DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE. I - Médiatrices - Cercle circonscrit Les médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point

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1 DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE I - Médiatrices - Cercle circonscrit Les médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point Leur point d'intersection est le centre d'un cercle passant par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle Remarque: Pour obtenir le centre du cercle circonscrit, il suffit de tracer deux des médiatrices. Si le triangle a un angle obtus, le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle Si le triangle est rectangle en A, le centre du cercle circonscrit est le milieu de [BC] I 1

2 II - Hauteurs - Orthocentre Une hauteur est une droite (ou un segment) passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet Sur la figure ci-contre, on dit que: [AA'] est la hauteur issue de A A' est le pied de cette hauteur Les hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours s'appelle l'orthocentre du triangle Si le triangle a un angle obtus en A, il faut prolonger les côtés du triangle (en pointillés sur la figure ci-contre) pour tracer les hauteurs issues de B et de C. Dans ce cas, l'orthocentre est à l'extérieur du triangle Si le triangle est rectangle en A, La hauteur issue de B est [BB'], la hauteur issue de C est [CC'] Donc, dans ce cas l'orthocentre est A. Remarque: Pour déterminer l'orthocentre, il suffit de tracer deux des hauteurs. 2

3 III - Médianes - Centre de gravite : Une médiane est un segment joignant un sommet et le milieu du côté opposé Sur la figure ci-contre, on dit que: [AM] est la médiane issue de A On peut dire aussi: [AM] est la médiane relative à [BC] Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité du triangle. Remarque: Pour déterminer le centre de gravité, il suffit de tracer deux des médianes. De plus: En plaçant les milieux de [AG], [BG], [CG], on constate que chaque médiane est partagée en 3 parties égales. Donc: AG représente 2 parts sur les 3 parts de AM BG représente 2 parts sur les 3 parts de BN CG représente 2 parts sur les 3 parts de CP Donc: AG = 2/3 de AM BG = 2/3 de BN CG = 2/3 de CP Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. 3

4 IV - Bissectrices - Cercle inscrit : La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Sur la figure ci-contre [Oz) est la bissectrice de xoy Construction au compas 1) On trace un arc de cercle de centre O, qui coupe [Ox) en A et [Oy) en B 2) On trace deux arcs de cercle, de même rayon, de centres A et B; ces deux arcs se coupent en C 3) La bissectrice de l'angle est la demi-droite d'origine O passant par C Propriétés Soit xoz un angle et [Oy) la bissectrice de cet angle 1) Si M [Oy), alors MH = MK Tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle 2) Si MH = MK, alors M [Oy) Tout point équidistant des côtés d'un angle appartient à la bissectrice de cet angle Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes.. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle (cercle tangent aux trois côtés du triangle)

5 V - Dans un triangle isocèle: Si ABC est un triangle isocèle en A, alors: - la hauteur issue de A - la médiane relative à [BC] - la médiatrice de [BC] - la bissectrice de l'angle A sont confondues VI - Dans un triangle équilatéral: Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, les médianes, les médiatrices des côtés, les bissectrices des angles sont confondues Leur point de concours est à la fois l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit 5

6 VII- Exercices: Exercice 1: Exercice 2: Compléter: l'orthocentre du triangle LMN est... l'orthocentre du triangle LRM est... l'orthocentre du triangle MRN est... l'orthocentre du triangle LRN est... Exercice 3: Montrer que (EI) est perpendiculaire à (DF) Exercice 4: 1) Montrer que K est le milieu de [FG] 2) On suppose que GJ = 7,2 cm. Calculer GL Exercice5 Montrer que J est le centre de gravité du triangle STU Exercice 6: Quelle est la nature du triangle SHR? Justifier. 6

7 DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Exercice 2: l'orthocentre du triangle LMN est R l'orthocentre du triangle LRM est N l'orthocentre du triangle MRN est L l'orthocentre du triangle LRN est M Exercice 3: D'après le codage, (DI) et (FI) sont deux hauteurs du triangle DEF. Donc I est l'orthocentre du triangle DEF. Donc (EI) est la troisième hauteur de ce triangle, et donc: (EI) est perpendiculaire à (DF) Exercice 4: 1) D'après le codage [FI] et [GJ] sont deux médianes du triangle FGH. Donc L est le centre de gravité de ce triangle. Donc [HK] est la troisième médiane de ce triangle. Donc K est le milieu de [FG] 2) Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. Donc: GL = 2/3 de GJ = (7,2 : 3) x 2 = 4,8 cm D'après le codage, K est le milieu de [TU], donc [SK] est une médiane du triangle STU. De plus, d'après le codage SJ est égal à deux tiers de SK Comme J est situé aux deux tiers de la médiane [SK] à partir du sommet S, alors J est le centre de gravité du triangle STU 7

8 Exercice 5 : Exercice 6: D'après le codage, RH] est la médiane relative à [ST] Comme d'après le codage, le triangle SRT est isocèle en R, cette médiane est aussi la hauteur issue de R. Donc le triangle SHR est rectangle en H 8