NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2

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1 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique f(x) = x 3 Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k 3. k n a par exemple 3 8 = parce que 3 = 8. La touche "puissance" des calculatrices permet de donner des valeurs approchées des racines cubiques : avec une calculatrice on écrit par exemple 5^(/3) et on obtient environ,7. 3 k n a donc 3 5,7 Exercice 0 Au XVIème siècle, Jérôme Cardan, confronté à la résolution des équations du troisième degré, de la forme x 3 = px + q donne la formule suivante appelée formule de CARDAN : lorsque q 4 - p3 7 ³ 0, l'équation a pour solution x = 3 q + q 4 - p q - q 4 - p3 7 ) n considère l'équation x 3 =. Quelles sont les valeurs de p et q? Vérifier que l'on peut utiliser la formule de Cardan. Quelle solution obtient-on? ) n considère l'équation x 3 = 3x +. Vérifier que l'on peut utiliser la formule de Cardan. Quelle solution obtient-on? Vérifier. (Facultatif : Trouver toutes les solutions de l'équation x 3 = 3x + ) 3 ) n considère l'équation x 3 = x + 4. Vérifier que l'on peut utiliser la formule de Cardan. Donner en utilisant une calculatrice une valeur approchée de la solution obtenue. Vérifier. (Facultatif : Trouver toutes les solutions de l'équation x 3 = x + 4) 4 ) n considère l'équation x 3 = 5x + 4. Justifier que la formule de Cardan ne peut pas s'appliquer. Pris dans un engrenage infernal, on décide cependant d'appliquer la formule. Comment peut s'écrire la "solution"? 5 ) Imaginons un nombre dont le carré est - et qui sera très temporairement noté -. En utilisant ce nombre "imaginaire" et en effectuant des calculs "habituels", montrer que : ( + - ) 3 = + -. En déduire que + - est une racine cubique de + -. "Démontrer" de même que - - est une racine cubique de - -. Montrer alors que la formule de Cardan appliquée à l'équation x 3 = 5x + 4 donne comme solution le réel 4. Vérifier que 4 est effectivement solution de l'équation. n a donc, en utilisant des nombres "imaginaires", obtenu un résultat bien réel (et juste). 6 ) Que peut-on dire de a b lorsque a et b sont deux réels positifs. Justifier que cette propriété appliquée au nombre "imaginaire" - est en contradiction avec la définition même de ce nombre. Pour cette raison la notation - que vous avez utilisée en toute impunité depuis quelques minutes (ou quelques heures) est absolument interdite à partir de maintenant. (Dans la réalité, il a fallu 50 ans pour l'abandonner et utiliser la notation i proposée par Euler) TS Nombres complexes page / 9

2 s IN est l'ensemble des entiers naturels. C'est l'ensemble des entiers positifs ou nuls. Dans IN l'équation x + = 0 n'a pas de solution. Cette équation a une solution notée -, cette solution est un élément de l'ensemble ZZ. ZZ est l'ensemble des entiers relatifs. C'est l'ensemble des entiers positifs, négatifs ou nul. ZZ contient IN, c'est-à-dire que IN est inclus dans Z, ce que l'on note IN ZZ. Dans Z l'équation x = n'a pas de solution. Cette équation a une solution notée, cette solution est un élément de l'ensemble QI. QI est l'ensemble des nombres rationnels. C'est l'ensemble de tous les nombres de la forme p q avec p Z et q Z *. QI contient Z. n a donc IN Z QI. Dans QI l'équation x = n'a pas de solutions. Cette équation a deux solutions notées et -, ces solutions sont des éléments de l'ensemble IR. IR est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble des abscisses de tous les points d'une droite. IR contient QI. n a donc IN Z QI IR. Dans IR l'équation x = - n'a pas de solutions. Cette équation a deux solutions notées i et -i, ces solutions sont des éléments de l'ensemble CI. CI est l'ensemble des nombres complexes. C'est l'ensemble des nombres de la forme a + bi avec a IR et b IR. CI contient IR. n a donc IN ZZ QI IR CI. n appelle corps des nombres complexes, et on note CI un ensemble contenant IR tel que : Il existe dans CI un élément noté i tel que i = -. Tout élément de CI s'écrit sous la forme a + bi, où a et b sont des réels. CI est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication de IR, et qui suivent les mêmes règles de calcul. Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z. Nombres complexes particuliers Soit un nombre complexe z = a + bi avec a IR et b IR. si b = 0, on a z = a, z est un réel. (IR est contenu dans CI ) si a = 0, on a z = bi, on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). s IR correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur la droite. n peut donc toujours comparer deux nombres réels : si x et y sont des réels, on a nécessairement x y ou y x. (Le point d'abscisse x se trouve, sur la droite, "avant" ou "après" le point d'abscisse y) CI, ensemble des nombres a + bi avec a IR et b IR correspond à l'ensemble des points d'un plan. Un nombre complexe a + bi avec a IR et b IR correspond au point du plan de coordonnées (a b). n ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n'y a pas de relation d'ordre dans CI. n ne peut donc pas dire qu'un nombre complexe z est inférieur à un nombre complexe z' ou qu'un nombre complexe z est positif (c'est-à-dire supérieur à 0). Propriété (voir démonstration 0) L'écriture d'un nombre complexe sous la forme z = a + bi, où a et b sont des réels, est unique. Soit z un nombre complexe. L'écriture z = a + bi, où a et b sont des réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z. a est appelé partie réelle de z, et b partie imaginaire de z. n note a = Re(z) et b = Im(z). TS Nombres complexes page / 9

3 s La partie réelle de z est un nombre réel. La partie imaginaire de z est un nombre réel. L'écriture d'un nombre complexe sous la forme algébrique est unique. Propriété (voir démonstration 0) Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a : a = a' a + bi = a' + b'i (a b) = (a' b') b = b' Exercice 0 Soient z = + 3i et z' = i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' z - z' z - 3z' z.z' z (Si votre calculatrice permet de travailler sur les nombres complexes, vérifier le résultat) n se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct ( u, v). Au point M de coordonnées (a b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi. n dit que z = a + bi est l'affixe de M ou que M(a b) est l'image ponctuelle de z = a + bi. Au vecteur V de coordonnées (a b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi. n dit que z = a + bi est l'affixe de V ou que V (a b) est l'image vectorielle de z = a + bi. Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormé direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe. b v u V (z) a M(z) Exercice 03 Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z = + 3i z = 3 + i z 3 = - + i z 4 = - i z 5 = i z 6 = -i z 7 = z 8 = -i - 3 z 9 = z - 3z z 0 = z 3 (z 4 - z ) Propriétés (voir démonstration 03) Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i, avec a, b, a', b' réels, alors : le vecteur MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b) i M = M = a + b MM' = MM' = (a' - a) + (b' - b) le milieu I de [MM'] a pour affixe z I = z + z' Propriétés (voir démonstration 04) Si V a pour affixe z et V ' pour affixe z', alors V + V ' a pour affixe z + z'. Si k est un réel, alors k V a pour affixe k z. V (z) k V (kz) V + V ' (z+z') V ' (z') TS Nombres complexes page 3 / 9

4 Exercice 04 Étant donné un point M d'affixe z = a + bi, avec a et b réels. Placer le point M' d'affixe z' = a - bi, le point M" d'affixe z" = -a + bi, le point M''' d'affixe z''' = -a - bi = - z. Exercice 05 ) Calculer (3 + i)(3 - i). En déduire la forme algébrique de 3 + i. ) Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes : + i 3 - i i. Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + bi. n appelle conjugué de z le nombre complexe noté z tel que Si M est le point d'affixe z, le point M' d'affixe z est symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. Exercice 06 z = a - bi. b v -b u a M(z) M'( z ) Soit z = 3 + 5i et z' = - + 3i. Calculer z z' z + z' z + z' z + z' z. z' zz' zz'. Propriétés (voir démonstration 05) Pour tous nombres complexes z et z', on a : z = z z. z est un réel positif z + z' = z + z' z - z' = z - z' zz' = z. z' Si z' 0 Re(z) = z + z z' = z' z z' Im(z) = z - z i z est réel z = z z est imaginaire pur z = - z = z z' La propriété z. z IR + sera utile pour trouver les formes algébriques d'inverses et de quotients. Par exemple : + i = ( + i)( + i) = + i + i + (i) - i ( - i)( + i) 4 - (i) = + i + i - = + 3i = i Exercice 07 ) Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants : 4 - i i + i + 7i 3 - i 5 + 3i - 3i i ) Résoudre l'équation ( + i)z = 3 - i, donner la solution sous la forme algébrique. 3 ) Le nombre complexe - i est-il solution de l'équation ( - i)z + + 3i = 0? 4 ) Le nombre complexe + 3i est-il solution de l'équation 5z - z + = 0? 5 5 ) Écrire plus simplement le nombre complexe 7 + 5i 7 - i i 7 + 5i TS Nombres complexes page 4 / 9

5 II Forme trigonométrique - Module - Argument b M(z) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct ( u, v), soit M un point de coordonnées (a b). Soit r = M = a + b et soit θ = ( u, M) [π] n a alors a = r cos θ et b = r sin θ Si z est l'affixe de M, z = a + ib = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ). Cas particulier Si M a pour affixe x avec x IR, on a r = M = x. v θ u r a Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme : z = r(cos θ + i sin θ), avec θ IR et r IR + *. n dit que z = r(cos θ + i sin θ) avec θ IR et r IR + * est une forme trigonométrique de z. Propriété (voir démonstration 06) Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) et z' = r' (cos θ' + i sin θ'), on a : r = r' z = z' r(cos θ + i sin θ) = r' (cos θ' + i sin θ') θ = θ' [π] Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + bi et soit M le point d'affixe z. n appelle module de z le nombre réel positif r = M = a + b. n note r = z. s La notation z ne risque pas de prêter à confusion avec la notation de la valeur absolue puisque lorsque x est un nombre réel, on a r = M = x. Pour un réel x, x pourra être lu indifféremment "valeur absolue de x" ou "module de x". Pour un nombre complexe non réel z, z sera lu impérativement "module de z". Exercice 08 ) Calculer le module de chacun des nombres complexes : z = 3 + 4i z = - i z 3 = 5 - i z 4 = 3 z 5 = i - 4 z 6 = i z 7 = -5 z 8 = + i ) Donner les formes trigonométriques de : z = + i z = 3 + i z 3 = - i 3 z 4 = i Placer les points correspondants et faire apparaître les éléments sur un dessin. Propriétés (voir démonstration 07) Soit V un vecteur d'affixe z, on a V = z. Soient A et B deux points d'affixes respectives z A et z B, on a AB = z B - z A. Exercice 09 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ( u, v), on considère les points A et B d'affixes respectives z A = - 3i et z B = 5 - i. Calculer les distances A, B et AB. En déduire la nature du triangle AB. TS Nombres complexes page 5 / 9

6 Propriétés (voir démonstration 08) z = 0 z = 0 - z = z z = z z + z' z + z' z z = z (donc z z IR+ ) si z 0 z = z z zz' = z. z' si z' 0 z' = z' et z z' = z z' Exercice 0 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( u, v). Les questions sont totalement indépendantes. ) Calculer le module des nombres complexes suivants : (7 + 35i)(3 + i) 7-35i 3 - i ) Déterminer tous les points M d'affixe z tels que z z = 4. 3 ) n considère le point A d'affixe ( + 3i). Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z -( + 3i) = 5. 4 ) Soit j = i. Calculer j. Démontrer que j = j. En déduire que j 3 =. (n dit que j est une racine cubique de ) (5 + 3i)( + i) 4 + i Soit z un complexe non nul de forme algébrique a + bi et soit M le point d'affixe z. n appelle argument de z tout nombre réel θ tel que θ = ( u, M) [π]. n note θ = arg(z). b r M(z) s θ n'est pas unique, il est défini à kπ près (k ZZ ) c'est-à-dire modulo π. Lorsque z = 0, on ne peut pas définir d'argument car il n'y a pas d'angle ( u, M) Exercice Écrire sous la forme trigonométrique (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ' ) et v cos θ + i sin θ θ u a Propriétés (voir démonstration 09) Soient θ et θ' deux réels et soient z et z' deux nombres complexes non nuls d'arguments respectifs θ et θ' on a : (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ') = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ') = cos(- θ) + i sin(- θ) cos θ + i sin θ arg cos θ + i sin θ = cos(θ - θ' ) + i sin(θ - θ' ) cos θ' + i sin θ' arg arg(zz') = arg z + arg z' [π] z = - arg z z z' [π] = arg z - arg z' [π] (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) pour tout n Z arg (z n ) = n arg z [π] cos θ - i sin θ = cos(- θ) + i sin(- θ) arg ( z ) = - arg z [π] - (cos θ + i sin θ) = cos(θ + π) + i sin(θ + π) arg (- z) = arg z + π [π] Propriété (voir démonstration 0) Soit z = r(cos θ + i sin θ) un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. z et - z ont pour formes trigonométriques : z = r(cos(-θ) + i sin(-θ)) et - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)) TS Nombres complexes page 6 / 9

7 Exercice Soient z = + i et z = + i 3. Écrire z et z sous la forme trigonométrique. En déduire les formes trigonométriques de z x z z z (z ) 3 z - z (z ) z D'après les résultats précédemment démontrés, l'argument du produit de deux nombres complexes est égal à la somme des arguments de ces deux nombres. C'est-à-dire que la fonction θ ϕ(θ) = cos θ + i sin θ est telle que ϕ(θ + θ') = ϕ(θ) x ϕ(θ'). Elle vérifie donc l'équation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle. Notation Pour θ IR, on note cos θ + i sin θ = e i θ et par conséquent pour r IR * + Cette notation d'un nombre complexe est appelée notation exponentielle. r(cos θ + i sin θ) = r e i θ Propriétés Les résultats déjà vus s'écrivent, en utilisant la notation exponentielle : e i θ x e i θ' = e i (θ + θ') = e i (-θ) = e -i θ e i θ e i θ e i θ' = e i (θ - θ') (e i θ ) n = e i n θ = e n i θ n ZZ e i θ = e -i θ - e i θ = e i (θ + π) s La propriété e i θ x e i θ' = e i (θ + θ'), facile à retenir, permet de retrouver les formules d'addition : cos(θ + θ' ) = cos θ cos θ' - sin θ sin θ' et sin(θ + θ' ) = sin θ cos θ' + cos θ sin θ' La propriété (e i θ ) = e i θ permet de retrouver les formules de duplication : cos θ = cos θ - sin θ et sin θ = sin θ cos θ n peut vérifier que : cos θ = e i θ + e -i θ La relation (e i θ ) n = e i n θ, n ZZ est appelée formule de MIVRE. et sin θ = e i θ - e -i θ. Ce sont les formules d'euler. i Exercice 3 n considère les nombres complexes : z = e i π 3 z = e i π 4 et Z = z z. ) Donner la forme exponentielle de Z. ) Donner les formes algébriques de z et z. En déduire la forme algébrique de Z. 3 ) En déduire les valeurs exactes de cos π Exercice 4 et sin π. Écrire sous la forme exponentielle ou sous la forme trigonométrique les nombres complexes : a = i b = c = 5 + i 3 d = - cos π - i 7-4i i sin π 6 Les calculatrices permettant d'utiliser les nombres complexes peuvent passer (de façon plus ou moins efficace) de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : TI 83 TI 89 Casio Graph 85 Casio fx-cg0 TS Nombres complexes page 7 / 9

8 III Utilisation en Géométrie Rappel Un module correspond à une distance, un argument correspond à un angle. Propriétés (voir démonstration ) Soient V et V ' d'affixes respectives z et z' dans le plan complexe rapporté au repère ( u, v). Si z et z' ont pour formes trigonométriques : z = r(cos θ + i sin θ) et z' = r'(cos θ' + i sin θ') Alors : ( u, V ) = θ = arg z [π]. ( V, V ' ) = θ' - θ = arg z' - arg z [π]. v u V ' (z') θ' θ'- θ θ V (z) Propriétés (voir démonstration ) A, B, C et D étant des points distincts d'affixes respectives z A, z B, z C et z D dans le plan complexe de repère ( u, v), alors : le vecteur AB a pour affixe z B - z A, et on a : AB = z B - z A et ( u, AB) = arg(z B - z A ) [π]. CD AB = z D - z C z B - z A et ( AB, CD) = arg(zd - z C ) - arg(z B - z A ) = arg z D - z C z B - z A [π]. AB et CD sont orthogonaux AB. CD = 0 ( AB, CD) = π [π] A, B et C sont alignés arg z D - z C z = π B - z A [π] z D - z C z B - z A est imaginaire pur AB et AC sont colinéaires AC = k AB, k IR z C - z A IR arg z C - z A z B - z A z = 0 [π] B - z A Exercice 5 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ( u, v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a =, b = + i et c = i Calculer c - a et l'écrire sous la forme exponentielle. En déduire la nature du triangle ABC. b - a Exercice 6 ( voir animation ) Dans le plan complexe, on considère le point M dont les coordonnées x et y sont données par x = + 3 cos t y = sin t avec t IR. Soit z l'affixe de M et A le point d'affixe z A = - i. ) Calculer z - z A. Justifier que M se trouve sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon. ) Justifer que tout point M se trouvant se trouvant sur le cercle (C) a des coordonnées (x y) vérifiant x = + 3 cos t avec t ]-π π]. y = sin t 3 ) Avec GeoGebra, en utilisant un curseur t variant de -π à π, représenter le point M de coordonnées x = + 3 cos t avec t ]-π π] et faire apparaître l'ensemble des points en activant la trace de M. y = sin t 4 ) Reprendre la question 3 ) avec x = + 5 cos t avec t ]-π π]. Que pensez-vous de la nature de y = - + sin t l'ensemble des points M. TS Nombres complexes page 8 / 9

9 IV Équation du second degré à coefficients réels Exercice 7 ) n considère l'équation (E) : z - 4z - 5 = 0. a) Montrer que : (E) (z - ) - 9 = 0 [(z - ) - 3)][(z - ) + 3] = 0. b) En déduire les solutions de (E). ) n considère l'équation (F) : z - 4z + 3 = 0. a) Montrer que : (F) (z - ) + 9 = 0. b) En remarquant que 9 = - ( 3i ), trouver les solutions de (F). Propriété (voir démonstration 3) L'équation az + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a 0) admet dans CI deux solutions (éventuellement confondues). Soit = b - 4ac le discriminant de l'équation. est un nombre réel. si ³ 0, les deux solutions sont réelles : z = -b - et z = -b + si < 0, les deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre : z = -b - i - et z = -b + i - Dans les deux cas, si on pose = δ (avec δ réel lorsque ³ 0 et δ imaginaire pur si < 0) on peut écrire : z = -b - δ et z = -b + δ Le trinôme az + bz + c peut alors se factoriser sous la forme az + bz + c = a(z - z )(z - z ). Le discriminant est un outil commode, mais il n'est pas toujours indispensable. Il est inutile de l'utiliser, par exemple, pour résoudre l'équation z + 3 = 0. Exercice 8 Résoudre dans CI, les équations : z - z + 5 = 0 z + 3z - 4 = 0 4z - 4z + = 0 z - 5z + 7 = 0 Exercice 9 Résoudre dans CI, les équations : z + z = z - ( + cos θ)z + + cos θ = 0 où θ est un réel fixé z 4 + 4z + 3 = 0 Exercice 0 ) Justifier que, pour tout nombre complexe z, on a : (z - )(z + z + ) = z 3 - ) a) Justifier que l'équation z 3 = a dans CI trois solutions dont on donnera la forme algébrique. b) Placer dans le plan complexe les points M, M, M 3, images des solutions trouvées à la question précédente. Quelle est la nature du triangle M M M 3? Exercice ) Résoudre dans CI l équation z - z + 5 = 0. ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( u, v) d unité graphique cm. n considère les points A, B, C et D d affixes respectives : z A = + i z B = z A z C = i z D = z C a) Placer les points A et B dans le repère ( u, v). b) Calculer z B - z C z A - z C et donner le résultat sous forme algébrique. En déduire la nature du triangle ABC. 3 ) Démontrer que A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. 4 ) Construire les points C et D dans le repère ( u, v). Expliquer la construction proposée. TS Nombres complexes page 9 / 9

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