, ayant pour direction l'intersection des directions des deux sous-espaces affines. En effet soit A et B les deux sous-espaces affines ayant pour directions V et W. Si A B =/, il existe (au moins) un a tel que a A et a B. Alors A = { m / am V } et B = { m / am W }, donc A B = { m / am V W }, CQFD Propriétés de l intersection de deux sous-espaces affines i ) L intersection A B des sous-espaces affines A = t a (V) et B = t b (W) n est pas vide ssi ab V + W. En effet si A B =/, c. -à-d. s il existe c A B, alors a c V et c b W, donc a b = a c + c b V + W. Réciproquement si a b V + W, alors il existe v V et w W tels que a b = v + w, ce qui s écrit b a = v + w, ou a + v = b w, c. -à-d. t a (v) = t b (- w). Comme v V, on a t a (v) t a (V) = A et comme w W, on a également - w W et t b (- w) t b (W) = B. Enfin comme t a (v) = t b (- w), il en résulte que A B =/. ii ) L intersection de deux sous-espaces affines ayant pour directions deux sous-espaces vectoriels supplémentaires est un singleton. Ils n ont pas de vecteur directeur commun. En effet : Soit A = t a (V) et B = t b (W). Comme V + W = E, a b V + W donc A B =/, et comme V W = {0 E }, A B est un singleton. V W n ayant aucun élément non nul, A B n a donc pas de vecteur directeur. iii ) Soit deux sous-espaces affines A et B. Si A// B alors ou bien A B ou bien A B =. En effet : Soit V et W les directions de A et de B. Si A// B alors V W donc : ou bien il existe a A B donc A = t a (V) et B = t a (W), et V W entraîne alors t a (V) t a (W) soit A B ; ou bien il n existe pas de a A B, donc A B =/. Donc : Si un sous-espace A est parallèle au sous-espace B, alors ou bien A est strictement parallèle à B, ou bien A est inclus dans B.