Devoir surveillé 5 mathématiques

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1 Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction définie sur R + par g : x x x. Étudier le signe de g. (b Montrer que si t, on a : n N, +. En déduire ( n N converge et déterminer sa limite. (c Étudier ( n N lorsque t <. On considère également les suites (u n n N et (v n n N définies respectivement par : ( n N, u n = 2 n (, et v n = 2 n = u n. 2. Exprimer, pour tout n N, u n+ u n en fonction de +. En déduire le sens de variation de la suite (u n n N. 3. Déterminer le sens de variation de la suite (v n n N. 4. Montrer que les suites (u n n N et (v n n N sont convergentes. 5. Montrer que (u n n N et (v n n N ont même limite. 6. Pour tout n N, donner un encadrement de L à l aide de u n et v n. En déduire que pour tout réel t > 0, on a : t L t. L est un nombre dépendant de la donnée de x 0, c est-à-dire de t. Nous pouvons alors considérer la fonction f définie sur R + par f(t = L. Pour tout t > 0 et tout n N, nous poserons : (t = ; u n (t = u n ; v n (t = v n, pour indiquer que ces réels dépendent aussi de t. 7. Déterminer f(. 8. Montrer que : 9. En déduire : t R +, t 2 R +, n N, (t t 2 = (t (t 2. lim (u n(t t 2 u n (t u n (t Donner une relation entre f(t t 2 et f(t et f(t 2. Correction

2 . (a Soit x 0. On a : g(x 0 x x 0 x ( x 2 0 (x 0 x( x 0 ( x 0 ( x 0 x 0 x 0 (stricte croissance de la fonction racine sur R + Donc, pour tout x 0, on a : g(x 0 x 0. (b Soit t. On définit pour tout n N la propriété P(n par : P(n : + Pour n = 0, on a x 0 = t. Par croissance de la fonction racine, on en déduit que x 0. Donc : x. De plus, pour tout x d après a, g(x 0. Donc : g(x 0 0. Autrement dit, x x 0 0. D où : x x 0. On a bien : x x 0. Supposons que P(n est vraie pour un certain n 0. On a donc : +. Par croissance de la fonction racine carrée, on en déduit à nouveau que : +. Autrement dit : +2. Comme +, il en vient, d après la question a que : g(+ 0 c est-à-dire que : Donc P(n + est vraie. Par le principe de récurrence, on en déduit que P(n est vraie pour tout n N, c est-àdire : n N, +. La suite ( n N est dans ce cas décroissante et minorée par. Elle est donc convergente. Notons cette limite L. Comme la fonction racine est continue sur R +, on en déduit que la suite ( n N converge vers un point fixe de cette fonction. Or : x = x x = x 2 (x 0 x = ou x = 0. Donc les seules limites possibles pour ( n N sont 0 et. Or pour tout n N, on a. Donc L, ce qui exclut 0 comme limite possible. Par conséquent, L =. 2

3 (c On a : 0 < t <. Dans ce cas, on a : Donc : g(x 0 0. x x 0. Montrons que la suite ( n N est alors croissante. Posons, pour tout n N, la propriété P(n définie par : P(n : 0 +. Pour n = 0, on a montré que x 0 x. Comme 0 x 0, par croissance de la fonction racine, on en déduit que 0 x. Donc P(0 est vraie. On suppose que P(n est vraie pour un certain n. Ce qui signifie : 0 +. Par croissance de la fonction racine, on en déduit que : C est-à-dire : Comme 0 +, on en déduit que g(+ 0. Autrement dit : On a donc : Donc P(n + est vraie. Par le principe de récurrence, on en déduit que P(n est vraie pour tout n N. Autrement dit, la suite ( n N est croissante et majorée par. D après le théorème de la limite monotone, on en déduit que la suite ( n N est convergente vers une limite L qui vérifie x 0 L. Or les seules limites possibles sont 0 et, et comme 0 < x 0, on en déduit que L =. 2. Soit n N. On a : u n+ u n = 2 n+ (+ 2 n ( = 2 n (2+ 2 ( = 2 n (2+ x 2 n+ ( 0 = 2 n ( On en déduit que la suite (u n n N est décroissante. 3. Soit n N. On a : La suite (v n n N est donc croissante. v n+ v n = 2 n+ ( + 2 n ( = 2 n (2 2 + ( = 2 n ( x 2 n+ = 2 n ( ( > 0 3

4 4. Soit n N. On a : On en déduit que : Comme (u n n N est décroissante, on a : u n v n = u n un = u n ( = u n = 2 n ( 2 0 n N, u n v n. n Nu 0 v n. De même, par croissance de (v n n N, on en déduit que (u n n N est minorée par v 0. La suite (u n n N étant croissante et majorée par v 0 on en déduit qu elle est convergente. De même, la suite (v n n N étant décroissante et minorée par u 0, on en déduit qu elle est convergente. 5. Notons L la limite de (u n n N et L la limite de (v n n N. On sait que : n N, v n = u n. Comme ( n N converge vers 0, on en déduit, par quotient de suites convergentes que (v n n N a pour limite L = L. Mais (v n n N converge aussi vers L. Par unicité de la limite, on en déduit que L = L. 6. Grâce aux monotonies des suites (u n n N et de (v n n N on a : n N, v n L u n. En particulier : D où : v 0 L u 0. t L t. 7. Pour t =, on constate que la suite ( ( n N est dans ce cas la suite constante. En particulier : n N, u n = v n = 0. Donc : f( = Soient t > 0 et t 2 > 0. Soit n N. Posons : Pour n = 0, on a : P(n : (t t 2 = (t (t 2. x 0 (t t 2 = t t 2 = x 0 (t x 0 (t 2. Donc P(0 est vraie. On suppose que P(n vraie pour un certain n. Autrement dit : (t t 2 = (t (t 2. Donc : xn (t t 2 = (t (t 2 4

5 Or, (t 0 et (t 2 0. D où : xn (t (t 2 = (t (t 2 = + (t + (t 2. On a bien : + (t t 2 = + (t + (t 2. Donc P(n + est vraie. Par le principe de récurrence, on en déduit que P(n est vraie pour tout entier n Soit n N. u n (t t 2 u n (t u n (t 2 = 2 n ( (t t 2 2 n ( (t 2 n ( (t 2 = 2 n ( (t t 2 (t + (t 2 + = 2 n ( (t (t 2 (t (t 2 + (question 8 = 2 n ( (t ( (t 2 = u n (t ( (t 2 Or (u n (t n N est une suite convergente donc est bornée et ( (t 2 n N tend vers. Donc : lim (t 2 = 0. Par produit d une suite bornée avec une suite de limite nulle, on en déduit que : 0. On sait que : lim u n(t t 2 u n (t u n (t 2 = 0. t > 0, lim u n(t = f(t. Soient t > 0 et t 2 > 0. Comme les suites (u n (t t 2 n N, (u n (t n N et (u n (t 2 n N sont toutes trois convergentes, on en déduit par combinaison linéaire que : lim u n(t t 2 u n (t u n (t 2 = f(t t 2 f(t f(t 2. Or, d après 9, on a : Donc : Autrement dit : lim u n(t t 2 u n (t u n (t 2 = 0. 0 = f(t t 2 f(t f(t 2. f(t t 2 = f(t + f(t 2. Exercice 2. Soient les trois éléments suivants : ( ( i i 0 A =, B = 0 0. A est-elle inversible? Quelle est son inverse? 2. Calculer B 2 et en déduire le rang de B. 3. Déterminer également B et B n pour tout n N. ( 4. On pose P =. i i (a Calculer P. 5 (, C =

6 (b Calculer P CP. (c En déduire une expression de C p pour tout p N sous la forme ( ap b p c p d p où a p, b p, c p, d p sont des nombres complexes en fonction de p que vous expliciterez. Correction. Calculons det(a. On a : det(a = i 0. Donc A est bien inversible. A étant une matrice carrée de taille 2 2, l inverse est donnée par : ( A 0 = i 2. On a : B 2 = ( 0 0 Donc B est inversible. On en déduit que B est de rang 2. On peut aussi constater qu en échangeant les deux lignes de B, on retrouve une matrice échelonnée ayant un nombre de pivots égal à On constate que B 2 = I 2. Donc : B = B. On en déduit que : n N, B n = B, B n = I 2 si n est impair sinon. 4. (a On constate que det(p = 2i 0. Donc P est bien inversible. De plus, P étant une matrice 2 2, on a : ( P i = 2 2 (b On a : (c On a donc, pour p N : P CP = P C p P = 2 i 2 ( + i 0 0 i ( ( + i p 0 0 ( i p = = p D où : C p = P p P. Donc, en passant aux formes exponentielles : ( 2 p ipπ e C p = P p e ipπ 4 P. D où : ( p C p 2 cos( pπ = 4 p 2 sin( pπ 2 p sin( pπ 4 p 2 cos( pπ 4 4 6

7 Exercice 3. On considère l équation différentielle suivante :. Résoudre l équation homogène associée à (E. y + 5y + 4y = e ax (E 2. On suppose que a 2 + 5a Trouver une solution particulière de (E. On cherchera une solution sous la forme x (αx + βe ax. 3. En déduire les solutions de (E. Correction. On reconnaît une équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficients constants. L équation homogène associée à (E est : y + 5y + 4y = 0, (H qui a comme équation caractéristique : r 2 + 5r + 4 = 0. On constate alors que est racine évidente, et en regardant le terme constant, que l autre racine est 4. Les solutions de (H sont donc de la forme : avec A R et B R. f : R R x Ae x + Be 4x, 2. Comme a 2 + 5a + 4 0, on peut considérer la fonction f p définie par : f p : R R x a 2 +5a+4 eax, qui est indéfiniment dérivable sur R comme produit d une exponentielle par une constante. Calculons f p et f p. On a : Donc : x R, f p(x = Donc f p vérifie l équation (E. a a 2 + 5a + 4 eax, f p (x = a 2 a 2 + 5a + 4 eax. x R, f p (x + 5f p(x + 4f p (x = a2 + 5a + 4 a 2 + 5a + 4 eax = e ax. 3. L équation différentielle étant linéaire, on sait que les solutions sont exactement obtenues en ajoutant à une solution particulière une solution de l équation homogène correspondante. Autrement dit, les solutions sont de la forme : où A R et B R. f : R R x Ae x + Be 4x + a 2 +5a+4 eax, Exercice 4. On pose : n N, t > 0, I n (t = ln( dx. 7

8 . Calculer I 0 (t. 2. Montrer que pour tout n N, 3. Calculer I (t, I 2 (t, I 3 (t.. Pour n = 0, on a : 2. Soit n N. On a : I n+ (t = t ln(t n+ (n + I n. Correction I 0 (t = I n+ (t = dx = t. ln(+ dx. La fonction f : x x est de classe C sur [, t]. La fonction g : x + est de classe C sur R comme polynôme. Comme t > 0, on en déduit que la fonction ln est de classe C sur le segment [; t]. Par composition, la fonction g = g ln est de classe C sur [; t]. On peut donc appliquer la formule d intégration par parties pour les fonctions f et g. On a : x [, t], f(x = x, f (x = g(x = ln(+ g (x = (n+ x ln( Donc : D où : Autrement dit : ln(+ dx = f (xg(xdx = [f(xg(x] x=t x= I n+ (t = t ln(t n+ (n + ln( dx. I n+ (t = t ln(t n+ (n + I n (t. 3. En utilisant la relation de récurrence entre I n et I n+, on a : On en déduit, pour I 2 (t : I (t = t ln(t I 0 (t = t ln(t t + I 2 (t = t ln(t 2 2t ln(t + 2t 2 f(xg (xdx. Et pour I 3 (t : I 3 (t = t ln(t 3 3t ln(t 2 + 6t ln(t 6t