1 Introduction sur les suites numériques

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1 ISEL - Année Mathématiques SUITES NUMERIQUES Introduction sur les suites numériques. Dénition Dénition On appelle suite réelle toute application U d'une partie A de IN dans IR. A IR U : avec A IN. L'image de n par la suite U est noté U n U n. n Exemple: La suite U qui à chaque entier n associe n, U : n n, est une suite réelle. Sa représentation graphique est Dénition La suite U est notée (U n ) n A ou (U n ) et U n est un terme de la suite. On dit que la suite (U n ) a pour terme général U n pour n A. Exemples: Soit la suite précédente: U 0 = 0 = est le er terme, U k = k est le (k + ) e terme (ou terme de rang k + ). Soit la suite (V n ) n ayant pour terme général V n = n. Son er terme est alors V = et V k = k est le k e terme (ou terme de rang k).. Variation d'une suite Dénition 3 On dit que la suite numérique (U n ) est : croissante lorsque pour tout n A, U n+ U n ; strictement croissante lorsque pour tout n A, U n+ > U n ; décroissante lorsque pour tout n A, U n+ U n ; strictement décroissante lorsque pour tout n A, U n+ < U n ; monotone lorsque (U n ) est croissante ou décroissante; strictement monotone lorsque (U n ) est strictement croissante ou strictement décroissante; constante lorsque pour tout n A, U n+ = U n ; stationnaire lorsque n 0 A, n A, n n 0 U n = U n0.

2 Exemples: ( n ) est croissante, ( 5 n ) strictement décroissante, (E[4 + n+ ]) stationnaire 5 (en-eet: U 0 = 9, U = 6, U = U 3 = U 4 = 5 et si n 5, n+ < 5 6 < donc n 5, U n = E[4+ 5 n+ ] = 4). Méthodes pour étudier le sens de variation: Etude du signe de (U n+ U n ). Exemples: ( n ) n>0 est strictement décroissante car n+ n = n (n+) n(n+) = n(n+) < 0 n, (n + n) est strictement croissante car ((n + ) + (n + )) (n + n) = n + n + + n + n n = n + = (n + ) > 0 n 0 Si (U n ) est à termes strictement positifs, comparaison de Un+ U n à. Exemples: ( n ) est strictement croissante car n 0, n > 0 et n+ ( n n! ) n IN est décroissante car n, n n! > 0 et n+ (n+)! n = >, n! = n n+ car n + Si (U n ) est une suite du type U n = f(n) où f est une application réelle monotone, alors (U n ) a les mêmes variations que la fonction f. Exemple: (n ln n) n Posons f(x) = x ln x pour x [, + [. f est dérivable sur [, + [ et f (x) = x 0 car x 0 < x donc f croissante sur [, + [ donc (n ln n) n est croissante. Remarque: ne pas confondre avec une suite dénie par U n+ = f(u n ) où (U n ) et f peuvent avoir des variations contraires. Remarque: f peut être non monotone et (U n ) monotone. Exemple: U n = f(n) avec f(x) = sin(πx) pour x IR +. f est non monotone mais n IN, U n = sin(πn) = 0 donc (U n ) est constante. Utilisation du principe de récurrence. { Un+ = U Exemple: Soit (U n ) dénie par n +, n U 0 = 3 Notre hypothèse de récurrence est: (H n ) U n+ U n 0 n Initialisation: U U 0 = = donc (H 0 ) vraie. On montre que (U n ) est décroissante. Hérédité: U n+ U n+ = U n+ + U n + = ( U n+ + U n + ) Un+++ U n+ Un+++ U n+ 0 car Hn vraie {}}{ = (Un++) (Un+) = ( U n+ U n ) Un+++ U n+ Un donc (H n+ ) vraie. U n + }{{} 0 Conclusion: d'après le principe de récurrence, (H n ) vraie pour tout entier n, d'où (U n ) décroissante..3 Suites minorées, majorées, bornées Dénition 4 La suite (U n ) est dite: majorée si et seulement si M IR, n A, U n M ; minorée si et seulement si m IR, n A, U n m; bornée si et seulement si M IR +, n A, U n M (ssi elle est majorée et minorée).

3 Exemples: On peut montrer que (sin n) est bornée, en-eet n IN, sin n ; (n( ) n ) n'est ni majorée, ni minorée. Montrons par l'absurde que (n( ) n ) n'est pas majorée. Supposons que la suite est majorée, donc M IR, n IN, n( ) n M En particulier, c'est vrai pour les n pairs, n = k avec k IN, donc: (k)( ) k = k M. Absurde d'après la propriété d'archimède, donc la suite n'est pas majorée. On applique la même démarche pour montrer que la suite n'est pas minorée (on prend les n impairs). ( ln n n ) n>0 est bornée. Prenons la fonction f : x ln x x f est dérivable sur [, + [ et f (x) = dénie sur [, + [). /x x ln x x = ln x x. On a f (x) 0 ln x e x, et f() = 0, f(e) e, x + ln x x = 0 d'où le tableau de variation: x f (x) f(x) e e 0 0 donc x [, + [, 0 f(x) e donc n IN, 0 f(n) e d'où ( ln n n ) n>0 bornée. { Un+ = U (U n ) dénie par n + 35, n est bornée. U 0 = 0 Montrons par récurrence que 0 U n 7 n (notre hypothèse (H n )). Initialisation: U 0 = 3 [0, 7] donc (H 0 ) vraie. Hérédité: U n+ = U n + 35, or U n 0 donc U n donc U n+ est bien déni et positif. or U n 7 U n U n+ 49 U n+ 7 donc (H n+ ) vraie. Conclusion: d'après le principe de récurrence, (H n ) vraie pour tout entier n, d'où (U n ) bornée..4 Opérations sur les suites Dénition 5 Deux suites sont égales si et seulement si tous les termes sont égaux. On appelle somme, resp. produit, de deux suites (U n ) et (V n ) la suite de terme général U n + V n, resp. U n V n. Exemple: U n = n, V n = n + et W n = ln(ch n + sh n). Alors U n + V n = 3n +, U n V n = n(n + ) et U n = W n. 3

4 Convergence d'une suite réelle. Généralités Dénition 6 Une suite (U n ) est convergente s'il existe l IR tel que: ε > 0, N IN, n > N : U n l < ε On dit que (U n ) converge vers l et on écrit U n = l ou U n l. n Une suite non convergente est dite divergente. l + ε l l ε N Exemples: ( n ) converge vers 0, En-eet: ε > 0, N ε IN, n > N ε, n < ε n > ε Il sut de prendre N ε = E( ε ) + > ε (( ) n ) diverge. Par l'absurde, (( ) n ) converge vers l ssi ε > 0, N IN, n > N, ( ) n l < ε. Prenons ε = et n pair, donc on a: ( )n l = l < et ( )n+ l = l <. Ainsi pour n > N, = ( ) = ( l) ( l) l + l < Absurde! Théorème Soit (U n ) une suite convergente, alors sa ite est unique. Preuve: Supposons que U n = a et U n = b. Montrons que a = b ε > 0, a b < ε n n Soit ε > 0, U n = a N IN, n > N : U n a < ε n U n = b N IN, n > N : U n b < ε n Prenons N = max(n, N ) donc n > N : a b = (a U n ) + (U n b) a U n + U n b < ε Proposition Soient deux suites réelles (U n ) et (V n ) convergentes telles qu'à partir d'un certain rang U n V n, alors U n V n. n n Exemple: Soient U n = sin n n 0 et V n = n +. On a n IN, U n V n et n U n n V n. Remarque: "à partir d'un certain rang" on a la propriété P (n) s'écrit mathématiquement: N IN, n > N : P (n) La nature d'une suite n'est pas modiée en modiant un nombre ni de termes. Remarque: il est faux de dire que si à partir d'un certain rang U n < V n alors En revanche, U n < V n n U n n V n. Exemple: Soient U n = 0 et V n = n. On a n IN, U n < V n mais U n < V n n n U n = V n = 0. n n 4

5 Remarque: En prenant (U n ) ou (V n ) stationnaire, on obtient: U n M n U n M V n m n V n m Preuve: N, n > N, U n V n, n U n = a ε > 0, N IN, n > N, U n a < ε donc U n > a ε, n V n = b ε > 0, N 3 IN, n > N 3, V n b < ε donc V n < b + ε. Montrons que a b ε > 0, a < b + ε Soit ε > 0, posons N = max(n, N, N 3 ), alors n > N, a < U n + ε V n + ε < b + ε Proposition Toute suite convergente est bornée. Exemple: ( n ) converge vers 0, n, n donc ( n ) est bornée. Remarque: la réciproque est fausse. Contre-exemple: (( ) n )) est bornée mais non convergente. Preuve: U n = l ε > 0, N IN, n > N, U n l < ε. n Prenons ε =, donc n > N, U n l <. Or U n = U n l + l U n l + l donc n > N, U n < + l Posons M = max{u 0, U,, U N, + l }, alors n IN, U n M donc (U n ) bornée.. Théorèmes de convergence Théorème des gendarmes Soient trois suites (U n ), (V n ) et (W n ) telles qu'à partir d'un certain rang U n V n W n. Si (U n ) et (W n ) convergent vers la même ite l alors (V n ) converge vers cette même ite. Exemple: Soit (V n ) telle que n, 3 + n V n 3 n+ n, alors d'après le thm des gendarmes, V n = 3. Preuve: N, n > N, U n V n W n, U n = l ε > 0, N IN, n > N, U n l < ε donc U n > l ε, n W n = l ε > 0, N 3 IN, n > N 3, W n l < ε donc W n < l + ε. n Montrons que V n = l ε > 0, N IN, n > N, l ε < V n < l + ε Soit ε > 0, posons N = max(n, N, N 3 ), alors n > N, l ε < U n V n W n < l + ε Conséquence: Si V n U n et U n = 0 alors V n = 0. Exemple: ( sin n n ) converge vers 0 car n IN, sin n n n et n 0. Théorème 3 de la ite monotone Si la suite (U n ) est croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) alors (U n ) est convergente et U n = sup{u n, n IN} (resp. inf{u n, n IN}). 5

6 Exemples: On pose U = 0., U = 0., U 3 = 0.3,... U n s'écrit 0. suivi de la juxtaposition des entiers,,, n. On a (U n ) croissante et (U n ) majorée par, donc (U n ) convergente (sa ite est appelé le nombre de Champernowne). Soit (U n ) une suite décroissante telle que n IN, n U n + n. On a donc (U n ) décroissante et minorée par 0 (car n, U n n 0) donc (U n) converge vers une ite l qui vérie n l + n l Soit (U n ) dénie pour n par U n = n k= k!. On a: U n+ U n = (n+)! > 0 donc (U n) est strictement croissante. k! = 3 k k d'où k! k U n n k= k On retrouve la somme d'une suite géométrique de raison et de premier terme, n donc = (/)n k / = ( ( k= )n ) }{{} donc (U n ) est majorée par. Par conséquent, (U n ) converge vers une ite l qui vérie l. Preuve: Soit A = {U n, n IN}, A est une partie de IR non { vide (car U 0 A) et majorée (car (U n ) n IN, Un l () majorée), donc A admet une borne supérieur, sup A = l ε > 0, n 0 IN, U n0 > l ε () D'après (), U n l < l + ε pour tout ε > 0. Comme (U n ) est croissante, c'est à dire n > n 0 U n U n0, on a d'après (), n > n 0, U n > l ε Ainsi ε > 0, n 0 IN, n > n 0, l ε < U n < l + ε, d'où U n = l Dénition 7 On dit qu'une suite (U n ) est une suite de Cauchy si elle vérie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy : ε > 0, N IN, (p, q) IN, p N et q N U p U q < ε Remarque: la condition U p U q < ε doit être réalisée pour tout couple (p, q) avec p, q N (ou p q N). Exemples: La suite géométrique (k n ), pour 0 < k <, est une suite de Cauchy. En eet, on a, pour p > q > 0, k p k q = k q k p q < k q. Soit ε > 0, en prenant N = E[ ln ε ln ε ln k ] + on a p > q N q > ln k kq < ε, d'où k p k q < ε. La suite (ln n) n IN n'est pas une suite de Cauchy. En-eet, pour p > q > 0, on a: ln p ln q = ln p q > 0, donc si p = q on a ln p ln q = ln. Donc, ε > 0(ε = ln ), N IN, (p, q) IN, p, q N(p = q) et lnp lnq = ε. 6

7 En revanche, ln(n+) ln n = ln(+ n ) 0 ce qui prouve bien que la condition U n+ U n = 0 n'entraîne pas que la suite est de Cauchy. Théorème 4 Une suite de réels est convergente dans IR si et seulement si c'est une suite de Cauchy. Exemples: (k n ) avec 0 < k < converge vers 0 et (ln n) n IN diverge. Preuve: Condition nécessaire Toute suite convergente est de Cauchy. n U n = l ε > 0, N IN, n > N, U n l < ε. Soit (p, q) IN avec p, q N, alors U p l < ε et U q l < ε donc U p U q = (U p l) (U q l) U p l + U q l < ε. Condition susante Dans IR toute suite de Cauchy est convergente. Idée: on montre que (U n ) est bornée, puis on construit deux suites adjacentes (a n ) et (b n ) telles que a n U n b n (en se basant sur le thm de la borne supérieure et en utilisant le critère de Cauchy). On en déduit donc d'après le thm des Gendarmes que (U n ) converge. Remarque: Le critère de Cauchy est utilisé pour montrer qu'une suite (U n ) est convergente (resp. divergente) dans les cas où l'on peut obtenir facilement une majoration (resp minoration) de U p U q pour p et q assez grands. Exemples: { Un+ = U Soit (U n ) n + la suite dénie par n U n, n On montre que la suite (U U 0 = n ) est de Cauchy. D'abord on peut montrer par récurrence que n, U n puis remarquer que: U n+ U n = n U n 0 donc (U n ) est croissante. Soit p, q IN tels que p > q (donc U p U q et on peut enlever la valeur absolue) p U p U q = (U p U p ) + (U p U p ) + + (U q+ U q ) = (U k+ U k ) = Or k, U k donc 0 p k=q k U k p k=q k On retrouve la somme d'une suite géométrique de raison et de premier terme q p donc = (/) p q k q / = ( ( q )p q ) car ( q )p q < car p q > 0 donc Or k=q q + p > q, 0 U p U q q q = 0 ε > 0, N IN, q > N, ε < q < ε D'où ε > 0, N IN, p, q IN, p > q > N : 0 U p U q < ε, donc (U n ) est de Cauchy. On en déduit donc que (U n ) converge. On pose, pour tout n, S n = n k= k et on montre que la suite (S n) n'est pas de Cauchy. c'est à dire montrons que ε > 0, N IN, (p, q) IN tel que p, q > N et S p S q ε k=q p k=q k U k 7

8 En eet pour p > q, S p S q = p k=q+ k > 0. Prenons par exemple p = q, dans la somme on a donc q termes et le plus petit terme est q donc S p S q q q S p S q Posons ε =, on a montré que: N IN, q IN tel que q > N et S q S q Donc (S n ) n'est pas de Cauchy. On en déduit donc que (S n ) diverge. 3 Limite d'une suite dans IR {± } 3. Limites innies Dénition 8 La suite (U n ) tend vers +, U n + ou M > 0, N IN, n > N : U n > M U n = +, si et seulement si: M N Remarque: (U n ) est divergente, non majorée mais minorée. Exemple: n = + En-eet M > 0, N IN, n > N : n > M e n ln > e ln M n > ln M ln = log M. On pose N = E(log M) + IN, alors n > N > log M, on a n > M. Dénition 9 U n = si et seulement si ( U n) = +, c'est-à-dire: M < 0, N IN, n > N : U n < M Remarque: (U n ) est majorée mais non minorée. Théorème 5 Si à partir d'un certain rang U n V n et V n = + (resp. U n = ). Exemple: n + ( ) n sin n n et U n = + (resp. n = + donc n + ( )n sin n = + V n = ), alors 8

9 Conséquence: Si U n = a n + b n avec a n = + et (b n ) bornée alors U n = + En-eet m, M IR, n, m b n M, donc n, m + a n U n M + a n et thm de comp. Preuve: N, n > N, U n V n, U n = + M > 0, N IN, n > N : U n > M, n Montrons que V n = + M > 0, N IN, n > N : V n > M Soit M > 0, posons N = max(n, N ), alors n > N: V n U n > M 3. Opérations sur les ites Somme U n l + V n l + + U n + V n l + l + +? F.I. exemple: Soient U n = n +, V n = n et W n = n n, alors U n + V n et U n + W n Produit par un scalaire : U n l + λ IR IR + IR {0} λu n λl + 0 Produit : U n l l > 0 l < 0 l = 0 + V n l + + ± + U n V n ll + +? + + Inverse : F.I. exemple: Soient V n = n + et W n = n +. Soit U n = n 0 alors U nv n et U n W n +. Soit U n = n 0, alors U n V n 0. Soit U n = ( )n n Dénition 0 On dit que 0, alors (U n V n ) diverge et n'a pas de ite innie. U n = 0 + (resp. 0 ) si U n = 0 et n U n > 0 (resp. < 0 ). U n l 0 l = 0 + l = 0 l = 0, 0 +, 0 + U n l +? F.I. exemple: Quotient : ( ) n n = 0 mais (( ) n n) ne converge pas et n'a pas de ite innie. U n V n = U n V n, on peut déduire la ite en utilisant les deux cas précédents. F.I.: " 0 0 " et " ", exemple: n +, n + mais n n = n 0, n n = n + 9

10 Composition par une fonction : Proposition 3 Soit a, b IR {± } et I un intervalle contenant a. Si f est une fonction dénie sur I et si (U n ) est une suite d'éléments de I, alors: U n = a et f(x) = b x a f(u n) = b Exemple: Soit V n = n sin( n ) = f(u n) avec U n = n 0 et f(x) = sin x x 4 Suites adjacentes 4. Dénition et théorème Dénition Deux suites (U n ) et (V n ) sont adjacentes si (i) (U n ) est croissante et (V n ) est décroissante (ou inversement) (ii) V n U n = 0 x 0 donc V n = Proposition 4 Si (U n ) et (V n ) sont adjacentes alors n, U n V n. Preuve: montrons par l'absurde que n, U n V n. Supposons que: p IN, U p > V p. Soit la suite de terme général W n = U n V n, donc: W p = U p V p > 0, W n+ W n = (U n+ U n ) (V n+ V n ) 0 donc (W n ) croissante, W n = 0. Par conséquent n > p, W n W p > 0, donc (W n ) ne peut pas converger vers 0. Absurde! Théorème 6 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même ite. Exemples: Soient les suites dénies par U n = n k= k! et V n = U n + n! pour tout entier n IN (i) U n+ U n = (n+)! 0 donc (U n) est croissante. V n+ V n = (n+)! n! = (n+) (n+)! = n (n+)! 0 donc (V n) est décroissante. (ii) V n U n = n! 0 D'où (U n ) et (V n ) sont adjacentes, elles convergent donc vers la même ite l et n, U n < l < V n Pour tout n, on désigne par d n et e n les approximations à n décimales du nombre π, respectivement par défaut et par excès. Puisque π = 3, , il en résulte d = (3, ; 3, 4; 3, 4; ), e = (3, ; 3, 5; 3, 4; ),. Il est clair que: (i) (d n ) est croissante et (e n ) décroissante 0

11 (ii) e n d n = 0 n 0 D'où (d n ) et (e n ) sont adjacentes, elles convergent donc vers la même ite l et n, d n < l < e n (π est un majorant de (d n ) et un minorant de (e n )) Remarque: Vérier toutes les hypothèses. Exemple: Prenons les suites de terme général U n = cos n et V n = U n + n. Alors (U n ) et (V n ) ne convergent pas (leur monotonie n'a pas été étudiée). Remarque: Réciproque fausse. Contre-exemple: Preuve: n = n = 0 mais ( n ) et ( n ) ne sont pas adjacentes. (U n ) croissante et n, U n V n V 0, ainsi (U n ) est majorée, donc (U n ) converge. (V n ) décroissante et n, V n U n U 0, ainsi (V n ) est minotée, donc (V n ) converge. U n V n = 0 mais montrons que U n = V n U n = a ε > 0, N IN, n > N, U n a < ε, n U n = b ε > 0, N IN, n > N, V n b < ε, n V n U n = 0 ε > 0, N 3 IN, n > N 3, V n U n < ε. n Soit ε > 0, posons N = max(n, N, N 3 ), alors n > N, a b = a U n + U n V n + V n b U n a + V n U n + V n b < 3ε 4. Application: preuve du théorème de la borne supérieure Théorème 7 Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de IR admet une borne supérieure (resp. inférieure). Preuve: hypothèse: Soit A IR non vide (donc a IR, a A) et majorée (donc M IR, a A, a M). but: on veut montrer que sup A existe, c'est-à-dire sup A est le plus petit des majorants de A). Pour cela, on va construire deux suites adjacentes en utilisant le principe dichotomique: l'une décroissante de majorants de A et l'autre croissante de non majorants de A. Ces deux suites vont donc vers la même ite l qui sera le plus petit des majorants. 5 Suites extraites 5. Dénition Dénition Soit (U n ) une suite réelle. Soit (n k ) une suite strictement croissante dans IN. On appelle (U nk ) une sous-suite (ou suite extraite) de (U n ). Exemple: Soit la suite réelle (U n ) dénie par U n = n( ) n pour tout n IN. Soit la suite (n k ) dénie par n k = k IN strictement croissante. Alors (U nk ) est une sous-suite de (U n ) et U nk = U k = (k)( ) k = k pour tout k IN.

12 (U k ) (U k+ ) 5. Théorèmes Théorème 8 Si (U n ) converge, alors toute sous-suite (U nk ) de (U n ) converge et Exemple: Soit (U n ) dénie par U n = sin n n. (U n) converge vers 0. (U 3n ) dénie par U 3n = sin(3n) 3n est une sous-suite de (U n ) donc (U 3n ) converge vers 0. Remarque: la réciproque est fausse. U n = U n k. k + Contre-exemple: Soit (U n ) dénie par U n = ( ) n. (U k ) converge vers mais (U n ) diverge. Remarque: la contraposée est utilisée pour montrer qu'une suite diverge. Exemple: Soit (U n ) dénie par U n = ( ) n. U k U k+ donc (U n ) diverge. k + k + Preuve: Soit ε > 0, U n = a donc N IN, n > N : U n a < ε (n k ) strictement croissante, donc k IN, n k+ > n k De plus n k IN d'où n k = + donc k 0 IN tel que n k0 > N k + Or si k > k 0 alors n k > n k0 > N d'où U nk a < ε On a ε > 0, k 0 IN, k > k 0, U nk a < ε d'où U n k = a k + Théorème 9 de Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente. Exemple: Soit (U n ) dénie par U n = ( ) n. (U n ) diverge mais (U n ) est bornée (par ), on peut donc extraire une sous-suite convergente. En-eet: (U k ) converge vers. Théorème 0 Soit (U n ) une suite telle que (U k ) et (U k+ ) sont convergentes avec la même ite l, alors (U n ) converge et sa ite est l.

13 Remarque: la réciproque est vraie d'après le er théorème. Exemple: Soit (U n ) dénie par U n = U k = ( )n n+cos(πn). ( )k k+cos(kπ) = k+ 0 et U ( ) k+ = k+ k++cos((k+)π) = k 0 donc (U n) converge vers 0. Preuve: U k = l ε > 0, N IN, k > N : U k l < ε k + U k+ = l ε > 0, N IN, k > N : U k+ l < ε k + Soit ε > 0, posons N = max(n, N + ), soit p > n, si p pair, alors p = k > N implique U p l = U k l < ε et si p impair, alors p = k + > N + implique U p l = U k+ l < ε d'où ε > 0, N IN, p > N : U p l < ε U p = l p + 6 Etude de suites à connaître 6. Suites arithmétiques Dénition 3 Une suite (U n ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, U n+ = U n + r. r est appelé raison de la suite. On a alors: Pour tout n IN, U n = U 0 + nr, par conséquent: si r = 0, alors (U n ) est constante; si r > 0, alors (U n ) strictement croissante de ite + ; si r < 0, alors (U n ) strictement décroissante de ite. U 0 + U + + U n = n+ (U 0 + U n ). 6. Suites géométriques Dénition 4 Une suite (U n ) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, U n+ = qu n. q est appelé raison de la suite. On a alors: Pour tout n IN, U n = U 0 q n, par conséquent: si q = 0 ou U 0 = 0 alors (U n ) est la suite nulle; si q = alors (U n ) est constante; si q > et U 0 > 0 (respectivement U 0 < 0) alors (U n ) est strictement croissante (resp. décroissante) de ite + (resp. ); si 0 < q < et U 0 > 0 (respectivement U 0 < 0) alors (U n ) est strictement décroissante (resp. croissante) de ite 0; 3

14 si < q < 0 alors (U n ) n'est pas monotone mais converge vers 0; si q alors (U n ) n'est pas monotone, ne converge pas et n'a pas de ite innie. { q U n+ U 0 + U + + U n = 0 q si q. (n + )U 0 sinon 6.3 Suites arithmético-géométriques Dénition 5 Une suite (U n ) est arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que pour tout entier naturel n, U n+ = au n + b. Remarque: on suppose a (sinon (U n ) est une suite arithmétique) et b 0 (sinon (U n ) est une suite géométrique). Proposition 5 Si a < alors (U n ) converge vers l = b a. Preuve: Si la ite l existe, alors elle vérie l = al + b donc l = b a (a ). = Un+ l = (aun+b) (al+b) Posons la suite de terme général V n = U n l, alors Vn+ V n U n l donc (V n ) est une suite géométrique de raison a et converge vers 0 si a <, or U n = V n + l d'où (U n ) converge vers l si a <. U n l = a(un l) U n l = a 6.4 Suites récurrentes linéaires d'ordre Dénition 6 La suite (U n ) dénie par la donnée de ses deux premiers termes et par la relation de récurrence pour tout entier naturel n U n+ = au n+ + bu n avec a, b réels vérie alors une relation de récurrence linéaire d'ordre. Théorème Soit l'équation caractéristique (E) : r ar b = 0. Les solutions de cette équation (E) sont les raisons des suites géométriques vériant U n+ = au n+ + bu n. Preuve: Soit (U n ) une suite géométrique de raison q, alors U n = U 0 q n, d'où: U n+ = au n+ + bu n U 0 q n+ = au 0 q n+ + bu 0 q n q = aq + b d'où q est bien solution de (E). Théorème (admis) Soit (U n ) une suite récurrente linéaire d'ordre et (E) : r ar b = 0 son équation caractéristique associée: si > 0 alors (E) possède deux racines réelles r et r et le terme général de (U n ) est U n = Ar n + Br n avec A, B constantes réelles. Supposons r > r, (U n ) a la même convergence que la suite géométrique de raison r. si = 0 alors (E) possède une racine réelle r 0 et le terme général de (U n ) est U n = Ar n 0 + Bnr n 0 avec A, B constantes réelles. Si r 0 <, (U n ) convergence vers 0, sinon elle diverge (la ite est innie ou n'existe pas). 4

15 si < 0 alors (E) possède deux racines complexes r = re iθ et r = re iθ (r > 0) et le terme général de (U n ) est U n = r n (A cos(nθ) + B sin(nθ)) avec A, B constantes réelles. Si r <, (U n ) convergence vers 0, sinon elle diverge. Exemples: { Etude des suites dénies par: Un+ = 5U n+ 6U n, n U 0 = et U = 3 (U n ) est une suite récurrente linéaire d'ordre, son équation caractéristique associée est : r 5r + 6 = 0 = ( 5) 4 6 = > 0, on a donc deux racines réelles: r = 5+ = 3 et r = 5 = donc (U n ) a pour terme général: { { U0 = A + B = A + B = Or U = 3A + B = 3 A = Ainsi U n = A 3 n + B n avec A, B IR n, U n = 3 n + 3. n = { B = 3 A = 3 n }{{} + ( ) n ( + 3 ) 3 }{{} { Un+ = (U n+ U n ), n U 0 = et U = (U n ) est une suite récurrente linéaire d'ordre, son équation caractéristique associée est : r r + = 0 = ( ) 4 = 4 < 0, on a donc deux racines complexes: r = +i = + i = ( + i ) = e i π 4 et r = r = e i π 4 donc (U n ) a pour terme général: U n = ( ( nπ ) n (A cos 4 ) ( nπ + B sin 4 ) ) avec A, B IR { U0 = A = Or U = ( A + B ) = A + B = Ainsi { A = B = n, U n = ( ( nπ ) n (cos 4 ) ( nπ + sin 4 En utilisant des suites extraites (par exemple (U 8n+4 ) et (U 8n )), on peut montrer que (U n ) diverge et n'a pas de ite innie. { Un+ = 6U n+ 9U n, n U 0 = 5 et U = 6 (U n ) est une suite récurrente linéaire d'ordre, son équation caractéristique associée est : r 6r + 9 = 0 = ( 6) 4 9 = 0, on a donc une racine réelle: r 0 = 6 = 3 donc (U n ) a pour terme général: U n = A 3 n + B n 3 n avec A, B IR ) ) 5

16 { { U0 = A = 5 A = 5 Or U = 3(A + B) = 6 B = 3 Ainsi n, U n = 3 n }{{} Suites dénies par U n+ = f(u n ) (5 3n) }{{} Soient I un intervalle de IR et f : I IR une fonction continue telle que f(i) I. Soit (U n ) la suite dénie par U n+ = f(u n ) et U 0 I. Remarque: comme f(i) I (I stable par f), alors U n I n. Proposition 6 Si (U n ) est convergente vers l élément de I alors f(l) = l (l est un point xe). Remarque: La contraposée nous dit que si f n'a pas de point xe, alors f diverge. Preuve: (U n ) converge vers l, donc (U n+ ) aussi et U n+ = l. Comme U n+ = f(u n ) et f continue sur I, on a : U n+ = f(u n) = f( U n) = f(l). Par unicité de la ite, on obtient l = f(l) Proposition 7 Si f(x) x garde un signe constant sur I, alors (U n ) est monotone. Preuve: Supposons que x I, f(x) x 0, comme n, U n I, on a n, f(u n ) U n = U n+ U n 0, donc (U n ) est croissante. Proposition 8 Si f est croissante alors (U n ) est monotone. De plus, si I est borné alors (U n ) est convergente. Preuve: cas où U U 0 ; montrons par récurrence que (U n ) est décroissante. L'hypothèse est vrai au rang, supposons la jusqu'au rang n, ie U n U n. Au rang n + : U n+ = f(u n ) f(u n ) car f est croissante. Or U n = f(u n ), on a donc U n+ U n et (U n ) décroissante. De plus, si I = [a, b], alors (U n ) est minorée par a (car U n I n), donc (U n ) converge. cas où U U 0 ; on montre par récurrence que (U n ) est croissante. De plus, si I = [a, b], alors (U n ) est majorée par b, donc (U n ) converge. Proposition 9 Si f est décroissante alors (U n ) n et (U n+ ) n sont monotones. De plus, si I est borné alors ces suites sont convergentes. Preuve: f = fof est croissante sur I. En eet, si x I, x I tel que x x, alors comme f est décroissante, f(x ) f(x ) et f (x ) f (x ). U n = f(u n ) = f(f(u n )) D'après la première partie, (U n ) est monotone; plus précisément si U 0 < U, alors elle est croissante, sinon elle est décroissante; et convergente si I borné. U n+ = f(u n ) = f(f(u n )) 6

17 D'après la première partie, (U n+ ) est monotone; plus précisément si U 0 < U, alors elle est décroissante, sinon elle est croissante; et convergente si I borné. Exemples: Etude { des suites dénies par: U n+ = +U n U n, n U 0 > Soit la fonction f dénie sur IR par f(x) = +x x, alors U n+ = f(u n ) Cherchons I tel que f continue sur I et U 0 I. f est dérivable sur IR + (comme U 0 > 0, on peut se iter aux valeurs positives) et f (x) = (x)(x) (+x ) (x) = x 4x = x x = (x )(x+) x x f (x) f(x) + + On a f([, + [) = [, + [ et U 0 [, + [ donc prenons I = [, + [. Comme pour tout n IN, U n I, on a (U n ) minorée (par ). Points xe de f appartenant à I f(l) = l +l l = l + l = l l = l = I ou l = / I donc si (U n ) converge, sa ite est. Monotonie de (U n ) <0 {}}{ f est croissante sur I donc (U n ) est monotone et U U 0 = +U 0 U U 0 U 0 = 0 U < 0 (car U 0 > ) }{{} 0 >0 donc (U n ) est décroissante. Conclusion: (U n ) est décroissante et minorée donc (U n ) converge vers le point xe. U U U 0 7

18 { U n+ = +U n, n U 0 IR Soit la fonction f dénie sur IR par f(x) = +x, alors U n+ = f(u n ) Cherchons I tel que f continue sur I et U 0 I. f est continue sur IR, f(ir) IR et U 0 IR donc I = IR. Faisons quand même l'étude de f, on aura peut-être besoin de restreindre I par la suite. f est dérivable sur IR et f (x) = x x 0 + f(x) + + On a f(ir) = [, + [ et comme pour tout n IN, U n f(ir), on a (U n ) minorée (par min{u 0, }). Remarque: sur le tableau de variation, on a ajouté le point xe trouvé à l'étape suivante. Points xe de f appartenant à I f(l) = l +l = l l l + = 0 (l ) = 0 l = donc si (U n ) converge, sa ite est. Monotonie de (U n ) f est non monotone, étudions de signe de f(x) x pour tout x réel. f(x) x = +x x = x x+ = (x ) 0 donc (U n ) est croissante. Conclusion: si U 0 =, alors (U n ) est constante et vaut. si U 0 >, alors f([, + [) = [, + [ donc n, U n, or (U n ) croissante et le point xe vaut, donc (U n ) diverge et tend vers +. si 0 U 0 <, alors f([0, ]) = [, ] donc (U n) bornée, or (U n ) croissante donc (U n ) converge, or le point xe [0, ], donc (U n ) converge vers le point xe. si U 0 < 0, on a U = +U 0 > 0 et on applique ce qui précède à U. si U > alors (U n ) diverge et tend vers +, or U > + U 0 > U 0 > or U 0 < 0 donc U 0 <. si 0 U 0, alors (U n ) converge vers le point xe or 0 U U 0 0 U 0 or U 0 < 0 donc U 0 < 0. Finalement (U n ) converge vers si et seulement si U 0 [, ]. 8

19 U 0 U... U 0 U U 9