DS 1. Le 13 octobre h

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1 DS 1. Le 13 octobre 14. 4h Le devoir est probablement trop long pour que vous puissiez le terminer (ce qui est assez classique dans les épreuves de concours). Restez donc calme, prenez le temps de regarder les énoncés de tous les exercices afin de choisir ce que vous savez le mieux faire. Il n est pas nécessaire de faire les choses dans l ordre, à condition de clairement numéroter sur sa copie. En revanche, il est déconseillé de passer sans arrêt d un exercice à un autre car cela rend la copie moins claire et vous pénalise souvent. Ponctuellement, on peut admettre un résultat en l indiquant clairement sur la copie et l utiliser ensuite plutôt que de rester bloqué trop longtemps. La rédaction (présentation et justification des résultats) est largement prise en compte dans la notation, il ne faut pas la négliger pour en faire beaucoup mais ne pas non plus rédiger inutilement trop sur les questions faciles. A vous de trouver le bon compromis. Enfin, il est fortement recommandé de bien lire les énoncés et de prendre le temps de réfléchir, même brièvement, avant de se lancer. Bon courage! Exercice 1. Exercices en vrac Chaque«grosse»question peut être traitée indépendamment des autres. 1 Soit A, B et C trois sous-ensembles de E. Justifier que A (B C) ( A B ) ( A C ). { N N L application f : n n est-elle : (a) injective? (b) surjective? (c) bijective? 3 Soit n N et P(n) : «n (n + 1)». (a) Justifier que pour tout entier n, on a (n + 1) (n + ). (b) Quel est le premier entier n pour lequel P(n ) est vraie? (c) Démontrer que pour tout entier n n, P(n) est vraie. 4 Simplifier : ( (a) 3 k 3k ) (avec n ). (b) k n 3 k 1 n+ k (avec n 1). k 5 On veut montrer par récurrence sur n N que P(n) : «p N, p n, n + 1»est vraie pour tout n N puis utiliser le résultat. p + 1 (a) Démontrer l initialisation. k p (b) En distinguant les cas p n + 1 et p n, où n est un entier naturel fixé et p un entier naturel, effectuer l étape de transmission et conclure la récurrence. [16 octobre 14] ECE , DS 1. Le 13 octobre 14. 4h 1/8

2 (c) En écrivant ce résultat pour p et p 3, montrer que, pour n 5 : (n + 1)n(n 1) i. S n (n 1) n. 3 (n + 1)n(n 1)(n ) ii. T n (n ) (n 1) n 4 Exercice. Puissances de matrice Chaque«grosse»question peut être traitée indépendamment des autres Soit A. Calculer les premières puissances de A (à partir de ) et en déduire 1 une conjecture pour l expression de A n, pour tout entier n N. Démontrer ce résultat par récurrence. 1 Soit B 3. (a) Justifier que B I 3 + N où N est une matrice vérifiant N 3 3, la matrice carrée nulle de dimension 3. (b) En déduire, l expression de B n pour n entier naturel supérieur ou égal à. Vérifier que cette formulle est également valable pour tout n N. 3 Soit C et P. 3 1 (a) Vérifier que P est inversible et calculer son inverse. 1 (b) Montrer que la matrice D P 1 CP est égale à. (c) Montrer par récurrence que C k PD k P 1 pour tout k N. ( (d) Calculer D k pour tout k N et en déduire que C k k 1 k ) k+1 k+1. 1 (e) On donne Calculer 1 C k. Exercice 3. Autour des matrices inversibles Soit p N et A M p (R) tel que (A I p ) 3 p avec A I p. 1 Justifier que A I p n est pas inversible (on pourra distinguer les cas (A I p ) p et (A I p ) p ). Justifier que A est inversible et que son inverse vaut 1 8 A 3 4 A + 3 I p. [16 octobre 14] ECE , DS 1. Le 13 octobre 14. 4h /8

3 Exercice 4. Calcul de sommes avec des factorielles La troisième question s inspire très largement de la méthode employée à la deuxième question. Il est donc préférable de les faire dans l ordre. On peut cependant admettre certains résultats pour avancer dans l exercice. Soit n N. 1 Question préliminaire : soit k N. Simplifier les quantités suivantes : (a) (k + 1)k! (b) (k + )(k + 1)k! On considère la somme S n k k!. (a) En utilisant la décomposition k k + 1 1, justifier que S n (k + 1)! k!. (b) Déduire du résultat précédent que S n (n + 1)! 1. 3 On considère la somme T n (k + 1) k!. (a) Soit k N. Justifier que k + 1 (k + )(k + 1) (k + 1) + 1 k. (b) En utilisant la décomposition précédente et la linéarité de la somme, montrer que : T n (k + )! (k + 1)! + k! S n. (c) En remarquant une propriété téléscopique sur les trois premières sommes, montrer que T n (n + )! (n + 1)! 1 S n. (d) Simplifier le résultat précédent pour obtenir T n (n + 1)!n. 4 Redémontrer le résultat de la question précédente par récurrence pour n N. Exercice 5. Matrices et coefficients indéterminés a b Soit A c, où a, b et c sont des nombres réels. Donner toutes les valeurs possibles b a de a, b et de c telles que : 1 A I 3 A A [16 octobre 14] ECE , DS 1. Le 13 octobre 14. 4h 3/8

4 Correction du DS 1. Exercice 6. Exercices en vrac 1 On utilise d abord deux fois les règles dites de Morgan puis les règles de distributivité : A (B C) A B C A ( B C ) ( A B ) ( A C ). { N N L application f : n n est-elle : (a) injective? Oui, n m avec n et m deux entiers naturels (donc deux nombres positifs), cela implique que n m. On a donc bien au maximum un antécédent par entier. (b) surjective? Non, seuls les entiers qui sont des carrés parfaits ( ;1 ;4 ;9 ;...) possèdent des antécédents. (c) bijective? Non, car elle n est pas injective. 3 Soit n N et P(n) : «n (n + 1)». (a) Cela revient à montrer que (n + 1) (n + ) est positif pour tout n. Or, (n + 1) (n + ) (n + n + 1) (n + 4n + 4) n qui est bien positif dès que n. (b) Si on teste les deux membres de l inégalité pour n ; 3; 4; 5, on trouve respectivement 4 et 9, puis 8 et 16, puis 16 et 5, puis 3 et 36 donc la propriété est fausse pour ces valeurs de n. En revanche, pour n 6, on obtient 6 64 et (6 + 1) 49 donc P(6) est vraie. (c) Soit n N avec n 6, on suppose que P(n) est vraie et on veut démontrer que P(n + 1) est vraie, c est à dire que n+1 (n + ). Or, n+1 n (n + 1) (n + ) donc P(n + 1) est vraie. La première inégalité est déduite de l hypothèse de récurrence, la seconde de la première question (car n notamment). On conclut d après cette question et la précédente que pour tout entier n 6, P(n) est vraie. n 4 (a) Soit n. S n 3 k 3k 3 k+ 3(k + ) par changement d indice. Puis, k par linéarité, n S n 3 n 3 k n 1 3 n 1 (n )(n 1) 3 k (n 1) 1 3 En simplifiant un peu, S n 9 (3n 1 1) (n 1)(n + ) 3. n (b) T n 3 k 1 n+ k (avec n 1). k n n Soit n 1. Par linéarité, T n 3 k 1 n+ k 3 1 n 3 k n k. k k Donc, d après la formule du binôme de Newton, T n 4 3 (3 + )n 4 3 5n. k n P(n) : «p N, p n,». p p + 1 (a) Pour n, on a p donc p. Il suffit donc de vérifier que + 1. Or + 1 k 1 et Donc P() est vraie. 1 k [16 octobre 14] ECE , Correction du DS 1. 4/8

5 (b) Soit n N. On suppose que P(n) est vraie. Démontrons que P(n + 1) est vraie. Attention, dans cette exercice, ceci signifie qu il ( faut démontrer ) que pour tout n+1 k n + entier p tel que p n + 1, on a. p p + 1 n+1 k n + 1 n + n + Pour p n+1, 1 et 1, donc kn+1 n + 1 n + 1 n n + c est vrai. n+1 k k n + 1 Pour p n, on utilise la décomposition habituelle + p p p et on utilise l hypothèse de récurrence (c est possible car on a bien p n + 1). n+1 k n + 1 n + 1 n + On obtient + d après la formule du triangle p p + 1 p p + 1 de Pascal, donc l égalité est vraie dans ce cas également. Finalement, on a montré que P(n + 1) est vraie et on peut donc conclure par la principe de récurrence que P(n) est vraie pour tout entier n. (n + 1)n(n 1) (c) i. S n (n 1) n. 3 k k(k 1) Pour p, en notant que pour tout entier k, et que n + 1 (n + 1)n(n 1) pour tout entier n, on a donc S n k n + 1 (n + 1)n(n 1) kn (n + 1)n(n 1)(n ) ii. T n (n ) (n 1) n 4 k k(k 1)(k ) Pour p 3, en notant que pour tout entier k 3, et 3 6 n + 1 (n + 1)n(n 1)(n ) que pour tout entier n 3, on a donc T n 6 3 k n + 1 (n + 1)n(n 1)(n ) kn Exercice 7. Puissances de matrice 1 On trouve A 4, A 3 8 et A , ce qui conduit à la conjecture suivante : 1 1 n 1 n P(n) :«A n n», qui se démontre par récurrence. En effet, pour n, 1 on trouve bien I 3 en calculant les deux termes qui composent l égalité et l étape de transmission se fait de manière classique en utilisant A n+1 A n A et en remarquant que n n+1 et que n 1 + n n 1 n (a) On trouve N B I 3 3 qui vérifie N et N 3 3 et est donc bien nilpotente. [16 octobre 14] ECE , Correction du DS 1. 5/8

6 (b) On a, pour n, B n (I 3 + N) n et on peut appliquer la formule du binôme de Newton car ces deux matrices commutent. On obtient, en tenant compte du fait que pour tout k 3, N k 3. n n n (I 3 + N) n N (I 3 ) n + N 1 (I 3 ) n 1 + N (I 3 ) n 1 Or, comme (I 3 ) p p I 3, on obtient, en remplaçant les coefficients binômiaux par leur valeur simplifiée, n n n 1 n n 1 n(n 1) + 3 n B n n 3n n 1 qu on ne cherchera pas à simplifier n ici. On peut vérifier que cette formule est également valable pour n (cela donne l identité) et n 1 (cela donne bien B Soit C et P. 3 1 (a) En prenant les notations du cours : ad bc 1 ( ) 1 ( 1) 1 donc la matrice P est inversible et P (b) Montrer que la matrice D P 1 CP est égale à. C est un calcul direct, deux produits à réaliser. (c) On a tout d abord D k P 1 C k P par une récurrence faite dans un exemple du cours. Il suffit ensuite de constater que PD k P 1 PP 1 C k PP 1 I C k I C k. On peut aussi commencer par montrer que C PDP 1 et faire une récurrence ensuite. (d) Il est très simple de montrer par une «mini-récurrence»(et, à ce stade, si vous avez déjà bien rédigé plusieurs récurrences, ( vous ) pouvez simplement rédiger «on montre 1 par récurrence que»), que D k k. On obtient ensuite l expression de ( D k par un calcul direct, là encore deux produits à réaliser. On trouve bien C k k 1 k ) k+1 k (e) On peut commencer par calculer D k via les formules de cours pour les sommes 1 11 (propriété 3 du chapitre 1). On obtient D k 1 k+1. 1 On conclut par linéarité en observant que 1 C k 1 PD k P 1 P ( 1 ) D k P 1 et il reste donc deux produits de matrices à réaliser (n hésitez pas à donner un plan de démonstration sans les calculs si vous êtes pris par le temps). Sinon, on fait directement le calcul des 4 sommes (une somme par coefficient de la matrice) qui sont toutes des applications directes de la linéarité et des sommes de la proposition 3 du chapitre 1. C est légèrement plus long. Dans tous les cas, on trouve ( ). [16 octobre 14] ECE , Correction du DS 1. 6/8

7 Exercice 8. Autour des matrices inversibles Soit p N et A M p (R) tel que (A I p ) 3 p. On suppose de plus que A I p. 1 On raisonne par l absurde en supposant cette matrice inversible. Il y a deux cas à distinguer : (A I p ) p et il suffit de multiplier cette égalité par (A I p ) 1 (à gauche ou à droite, peut importe) pour obtenir A I p p, ce qui contredit l énoncé (A I p ). Sinon, dans le cas (A I p ) p, on a de toute manière (A I p ) 3 p donc en multipliant cette égalité par (A I p ) 1 (à gauche ou à droite), on obtient (A I p ) p, ce qui est également une contradiction. On conclut que A I p n est pas inversible. On développe via la formule du binôme de Newton qui est valide car A et I p commutent. On obtient : O p (A I p ) 3 A 3 + 3A ( I p ) + 3A ( I p ) + ( I p ) 3 A 3 6A + 1A 8I p. On obtient donc, 1 ( 1 8 (A3 6A + 1A) I p, c est à dire, A 8 A 6 8 A + 1 ) 8 I p I p. Donc A est inversible et son inverse est la matrice dans la parenthèse, ce qui, après simplification des fractions, donne le résult souhaité. Exercice 9. Calcul de sommes avec des factorielles Soit n N. 1 Il n y a rien à justifier ici, ça a été fait à de multiples reprises en classe. Si on ne voit pas, il faut se forcer à passer par les pointillés. (a) (k+1)k! (k+1)! (b) (k+)(k+1)k! (k+)! On considère la somme S n k k!. (a) On a, en suivant l indication, en développant par linéarité puis en utilisant la première question préliminaire : S n (k + 1 1)k! (k + 1)k! k! (k + 1)! k!. (b) C est une somme téléscopique. Si on choisit de la traiter par les pointillés, on obtient : S n (! + 3! + + n! + (n + 1)!) (1! +! + + n!) (n + 1)! 1. Si on veut utiliser un changement d indice, on écrit : ( n+1 n ) S n k! k! k! + (n + 1)! 1! + (n + 1)! 1. k k k 3 On considère la somme T n (k + 1) k!. (a) Soit k N. (k+)(k+1) (k+1)+1 k k +k+k+ k +1 k k +1. (b) T n ((k + )(k + 1) (k + 1) + 1 k) k! donc, par linéarité : T n n (k + )(k + 1)k! n (k + 1)k! + n k! n k k! et on obtient le résultat demandé en utilisant les deux questions préliminaires. (c) ( + la simplification de la question suivante) Ici, il faut considérer les trois premières sommes simultanément pour voir le téléscopage. Je corrige avec changements d indice sur les deux premières sommes mais on peut aussi le faire via les pointillés. T n n+ k3 k! n+1 k k! + n k! S n [16 octobre 14] ECE , Correction du DS 1. 7/8

8 ( n k3 k! + (n + 1)! + (n + )!) (! + n k3 k! + (n + 1)!)+(1! +! + n k!) ((n + 1)! 1) (n + 1)! + (n + )! (n + 1)! (n + 1)! + 1 (n + )! (n + 1)! (n + )(n + 1)! (n + 1)! (n + )(n + 1)! n(n + 1)!. 4 Pour n 1 la propriété est vraie car 1(1 + 1)! et 1 (k + 1) k! (1 + 1) 1!. Supposons que la propriété soit vraie au rang n 1 et démontrons alors qu elle est vraie au rang n + 1, c est à dire que T n+1 (n + 1)(n + )! T n+1 n+1 (k + 1) k! n (k + 1) k! + ((n + 1) + 1) (n + 1)!) Par hypothèse de récurrence et en développant le dernier terme, on a : T n+1 n(n + 1)! + (n + n + ) (n + 1)! (n + 1)! (n + 3n + ). D autre part, (n + 1)(n + )! (n + 1)(n + )(n + 1)! (n + 3n + )) (n + 1)!. Donc la propriété est vraie au rang n + 1 et on peut conclure qu elle est alors vraie pour tout entier non nul. Exercice 1. Matrices et coefficients indéterminés a + b ab Soient a, b et c trois nombres réels. On a A c On a donc à résuodre ab a + b des systèmes d équations pour chacune des questions a + b 1 1 A I 3 c 1 ab donc c ±1 avec soit (a et b ±1) soit (b et a ±1), ce qui donne 8 solutions en tout. a + b a A A c c donc c ou 1 avec soit (b et a ou 1) soit (a 1 et ab b b ± 1 ), ce qui donne là encore 8 solutions en tout. [16 octobre 14] ECE , Correction du DS 1. 8/8