EPREUVE D ENTRAÎNEMENT 21 MAI 2012

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1 EPREUVE D ENTRAÎNEMENT 21 MAI 2012 MATHEMATIQUES Durée : 2 heures L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation et de la rédaction entrent dans l appréciation des copies : Les résultats doivent être soulignés, les pages numérotées, les exercices clairement identifiés. ACTIVITES NUMERIQUES Exercice 1 : Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de maths pour les 0 élèves d une classe de e : Notes Effectifs ) Calculer la note moyenne arrondie à l unité. 2) Déterminer la note médiane. ) Calculer l étendue de cette série de note. ) Déterminer le premier et le troisième quartiles de la série. 5) Calculer le pourcentage d élèves ayant une note inférieure ou égale à 10. On arrondira le résultat au dixième prés Exercice 2 : Une classe de ème est constituée de 25 élèves. Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires. Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe. Garçons Filles Total Externes Demi-pensionnaires 9 11 Total 25 1) Recopier et compléter le tableau. 2) On choisit au hasard un élève de cette classe. a) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille? b) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe? c) Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon? Exercice : Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en cm. La mesure du côté du carré est. Les dimensions du rectangle sont 72 6 et 2 1) Calculer l aire A du carré ; réduire l expression obtenue. 2) Calculer l aire A du rectangle. ) Vérifier que A=A Exercice : Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Anatole affirme : «Pour tout nombre entier naturel n, l expression n² 2n +1 est toujours différente de zéro.» A-t-il raison?

2 ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 1 : 1. ABCD est un carré de cm de côté. E est le point de la demi-droite [AB) tel que AE = 9 cm. Les droites (EC) et (AD) se coupent en un point F. a) Faire une figure. b) Démontrer que AF =,5 c) Calculer EF. (On arrondira à 0,1 cm.) 2. En tournant autour de la droite (AE), le triangle AEF engendre un cône de hauteur 9 cm et de rayon,5 cm, et le carré ABCD engendre un cylindre de rayon cm et de hauteur cm, inscrit dans le cône. Voir le dessin ci-contre. a) Exprimer, en fonction de, le volume VI du cône. b) Exprimer, en fonction de, le volume V2 du cylindre. V1 c) Vérifier que le rapport est égal à 2,25. V 2 Exercice 2 : Trace le triangle ABC tel que AB = 12 cm, AC = 1 cm et BC = 5 cm a) Montre que ce triangle est rectangle b) En déduire que l angle BAC à une valeur approchée de 2 c) Trace la hauteur issue de B, elle coupe [AC] en H d) Calcule une valeur approchée de BH au mm près e) Trace le cercle circonscrit au triangle ABC

3 PROBLEME Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d une personne est adapté à sa taille. Partie 1 : Dans le graphique figurant en annexe on lit pour une taille comprise entre 150cm et 200cm : en abscisse la taille exprimée en cm. en ordonnée le poids exprimé en kg. A l aide du graphique, répondre aux questions suivantes en laissant les tracés nécessaires : 1. Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près. 2. Une personne mesure 165cm et pèse 72kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien? Donner la valeur arrondie au kg près.. Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille? Partie 2 : Dans cette partie, t représente la taille d une personne, exprimée en cm. On calcule ce que l on appelle le poids idéal, que l on note p, exprimé en kg, par la formule suivante : t 150 p t Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement : 160 cm 165 cm 180 cm Placer les points A, B et C correspondants sur le graphique figurant en annexe. 2. Montrer que cette formule peut s écrire p t 62, 5.. Déterminer la taille en cm d une personne dont le poids idéal est de 56kg.. Une personne mesure 170cm et son poids est égal au poids idéal augmenté de 10%. Cette personne dépasse-t-elle le poids maximum conseillé?

4 ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE NOM : PRENOM : CLASSE :

5 Correction de la partie numérique (1,5 pts) Exercice 1 ( pts) 1) Moyenne = 1 10,7 La moyenne est de 10. (1 pt) 0 2) La médiane est la moyenne entre la 15 ème et la 16 ème note. Donc la médiane est de 10. (0,5pt) ) Etendue=17 = 1 (0,5pt) 1 ) Q 1 = 0 7,5 Le premier quartile est la 8ème note donc 8. (0,5pt) Q = 0 22,5 Le troisième quartile est la 2ème note donc 1. (0,5 pt) 5) Il y a 16 élèves sur 0 qui ont une note inférieure ou égale à 10 donc ,% 0 (1pt) Exercice 2 (,5 pts) Garçons Filles Total Externes 2 5 Demi-pensionnaires Total (1,5 pt le tableau) 2) a) La probabilité pour que cet élève soit une fille est de 1 (1 pt) 25 b) La probabilité pour que cet élève soit externe est de 5 1 (1 pt) 25 5 c) La probabilité que cet élève soit un garçon parmi les élèves demi-pensionnaires est de 9 (1 pt) 20 Exercice ( pts) 1) A = ( )² (1,5 pt) 2) A' = 2( 72 6) (1,5 pt) ) A' = (1 pt) On peut donc en déduire que A=A Exercice (2 pts) Cherchons s il existe un n tel que n² -2n+1 = 0 n²-2n+1 = (n 12)² Résolution de l équation : (n 12)² = 0 Un produit de facteurs est nul si l un de ses facteurs est nul. n 12 = 0 n = 12 l équation a une solution 12 Donc Anatole n a pas raison puisqu il existe un entier naturel 12 tel que l expression s annule.

6 Correction de la partie géométrie (1 pts) Exercice 1 (7,5 pts) 1/ a. Figure 1pt b. On sait que : ABCD est un carré 1pt Or : les côtés opposés d un carré sont parallèles Donc : (BC) et (AD) sont parallèles. Les triangles EBC et EAF sont en situation de Thalès car les droites (BC) et (AF) sont parallèles donc EB EC BC 9 puis EC un produit en croix donne AF=,5cm. 1,5pt EA EF AF 9 EF AF c. EAF est un triangle rectangle (car ABCD est un carré), d après le théorème de Pythagore : EF²=EA²+AF² cela donne EF²=9²+,5² on trouve EF= 101,25 10,1 cm. 1,5pt,5² 9 2/ a. V1= 60,25 cm b. V2= ² 27 cm 1pt c. Rapport 0,5pt 1pt Exercice 2 (6,5 pts) Figure 0,5pt a. AC est le plus grand côté : AC²=1²=169 AB²+BC²=12²+5²=169 d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. 1,5pt b. Dans le triangle ABC rectangle en B : AB 12 Cos BAC= et BAC 2 1,5pt AC 1 c. La hauteur 0,5pt BH BH d. Sin BAC= cela donne sin 2 et un produit en croix donne BH,7cm 1,5pt AB 12 e. Cercle : 1pt

7 Correction du problème (9,5 pts) Partie 1 ( pts) 1. Poids max : 81kg 1pt Poids min : 60kg 2. Entre et kg de plus que le poids maximum conseillé. 1pt. Toute taille supérieure à 1,70m. 1pt Partie 2 (6,5 pts) cm : p , 5kg 0,5pt cm : p , 25kg 0,5pt cm : p , 5kg 0,5pt Placer les points : 0,5pt t 150 t 00 t p t 100 t t 62, 5 1pt. On cherche t tel que t 62, t et donc t on trouve t=158 cm 1,5pt. poids idéal pour 170cm, on trouve à l aide de la formule 65 kg. 10 Il faut rajouter 10% soit 65 6, 5 cela fait donc un poids de 71,5kg. 100 Si l on observe la courbe, le poids maximum conseillé pour une personne de 170 cm semble être 71,5kg. Donc, il ne dépasse pas ce poids. 2pt