EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONCTIONS. e 1

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1 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS Pour chacun ds fonctions ci-dssous, détrminr : - l nsmbl d définition I d la fonction ; - ls limits d la fonction au borns d I ; - la dérivé t l sign d la dérivé ; - l tablau d variation complt d la fonction. f() = + f() = f () = 4 f() = 5 ² + 6+ f() = f() = + 7 f() = 8 f() = 9 f() = (² + 5) f() = On considèr la fonction f défini sur R par : f() =. On not sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormé. ) Etudir ls limits d f n t +. ) alculr la dérivé f d f t précisr son sign. Etablir l tablau d variation d f. ) Détrminr un équation d la tangnt T à la courb au point d absciss. Parti A : On considèr la fonction P défini sur R par P() = ² - +. ) alculr P() ) Factorisr au maimum P ) Résoudr l inéquation P(). Parti B : On considèr la fonction f défini sur R * par f() =. On not sa courb rprésntativ. ) Etudir ls limits d f au borns d son nsmbl d définition. ) En déduir qu admt un asymptot horizontal t un asymptot vrtical dont on précisra ls équations. ) alculr la dérivé f d f. 4) En déduir ls variations d f. 5) Détrminr, par l calcul ls coordonnés ds points d intrsctions d avc l a ds abscisss. 6) Tracr. 4 Parti A : Qustions préliminairs ) Soit g la fonction défini sur [ ; + [par g() = -. a) Montrr qu pour tout > on a g ()>. En déduir ls variations d g sur [ ; + [. b) alculr g(). En déduir qu pour tout > on a g() >. ) Soit h la fonction défini sur [ ; + [ par h() = (-) -. a) Etudir la fonction h t drssr son tablau d variations. b) Montrr qu l équation h() = admt un solution t un sul α sur [ ; ]. c) Donnr un ncadrmnt d α d amplitud. d) Précisr suivant ls valurs du rél positif l sign d h(). Parti B : Etud d la fonction f t tracé d la courb On considèr la fonction f défini sur l intrvall [ ; + [ par f() =. Soit sa courb rprésntativ (u.g. 5cm) ) Justifir qu f st défini n tout point d [ ; + [. ) - - Montrr qu pour tout on put écrir f() =. - - En déduir la limit d f() n + t intrprétr l résultat obtnu. ) Eprimr f () n fonction d h(). Etudir la fonction f t drssr son tablau d variation. 4) Précisr la tangnt à n son point d absciss. 5) Tracr n faisant figurr sur l dssin la droit d d équation y = ainsi qu tous ls élémnts obtnus au cours d l étud. FRLT Pag /7/6

2 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS Parti A : Soit la fonction g, défini sur R, qui, à tout, associ : g() = ( - ) +. ) Montrr qu la dérivé d la fonction g sur R st : g'() = ( + ) ) Détrminr ls limits d g n + t -. ) Étudir l sign d g'() sur R, t drssr l tablau d variation d g sur R. 4) Montrr qu l'équation g() = admt un solution a t un sul sur l'intrvall [, + [. Montrr qu a st dans l'intrvall I = ;. 5) En déduir l sign d g sur R. Parti B : Soit la fonction f défini sur [, + [ par : f() =. + ) Montrr qu ls équations f() = t g() = sont équivalnts sur [, + [, t qu, par suit, l'équation f() = admt a pour solution uniqu sur I ) alculr la dérivé d f t n déduir l sns d variation d f sur [, + [. ) Détrminr la limit d f n +. 4) Drssr l tablau d variation d f. 5) onstruir la courb rprésntativ () d f sur [, + [ dans un rpèr orthonormal (unité cm). On indiqura n particulir ls tangnts à () au points d'absciss t. Soit la fonction f défini sur R par : f() = ( ²). On not sa courb rprésntativ. ) Détrminr la limit d f sur son nsmbl d définition. Intrprétr l résultat. ) Détrminr la fonction dérivé f. ) Etablir l tablau d variations d f. 4) Détrminr un équation d la tangnt T n A d absciss. 5) Tracr T t. 4 Soit la fonction f défini sur R par : f() =. On not sa courb rprésntativ. + ) Etudir ls variations d f sur [, + [. ) Montrr qu st symétriqu par rapport à l a ds ordonnés. ) Drssr l tablau d variations d f sur R. Soit la fonction f défini sur [-, + [ par : f() = +. On not sa courb rprésntativ. ) Détrminr la limit d f n +. Intrprétr l résultat. ) Détrminr la fonction dérivé f. ) Démontrr qu f admt un maimum égal à 4) Etablir l tablau d variations d f. pour un valur d à détrminr. 9 Eponntill t Systèms Parti A. On considèr un fonction f défini sur R par f() = (a² + b + c). On not sa rprésntation graphiqu. On sait qu pass par l point A ( ; ) t qu ll admt un tangnt parallèl à (O) au point d absciss. On sait aussi qu f () = - 6. Détrminr ls cofficints a, b t c. Parti B. On considèr un fonction f défini sur R par f() = (² ). ) alculr f() ) Etudir ls limits d f n t +. Intrprétr graphiqumnt. ) alculr f () puis factorisr. 4) En déduir l tablau d variation d f. 5) Détrminr un équation d la tangnt à au point d absciss. On considèr ls fonctions f t g définis sur R par f() = t g() =.5². ) Etudir ls variations d f sur R. Donnr la valur d f() t n déduir l sign d f sur R. ) Etudir ls variations d g sur R. Donnr la valur d g() t n déduir l sign d g sur R. ) Montrr qu pour tout rél négatif, ² 4) Qul ncadrmnt d. obtint-on? FRLT Pag /7/6

3 4 5 On considèr la fonction f défini sur R par f() = ( )( ) ) alculr f () t f (). ) Etudir l sign d f () pour tout d R. En déduir ls variations d f sur R. ) Donnr l sign d f sur R. 4) Drssr l tablau d variations d f sur R. On considèr la fonction f défini sur R * par f() = + ) Epliqur pourquoi f st défini sur R *. ) Détrminr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition. ) alculr la dérivé f d f. 4) Résoudr l inéquation 5 + > 5) Drssr l tablau d variations d f 6) Tracr la courb rprésntativ d f t ss asymptots. EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS Soit f la fonction défini par f() = + ) Étudir ls variations d f ) Etudir ls limits d f n - t n +. Drssr son tablau d variations. ) Soit () la courb rprésntativ d f. Donnr l'équation d la tangnt T à () au point d'absciss. Tracr () t T. 4) Démontrr qu l'équation f() = a un solution uniqu α dans IR. Donnr un valur approché d α. On considèr la fonction f défini sur R * 4 par f() =. On not sa rprésntation graphiqu dans un rpèr. ) Etudir ls limits d f au borns d son nsmbl d définition. ) alculr la dérivé f d f t précisr son sign. ) Etablir l tablau d variation d f. 4) Détrminr un équation d la tangnt T à la courb au point d absciss. 5) Tracr. On considèr la fonction f défini sur R par : f() = (+)² -. On not sa rprésntation graphiqu. ) Etudir ls limits d f n t +. En déduir l istnc d asymptots. ) alculr la dérivé f d f t précisr son sign. ) Etablir l tablau d variation d f. 4) Détrminr un équation d la tangnt T à la courb au point d absciss. 5) Tracr t T. FRLT Pag /7/6

4 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS ORRIGE : Pour chacun ds fonctions ci-dssous, détrminr : - l nsmbl d définition I d la fonction ; - ls limits d la fonction au borns d I ; - la dérivé t l sign d la dérivé ; - l tablau d variation complt d la fonction. 4 f() = + ; I = R ; f'() = + t R, f'() > f() = ; I = R ; f'() = ; f'() f () = f'() = ( + ) f'(). - + Sign d f () + Variations d f Sign d f () - + Variations d f Sign d f () - + Variations d f + ( ) f() = ; I = ] ;[ ]; + [ ; I, f'() = ; f'() ² - + Sign d f () Variations d f ² + 6+ ² + 6+ f() = ;I = R; f'() = ( 4 + 6) ; f'() - / + f () + - f() / 6 + f() = + + ; I = R ; f'() = + ; f'() - + Sign d f () - + Variations d f f() = f'() = ; R, f'() < + ( + )² LA courb admt la droit d équation y = comm asymptot n + t la droit d équation y = -/ n f () - f() FRLT Pag 4 /7/6

5 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS 8 f() = ; I = ]- ;-[ ]-; + [ ; f'() = ; f'() + ( + )² Sign d f () Variations d f f() = (² + 5) ; f'() = (² + 4) f () f() f() = + ; f'() = + - -ln + f () f() 5 ln On considèr la fonction f défini sur R par : f() =. On not sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormé. ) lim f() = + t f() = donc lim f() = + > >+ La courb n admt pas d asymptots horizontals ni vrticals. ) f'() = t f'() ) - + Sign d f () - + Variations d f + + 4) y = ( ) - Parti A : Etud d un polynôm. ) P() = ) P()= ( )(² - ) = ( )²( + ) ) S = [- ; + [ { } Parti B : Etud d un fonction comportant un ponntill. ) lim f() = lim f() = + ; lim f() = + lim f() = > >+ > + > ) La courb admt la droit d équation = comm asymptot vrtical. ; la courb admt l a ds abscisss comm asymptot horizontal FRLT Pag 5 /7/6

6 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS ) f'() = P() ² 4) f () f() + + 5) f () = = ou = + 6) Tracr. - 4 Parti A : Qustions préliminairs. Soit g la fonction défini sur [ ; + [par g() = -. a. g'() =. Donc g st croissant sur [ ; + [. b. alculr g(). En déduir qu pour tout > on a g()>. g() = donc g st strictmnt positiv sur ] ; + [.. Soit h la fonction défini sur [ ; + [ par h() = (-) -. a. h'() = ( ) - + h () + - h() - b. TVI c..84 < α <.85 d. Sur [ ; α[, h() t sur [α ; + [ h() - Parti B : Etud d la fonction f t tracé d la courb On considèr la fonction f défini sur l intrvall [ ; + [ par f() =. ) D après la qustion, g() > Donc > sur [ ; + [.. Donc l dénominatur d f n s annul jamais sur [ ; + [. ) lim f() = La courb admt la droit d équation y = comm asymptot horizontal. >+ h() ) f'() = ( )² α + f () + - f() f(α) 4) y = FRLT Pag 6 /7/6

7 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS 5) 5 Parti A : Soit la fonction g, défini sur R, qui, à tout, associ : g() = ( - ) +.. a) La fonction g st dérivabl sur R t g () = + (-) + =.( + ). lim ( ) = + t lim = + >+ >+ b) donc lim ( ) = +. D plus, lim >+ On put écrir : g() =. - + ² lim = ; > > lim = ; > >+ ² = + lim ² = +. Donc donc > lim g() = + >+ lim g() = + c) Pour tout rél, on a g () =.( + ). Or + > pour tout rél. Donc g () t ont l mêm sign. Donc g () sur [ ; + [ t g () sur ]- ; ] - + Sign d g () - + Variations d g On utilis l théorèm ds valurs intrmédiairs. - g st continu sur [ ; + [ ; - g st croissant sur [ ; + [ - lim g() = g() = - < or ]- ; + [. Donc l équation g() = admt un solution uniqu α dans [ ; + [. D plus, g.5744< t g() > Donc α I = ;. Parti B : Soit la fonction f défini sur [, + [ par : f() =. +. f() = = = + ² g() = + Or l équation g() = admt pour solution uniqu sur I l nombr a. Donc l équation f() = admt pour solution uniqu sur I l nombr a. La fonction f st dérivabl sur [, + [ ( + ) ( + ) ( ) t f'() = = t f () t (-) ont l mêm sign sur [, + [. ( + )² ( + )² Donc f st positiv sur [ ; + [ t négativ sur ]- ; ]. Et f st croissant sur [ ; + [ t décroissant sur ]- ; ] ) f() = lim = donc lim f() = + >+ >+ La courb rprésntativ d f admt un asymptot horizontal n + d équation y = 4). + Sign d f () - + Variations d f + + FRLT Pag 7 /7/6

8 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS 5) La courb admt un tangnt horizontal n, car f () =. La tangnt n st la droit d équation : y = Soit la fonction f défini sur R par : f() = ( ²). On not sa courb rprésntativ. ) lim ( ²) = t lim = + donc lim f() =. > > > lim = ² f() = >+ donc lim f() ² = lim = >+ >+ Donc la courb rprésntativ d f admt un asymptot horizontal d équation y = n + ) f() = (² ) ) Etablir l tablau d variations d f f () f() + - 4) y = + 5) Tracr T t. 7 8 Soit la fonction f défini sur [-, + [ par : ) Détrminr la limit d f n +. Intrprétr l résultat. f() = ² +. f() = +. On not sa courb rprésntativ. lim + = >+ ² donc lim f() = lim = >+ >+ FRLT Pag 8 /7/6

9 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS La courb admt l a ds abscisss comm asymptot horizontal n +. ) Détrminr la fonction dérivé f. ( ) La fonction f st dérivabl sur ]- ; + [, t pour tout d ]- ; + [, f'() = + ) Démontrr qu f admt un maimum égal à pour un valur d à détrminr. f'() donc f st croissant sur [- ; -/] t décroissant sur [-/ ; + [ Ell admt donc un maimum n -/ égal à f '( /) = 4) Etablir l tablau d variations d f. - + f () + - f() 9 On considèr la fonction f défini sur R par f() = ( )( ) ) alculr f () t f (). f'() = t f'() = ( + ) ) Etudir l sign d f () pour tout d R. En déduir ls variations d f sur R. - + Sign d f () - + Variations d f ) Donnr l sign d f sur R. L minimum d f st >. donc pour tout rél, f () st strictmnt positif. 4) Drssr l tablau d variations d f sur R. - + Sign d f () + Variations d f FRLT Pag 9 /7/6

10 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS On considèr la fonction f défini sur R * par f() = + ) = =. Donc f st défini sur R * ) La fonction f st défini sur ] ;[ ]; + [. On doit donc calculr 4 limits. lim f() = t lim f() = + ; lim f() = lim f() = + > >+ > + > Donc la courb admt la droit d équation = comm asymptot vrtical. ) 5 + f'() = ( )² 4) On pos X =. L équation X² - 5X + = admt du solutions : X = t X =. On a donc X² - 5X + = (X - )(X ) t 5 + = ( - )( ) - -ln ln ) Drssr l tablau d variations d f - -ln ln + f () f ln + + 6). - - ln 4 On considèr la fonction f défini sur R * 4 par f() =. ) La fonction f st défini sur ] ;[ ]; + [. On doit donc calculr 4 limits. 4 4 lim ( ) = + f() = > donc lim f() = lim = > > Donc la courb admt l a ds abscisss comm asymptot horizontal au voisinag d -. FRLT Pag /7/6

11 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS 4 4 lim ( ) = + lim ( ) = > donc lim f( ) + = + > donc lim f( ) = + lim = > lim = > > + > Donc la courb admt la droit d équation = comm asymptot vrtical. lim ( 4) = >+ f() = ( 4) donc lim f() = + = + >+ lim >+ ) ( )² * f'() = sur R ² ) Etablir l tablau d variation d f. - + f() + + 4) y = (tangnt horizontal) 5) Tracr. - 5 On considèr la fonction f défini sur R par : f() = (+)² -. ) lim f() = t lim f() = +. La courb admt l a ds abscisss comm asymptot horizontal au voisinag d >+ > + ) ) f'() = ( + )( ) f () f() 4 + 4) y = + 5) Tracr t T. FRLT Pag /7/6

12 EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONTIONS FRLT Pag /7/6