SUITES - Cours. a a. C est donc une liste de nombres. On peut noter les éléments de la liste comme suit :... On appelle u. u (avec n N ).

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1 Cors de Mathématiqe S CHAPITRE N Partie : Algebre & Aalyse SUITES - Cors D abord qelqes petits rappels : a = a = a m m a a = a + ( )( ) a m = m a a = b b a + a a = a si a, alors a a a a = + a m = a m Notio : Ue site comme so om l idiqe, c est par exemple das l esemble N : ❶ ❷,,, 3, 4,, o ecore, 4, 6, 8,,, por les ombre pairs C est doc e liste de ombres O pet oter les élémets de la liste comme sit :,,,,, +, O appelle le er terme, le è terme, le 3 è terme et o dit qe la site a por terme gééral (avec N ) Défiitio : Comme avec l applicatio f qi associe atécédet x à e image y, e site mériqe associe à ( ) oté assi E mathématiqe, cela s écrit comme sis : Doc, predra ses valer das N et ( ) o même ( ) : N R das R O ote cette site ( ) N o Attetio!!! à e pas cofodre ( ) qi est la site et so terme gééral Exemple ❶ : Cosidéros e site mériqe ( ) où la différece etre terme et so précédet reste costate et égale à 5 Si le premier terme est égal à 3, les termes sccessifs sivats sot : = 3, = 8, = 3, 3 = 8 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel

2 Cors de Mathématiqe S O pet écrire ici le terme gééral de la site ( ) : = 5 + 3, d cop, grâce à ce terme gééral, o pet détermier, par exemple, = (à toi)* Répose à la fi Mode de Géératio d e site mériqe A Site défiie par l expressio de O pet doer e site par l expressio d terme gééral e foctio de par e formle explicite e foctio de Das ce cas, o sais calcler directemet importe qel terme de la site Exemple ❷: Soit la site ( ) défiie sr N par = ( ) O pet calcler par exemple : ( ) = 3 = ; ( ) Soit la site ( ) 3 = = ; ( ) 3 3 v défiie sr N par v = + O a : = 3 = v = + = ; v = + = 3 ; 5 = 5 + = Lorsq'o géère e site par e formle explicite, chaqe terme de la site est exprimé e foctio de et idépedammet des termes précédets B Site défiie par récrrece Défiitio : Ue site est défiie par récrrece qad elle défiie par la doée : De so premier terme, D e relatio qi permet de calcler à partir de chaqe terme le terme sivat Cette relatio est appelée relatio de récrrece Exemples ❸: - O défiit la site par : 5 Les premiers termes de cette site sot doc : = et chaqe terme de la site est le triple de so précédet = 5, = 3 = 3 5 = 5, = 3 = 3 5 = 45 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel

3 Cors de Mathématiqe S - O défiit la site v par : v = 3 et por tot de N, v = 4v + 6 Les premiers termes de cette site sot doc : v = 3, v = 4v 6 = = 6, v = 4v 6 = = 8, v = 4v 6 = = 66 3 Cotrairemet à e site défiie par e formle explicite, il 'est pas possible, das l'état, de calcler par exemple v 3 sas coaîtrev Cepedat il est possible d'écrire algorithme sr e calclatrice programmable - O défiit la site ( w ) par : por tot de N \ { } c'est-à-dire { } Les premiers termes de cette site sot doc : N, w = w =, w = w + = + = 3, w3 = w + 3 = = 6, w4 = w3 + 4 = = Bie compredre la costrctio des termes de cette site selo w Lorsq'o géère e site par e relatio de récrrece, chaqe terme de la site s'obtiet à partir d' o plsiers des termes précédets A oter : Le mot récrrece viet d lati recrrere qi sigifie "reveir e arrière" C - Représetatio graphiqe d'e site Das repère d pla, o représete e site par age de poits de coordoées( ; ) Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 3

4 Cors de Mathématiqe S Exemple ❹ : Por tot de N, o doe : = 3 O costrit le tablea de valers avec les premiers termes de la site : ,5 -,5 5 9,5 5,5 9 Il est aisé d'obteir age de poits à l'aide d' logiciel 3 - Ses de variatio d'e site mériqe Exemple ➎: O a représeté ci-dessos le age de poits des premiers termes d'e site ( ) : O pet cojectrer qe cette site est croissate por 3 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 4

5 Cors de Mathématiqe S Défiitios : Soit etier p et e site mériqe ( ) - La site ( ) - La site ( ) est croissate à partir d rag p sigifie qe por p est décroissate à partir d rag p sigifie qe por p, o a +, o a + Méthode : Etdier les variatios d'e site ) Por tot de N, o doe la site ( ) défiie par : = ² Démotrer qe la site ( ) est croissate à partir d' certai rag O commece par calcler la différece + : + = ( + ) 4( + ) = = 3 O étdie esite le sige de + + por 3 por,5 Aisi por ( est etier), o a + O e dédit q'à partir d rag, la site ( ) est croissate A vérifier avec GeoGebra par la foctio associée f ( x) = x² 4x + 4, x N ) Por tot de N, o doe la site ( v ) défiie par : : v = ( + ) v est décroissate Il fadra doc motrer qe Démotrer qe la site ( ) v v+ v < O commece par calcler le rapport + : v v+ ( + )( + ) ( + ) = = = v ( + )( + ) + ( + ) < et < + Mais assi, ce qi e résmé doe : + < + v, o a : + < et doc v v+ v < v Et si ( v ) alors <, doc v + Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 5

6 Cors de Mathématiqe S O e dédit qe ( v ) est décroissate Propriété : Soit e foctio f défiie sr ; + N par = f ( ) Soit etier p - Si f est croissate sr l'itervalle p ; + rag p - Si f est décroissate sr l'itervalle p ; + partir d rag p Démostratio : et e site mériqe ( ) défiie sr, alors la site ( ) est croissate à partir d, alors la site ( ) est décroissate à - f est croissate sr p ; + etier p : comme + >, f ( + ) f ( ) et doc - Démostratio aaloge por la décroissace doc par défiitio d'e foctio croissate, o a por tot + Méthode : Etdier les variatios d'e site à l'aide de la foctio associée Por tot de N, o doe la site ( ) défiie par : Démotrer qe la site ( ) est décroissate = + O cosidère la foctio associée f défiie sr Aisi = f ( ) Etdios les variatios de f défiie sr ; f '( x) = ( x + ) Por tot x de Doc f est décroissate sr ; + ; + + :, o a : f '( x ) < ; + par f ( x) = x + O e dédit qe ( ) est décroissate Remarqe : La réciproqe de la propriété éocée pls hat est fasse La représetatio sivate motre e site décroissate alors qe la foctio f 'est pas mootoe Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 6

7 Cors de Mathématiqe S 4 - A préset, voyos les différetes atres (o formes) des sites : I - Les sites arithmétiqes Défiitio Ue site mériqe ( ) est arithmétiqe s il existe ombre r, appelé raiso de la site, tel qe, por tot ombre etier atrel, o ait : = + + r Exemple ❹: Repreos l Exemple ❶, la site ( ) por laqelle le er terme 3 et la différece etre terme et so précédet reste costate et égale à 5 Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes sccessifs sot : = 3, = 8, = 3, 3 = 8 Ue telle site est appelée e site arithmétiqe de raiso 5 et de premier terme 3 La site ( ) est alors défiie par : + = 3 = + 5 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 7

8 Cors de Mathématiqe S Méthode : Démotrer si e site est arithmétiqe ) La site ( ) ) La site ( ) défiie par : = 7 9 est-elle arithmétiqe? v défiie par : v = + 3 est-elle arithmétiqe? Répose : s il existe r costate alors la site est arithmétiqe Por détermierr, o effecte le calcl de = + + = + = + ❶ ( ), costate La différece etre terme et so précédet reste doc costate et égale à -9 est e site arithmétiqe de raiso -9 ( ) v v = = = +, variable car ❷ ( ) + foctio de La différece etre terme et so précédet e reste pas costate v 'est pas e site arithmétiqe ( ) Propriété : ( ) est e site arithmétiqe de raiso r et de premier terme Por tot etier atrel, o a : = + r Por tos = + ( ) et p : p p r Explicatio : O défiie + = + r O pet exprimer e foctio de et de = + r O pet assi exprimer e foctio de la valer de qelcoqe q est p ( ) p = + p r A toi de le vérifier avec l Exemple ❹ pris précédemmet par exemple Démostratio : La site arithmétiqe ( ) de raiso r et de premier terme ( ) E calclat les premiers termes : = + r = + = + + = + ( ) ( ) r r r r = + r = + r + r = + 3r 3 ( ) r + = + = + r = + ( ) r + r = + r vérifie la relatio : p, de et Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 8

9 Cors de Mathématiqe S Méthode : Détermier la raiso et le premier terme d'e site arithmétiqe Cosidéros la site arithmétiqe ( ) tel qe 5 = 7 et 9 = 9 Détermier la raiso et le premier terme de la site ( ) Répose : = + r Les termes de la site sot de la forme Aisi 5 = + 5r = 7 et 9 = + 9r = 9 O sostrayat membre à membre, o obtiet : 5r 9r = 7 9 doc r = 3 Comme + 5r = 7, o a : = 7 et doc : = 8 ) Variatios Propriété : ( ) est e site arithmétiqe de raiso r - Si r > alors la site ( ) est croissate - Si r < alors la site ( ) est décroissate Démostratio : r > alors - Si - Si + = + r = r + > et la site ( ) est croissate + < et la site ( ) est décroissate r < alors Exemple ➎: La site arithmétiqe ( ) égale à 4 défiie par = 5 4 est décroissate car de raiso égative et ) Représetatio graphiqe Les poits de la représetatio graphiqe d'e site arithmétiqe sot aligés Exemple ❻ : O a représeté ci-dessos la site de raiso,5 et de premier terme 4 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 9

10 Cors de Mathématiqe S ** Défiir la site représetée par le graphe ci-desss : (à toi) Répose à la fi II - sites géométriqes Défiitio : Ue site ( ) o a : est e site géométriqe s il existe ombre q tel qe por tot etier, Le ombre q est appelé raiso de la site + = q Exemple ❼ : Cosidéros e site mériqe ( ) où le rapport etre terme et so précédet reste costat et égale à Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes sccessifs sot : = 5, =, =, 3 = 4 Ue telle site est appelée e site géométriqe de raiso et de premier terme 5 La site est alors défiie par : Exemple cocret : + = 5 = O place capital de 5 sr compte dot les itérêts aels s'élève à 4% Chaqe aée, le capital est mltiplié par,4 Ce capital sit e progressio géométriqe de raiso,4 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel

11 Cors de Mathématiqe S Méthode : Démotrer si e site est géométriqe La site ( ) défiie par : 4 = est-elle géométriqe? Répose : s il existe q, e costate telle qe : détermierq, o effecte le calcl de : + ( + ) + = = 4 = = Le rapport etre terme et so précédet reste costat et égale à 6 ( ) est e site géométriqe de raiso 6 + = q alors la site est géométriqe Por Propriété : ( ) est e site géométriqe de raiso q et de premier terme Por tot etier atrel, o a : = q Pls gééralemet por tos et p : = q p p Explicatio : O défiie + = q = + q O pet exprimer e foctio de et de O pet assi exprimer e foctio de la valer de qelcoqe q est p ( p p = q ) p Là assi, t pex le vérifier e repreat l Exemple ❼ Démostratio : La site géométriqe ( ) E calclat les premiers termes : = q ( ) = q = q q = q ( ) 3 3 = = = q q q q ( ) = q = q q = q de raiso q et de premier terme = q + p, de et vérifie la relatio Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel

12 Cors de Mathématiqe S Méthode : Détermier la raiso et le premier terme d'e site géométriqe Cosidéros la site géométriqe ( ) tel qe 4 = 8 et 7 = 5 Détermier la raiso et le premier terme de la site ( ) Les termes de la site sot de la forme q 4 Aisi 4 = q = 8 et 7 7 = q = q 3 = = q 4 q 5 = 7 Aisi : et 64 4 = 4 8 = doc 3 q = 64 O tilise la foctio racie cbiqe de la calclatrice por trover le ombre qi élevé a cbe doe 64 Aisi Comme q = 3 64 = 4 ) Variatios Propriété : ( ) Por 4 q = 8, o a : > : - Si 4 4 = 8 et doc : = 3 est e site géométriqe de raiso q et de premier terme o l q > alors la site ( ) < < alors la site ( ) - Si q Por < : q > alors la site ( ) < < alors la site ( ) - Si - Si q est croissate est décroissate est décroissate Démostratio : das le cas où > : est croissate = + q q = + q ( q ) - Si q > alors > + et la site ( ) < + et la site ( ) - Si < q < alors Exemple : La site arithmétiqe ( ) égatif et la raiso est spériere à est croissate est décroissate défiie par = 4 est décroissate car le premier terme est Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel

13 Cors de Mathématiqe S Remarqe : Si la raiso q est égative alors la site géométriqe 'est pas mootoe III Sommes des termes coséctifs ) Cas d'e site arithmétiqe Propriété : est etier atrel o l alors o a : = ( + ) Remarqe : Il s'agit de la somme des premiers termes d'e site arithmétiqe de raiso et de premier terme est le premier terme, S est la somme des termes coséctifs : S = = + + ( ) Démostratio : ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) + ( + ) + ( + ) ( ) = + doc : ( ) = ( + ) ( + ) et doc : = Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 3

14 Cors de Mathématiqe S La somme S pet alors s exprimer aisi : S = ( ) = + + ( ( + ) = ( + ) + r +, o obtiet : E factorisat ( ) + r S = ( + ) r = ( + ) + + r = ( + ) ( ) + = + Méthode : Calcler la somme des termes d'e site arithmétiqe Calcls des sommes S et S sivates : S = S = = = 676 ) Cas d'e site géométriqe ( ) ( ) ( ) = ( ) = = 3 = 8 Propriété : est etier atrel o l et q réel différet de alors o a : q + q + q + + q = q + Remarqe : Il s'agit de la somme des premiers termes d'e site géométriqe de raiso q et de premier terme Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 4

15 Cors de Mathématiqe S Démostratio : S = + q + q + + q 3 q S = q + q + q + + q + Aisi : S q S = q ( ) S q = q + q = q 3 + ( ) ( ) S q S = + q + q + + q q + q + q + + q S + + Méthode : Calcler la somme des termes d'e site géométriqe Calcler la somme S sivate : 3 S = S = = = Elémets de répose des exercices demadés das ce cors : * = = 3 ** La site est de raiso -,5 et de premier terme 4 = 4 - Par la formle explicite : =, Par la récrrece : + = 4 =,5 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 5

16 Cors de Mathématiqe S CHAPITRE N Partie : Algebre & Aalyse SUITES - Exercices EXERCICE Das chaqe cas, détermier les ciq premiers termes de la site a La site ( ) est défiie por tot N par : = + b La site ( v ) est défiie por tot N par : v = 3 c La site ( w ) est défiie por tot N par : w = 3 3 EXERCICE Das chaqe cas, détermier les ciq premiers termes de la site a La site ( ) est défiie par premier terme = et vérifie por tot N la relatio + = 3 b La site ( v ) est défiie par premier terme v = 3 et vérifie por tot N la relatio v = v + c La site ( w ) est défiie par premier terme w = et vérifie por tot la relatio w = w EXERCICE 3 O cosidère la site ( ) défiie por tot N par : = 6 + = 5 a Détermier les ciq premiers termes de la site ( ) Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 6

17 Cors de Mathématiqe S b Cotrôler qe les ciq premiers termes de cette site vérifie la relatio sivate : 5 = c E admettat qe la formle cojectrée e b soit exacte, détermier EXERCICE 4 La site ( ) est défiie par premier terme = et vérifie por tot N la relatio + = + 5 E étdiat le sige de +, détermier les variatios de ( ) EXERCICE 5 Das chaqe cas, détermier si la site coverge e précisat sa limite évetelle a La site ( ) est défiie por tot N par : = + + b La site ( v ) est défiie por tot N par : v = ( ) c La site ( w ) est défiie por tot N par : w = + EXERCICE 6 ( ) est e site arithmétiqe de premier terme = 7 et vérifiez por tot N la relatio 4 + = + a Doer les qatre premiers termes de ( ) b Préciser la raiso de ( ) c Calcler 84 EXERCICE 7 et doer so terme gééral La site ( ) est défiie por tot N par : ( ) = Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 7

18 Cors de Mathématiqe S a Calcler,, et 3 b Cette site est-elle arithmétiqe? Jstifier EXERCICE 8 ( ) est e site arithmétiqe telle qe 6 = 36 et 9 = 8 a Calcler la raiso de ( ) b Détermier EXERCICE 9 ( ) est e site arithmétiqe de premier terme = 3 et de raiso a Doer le terme gééral de ( ) et calcler S = b Calcler la somme ' c Calcler de dex faços différetes la somme S = EXERCICE Le ombre S = site arithmétiqe est la somme des termes coséctifs d e a Détermier la raiso de cette site et préciser le ombre de terme qi compose S b Calcler S PROBLEMES Site royale : U roi décide de répartir so héritage e pièces d or à ces qatre efats Il répartit aisi les pièces : il doe pièces d or à l aîé et il doe à chac des efats sivats, la moitié d motat doé à l efat précédet pls 4 pièces d or Atomatiqe combie de pièces d or s élève l héritage d roi? Balle de match : Le toroi de teis homme de Rolag-Garros se dispte e 7 tors sccessifs Combie y avait-il de joers a départ et combie de matchs ot été joés? Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 8

19 Cors de Mathématiqe S SUITES Elémets de réposes EXERCICE =, = 4, = 6, = 7, = 7,6 v =, v =, v = 5, v = 9, v = 65 w = 3, w = 9, w =, w = 8, w = a 3 4 b 3 4 c EXERCICE =, = 3, = 3, = 3, = v = 3, v = =, v = =, v = =, v = = v + 4 v + 5 v + 9 v3 + 4 w =, w = w = 6, w = w = 3, w = w =, w = w = 33 a b 3 4 c EXERCICE 3 = 6, = 5 = 7, = 5 = 9, = 5 = 3, = 5 = a 3 b c 4 3 = = = = = = 3 = = 3 4 5, 5, 5 4, 5 8, 4 5 = 6 = = 5 + = 4 EXERCICE =, 5 éqivat à est croissate por 3 la site ( ) EXERCICE 5 coverge vers a La site ( ) b La site ( ) c La site ( ) v diverge w diverge 5 car Or 5,7 doc Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel 9

20 Cors de Mathématiqe S EXERCICE 6 a =, 7, =, = 5, 3=9 b r = 4, = c 84 = = 343 EXERCICE 7 =, 8, =, =, =4 a 3 = = = 8 + b ( ) ( ) est site arithmétiqe de premier terme EXERCICE 8 a 9 6 = 45 = 3r d où r = 5 b ( ) = = + = 36 ( 6) 5 46 = 8 et de raiso EXERCICE 9 a = 3 + = 3 + = b S = = 63 c O pet calcler = 3 + = 3, d où S ' = = 683 EXERCICE 9 7 a r = 6, = 4 pas, doc il y a 5 termes 6 ( 7 + 9) b S = 5 = 735 Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel

21 Cors de Mathématiqe S PROBLEMES Site royale : E otat le motat doé a = + = + 4, por 3 Calclos les termes de la site : = ième efat, o a : = + 4 = + 4 = + 4 = 4 = + 4 = = = = + 4 = + 4 = = 95 L héritage d roi s élève à = = 545 pièces d or Balle de matche : E otat le ombre de joers présets a site ( ) dex foix pls de joers a tor «sivat») ième tor e partat de la fiale, la est e site géométriqe de premier terme = et de raiso (il y a Le terme gééral de la site ( ) est Le ombre de joers présets a premier tor est = = = Par le même raisoemet, o pet cosidérer la site ( ) disptés a ième tor e partat de la fiale 7 7 = = 8 v des ombres de matchs v = car les joers joet par O e dédit qe la site ( v ) est e site géométriqe de premier terme Le ombre de matchs joés est la somme 7 v = et de raiso 7 S7 = v + v + + v7 = v = = 7 FIN Eseigat : RAKOTONANDRASANA Daiel