Déterminants. a + b b + c c + a 3) 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2. a 3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3

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1 Déterminants Exercice Calcul de déterminants Calculer les déterminants suivants : x a b x ) b x x a a b c 2a 2a x b a x 2) 2b b c a 2b 2c 2c c a b a x x b a 2 b 2 ab 5) b 2 ab a 2 ab a 2 b 2 a + b b + c c + a 3) a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 a + b ab a 2 + b 2 4) b + c bc b 2 + c 2 c + a ca c 2 + a 2 Exercice 2 Calcul de déterminants Calculer les déterminants suivants : a b (0) ) c Chercher une relation de récurrence linéaire d ordre 2 On notera α et β les racines b (0) c a dans C de l équation caractéristique, et on exprimera le déterminant en fonction de α et β ( a b b n ) ( n ( 0 ) n a p) + b b b ( 2) b (0) n+ ) ( n+ ) ( 0 n+ ) b 2 a 2 + b 2 b 2 b 2 p (0) 3) b 4) ( n+p ) ( n+p ) ( b b a 0 n+p ) bn p b n b n a n + b n 0 2 n a b a b n 2 n 5) 2 3 0, (n 3) 6) a n b a n b n 7) n n n 2 0 Exercice 3 Suite de Fibonacci, Ensiee/Ensea 205 Soit (f n ) la suite de Fibonacci définie par f 0 = 0, f =, f n+ = f n + f n pour n Calculer le déterminant de la matrice M n M n+ (R) de coefficient général f i j Exercice 4 Factorisation de polynômes Déterminer les cas d annulation des déterminants suivants, puis les calculer : x a () a 2 a n x a x a 2 a n a b c z b b c z a + x ) 2) 3) c c c z () n x an 4) b + x a a 2 a n x z z z z c + x Exercice 5 Calcul par dérivation ) Soient a, b, c, d : R R des fonctions dérivables et f(x) = a(x) b(x) c(x) d(x) Montrer que f est dérivable et que : f (x) = a (x) b(x) c (x) d(x) + a(x) b (x) c(x) d (x) 2) Généraliser à un déterminant n n cos x sin x 3) Application : Calculer cos(x + α) sin(x + α) cos(x + β) sin(x + β) a + y b + y c + y a + z b + z c + z determtex jeudi 4 août 206

2 Exercice 6 det(a + (α)) ( ) Soit A M n (K) et U = ) Démontrer que : det(a + αu) = det A + α cofacteurs de A a b b 2) En déduire la valeur de D(a, b, c) = c, b c c a a) pour b c b) pour b = c Exercice 7 Déterminant tridiagonal Soit n N, (a, a 2,, a n ) (R + ) n, (b, b 2,, b n ) (R + ) n et (c, c 2,, c n ) (R ) n Montrer que le déterminant suivant est strictement positif : a b c a 2 b 2 (0) c 2 a 3 (0) bn c n a n Exercice 8 Déterminant de Vandermonde Soient a,, a n K Le déterminant de Vandermonde associé aux a i est : V (a,, a n ) = det(a j i ) ) Calculer et factoriser V (a, b) et V (a, b, c) 2) Pour x K, montrer que V (a,, a n, x) = V (a,, a n ) n i= (x a i) 3) En déduire l expression générale de V (a,, a n ) Exercice 9 Racines de l unité On note ω = e 2iπ/n, α = e iπ/n et D le déterminant n n : D = det(ω (k )(l ) ) ) Calculer D 2 2) Montrer que D = k<l (ωl ω k ) = ( ) k<l α k+l 2i sin l k n π 3) Exprimer D sous forme trigonométrique Exercice 0 Cosinus Soient α,, α n R Mettre le déterminant : det(cos((j )α i )) sous la forme d un déterminant de Vandermonde Exercice (x i + y j ) k Soit k n et M = ((x i + y j ) k ) Écrire M comme produit de deux matrices et calculer det M Exercice 2 P (i + j) Soit P K n [X] et A = (P (i + j)) M n (K) Développer P (i + j) par la formule de Taylor et écrire A comme produit de deux matrices En déduire det A Exercice 3 Problème d interpolation de Lagrange Soit A un anneau commutatif, x,, x n A Démontrer l équivalence entre les propositions suivantes : ) Le déterminant de Vandermonde de x,, x n est un élément inversible de A ; 2) Pour tous y,, y n A, il existe un unique polynôme P A n [X] tel que P (x i ) = y i pour i =,, n Donner un exemple d anneau A et un problème d interpolation dans A (en des points x i distincts) n ayant pas de solution determtex page 2

3 Exercice 4 Résultant Soient P = a 0 + a X + + a p X p, et Q = b 0 + b X + + b q X q, avec a p 0, b q 0 a 0 b 0 a 0 b 0 Le résultant de P et Q est : Res(P, Q) = les positions non remplies a p b q correspondent à des zéros a p b q q p En considérant l application Φ : { Kq [X] K p [X] K p+q [X] (U, V ) UP + V Q, Res(P, Q) 0 P Q = montrer que : Application : CNS pour que le polynôme P = X 4 + ax + b ait une racine multiple? Exercice 5 det(i AB) = det(i BA) Soient A M p,q (K) et B M q,p (K) Montrer que det(i p AB) = det(i q BA) (commencer par le cas où A est la matrice canonique de rang r) Exercice 6 Changements de signe Soit A = (a ij ) M n (K) et A = (( ) i+j a ij ) Comparer det A et det A Exercice 7 Somme des colonnes Soit M une matrice carrée d ordre n, et M la matrice déduite de M en remplaçant, pour tout j, la j-ième colonne par la somme des colonnes de M d indices différents de j Comparer les déterminants de M et M Exercice 8 det(a 2 + B 2 ) ) Soient A, B M n (R) telles que AB = BA Montrer que det(a 2 + B 2 ) 0 2) Chercher A, B ne commutant pas telles que det(a 2 + B 2 ) < 0 Exercice 9 Déterminant par blocs ( ) A B Soient A, B M n (K) et M = Démontrer que det M = det(a + B) det(a B) B A Exercice 20 Déterminant par blocs Soient A, B, C, D M n (K) avec A inversible et AC = CA On considère M = Montrer que det M = det(ad CB) ( ) A B M C D 2n (K) Exercice 2 Combinaison linéaire des solutions Soit (S) AX = B un système linéaire de n équations à n inconnues de Cramer Montrer que pour tous scalaires c,, c n, on a : c x + + c n x n = det A A b b n c c n 0 Exercice 22 Comatrice Soit A M n (K) triangulaire Montrer que com A est aussi triangulaire Exercice 23 Comatrice Soit A M n (R) Étudier le rang de com(a) en fonction du rang de A determtex page 3

4 Exercice 24 Comatrice Soit n 2 et A M n (K) ) Calculer com(com A) dans le cas où A est inversible 2) Si rg A n 2, démontrer que com A = 0 3) Si rg A = n, démontrer que rg(com A) = 4) Dans le cas général, démontrer que com(com A) = (det A) n 2 A Exercice 25 Comatrice Soit n 2 et A M n (K) où K est un corps infini ) Si A et B sont inversibles, démontrer que com(ab) = (com A)(com B) 2) Démontrer le même résultat dans le cas général, en considérant les scalaires λ tels que A λi et B λi soient inversibles 3) En déduire que si A et B sont semblables, alors com A et com B le sont 4) Reprendre les questions précédentes sans supposer K infini Exercice 26 Système linéaire homogène On considère un système linéaire homogène : (S) AX = ( 0, ) avec A M n,p (K), n < p et rg A = n A ) Montrer qu on peut compléter A en une matrice B = A inversible 2) Montrer que{ les colonnes n + à p de t com B constituent une base des solutions de (S) x + 2y + 3z + 4t = 0 3) AN : (S) 2x + 3y + 4z + 5t = 0 Exercice 27 Inégalité Soit A = (a ij ) M n (R) Démontrer que : det A n n i= j= a ij Quand y a-t-il égalité? Exercice 28 a iσ(i) = cste Soit A = (a ij ) M n (K) telle qu il existe a 0 tel que : σ S n, n i= a iσ(i) = a Montrer que rg(a) = Exercice 29 Déterminants 2 2 imposés Soient a, b, c, d quatre vecteurs d un ev E de dimension 2 On note det le déterminant dans une base fixée de E ) Démontrer que : det(a, b) det(c, d) + det(a, c) det(d, b) + det(a, d) det(b, c) = 0 (commencer par le cas où (a, b) est libre) 2) On donne six scalaires : d ab, d ac, d ad, d cd, d db, d bc tels que d ab d cd + d ac d db + d ad d bc = 0 Montrer qu il existe des vecteurs a, b, c, d tels que : x, y, d xy = det(x, y) Exercice 30 Décomposition d un vecteur en dimension 3 Soient a, b, c, d quatre vecteurs d un ev E de dimension 3 On note det le déterminant dans une base fixée de E Démontrer que : det(a, b, c)d = det(a, b, d)c + det(a, d, c)b + det(d, b, c)a Exercice 3 Trace d un endomorphisme Soit E un ev de dimension n, f L(E), et u,, u n, n vecteurs de E On note det le déterminant dans une base fixée de E Démontrer que : det(f(u ), u 2,, u n ) + det(u, f(u 2 ), u 3,, u n ) + + det(u, u 2,, f(u n )) = det(u, u 2,, u n ) tr(f) Exercice 32 det(u + n) Soient u, n L(E) deux endomorphismes d un C-ev de dimension finie, u inversible, n nilpotent, avec u n = n u ) Démontrer que det n = 0 2) Chercher le polynôme caractéristique de n En déduire que det(id E +n) = 3) Démontrer que det(u + n) = det u determtex page 4

5 Exercice 33 Groupe SL n (K) On note SL n (K) = {M M n (K) tq det M = } ) a) Démontrer que SL n (K) est un groupe pour le produit matriciel b) Démontrer que SL n (K) est engendré par les matrices : I + λe ij, (j i) où (E ij ) est la base canonique de M n (K), et λ K (transformer une matrice M SL n (K) en I par opérations élémentaires) 2) a) Soit M M n (Z) Démontrer que M a une inverse dans M n (Z) si et seulement si det M = ± b) Démontrer que le groupe SL n (Z) est engendré par les matrices I + E ij, (j i) Exercice 34 Déterminant de { X AX Mn (K) M Soit A M n (K) et f A : n (K) Calculer det f A X AX Exercice 35 Système unisolvent Soient E un ensemble quelconque et f,, f n : E K des fonctions Montrer par récurrence sur n que la famille (f,, f n ) est libre dans K E si et seulement s il existe des éléments x,, x n de E tels que det(f i (x j )) 0 Exercice 36 Polytechnique MP 2002 Soit p un nombre premier et a 0,, a p Z Montrer que le déterminant de la matrice A M p (Z) de coefficient général a j i mod p vérifie : det(a) a a p (mod p) Indication : écrire A = p k=0 a kj k et calculer A p Exercice 37 Centrale MP 2002 Soit un déterminant symétrique réel d ordre impair dont les coefficients sont entiers, les diagonaux étant de plus pairs Montrer que ce déterminant est pair Exercice 38 Formule de Cauchy-Binet Soit M = (a ij ) M np (K) et q [[, min(n, p)]] Pour X = {x,, x q } et Y = {y,, y q } avec x < x 2 < < x q n et y < y 2 < < y q p, on note X,Y (M) le déterminant de la matrice q q de terme général a xi,y j ) Soient M M np (K) et N M pn (K) avec n p Montrer que det(mn) = card X=n [,n],x (M) X,[,n] (N) (considérer les deux membres comme des fonctions des colonnes de N) 2) Donner une formule pour det(mn) quand n > p 3) Soient M M np (K), N M pq (K) et r [[, min(n, q)]] Montrer, pour X [[, n]] et Y [[, q]] avec card(x) = card(y ) = r : X,Y (MN) = card(z)=r X,Z(M) Z,Y (N) determtex page 5

6 solutions Exercice ) (b a) 2 (a + b + 2x)(a + b 2x) 2) (a + b + c) 3 3) 2abc(a b)(b c)(c a) 4) (a b)(b c)(c a)(ab + ac + bc) 5) (a 3 b 3 ) 2 Exercice 2 ) αn+ β n+ où α β sont les racines de X 2 ax + bc = 0, (n + )(a/2) n si α = β α β 2) a n 3 (a b)(a 2 + ab 2(n 2)b 2 ) 3) 4) a a 2 a n ( + b + + b ) n a an 5) 0 6) 2 ( )n(n )/2 n n (n + ) 7) ( ) (n )(n 2)/2 (n )2 n 2 Exercice 3 Retirer à la dernière ligne les deux lignes précédentes Il vient det(m n ) = 2 det(m n ) pour n 3, puis det(m n ) = ( 2) n si n Exercice 4 ) x( x)(2 x) (n x) 2) (x a ) (x a n )(x + a + + a n ) 3) z(y z)(x y) (a b) V (a, b, c)v (x, y, z) 4) (a + x) (c + z) Exercice 5 3) sin α sin β sin(α β) Exercice 6 ) Développer 2) a) D(a b, 0, c b) = (a b) n et D(a c, b c, 0) = (a c) n D(a, b, c) = c(a b)n b(a c) n c b b) det((a b)i + bu) = (a b) n + nb(a b) n Exercice 9 n 0 0 ) M n = D 2 = ( ) n n n 0 n 0 3) n n/2 exp ( iπ 4 (n )(3n + 2)) Exercice 0 Polynômes de Tchebychev D = 2 (n )(n 2)/2 V (cos α,, cos α n ) Exercice M = (x j i ) ( ( ) k i y k i+ j ) det M = 0 si k < n, det M = ( ) n(n )/2 ( n 0 Exercice ( 2 A = i j (j )! ) ( ) P (i ) (j) det A = ( ) n(n )/2 (a n (n )!) n ) ( n ) V (x,, x n )V (y,, y n ) si k = n determtex page 6

7 Exercice 3 2) ctrex: A = Z, P (0) = 0 et P (2) = Exercice 4 27a 4 = 256b 3 Exercice 6 Ils sont égaux Exercice 7 det M = ( ) n (n ) det M Exercice 8 2) A = ( λ λ ), B = ( ) 0 λ, λ > λ 0 2 Exercice 23 Si rg(a) = n, rg(com(a)) = n Si rg(a) = n, rg(com(a)) = Si rg(a) n 2, rg(com(a)) = 0 Exercice 26 3) On complète par ( ) base = 2, Exercice 27 Développer le produit Il y a égalité si et seumement si A comporte un seul coefficient non nul par ligne et colonne, ou une ligne nulle Exercice 29 2) Si d ab 0, prendre c = d bc d ab a + d ac d ab b et d = d db d ab a + d ad d ab b Exercice 30 Si (a, b, c) est une base, décomposer d Si a = λb + µc, on obtient 0 = 0 Exercice 3 Les deux membres sont n-linéaires alternés ; on vérifie la relation sur la base du déterminant Exercice 33 2) b) (I + E ij ) k = I + ke ij Calculer le pgcd d une ligne par opérations élémentaires à l aide de Bézout Ce pgcd vaut sinon M / SL n (Z) Exercice 34 (det A) n determtex page 7

8 Exercice 36 On se place dans Z/pZ et on considère J = (δ i,i+ mod p ) On a J p = I et A = a 0 J 0 + a p J p donc A p = (a p ap p )I car on est en caractéristique p, soit Ap = (a a p )I On en déduit det(a) = det(a) p = (a a p ) p = a a p Autre méthode en restant dans Z : det(a) = σ S p ε(σ)a,σ() a p,σ(p) = σ S p ε(σ)a σ() mod p a σ(p) p mod p Notons x(σ) = ε(σ)a σ() mod p a σ(p) p mod p et c le cycle (, 2,, p) Alors x(σ) = x(c k σ c k ) pour tout k Z Le nombre de permutations distinctes que l on obtient à σ fixé en faisant varier k est égal à si σ et c commutent, et à p sinon, d après la relation : card(orbite) card(stabilisateur) = card( c ) = p De plus, c et σ commutent si et seulement si σ c (facile), d où p det(a) ε(c k )a p k a a p mod p k=0 Exercice 37 det(m) = σ S n ε(σ)a σ() a nσ(n) Soit σ S n telle que σ σ Alors les termes associés à σ et σ sont égaux car M est symétrique, donc la somme de ces deux termes est paire Soit σ S n telle que σ = σ Alors comme n est impair, il existe i [[, n]] tel que σ(i) = i donc le terme associé à σ est pair determtex page 8