FONCTIONS. 1) Limites. 1-1 méthodes pour lever une indétermination. au voisinage d un infini. x 2 + x 2

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1 Mathématiqes BTS CIRA FONCTIONS ) Limites - méthodes por lever ne indétermination a voisinage d n infini x + Exemple f(x) = x Qelle est la limite en +? + 3x + On factorise par les monômes dominants f(x) = x x On a alors facilement + x + 3 x + x = x + x + 3 x + x lim f(x) = 0 Exemple f(x) = x + Qelle est la limite en +? On factorise par la qantité majoritaire : f(x) = ( ) x e + x e. x pis on tilise les résltats d terminale : lim ex = + et lim x = + donc lim f(x) = + a voisinage d n point Exemple f(x) = x + Pet-on parler de la limite en -? x + Il fat distinger dex cas : en - par valers spérieres noté lim et en - par valers inférieres noté lim. Le nmérater x + x tend vers - dans les dex cas donc lim f(x) = + x lim f(x) = et x + avec des racines carrées ( ) Exemple f(x) = x x + x Qelle est la limite en +? On tilise sovent la qantité conjgée por écrire atrement ne expression contenant des ( ) x + + x f(x) = x x + x x + + x = x x + + x = donc lim f(x) = + x + - Asymptotes Horizontale Si lim f(x) = a R alors on dit qe C f admet ne asymptote horizontale d éqation y = a a voisinage de +. On ara ne définition analoge a voisinage de. Exemple f(x) = x + x + on a : lim f(x) = donc C f admet ne asymptote horizontale d éqation y =. Il convient ensite d étdier la position de la corbe C f par rapport à son asymptote en étdiant le signe de la différence f(x) Verticale Si lim x x 0 f(x) = ± alors on dit qe C f admet ne asymptote verticale d éqation x = x 0 [Stéphane LE METEIL ] Lycée Robert Schman page

2 Mathématiqes BTS CIRA Exemple f(x) = x + x + on a : lim f(x) = et lim f(x) = + donc x + x on dit qe C f admet ne asymptote verticale d éqation x = Obliqe S il existe des constantes réelles m et p telle qe si ne asymptote obliqe d éqation y = mx + p lim [f(x) (mx + p] = 0 alors on dit qe C f admet ) Continité Exemple f(x) = x + x + donc on a : f(x) = x + 5 x + lim [f(x) (x )] = 0 donc C f admet ne asymptote obliqe d éqation y = x. Il convient ensite d étdier la position de la corbe C f par rapport à son asymptote en étdiant le signe de la différence f(x) (x ) - Définitions En a On dit d ne fonction f q elle est contine en a lorsqe lim x a f(x) = f(a) Sr I Lorsq ne fonction est contine en tot point d n intervalle I alors on dit q elle est contine sr I - Propriétés L image d n intervalle par ne fonction contine est encore n intervalle Soit f ne fonction contine sr n intervalle I, notons J l intervalle image ; por tot y J, il existe a moins ne soltion x dans I à l éqation y = f(x) -3 Fonctions réciproqes Si f est contine sr n intervalle I et strictement croissante sr ce même intervalle I alors por tot y J = f(i), il existe exactement ne soltion x dans I à l éqation y = f(x). [Stéphane LE METEIL ] Lycée Robert Schman page

3 Mathématiqes BTS CIRA Comme à chaqe y de J, on associe l niqe soltion x de l éqation y = f(x), on définit ne fonction de J vers I. Cette fonction ainsi créée se nomme fonction réciproqe de f. On la note f. Le graphe de f est l ensemble des points M(x, y) tels qe y = f(x), le graphe de f est l ensemble des N(y, x) tels qe y = f(x). Por obtenir le second à partir d premier, il sffit d échanger les rôles d x et d y. Les dex graphes sont donc les images l n de l atre par la symétrie d axe d éqation y = x exp/ln La fonction ln est définie comme niqe primitive d x qi s annle por x =, définie sr I = R+. Elle est donc strictement croissante sr I. On a lim ln x = et lim ln x = + donc J = f(i) = R. x 0 + La fonction réciproqe est donc définie sr R, elle se nomme exp. Si y = ln(x) alors x = exp(y), on not = e y. arcsin, arccos, arctan [ π La fonction sin est contine et strictement croissante sr I = ; +π ]. Lorsq décrit I, sin(x) décrit tot l intervalle J = [ ; ]. Elle admet donc sr J ne fonction réciproqe, appelée arcsin. La fonction cos est contine et strictement décroissante sr I = [0; π]. Lorsqe x décrit I, cos(x) décrit tot l intervalle J = [ ; ]. Elle admet donc sr J ne fonction réciproqe, appelée arccos. La fonction ] tan est contine et strictement croissante sr π I = ; +π [. Lorsq décrit I, tan(x) décrit tot l intervalle J = R. Elle admet donc sr J ne fonction réciproqe, appelée arctan. [Stéphane LE METEIL ] Lycée Robert Schman page 3

4 Mathématiqes BTS CIRA 3) Dérivabilité 3- Définitions Nombre dérivé Soit f ne fonction définie sr n intervalle contenant a, on dit qe f est dérivable en a lorsqe lim est n nombre réel. Lorsq il existe, on le nomme nombre dérivée de f en a et on x a le note f (a). Exemple : on considère la fonction f définie sr R + par f(x) = x. soit a R +, on a por tot x R + : x + a = = = donc lim = x + a x a a. Le nombre dérivé de la fonction f : x x en a est a, on écrit f (a) = a Fonction dérivée Lorsqe f est dérivable en tot point d n intervalle I, on dit qe f est dérivable sr I. La fonction qi a tot nombre a I fait correspondre le nombre f (a) se somme fonction dérivée de f et est notée f. 3- Interprétations graphiqe La qantité représente la pente de la corde entre les points A(a, f(a)) et M(x, f(x)). Lorsqe x tend vers a, le point M se rapproche d point A, à la limite la corde devient la tangente en A à la corbe représentant f. Lorsqe lim x a est n réel, c est la pente de la tangente en A(a, f(a)) à C f. cinématiqe Si f(t) décrit le déplace d n mobile le long d n axe a cors d temps t alors f (a) correspond à la vitesse instantanée de ce mobile à l instant t = a. En effet : correspond à ne différence de position/ne différence de temps, c est la vitesse moyenne entre les instants a et x. Lorsq tend vers a, la vitesse moyenne devient la vitesse instantanée en a. [Stéphane LE METEIL ] Lycée Robert Schman page 4

5 Mathématiqes BTS CIRA 3-3 Formlaires Fonction Dérivée Fonction Dérivée ax + b a + v + v x α αx α k. k. ln x cos(ωx) sin(ωx) tan(ωx) arcsin x arccos x x ω sin(ωx) +ω cos(ωx) ω( + tan (ωx)) x x v v + v v v v v α α α ln e e arctan x + x f((x)) f ((x)) (x) Remarqe : por passer de la dérivée de f(x) celle de f((x)), il sffit donc de remplacer les x par des (x) et de mltiplier le résltat par (x) Exemple : (arctan(x)) = + (x) (x) = + 4x 3-4 Variations Croissance, décroissance, constance Soit f ne fonction dérivable sr n intervalle I Si por tot x I, f (x) > 0 alors f est strictement croissante sr I Si por tot x I, f (x) 0 alors f est croissante sr I Si por tot x I, f (x) < 0 alors f est strictement décroissante sr I Si por tot x I, f (x) 0 alors f est décroissante sr I Si por tot x I, f (x) = 0 alors f est constante sr I Extremm, point d inflexion Si sr n intervalle la dérivée s annle en changeant de signe alors on dit qe f admet n extremm local. Si la dérivée est négative, s annle pis est positive alors il s agit d n minimm local Si la dérivée est positive, s annle pis est négative alors il s agit d n maximm local Si la dérivée s annle sans changer de signe alors c est n point d inflexion [Stéphane LE METEIL ] Lycée Robert Schman page 5